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第三讲:数列求通项


几种常见的数列的通项公式及求和公式的求法 一、公式法 当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数

列的通项公式,只需求得首项及公差公比。 例 1: 已知数列{an}是公差为 d 的等差数列,若函数 f (x) = (x-1)2,且 a1 = f (d-1),a3 = f (d+1),求数列{ a n }的通项公式;

例 2.

等差数列 ?a n ?是递减数列,且 a2 ? a3 ? a4 =48, a 2 ? a3 ? a4 =12,则数列的 通项公式是( ) (B) an ? 2n ? 4 (C) an ? ?2n ? 12 (D) a n ? ?2n ? 10

(A) an ? 2n ? 12

二、 叠加法

一 般 地 , 对 于 型 如 a n?1 ? a n ? f (n) 类 的 通 项 公 式 , 只 要 f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) 能进行求和,则宜采用此方法求解。 例 3:已知数列 6,9,14,21,30,…求此数列的一个通项。

例 4. 若在数列 ?a n ?中, a1 ? 3 , a n?1 ? a n ? n ,求通项 a n 。

练习、已知数列{an}满足 a1 ? 1, a n ? 3 n?1 ? a n?1 (n ? 2) ,
3n ? 1 证明 a n ? 2

a n 类的通项公式, 三、 叠乘法一般地, 对于型如 a n ?1 = f (n)· 当 f (1) ? f (2)?? f (n) 的值可以求得时,宜采用此方法。 例 5:在数列{ a n }中, a1 =1, (n+1)· a n ?1 =n· a n ,求 a n 的表达式。

四、Sn 法利用 a n ? S n ? S n?1

( n ≥2)

例 6:已知下列两数列 {an } 的前 n 项和 sn 的公式,求 {an } 的通项公式。 (1) sn ? n 2 ? 1

点评:要先分 n=1 和 n ? 2 两种情况分别进行运算,然后验证能否统一。 已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ? n 2 ? kn , k ? N * ,且 Sn 的最大值为 8. (1)确定常数 k,求 an; (2)求数列 {
9 ? 2a n } 的前 n 项和 Tn。 2n

1 2

例 7. 已知数列 ?a n ?中, a1 ? ,前 n 项和 S n 与 a n 的关系是 S n ? n(2n ? 1)a n , 试求通项公式 a n 。

1 3

练习: 1、已知单调递增的等比数列 (I)求数列 (II) 若 n 的最小值。 的通项公式; 数列 的前 n 项和为 S n ,且 成立的正整数 满足:a2+a4=20,a3=8.

2. 已 知 {a n } 是 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 Sn , {bn } 是 等 比 数 列 , 且
a1 ? b1 ? 2, a4 ? b4 ? 27 , S 4 ? b4 ? 10 .

(Ⅰ)求数列 {a n } 与 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)记 Tn ? an b1 ? an?1b2 ? ? ? a1bn ,n ? N * ,证明 Tn ? 12 ? ?2an ? 10bn( n ? N * ).

(一)

公式法(恒等式法) :利用已知的求和公式来求和,如等差数列与等比数列求和公
n(n ? 1) 、 2

式,再如 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

Sn ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1)d ? na1 ? 2 2

?na1 ?? q ? 1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) 等公式。 ? 1 ? q ?? q ? 1 ?
例 1.求数列 1+4+7+………+ (3n ? 1) ,

变式题:求数列 2, 2 2 , 2 3 , 2 4

,……的前 n 项的和

(二)错位相减法:这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列
{a n ? bn } 的前 n 项和,其中 {a n } 、 {bn } 分别是等差数列和等比数列。
例 3.求数列 {n ? 2 n } 的前 n 项和 S n 。

变式题:已知数列 ?an ? 中, a n ? (3n ? 2) ? 5 n ,求数列的前 n 项和 S n 。

(三)分组求和法:

所谓分组求和法,即将一个数列中的项拆成几项,转化成特殊数列求和。

1 例 4.已知数列 {a n } 满足 a n ? n ? ( ) n ?1 ,求其前 n 项和 S n 。 2

变式题:已知数列 ?an ? 中, a n ? (3n ? 2) ? 5 n ,求数列的前 n 项和 S n

(四)拆项(裂项)相消法:若数列 {a n } 能裂项成 an

? f (n ? 1) ? f (n) ,即通项可分解为

两项之差,然后相加相消,最后只剩下有限项的和(即关于 n 的相邻项,使展开后中间项能全部消去) 。

类型有: (1)

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2 1 1 1 1 ? ( ? ) (n ? 1)( n ? 1) 2 n ? 1 n ? 1
1 ,求数列 {a n } 的前 n 项和 S n n(n ? 1)

(2)

(3)

例 5.已知数列 {a n } 满足 a n ?

变式题:已知数列 ?an ? 中, a n ?

1 ,求数列的前 n 项和 S n (3n ? 2)(3n ? 1)

作业 选择题: 1、一个等差数列共有 3m 项,若前 m 项的和为 100,前 2m 项的和为 200,则前 3 m 项的和是 A. 50 B. 75 C.100 D.300

2、等比数列 ? an ? 中, Tn 表示前 n 项的积,若 T5 ? 1 ,则 A. a1 ? 1 B.a3=1 C. a4 ? 1 D. a5 ? 1
a3 ? a9 ,Q ? a5 a7 ,则 P 2

3、已知等比数列 {a n } 的各项均为正数,公比 q ? 1 ,设 P ? 与 Q 的大小关系是 A. P ? Q B. P ? Q C. P ? Q

D.无法确定
1 4

4、已知方程 ( x 2 ? 2 x ? m)( x 2 ? 2 x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为 的等差数列, 则
| m ? n |?

A. 1

B.

3 4

C.

1 2

D.

3 8

5、若 a、b、c 成等比数列,则函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点个数 是( ) A.0 B.1 C.2 D.不确定


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