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广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件:专题1 第04课时 指数函数 对数函数 幂函数


专题一 函数、导数与不等式

1

考点1 基本初等函数的图象
xa x 例1 函数y ? ) ? 0 ? a ? 1?的图象的大致形状是(    x

2

切入点: 考察函数的图象应关注特殊点、研究 函数的性质、化归为熟悉的初等函数的图象.
解析 函数的定义域为{x | x

? R,x ? 0},
x

?a x ? x ? 0? xa 且y ? ?? x . | x | ??a ? x ? 0? 当x ? 0时,函数是一个指数函数,其底数 满足0 ? a ? 1,所以,函数递减; 当x ? 0时,函数的图象与y ? a x的图象( x ? 0 的部分)关于x轴对称,呈递增趋势,所以应选D.
3

1.重视基本函数的图象特征的把握. 2.排除法是处理图象选择题的重要方 法.已知函数的图象特征与所给函数的图象特 征不相符时即可排除.

4

变式1 幂函数y ? x a,当a取不同的正数时,在区间

? 0,1? 上它们的图象是一族美丽的曲线(如图).设点A ?1, 0 ?,B ? 0,1?,连接AB,线段AB恰好被其中的两个
幂函数y ? x?,y ? x ?的图象三等分,即有BM ? MN ? NA,那么? ? ? 等于 ? A. 1 C. 3 B. 2 D.无法确定

?

5

1 2 2 1 解析 方法1:由已知条件,得M ( , ),N ( , ), 3 3 3 3 1 2 ? 2 1 ? 1 2 可得 ? ( ) , ? ( ) ,即? ? log 2 ,? ? log 1 . 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 lg lg 1 2 所以? ? ? ? log 2 ? log 1 ? 3 ? 3 ? 1. 3 3 lg 2 lg 1 3 3 3 3

6

1 2 ? 2 1 ? 方法2:由方法1得 ? ( ) , ? ( ) , 3 3 3 3 1 ? ?? 1 ? ? 2 ? 1 则( ) ? [( ) ] ? ( ) ? , 3 3 3 3 所以? ? ? ? 1.

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考点2 基本初等函数的性质
例2 下列4个命题 1 x 1 x p1:?x ? (0, ? ), ) ? ( ) ? ( 2 3 p2:?x ? ? 0,1?,log 1 x ? log 1 x
2 3

1 x p3:?x ? (0, ?), ) ? log 1 x ? ( 2 2 1 1 x p4:?x ? (0, ), ) ? log 1 x ( 3 2 3 其中的真命题是(    ) A. p1,p3 B. p1,p4 C. p2,p3 D. p2,p4
8

切入点: 本题主要考查幂函数、指数函数、 对数函数的图象与性质,可借助其图象和 性质进行判断.
解析 对于p1:?? ? (0, ?), ?

因为,幂函数y ? x? 在(0, ?)上为增函数, ? 1 1 1 a 1 a 又 ? ,所以( ) ? ( ) , 2 3 2 3 故p1为假命题;
9

对于p2:作出y ? log 1 x与y ? log 1 x的图象,如下图.
2 3

由图象可知,对?x ? ? 0,1?,都有log 1 x ? log 1 x,
2 3

故p2为真命题.
10

1 x 对于p3,作出y ? ( ) 与y ? log 1 x的图象,如下图. 2 2

1 x 由图象知,当x ? (0,x0 )时, ) ? log 1 x; ( 2 2 1 x 当x ? ( x0, ?), ) ? log 1 x, ? ( 2 2 故p3是假命题.
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1 1 x 对于p4,?x ? (0,), ) ? 1; ( 3 2 1 1 因为log 1 x在(0,)上为减函数,所以log 1 x ? log 1 ? 1. 3 3 3 3 3 1 1 x 所以?x ? (0,), ) ? log 1 x为真命题. ( 3 2 3 由以上推理可知,真命题为p2和p4,故选D.

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1.涉及幂、指、对的大小关系的判断,要注意构 造适当的函数模型,利用相应的图象与性质进行分 析. 2.对幂、指、对三种函数的图象和性质要注意掌 握下述结论: (1)幂函数y=xa ,当a>0时,在(0,+∞)上递增;当 a∈(-∞,0)时,在(0,+∞)上递减. (2)指数函数y=ax 与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互 为反函数,在各自的定义域内具有相同的单调性,即 当a>1时,都为增函数;当0<a<1时,都为减函数. 13

(3)底数a变化对指数函数、对数函数图象的影 响.

当a>1时,底数越大,y=ax 的图象在第一象限 越接近y轴;y=logax的图象在第一象限越接近x轴( 如下图);

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当0<a<1时,底数越小,y=ax 的图象在第二 象限越接近y轴;y=logax的图象在第四象限越接 近x轴(如下图).

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3.作为选择题,本题只要作出两次判断 就可进行选择,如判断p1 是错误的,可排除 选项A和B,则只要判断p3或p4中的一个即可 得出结论.

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变式2 一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量 迅速上升到0.3 mg / mL,在停止喝酒后,血液中 的酒精含量以每小时25%的速度减少.为了保障 交通安全,某地交通规则规定,驾驶员血液中的 酒精含量不得超过0.08 mg / mL.问喝了少量酒的 驾驶员,至少过几小时才能开车?精确到小时) (

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解析

设过x( x ? N* )小时才能开车,

?0.3 ?1 ? 25% ? x ? mg / mL. 此时血液中酒精含量为 ? ? 3 x 4 x 由题意得0.3 ?1 ? 25% ? ? 0.08,即( ) ? . 4 15 3 4 81 4 当x ? 4时, ) ? ( ? ; 4 256 15 3 5 243 4 当x ? 5时, ) ? ( ? . 4 1024 15 3 x 由于y ? ( ) 为减函数,故4 ? x ? 5. 4 即至少要经过5小时才能开车.

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考点3 综合应用
例3 对于在区间[m,n]上有意义的两个函数f ? x ? 与g ? x ?, 若对任意x ? [m,n]均有 f ? x ? ? g ? x ? ? 1,则称f ? x ? 与g ? x ? 在[m,n]上是接近的,否则称f ? x ? 与g ? x ? 在[m,n]上是非 接近的.现有两个函数f1 ? x ? ? log a ( x ? 3a)与f 2 ? x ? ? 1 log a (a ? 0且a ? 1),给定区间[a ? 2,a ? 3]. x?a ?1? 若f1 ? x ? 与f 2 ? x ? 在给定区间[a ? 2,a ? 3]上都有意义,求 a的取值范围;

? 2 ? 讨论f1 ? x ? 与f 2 ? x ? 在给定区间[a ? 2,a ? 3]上是不是接近
的.
19

切入点: ? 利用复合函数的单调性及真数大于零 ?1 即可求出a的范围; ? 根据题意可构造函数g ? x ? ? ?2 f1 ? x ? ? f 2 ? x ?,再解不等式组即知.

解析

?1? 依题意a ? 0且a ? 1,

? a ? 2 ? 3a ? 0 所以 ? ,解得0 ? a ? 1. ?a ? 2 ? a ? 0 所以a的取值范围是 ? 0,1?.
20

? 2 ? f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ?| log a ( x 2 ? 4ax ? 3a 2 ) | , 令 f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ? 1, 得 ? 1 ? log a ( x 2 ? 4ax ? 3a 2 ) ? 1, ? *?
因为0 ? a ? 1,又[a ? 2,a ? 3]在x ? 2a的右侧, 所以g ? x ? ? log a ( x ? 4ax ? 3a )在[a ? 2,a ? 3]上为
2 2

减函数. 从而 ? g ? x ? ? max ? g ? a ? 2 ? ? log a (4 ? 4a), ? ? ? g ? x ? ? min ? g ? a ? 3? ? log a (9 ? 6a ). ? ?
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?log a (4 ? 4a ) ? 1 ? 所以?*? 成立,当且仅当 ?log a (9 ? 6a ) ? ?1, ?0 ? a ? 1 ? 9 ? 57 解得0 ? a ? . 12 9 ? 57 故当0 ? a ? 时,f1 ? x ? 与f 2 ? x ? 在[a ? 2,a ? 3] 12 上是接近的; 9 ? 57 当 ? a ? 1时,f1 ? x ? 与f 2 ? x ? 在[a ? 2,a ? 3]上 12 22 是非接近的.

该题属于信息给予的题目,首先应理解 “接近”与“非接近”的含义,再对含有对数 式的函数的是否“接近”进行研究,转化成含 有对数因式的不等式问题,解不等式即可.

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1 1 3 变式3 已知f ? x ? ? ( x ? ) x (a ? 0且a ? 1). a ?1 2 ?1? 求函数f ? x ?的定义域;

? 2 ? 讨论f ? x ?的奇偶性; ? 3? 求a的取值范围,使f ? x ? ? 0在定义域上恒成立.
解析 1?由于a x ? 1 ? 0,则a x ? 1,得x ? 0. ? 所以函数f ? x ?的定义域为{x | x ? R且x ? 0}.
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? 2 ?由?1? 知f ? x ?的定义域关于原点对称.
对于定义域内任意x,有 1 1 3 f ??x? ? ( ?x ? )??x? a ?1 2 ax 1 3 ?( ? )??x? x 1? a 2 1 1 3 ? ( ?1 ? x ? )??x? a ?1 2 1 1 3 ?( x ? ) x ? f ? x ?. a ?1 2 所以f ? x ? 是偶函数.

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3?当a ? 1时,对x ? 0,由指数函数的性质知a x ? 1, ? 1 1 所以a ? 1 ? 0, x ? ? 0. a ?1 2
x

1 1 又当x ? 0时,x ? 0,所以x ( x ? ) ? 0, a ?1 2 即当x ? 0时,f ? x ? ? 0.
3 3

又由? 2 ?,知f ? x ? 为偶函数,则f ? ? x ? ? f ? x ?, 故当x ? 0时, x ? 0,有f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0成立. ? 综上,知当a ? 1时,f ? x ? ? 0在定义域上恒成立.
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? a x ? 1? x3 当0 ? a ? 1时,f ? x ? ? . x 2? a ? 1? 当x ? 0时,? a x ? 0,a x ? 1 ? 0,a x ? 1 ? 0,x 3 ? 0, 1 此时,f ? x ? ? 0,不满足题意; 当x ? 0时, x ? 0,f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0,也不满足题意. ? 综上,a的取值范围是(1, ?). ?

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1.单调性是指数函数、对数函数、幂函数的重 要性质,涉及大小关系问题时,要注意充分利用其单 调性. 2.要注意指数函数y=ax 、对数函数y=logax的底 数a(a>0,a≠1)对单调性的影响,必要时要进行分类 讨论. 3.研究复合函数y=af(x)型、y=logaf(x)型的问题时, 一般用换元法.令t=f(x),转化为对y=at或y=logat的研 究.另外在研究复合函数y=logaf(x)时,一定要注意 f(x)>0这一隐含条件对解题的影响.
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