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2015高三数学解答题强化(1)(教师)


2015 高三数学解答题强化(1)
1.如图, O 为坐标原点,点 A, B, C 均在 圆M 上,点 A ( , ) ,点 B 在 第二象限,点 C (1, 0) . (Ⅰ)设 ?COA ? ? ,求 sin 2? 的值; (Ⅱ)若 ?AOB 为等边三角形,求点 B 的坐标.
19.(本题满分 12 分) (I) .因为 cos ?

3

4 5 5

y B A

O

C

x

3 4 ? ,sin ? ? ,所以 5 5 24 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? (6 分) 25

( II ) 因为 ?AOB 为等边三角形 , 所以 ?AOC

? 60 , 所以 cos ?BOC ? cos(?AOC ? 60 )

?

3? 4 3 10
同理, sin ?BOC ?

4?3 3 3? 4 3 4 ?3 3 , ) ,故点 A 的坐标为 ( 10 10 10

(6 分)

20.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(Ⅰ)小题 7 分,第(Ⅱ)小题 7 分 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三 角形,?BAC ? 90° , O 为 BC 中点. (Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; S
[来源:Zxxk.Com]

(Ⅱ) (理)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值.

( I ) 由题设

AB= AC= SB= SC ? SA ,连结
O

△ ABC 为等腰直角三角形,所以

C

OA ,

2 OA ? OB ? OC ? SA , 2
且 AO ? BC ,又 △ SBC 为等腰三角形,

B

A

SO ? BC ,且 SO ?

2 SA ,从而 OA2 ? SO2 ? SA2 . 所 2
BO ? O .

以 △ SOA 为直角三角形, SO ? AO .又 AO 所以 SO ? 平面 ABC . (7 分)

(II)取 SC 中点 M ,连结 AM,OM ,由(Ⅰ)知 SO ? OC,SA ?

AC ,

得 OM ? SC,AM ? SC .∴ ?OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角. 由 AO ? BC,AO ? SO,SO BC ? O 得 AO ? 平面 SBC . 所以 AO ? OM ,又 AM ?

3 AO 2 6 SA ,故 sin ?AMO ? .所以二面角 ? ? 2 AM 3 3

A ? SC ? B 的余弦值为

3 (7 分) 3

19. (本题满分 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分) 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形, ?BAC ? 90° , O 为 BC 中点. (1)证明: SO ? 平面 ABC ; (2)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值.
O

S

C

B
19. (本题满分 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分)

A

(1)由题设 AB= AC = SB= SC ? SA ,连结 OA , △ ABC 为等腰直角三角形,所以

OA ? OB ? OC ?

2 SA ,且 AO ? BC ,又 △SBC 为等腰三角形, 2
2 SA ,从而 OA2 ? SO2 ? SA2 . 所 2

SO ? BC ,且 SO ?

以 △ SOA 为直角三角形, SO ? AO .又 AO BO ? O . 所以 SO ? 平面 ABC . (2)取 SC 中点 M ,连结 AM,OM ,由(1)知 SO ? OC,SA ? AC , 得 OM ? SC,AM ? SC .∴ ?OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角. 由 AO ? BC,AO ? SO,SO BC ? O 得 AO ? 平面 SBC . 所以 AO ? OM ,又 AM ?

3 AO 2 6 SA ,故 sin ?AMO ? .所以二面角 ? ? 2 AM 3 3

A ? SC ? B 的余弦值为

3 3

20.(本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 已知 A、 B 分别在射线 CM 、CN (不含端点 C )上运动, ?MCN ? 角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c . (1)若 a 、 b 、 c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值; (2)若 c ? 3 , ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长,并求周长的最大值.
M A

2 ? ,在 ?ABC 中, 3

θ

20.(本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 (1)

N

B

C

8 分)

a 、 b 、 c 成等差,且公差为 2,
?MCN ? 2 1 ? , cos C ? ? , 3 2
2 2

? a ? c ? 4、b ? c ? 2 . 又

a 2 ? b2 ? c2 1 ? ?? , 2ab 2
2

? c ? 4? ? ? c ? 2? ? c2 ? 2 ? c ? 4 ?? c ? 2 ?

1 ?? , 2

恒等变形得 c ? 9c ? 14 ? 0 ,解得 c ? 7 或 c ? 2 .又 (2)在 ?ABC 中,

c ? 4 ,? c ? 7 .

AC BC AB ? ? sin ?ABC sin ?BAC sin ?ACB



?

AC ? sin ?

BC 3 ? ?2 , ?? ? sin 2? sin ? ? ? ? 3 ?3 ?

AC ? 2 sin ? , BC ? 2sin ?

?? ? ? ??. ?3 ?

?? ? ? ?ABC 的周长 f ? ? ? ? AC ? BC ? AB ? 2sin ? ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ?3 ?
?1 ? 3 ?? ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 3 ? 2sin ? ? ? ? ? 3 , 2 3? ? ?2 ?


? ? 2? ? ?? ?? ? 0, ? ,? ? ? ? ? , 3 3 3 ? 3?
?
3 ?

?当? ?

?
2

即? ?

? 时, f ? ? ? 取得最大值 2 ? 3 . 6


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