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3.2


3.2 立体几何中的向量方法(第一课时)
一、教学目标 1.知识与技能目标: 理解直线的方向向量与平面的法向量的基础上,探究用空间向
量表示立体几何中的平行、垂直和夹角,并能用向量语言描述平行与垂直关系,能用向量方 法证明有关直线平面位置关系的一些定理;

2.过程与方法目标 :体会向量方法在研究立体几何图形中的作用,进一步体会数

>形结合的思想方法.使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的

能力. 3.情感态度价值观 : 培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品

质,在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育. 二、教学重点与难点 重点:直线的方向向量与平面的法向量,用向量语言描述平行与垂直关系 难点:理解向量运算的作用 三、教学方法:学导式 四、教学用具:直尺 五、教学过程:

1、创设情景
前面,我们主要是利用向量的运算解决了立体几何中关于直线的问题,如: 两直线垂直问题;两直线的夹角问题;特殊线段的长的问题等等…… 若再加入平面,会出现更多的的问题,如:线面、面面的位置关系问题;线 面的夹角问题; 二面角的问题等等……而且都是立体几何中的重要问题,这些问 题用向量的知识怎样来解决呢?直线可由其方向向量确定并由其来解决相关的 问题,平面又由怎样的向量来确定呢?

1、如何确定一个点在空间的位置? 2、在空间中给一个定点 A 和一个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗? 3、给一个定点和两个定方向(向量) ,能确定一个平面在空间的位置吗? 4、给一个定点和一个定方向,能确定一个平面在空间的位置吗? 加强引导学生通过自己的思考,得到结论①空间中给定一个定点和一个定方向,能确 定一条直线在空间的位置;②给一个定点和两个定方向(向量) ,能确定一个平面在空间中 的位置.

图 1 ,在空间中,我们取一个定点 O 作为基点,那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量

OP 来表示,我们把向量 OP 称为点 P 的位置向量
图 2,空间中任意一条直线可以由 L 上一个定点 A 以及一个定方向确定。点 A 是直线 L 上的一个点,向量 a 表现直线 L 的方向,在直线 L 上取 一点 P,一定存在实数 t,使得 这时点 P 的位置被

AB ? a ,那么对于直线 L 上任意

AP ?

ta

t 的值完全确定;当 t 在实数集中取遍所有值时,点 P 的轨迹是通

过点 A 且平行于向量 a 的一条直线 l 图 3,空间中平面 A 位置可以由啊 内两条相交直线来确定。设两条直线相交于点 O,它 们的方向向量分别是 序实数对 (x,y) , 使得

a 和 b ,P 为平面 ? 上任意一点,由平面向量基本定理可得,存在有
点 O 与向量 a 和 b 不仅可以确定平面 ? 的 op ? xa ? yb 。这样,

位置,还可以具体表示出 ? 内的任意一点. 图 4,类似于直线的方向向量,我们还可以用平面的法向量表示空间中平面的位置,直 线l ? ? , 取直线 l 的方向向量 a , 则向量 a 叫做平面 ? 的法向量.给定一点 A 和一个向量,

a 那么,过点 A,以向量 a 为法向量的平面是完全确定的。
由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量,可以归纳如下结论: 设直线 l1,l2 的方向向量分别为 a , b ,平面 α ,β 的法向量分别为 u , v ,则 线线平行:l1∥l2

a ∥ b ? a ? ?b (? ? 0) ;
a ?u

线面平行:l1∥平面 α

? a ? u =0 ;

面面平行:平面 α ∥平面 β 线线垂直:l1⊥l2

u ∥ v ? u ? ? v (? ? 0) ;

a ⊥b

? a ? b =0 ;

线面垂直:l1⊥平面 α 面面垂直:平面 α ⊥β

a∥u

? a ? ?u (? ? 0) ;
? u ? v =0 .

u ⊥v

【定理】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行已知:直 线

,

a2 , b2 , c2
该满足什么关系? 1) 直线 l 和平面 ? 垂直, a1 , b1 , c1 和 a2 , b2 , c2 应该满足什么关系?



2) 直线 l 和平面 ? 所成的角是 ? , 能用 u ? (a1, b1, c1 ) 和 v ? (a2 , b2 , c2 ) 把 ? 表 示出来吗?


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