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高中物理竞赛培优教程第五章角动量第一节------力矩和角动量(答案版)

时间:2017-04-23


第五章角动量
第一节 力矩和角动量
一、 知识要点
1. 力矩的定义 (1)对轴的力矩 定义:对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕着转动的角速度。大小: 不仅与力的大小和方向有关, 而且与力的作用点有关。 当力的作用线垂直于轴的平面 p 上时,力矩 t 的大小与力的作用点P和轴的距离 r 成正比,与力在垂直于 r 方向上的分量 F? 成正比,因为

力在 r 方向上的分量 F? 对物体的绕轴转动无作用,于是有 式中 ? 是F与 r 的夹角, r 就是从轴与平面 p 的交点 O? 指向P点的矢量。由于 ? sin? ? d 就是力的作用线与 轴的距离,则公式可写成

? ? ?F? ? F ? sin?

? ? Fd
d常称为力臂,这正是大家所熟知的力矩表达式。 当力的作用线不在垂直于轴的平面 p 上时,可将力分解为平行于轴的分量 F? ?和垂直于轴的分量 F? 两部分,

F 对轴的力矩可写成 其中 F? ?对物体绕轴转动不起作用,而 F? 就是在垂直于轴的平面上的投影。故

? ? ?F? sin? 。
这里式中 ? 是 F? 与 r 的夹角。 方向:由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向,力矩也有正、负两种取向。例如,先任意规定轴 的正方向,当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时,若物体沿逆时针方向转动,对应的 力矩就取为正,反之为负。

2、对于参考点的力矩 在选定的参考系中,从参考点 O 指向力的作用点 P 的矢量 r 与作用力 F 的矢积称为作用力对于参考点的力 矩,即

? ? r ?F
也可称为作用点相对参考点的位矢。当参考点是坐标原点时, r 就是力的作用点的位矢,根据矢积的意义, 力矩的大小等于以 r 和 F 两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积,方向与 r 、 F 所在平面垂直并与 r 、 F 成右手螺旋。

二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩

1、作用于质点的力矩 当质点 m 受力 F 作用时, F 对参考点 O 的力距即为质点受到的力矩。 这时, 力矩表示中的 r 就是参考点 O 指 向质点的矢量,当参考点为坐标原点时, r 就是质点的位矢。当质点受 F1 , F2 , ???, FN N 个力同时作用时,各力 对某参考点的力矩的矢量和等于合力 F ? F1 ? F2 ? ??? ? FN 对同一参考点的力矩,即

r ? F1 ? r ? F2 ????r ? FN ? r ?(F1 ? F1 ????FN ) ? r ? F
2、作用于质点系的力矩 力矩概念也可应用于作用于质点系的作用力。一般来讲质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别。 因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩。 (1)外力的力矩 当质点系受多个外力作用时。若第 i 个质点受到的合外力为 Fi 。该质点相对于某一给定参考系的位矢为 ri , 则其力矩为 ? i外 ? ri ? Fi ,各质点所受力矩的矢量和,即质点系的所受总力矩为

? 外 ? ??
i

由于各外力作用在不同质点上,各质点的位矢 ri 各不相同,因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力 矢量和的力矩来计算。 但当质点系处在重力场中时,各质点所受重力与质点的质量成正比,方向有都相同,因而作用于质点系的 重力相对某一参考点的力矩,

i?

? ?ri ? Fi
i

? ? ? ? ?ri ? mi g ? (?mi ri )? g ? rc ? Mg
既作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参考点的力矩。在平动 非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质。 2、内力的力矩 若 f i 为作用于质点系中第 i 个质点上的合内力, ri 为该质点的位矢,则内力的总力矩为 由于内力总是成对出现,因而上式可改写成 ?内 ? (ri ? fij ? rj ? f ji ) i O 来说,力矩 根据牛顿第三定律,任意一对内力必定等值反向,且沿同一直线,因而且对任意给定参考点 也必等值反向两者相互抵消,即
i i

?内 ? ?ri ? fi ? ?ri ? ? fij
i i j ?i

?

ri ? fij ? rj ? f ji ? 0
因而内力的总力矩为零

?r ? f
i? j i

ij

? rj ? f ji ? 0

这一结果与内力的冲量相似,但与内力的做功不同。

三、冲量矩
1、定义:力矩与时间的乘积 2、公式: ?L ? ??t ? (? 外 +?内)?t ? (? 外 ? 0)?t ? ? 外?t

?L总 =? ?L=?? 外 ? ?t

此式对质点系适用 3、方向:与合外力力矩的方向相同,单位: N ? m ? s 在一段时间内对质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内的冲量矩的累加

?L总 =? ?L=?? 外 ? ?t

四、质点的角动量
1、定义:从给定参考点指向质点的矢量 r 和质点动量 p ? mv 的矢积称为质点对于参考系的动量矩,又称

为角动量,用 l 表示。单位为 kg ? m / s 2、公式: l ? r ? p 3、角动量是矢量,它是 r 与 p 的,矢积因而既垂直于 r ,又垂直于 p ,即垂直于 r 与 p 所组成的平面,其 指向由右手定则决定。 4、质点的角动量是相对于给定的参考点定义的,因此同一质点对不同参考点的角动量是不同的。例如,一 圆锥摆的摆球以恒定的角速度 ? 作圆周运动,圆周运动的半径为 R ,摆的悬线长 r ,摆球对圆心 O 的角动
2

量 l ? mvR ? m?R ,其大小和方向都恒定不变。但摆球对悬挂点 O? 的角动量 l ? 则不同,尽管其大小
2

l? ? mvr ? rm ? R保持不变,但方向却随时间而变。

做直线运动的质点,对于不在该直线上的不同参考点的角动量也不同。通常把考察转动的参考点取为坐标 原点。

二、例题
例 1 如图所示,质量为 m 的小球自由落下,某时刻具有速度 v ,此时小球与图中的 A, B, C 三点恰好位于某 长方形的四个顶点,且小球与 A, C 点的距离分别为 l1 , l2 ,试求 (1)小球所受重力相对 A,B,C 三点的力矩 M1 , M 2 , M 3 ; (2)小球相对 A, B, C 三点的角动量 L1 , L2 , L3 .

解 得

(1)小球所受重力 mg 竖直朝下,以 A 为參考点的小球位矢 l1 ,水平向右, mg 与 l1 两者夹角 ? ? 90 ,可
?

M 1 :大小: M1 ? l1mg sin90? ,方向:垂直图平面朝内
以 B 为参考点,小球的位矢 r 是从 B 指向小球所在位置,力臂长距离 h 即为 B 到 C 的距离 l1 ,因此有

M 2 :大小: M 2 ? hmg ? l1mg ,方向:垂直图平面朝内
以 C 为參考点,小球的位矢恰与 mg 反向,即有 ? ? 180 ,因此得 M 3 ? 0
?

(2)小球动量 p ? mv , 竖直向下,与( l)问解答类似地可得

L1 :大小: L1 ? l1mv sin90? ? l1mv
方向:垂直图平面朝内

L2 :大小: L2 ? l1mv
方向:垂直图平面朝内 例 2 质量为 m ,长 l 的匀质细杆,绕着过杆的端点且与杆垂直的轴以角速度 ? 转动时,它的动能和相对端点 的角动量大小分别为 Ek ? 其中, I ?

L3 ? 0

1 2 I ? ,L ? I ? 2

1 2 ml ,今如图所示,将此杆从水平位置静止释放,设此杆能绕着过 A 的固定光滑水平细轴无摩 3 擦地摆下,当摆角从零达 ? 时,试求:(1)细杆转动角速度 ? 和角加速度 ? ;(2)固定的光滑细轴为杆提 供的支持力 N 。

1 2 l I ? ? mg sin ? 2 2 1 2 3g sin ? 将 I ? ml 代入后,可得 ? ? 3 l
解 (1)因无摩擦,机械能守恒,有 以 A 为坐标原点建立垂直于图平面朝内的 z 轴,细杆各部位相对 A 点角动量均沿轴方向,叠加后所得细杆 的总角动量 L 也必沿 z 轴方向,大小则为 L ? I ? 固定的光滑细轴为细杆提供的支持力 N 相对 A 点力矩为零,细杆重力相对 A 点力矩为 M 的大小: M ? mg

l cos ? 2

方向:沿 z 轴 由刚体定轴转动时的角动量变化量与冲量矩相同,得到 M ? ?t ? ?L

?L ? ?? ? ?I? ? ? I? ?t ? ?t ? 3g cos ? 所以 ? ? 2l ( 2 )如图所示,将 N 分解为 N n 和 N? ,支持力与重力合成为细杆质心提供加速度,可建立下述方程
因为

Nn ? mg sin ? ? maCn mg cos? ? N? ? maC?

其中 aCn 和 aC? 分别为质心作国周运动的向心和切向加速度.所以 aCn ? 可得 N n ?

l 2 l ? , aC? ? ? 2 2

5 1 mg sin ? , N? ? mg cos ? 2 4

例 3

质量为 M ,半径为 R 的匀质圆盘,绕着过圃心且与圆盘垂直的轴以角速度 ? 旋转时的角动量大小为

L ? I? , I ?

1 MR 2 2

有如图所示系统,细绝质量可略,细绳与圆盘间无相对滑动,定滑轮与中央轴之间光滑接触,有关参量已 在图中标出 m1 ? m2 ,试求 a



设左、右绳中张力分别为 T1、T2 ,它们相对转轴力矩之和,方向轴朝外,大小为 M ? ?T1 ? T2 ? R 又因为 M ?

以转轴上某点为参考点,定滑轮转动角动量方向沿转轴朝外,大小为 L ? I ?

有 ?T1 ? T2 ? R ? I ?

?L ? ?? ? ?I? ? ? I? ?t ? ?t ?

对 m1 , m2 有方程 m1 g ? T1 ? m1a,T2 ? m2 g ? m2a

a 与 ? 的关系为 a ? ? R

可解得 a ?

2 ? m1 ? m2 ? g 2 ? m1 ? m2 ? ? M

三、巩固习题
1. 质量为 M 的质点固定不动,在万有引力作用下,质量为 m 的质点绕着它作半径为 R 的圆周运动,取圆 轨道上的 P 点为参考点,如图所示,试求: (1)在图中点 1 处,所受万有引力相对 P 点的力矩大小 M 1 和 m 相对于 P 点的角动量大小 L1 ; (2) 在图中点 2 处, m 所受万有引力相对于 P 点的力矩大小 M 2 和 m 相对于 P 点的角动量大小 L2 。

2. 电子的质量为 9.1?10 核的轨道角动量为

?31

kg ,在半径为 5.3 ?10?11 m 的圆周上绕氢核作匀速圆周运动,已知电子相对氢

h ( h 为普朗克常量,等于 6.63 ?10?34 J ? s ) ,求电子的角速度大小。 2? 3. 在光滑的水平面上,两个质量分别为 m1 和 m2 的小球,用长为 l 的轻线连接。开始时,线正好拉直, m1
和 m2 的速度分别为 v1 和 v 2 ( v1 ? v2 ) ,它们的方向相同,且垂直于连线试问:(1)系统相对质心的角动 量为多大?(2)线中张力多大? 4. 图中两根匀质金属细捧 AO , BO 的质量为 m ,长度均为 l , ?AOB 为直角, O 点为两棒的、 焊接点,也是 悬挂点.开始时此焊接体 AOB 静止, 在图平面代表的某竖直面内,且 BO 棒处于水平位置,而后它将无摩 擦地绕者过 O 点且与图平面垂直的水平固定细轴旋转 . 试求 :(1) 当焊接体 AOB 顺时针转动 ? 角时 , AOB 的转动角速度 ? 以及角加速度 ? ;(2)在 ? ? 45? 时,转軸承受的水平分力与坚直分力的大小和方 向。

5. 若将地球绕大阳的公转看作是以大阳为中心的圆周运动,试求地球相对太阳中心的角动量,已知地球的 6. 质量为 m 的小球在 ? x1 ,0,0? 点由静止释放.设重力加速度沿 ?z 方向。试求: (1)小球受到的重力相对于 原点 O 的力矩;(2)小球相对于原点 O 的角动量随时间的变化关系。 7. 一质量 m ? 2kg 的质点由静止开始作半径 R ? 5m 的圆周运动,其相对圖心的角动量随时间的变化关系 为 L ? 3t 2 ,角动量 L 的单位为 kg ? m / s , t 的单位为 s 试求:(1) 质点受到的相对于圆心的力矩;(2)质 点运动角速度随时间的変化关系。
2

质量 M c ? 6.0 ?10 kg ,轨道半径 R ? 1.49 ?1011 m 。
24

答案解析 1.(1) M1 =0 质点做圆周运动,万有引力提供向心力:

Mm v2 ? m R2 R 则 L1 ? mv ? 2R G

由上式可得 L1 ? 2m GMR (2) M 2 ? F ? R ? G

Mm R L2 ? mv ? R ? m GMR

h h ? 4.13 ?1016 rad / s 得, ? ? 2 2? 2? mr m2l m1l mm l 3.(1) L ? m1v1 ? ? m2v2 ? ? 1 2 (v1 ? v2 ) m1 ? m2 m1 ? m2 m1 ? m2
2.由题意, m ? ? r ? r ?

? v1 ? v2 ? (2)由牛顿第二定律
l
得T ?

2

?

T T ? m1 m2

m1m2 ? v1 ? v2 ? ? m1 ? m2 ? l

2

4. (1)由机械能守恒定律:

l 1 1 mg ? sin ? ? mg ? ?1 ? cos ? ? ? 2 ? I ? 2 ? ml 2 ? ? 2 2 2 3 3g 得? ? ? sin ? ? cos? ? 1? 2l l l 2 2 由角动量定理 mg ? cos ? ? mg ? sin ? ? 2 I ? ? ? ml ? ? 2 2 3 3g 得? ? ? cos ? ? sin ? ? 4l 3g 2-1 ,此时,角加速度 ? =0 (2)当 ? =45? 时, ? ? 2l

?

?

故转轴所受水平分力为零,

1 14 ? 3 2 mg ,且转轴所受竖直方向分力竖直向下。 4 2? 2? mR 2 ?R?R ? ? 2.65 ?1010 kg ? m 2? ? s ?1 5. L =mv ? R ? m ? ? R ? R ? m ? T T 6.(1) M ? mgx1 ,方向沿 y 轴正方向。 (2) L ? m ? gt ? x1 ? mgx1t ,方向沿 y 轴正方向 ?L ? 6t ? N ? m ? 7.(1) M ? ?t L ? 0.06t 2 ? rad / s ? (2)由 L ? mv ? R ? m ? ?R ? R ? m?R 2 ,得 ? ? mR 2
而 N ? =2mg ? 2mar cos 45 ?
?

?

?