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19.2.3--2 一次函数与一元一次不等式


1. 解不等式:5x+6>3x+10
2. 当自变量x为何值时,函数y=2x-4值大于0?

这两个问题有什么联系?
问题1中,不等式可化为 2x-4>0, 解得 x>2

问题2中,是要解不等式 2x-4>0, 得出 x>2 时,
这两个问题实际 是同一个问题

函数y=2x-4值大于0.



1. 解不等式:5x+6>3x+10 2. 当自变量x为何值时,函数y=2x-4值大于0?

这两个问题又有什么关系?
1. 是不是所有的一元一次不等式都可以把他转 化为一次函数后再解决相关的问题呢? 2. 它在函数图像上怎么表示什么呢? 3. 如何通过函数图像来求解一元一次不等式? 。。。这就是我们这一节要学习的问题.

一次函数与一元一次不等式
务川博文中学









1、了解一次函数与一元一次不等式的联系; 2、会用图象法来求一元一次不等式的解集。

知识回顾
y 我们知道,一次函数的图象是一条直 4 线 请画出一次函数y=2x–5的图像。 3 2 解: 列表 1

y ? 2x ? 5

x 0 2.5 y –5 0

描点
连线

-2 -1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6

1 2

3 4

x

探索知识1

是从函数图像的角度进行求解。
y 4 3 2 1 -2 -1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6

观察一次函数y=2x-5的图象 图像回答下列问题:

y ? 2x ? 5
(4, 3) x

(1)x取何值时, y =0? x=2.5时,y=0

(2)x取哪些值时, y >0? x>2.5时,y>0
(3)x取哪些值时, y <0? x<2.5时,y<0 (4)x取哪些值时, y >3? x>4时,y>3
思考

1 2

3 4

(2.5, 0)

能否将上述 “关于函数值的 问题 ” , 由此可知:通过函数图像可以求不等式的解集

将“一次函数值的问题”改为“一次不等式的问题”
观察一次函数 y = 2x - 5 的图象回 答下列问题: (1) x 取哪些值时, y 2x-5 =0 ? (2) x 取哪些值时, y 2x->0 5 ?
y

3 2 1 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6

y ? 2x ? 5

(3) x 取哪些值时, y <0 2x5 ?
(4) x 取哪些值时, y >3 ? 2x-5
因为 y = 2x – 5,

1 2 3 4 x (2.5 , 0)

所以,将(1)~(4) 中的 y 换成 2x-5, 则, 原题“关于一次函数的值的问题” 就变成了“关于一次不等式的问 题”

根据一次函数 y = 2x - 5 的图象核 对问题: (1)x取何值时,2x–5y =0?

探索知识2

是从方程、不等式的角度进行求解。

x=2.5时,2x–5=0 (2)x取哪些值时,2x–5 y >0? x>2.5时,2x–5>0

y 4 3 2 1

y ? 2x ? 5
(4, 3)
1 2 3 4 x

2x–5y <0? -2 -1 0 (3)x取哪些值时, –1 x<2.5时,2x–5<0 –2 (4)x取哪些值时,2x–5 y >3? –3 x>4时,2x–5>3 –4
反过来 想一想

(2.5, 0)

–5 能否把 “关于一次不等式的问题” –6 变换成 “关于一次函数的值的问题”?

将“一次不等式的问题”改为“一次函数值的问题”
一元一次不等式2x-5>0与一次函数y=2x-5之间的关联 x取何值时,2x-5>0
解不等式 2x-5>0 的解集是 x>2.5,把它表 对于一次函数 y =2x-5,我们建立直 示在数轴上为: 角系,画出函数图象 求不等式2x-5>0的解集实质就是求x 取何值时,2x-5>0,即就是一次函数中x 取何值时, y>0 。意思就是在函数图象上 纵坐标y的值是 时,函数图像上的点所 正数 对应的横坐标x的值是多少? -2 在函数图象上我们不难看到纵坐标y的值是正 正半轴上 数时即纵坐标y的值在的 ,对应的函 x轴的上方 数图象在 ,这部分函数图象对应的 横坐标x的值是 的实数。 x >2.5 所以在函数图象上当x >2.5时,y>0。即 上当x >2.5时, 2x-5>0。
6

y



5
4 3 2 1
-1 -1 0



1

2

3

4

5

6

x

-2
-3 -4 -5 -6

(2.5 , 0)

(0 , -5)

“关于x的不等式的问题”转化为“关于函数值的问题 ”

问题3:

观察函数y=2x-5的图象回答下列问题:
(1) x取何值时,2x-5=0? 即(?,0) x取何值时, y=0 (2)x取哪些值时, 2x-5>0? x取哪些值时, y>0 即(?,y>0) (3) x取哪些值时, 2x-5<0? x取哪些值时, y<0
6 5 4

y



3
2

即(?,y <0) 1 (3)意思就是在函数图象上纵坐标y -2 -1 -1 0 的值是 负数 时,函数图像上的点所对 -2 应的横坐标x的值是多少? -3 在函数图象上我们不难看到纵坐标y的值是负数 -4 时,纵坐标y的值在y轴的 负半轴上 ,对应的函 -5 数图象在 x轴的下方 ,这部分函数图象对应的 -6 x >2.5 横坐标x的值是 的实数。

1

2

3

4

5

6

x

“关于x 的不等式的问题”转化为 “关于函数值的问题 ”
问题4:

观察函数y=2x-5的图象,回答下列问题:
(1) (2) (3) (4) x取何值时,2x-5=0? x取哪些值时, 2x-5>0? x取哪些值时, 2x-5<0? x取哪些值时, 2x-5>3? 即(?,y>3)
-2

6 5 4 3 2 1

y



x取哪些值时, y>3

(4 , 3)
0 1 2 3 4 5 6

意思就是在函数图象上纵坐标y的值 大于3 函数图像上的点所对应的横坐标x的值是多少?

时, -1
-1

x

过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴这条直线, 与y=2x-5相交于点 (4 , 3) ,在函数图象上我 们不难看到纵坐标y的值大于3时,纵坐标y的值在y轴 上 大于3 以上的部分,对应的函数图象 在 直线y=3的上方 ,这部分函数图象对应的横坐 x >4 标x的值是 的实数。

-2
-3 -4 -5 -6

解决问题:
问题1:解不等式2x-5>0 问题2: 自变量为何值时,函数y=2x-5的值大于0? 思考: 问题1与问题2有什么关系?
虽然表达的方式不同,但是结果一样。两个问题实际上 是同一个问题,因为问题1是直接求不等式2x-5 >0的 解集,解得X>2.5,是从不等式角度进行求解。 而问题2是考虑当函数 y=2x-5的函数值大于0时,自变 量X的取值范围,是通过转化为列不等式 2x-5> 0求解, 解得X>2.5,是从函数的角度进行求解。

由上述讨论得知:
“关于一次函数的值的问题” 可变换成 “关于一次不等式的问题” ; 反过来, “关于一次不等式的问题” 可变换成 “关于一次函数的值的问题”。
因此, 我们既可以运用函数图象解不等式 , 也可以运用解不等式帮助研究函数问题 , 二者相互渗透 ,互相作用。

函数与不等式、方程是紧密联系着 的一个整体 。

思考: 问题1:解不等式ax+b>0
问题2:求自变量x在什么范围内,一次函数 y=ax+b的值大于0 解一元一次不等式可以: 上面两个问题有什么关系?

从数的角度看,就是求一次函数y= ax+b的 从实践中得出,由于任何一元一次 值大于或小于 0时相应的自变量的取值范围;

不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0 (a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一 从形的角度看,就是确定直线y=ax+b在x轴上 元一次不等式可以看作:当一次函数 (或下)方部分所有的点的横坐标所构成的 y=ax+b的值大于0(或小于0)时,求自 集合。 变量相应的取值范围。

归纳、概括
转化思想:
一次函数问题 一次不等式(方程)问题 转化 由于任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0或ax +b <0(a,b为常数,a≠0)的形式,
任 意 一 元 一 次 不 等 式

ax+b>0


“数”:当一次函数y=ax+b的 值大于0 (小于0 )时, 求自变 量x相应的取值范围. “形” : 求直线y=ax+b 在x轴的 上方(下方)部分所有点的横坐 标的取值范围.

ax+b<0

试一试(根据一次函数与不等式的关系填空):
(1) 解不等式3x-6<0,可看作
求一次函数y=3x-6的函数值

小于0的自变量的取值范围。

(2)“当自变量x取何值时,函 数y=3x+8的值大于0”可看作 求不等式3x+8>0的解集。

例 根据下列一次函数的图像,直接写出下列不等式 y 的解集 y=3x+6 y
y=-x+3
-2 x

3 x

(1)3x+6>0 (即y>0) X>-2

(2)3x+6 ≤0 (即y≤0) X≤-2

(3) –x+3 ≥0 (即y≥0) x≤3 (4) –x+3<0 (即y<0) x>3

5 练习:利用y= ? x ? 5 的图像,直接写出: 2 y

5

2
5 (1)方程 ? x ? 5 ? 0的解 2

5 y= ? x+5 2
x

X=2 X<2

(即y=0)

5 (3)不等式 ? x ? 5 ? 0的解 2

X>2 X<0

(即y<0) (即y>5)

5 ( 2)不等式 ? x ? 5 ? 0的解集 2

(即y>0)

5 ( 4)不等式 ? x ? 5 ? 5的解集 2

例如:我们3 从函数图象来看:
画出函数 的图象, 2 根据图象,指出: (1)x取什么值时,函数值y等于零? (2)x取什么值时,函数值y大于零? y 解:观察图象可得
5 4 3 2 1

y?

x?3

3 y ? x?3 2

(1)当x=-2时,y=0

-4 -3 -2 -1O -1 (2)当x>-2时,y>0 -2 -3 -4

1 2 3 4 5

x

3 y ? x?3 画出函数 的图象, 2 根据图象,指出: (1)x取什么值时,函数值y等于零? (2)x取什么值时,函数值y始终大于零? 3 解: (1) 当y=0时 2 x ? 3 ? 0

如果不画图象,就这样来解:

∴x=-2 (2) 当y>0时 ∴x>-2
3 x ? 3? 0 2

思考:
3 3 1.一元一次方程 x ? 3 ? 0的解与函数y ? x ? 3的图象 2 2 有什么关系? y5 3 y ? x?3 2 4 3

一元一次方程 x ? 3 ? 0 2 3 的解就是直线y ? x ? 3 2 上当y ? 0时对应的点的 横坐标x的值。

3 2 1 -4 -3 -2 -1O -1 -2 1 2 3 4 5

x

3 3 2.不等式 x ? 3? 0的解集与函数y ? x ? 3的图 2 2 象有什么关系? y 3
3 不等式 x ? 3? 0的解集 2 3 就是直线y ? x ? 3在 2 x轴上方的部分所对应 的x的取值范围。
由此可知:一次函数与一元一次不等式、一元一次方程有密切的联系。可以
运用函数图象解不等式,也可以运用解不等式帮助研究函数问题。所以解一元一次不等 式可以看作:当一次函数值大于(或小于)0时,求自变量相应的取值范围。

5 4 3 2 1

y?

2

x?3

-4 -3 -2 -1O -1 -2

1 2 3 4 5

x

例1.函数y=-2x-5,当x取何值时,y>0 ?
解一: 图象法 由图象可知,
y 4 y=-2x-5 3 2 1

当x<-2.5时, y>0

x 1 2 3 4

-3 -2 -1 0 -1 解二:代数法 -2 -3 当y>0时,则有-2x-5>0 -4 解得 x<-2.5 -5



当x<-2.5时,

y >0 .

变一变:函数y=kx+b的图象如图所示,根据图象
回答,当x取何值时,y<0 ? 解: 图象法
y 4 3 2 1 1

y=kx+b
x

由图象可知, 当x<-1时, y<0

-3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5

2 3

4

例2.作出函数y1=2x-4, 7 y2=-2x+8图象,并根据 6 图象回答下列问题: 5 当x取何值时, 4 (1)y1=0,y2=0 3 (2)y2 >0 2 1 (3)y1=y2 (4)y1 > y -1 0 < ≤y 2 1 2 -1 解: (1)当x=2时,y1=0 -2 当x=4时,y2=0 -3 (2)当x<4时,y2>0 -4

8

y
y1=2x-4

1

2

3

4

5

x

y2=-2x+8

(3)当x=3时,y1=y2 ( 44 )当 )当 xx > < 33 时, 时, yy < yy ( )当x≤3时, 1> 22 1≤y

8

(5)y1 >0与y2 >0 7 能够同时成立? 6 5 (6)求出函数 y1=2x-4,y2=-2x+8图象 4 3 与x轴所围成的三角形 2 面积。

y
y1=2x-4

C A
1 2

解: (5)当2<x<4时 y1 >0 与 y2 >0 能够同时成立。
(6)作CD⊥AB于D, 点 c(3,2)

1 -1 0 -1 -2 -3 -4

B
3D 4 5

x

y2=-2x+8
1 S△ABC= ? 4 ? 2 ? 2 ? 2 2

例3.已知函数y=2x+1,根据它的图象回答下列问题.

(1)x取什么值时,函数值y为5?
(2)x取什么值时,函数值y大于3? (3)x取什么值时,函数值y小于3? 解:作出函数y=2x+1的图象

y=2x+1
y=3

从图中可知: (1)当x=2时,函数值y为5。
(2)作直线y=3(如图) 当x>1时,函数值y大于3 (3)当x<1时,函数值y小于3。

用画函数图象的方法解不等式:

5x+4<2x+10
解法一: 不等式化为 3x-6 <0
画出函数y=3x-6的图像 由图像可以看出: 当 x<2 时这条直线上的点 在x轴的下方, 这时 y=3x-6 <0
0

y

y=3x-6
2

x

∴ 此不等式的解集为x <2

-6

解法二: 把 5x+4<2x+10 看做两个 一次函数y=5x+4和y=2x+10, 画出y=5x+4和y=2x+10的图像.

y

14

由图像可知 它们的交点的横坐标为2.
当x <2时直线y=5x+4 上的点 都在直线y=2x+10的下方.

10

4

即5x+4<2x+10
∴此不等式的解集为

x <2

y=2x+10

-5

0

2

x

y=5x+4

两种解不等式的方法都是把不等 y 式转化为,比较在直线上点的位置的 高低 14
y y=3x-6 10
0 2

x

4

-6

y=2x+10

-5

0

2

x

y=5x+4

知识拓展
2、看图象解不等式

5 x ? 3 ? 3 x ? 1 y=3x+1
7

y

从图中看出,当x>2时, 直线y=5x-3上的点在直线 y=3x+1上相应点的 上方 , 即5x-3>3x+1,所以不等式 的解集为 x>2 。

y=5x-3

o

2

x

当堂检测

1.如图是一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 的图象,则关于x的方程 kx ? b ? 0 的解为

x =2

;关于x的不等式

kx ? b ? 0 的解集为
的解集为

x >2




关于x的不等式 kx ? b ? 0

x <2

当堂检测
5 2.若关于x的不等式 kx ? b ? 0 的解集为 x ? ? 2 5 则一次函数 y ? kx ? b 当 x ? ? 时,图象在 2 5 上方 x轴_________;当 x ? ? 时,图象在x轴______. 下方 2
分析:可以画出函数草图进行解答

当堂检测
3.如右图, 一次函数 y ? kx ? b(k ? 0)的图象 经过点P(?3,?2) ,则关于x的不 等式 kx ? b ? ?2 的解集为 x<-2 ________________. 分析:即求y>-2时x的取值范围

1、已知函数Y=3X+8,当X————————,函数

=

> 的值等于0。当X———————— ,函数的值大于0。当 X———————— ≤- 2 ,函数的值不大于2。 2、如图,直线L1, L2交于一点P,若y1 ≥y2 ,则( B)
A.x


3

B.x ≤3
C.2 ≤ x ≤ 3

D.x ≤ 4

根据下列一次函数的图象,你能写出 哪些不等式?并直接写出相应的不等式 的解集。
3x+6>0 ( x>- 2)
y

Y=3x+6

3x+6<0 ( x<- 2) 3x+6≥0 ( x ≥- 2) 3x+6≤0 ( x ≤ - 2)

-2

0

x

新知应用:
例1.用画函数图象的方法解不等式
5x+4<2x+10

解(方法二):将原不等式的两边分别看成两个 一次函数,画出直线y1=5x+4与直线 y2=2x+10的图像, 可以看出,它们交点的横坐标为2,
y
Y2=2X+10

当X<2时,对于同一个X,直线
y1=5X+4上的点在直线

你能有几种方法 y2=2X+10上相应点的下方,这时
-2

0 2

x

解不等式 5X+4 < 2X+10,所以不等式的解 集为X<2。 5x+4<2x+10

Y1=5x+4

例题分析
例3.一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式:方式A以每分0.1 元的价格按上网时间计费;方式B除收月基费20元外再以每分0.05元的 价格按上网时间计费.如何选择收费方式能使上网者更合算?
解:设上网时间为x分,若按方式A的计 0.1x 费y= 元;若按方式B的计费 0.05x+20元,在同一直角坐标系 y= 中的图像如图所示: 解方程组 解得

所以两图象的交点坐标为 (400,20) 。

例题分析
A的收费 B的收费 当 0<x<400时, < B的收费 当 x = 400 时, A的收费 = A的收费 当 0 > 400时, > B的收费 因此,当一个月内上网时间少于400分时, 选择方式 A 合算; 当一个月内上网时间等于400分时, 选择方式 A或B 合算; 当一个月内上网时间多于400分时, 选择方式 合算。 B

课堂小结
1、转化思想: 一次函数问题 转化 一次不等式问题

2、求函数问题的方法: (1)图像法: 画出函数图像解决函数问题; (2)列式法: 列不等式求解集解决函数问题。

例5.兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9m,然后自己才 开始跑。已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m。列 出函数关系式,作出函数图象,观察图象回答下 列问题: (1)何时哥哥追上弟弟? (2)何时弟弟跑在哥哥前面? (3)何时哥哥跑在弟弟前面? (4)谁先跑过20m?谁先跑过100m? 解:设兄弟俩赛跑的时间为x秒
哥哥跑过的路程为y1,弟弟跑过的路程为y2.

根据题意得, y1=4x,

y2=3x+9.

(1)何时哥哥追上弟弟? 9s时,哥哥追上弟弟
(2)何时弟弟跑在哥哥前面?

(3)何时哥哥跑在弟弟前面?
y
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
-2 0 2 4 6 8 10
(m)

y1=4x

y2=3x+9

(2)9s前,弟弟跑在哥哥前面 (3)9s后,哥哥跑在弟弟前面
x (s)

(4)谁先跑过20m?谁先跑过100m?
y
(m)

100 90 80 70

y1=4x

y2=3x+9

60
50 40 30 20 10 -2 0 2 4 6 8 10

(4)由图象知,弟弟先跑 过20m, 哥哥先跑过100m
x (s)

类比:
(1)当x为何值时,y<0
(2)不等式2x+6<0的解集。 小结:任何一个一元一次不等式都可以化为 kx+b>0(或kx+b<0)的形式,所以,一元 一次不等式kx+b>0(或kx+b<0)的解集, 就是使一次函数y= kx+b,当y>0(或y<0) 时x的取值范围。

随堂练习

1

[P126]

1. 当自变量x的取值满足什么条件时, 函数y=3x+8的值满足下列条件? y ( 3) y > 0 ( 4) y< 2
解: (3)画直线 y=3x+8
8

由图象可知 y>0 时对应的 x> -8/3
∴ 当x > -8/3时, y > 0
y=3x+8
8 3

0

x

随堂练习

1

[P126]

1. 当自变量x的取值满足什么条件时, y 函数y=3x+8的值满足下列条件? ( 3) y > 0 ( 4) y< 2
解法二: (4)要使y<2,

6

即3x+8 <2 ,变为3x+6<0 画直线 y=3x+6, 由图象可知
当x<-2时, 3x+6 <0

∴ 当x<-2 时, y<2

y=3x+6 2

0

x

随堂练习

1

[P126]

2. 利用函数图象解出x: (1)5x-1=2x+5 解: 原方程化为 3x-6 =0 画出函数y=3x-6的图像
0

y

y=3x-6 x

2

由图像可以看出:
当 x=2 时, y=0. 即 x=2 时, 3x-6 =0. ∴ 此方程的解为 x =2 -6

随堂练习

1

[P126]

2. 利用函数图象解出x: (2)6x-4<3x+2 解: 不等式化为 3x-6 <0 画出函数y=3x-6的图像 由图像可以看出: 当 x<2 时这条直线上 的点在x轴的下方, 这时 y=3x-6 <0 ∴ 此不等式的解集为x <2

y

y=3x-6 x

0

2

-6

随堂练习

1

[P126]

y
8

2. 利用函数图象解出x: (2)6x-4<3x+2
解法二: 把 6x-4<3x+2 看做两 个一次函数y=6x-4和y=3x+2, 画出y=6x-4 和y=3x+2的图像. 由图像可知 它们的交点的横坐标为2. 当x<2时直线y=6x-4上的点 都在直线y=3x+2的下方. 即6x-4<3x+2 ∴此不等式的解集为x<2

0 2

x

y=3x+2 y=6x-4

习题14.3 [P129:8]
8. 从A地向B地打长途电话,通话3分钟以内收费 2.4元,3分钟后每增加通话时间1分钟加收一元。 通话半小时需要多少费用?

解:设通话时间为x分钟,通话收费为y元.
当0≤x≤3时,y =2.4. 当x>3时,y =2.4+(x-3) =x-0.6. 当x=30时, y =x-0.6 =30-0.6=29.4.

1、若y1=-x+3,y2=3x-4,试确定当x取何值时

(1)y1<y2? 你解答此道题, 可有几种方法
(2)y1=y2? (3)y1>y2? 图象法: 解不等式法:
7方法点睛 当 x> 时,y1<y2 4 过两函数交点作平行于 7 y 轴的直线比较直线两旁两 当x= 时,y1=y2 4 函数图像位置高低,位置高 7 y值大,位置低 y值小。X取 当 x< 时,y1>y2 值以直线与 4 x轴交点为分界 点。

y2 ? 3x ? 4

?

7 5 4 4

y1 ? ?x ? 3

P 20
兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑 9 米,然后自己才开始跑。 已知弟弟每秒跑 3 米,哥哥每秒跑 4 米。 列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题: y哥<y弟 (1) 何时弟弟跑在哥哥前面? y哥=y弟 (2) 何时哥哥刚好追到弟弟? y哥>y弟 (3) 何时哥哥跑在弟弟前面? (4) 谁先跑过 20米?谁先跑过 100米?

设x 为哥哥起跑开始的时间, 则 哥哥与弟弟每人所跑的距离 y (m) 与时间 x (s) 之间的关系式分别是:

y哥=4x y弟=9+3x

y哥= 4x ,y弟= 9+3x .
答案: (1) 从哥哥起跑开始 , 9s 前 弟弟跑在哥哥前面; (2) ) 从哥哥起跑开始,第 9s 刚好追到弟在; (3) 从哥哥起跑开始 , 9s 后哥哥跑弟弟在前面; (3) 弟弟先跑过 20米, 哥哥 先跑过 100米 . 除了运用图象法解之外, 还可直接用不等式求解

一次函数(值)的变化对应着相应自变量的取值范围, 这个取值范围, 既可从一次函数的图象上直观看出(近似值), 也可通过解(方程)不等式而得到(精确值).

“一次函数问题”可转换成 “一次不等式的问题” ;反过来, “一次不等式的问题”可转换成 “一次函数的问题”。 我们既可以运用函数图象解不等式 , 也可以运用解不等式帮助研究函数问题 , 二者相互渗透 ,互相作用。 不等式与 函数 、方程 是紧密联系着 的一个整体 。 对于行程问题 , 应首先建立起“路程关于时间的函数关系 式”, 再通过解不等式得到问题的解; 或先通过解方程求出追及(相遇)的时刻, 再解答相应的问题.

议一议: A、B 两地相距150千米,甲、乙两人骑自行车分别从A、 B 两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶,则他们各自 到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次函数. 1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米. 问:经过多长时间两人相遇 ? 直线型图表示
甲 A
2时,40千米

120千米

1时

B 乙

s甲 ? 20t

s乙 ? 150 ? 30t

用图象法 解 行程问题
A、B 两地相距150千米,甲、 乙两人骑自行车分别从A、B 两地相 向而行。假设他们都保持匀速行驶, 则他们各自到A地的距离s(千米)都是 骑车时间t(时)的一次函数. 1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米. 问 经过多长时间两人相遇 ? 150 (B) 140 120 100 80 60 s

图象表示

s乙 ? 150 ? 30t
l2 l1

s甲 ? 20t

可以分别作出两人 s 与t 之间的关系图象, 20 找出交点的横坐标就行了! 1 2 3 0 (A) 4 t 1 2 3 你明白他的想法吗? 用他的方法做一做, 小明的方法求出的 看看和你的结果一致吗? 结果准确吗?

40

用方程 解 行程问题
A、B 两地相距150千米, 1 时后乙距A地 甲、乙两人骑自行车分别从A、 120千米,即乙的 B 两地同时相向而行。假设他 小彬 速度是 30千米/时, 们都保持匀速行驶,则他们各 2 时后甲距A 地 40千米, 自到A地的距离s(千米)都是骑 故甲的速度是 20千米/时, 车时间t(时)的一次函数. 由此可求出甲、乙两人的 1 时后乙距A地120千米, …… 速度 , 以及 2 时后甲距A地 40千米. 问 经过多长时间两人相遇 ? 你明白他的想法吗? 用他的方法做一做,看 设同时出发后 t 时相遇 , 则 看和你的结果一致吗?
20 t ? 30 t ? 150

?t=3

求出s与t之间的关系式,联立解方程组
A、B 两地相距150千米,甲、乙 两人骑自行车分别从A、B 两地相向 而行。假设他们都保持匀速行驶,则 他们各自到A 地的距离s (千米) 都是 骑车时间 t (时) 的一次函数. 1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米. 问 经过多长时间两人相遇 ? 对于乙,s 是t 的一次函数, 可设 s=kt+b。 小颖 当t=0时,s=150; 当t=1时,s=120。将它们分别 代入s=kt+b中,可以求出k、 b的值,也即可以求出乙 s 与t 之间的函数表达式。 同样可求出甲s与t之间的函数 表达式。 再联立这两个表达式,求解方 程组就行了。

你明白他的想法吗? 用他的方法做一做, 看看和你的结果一致吗?

? s ? 20t 消去 s ? ? s ? 150? 30t

t?3

在以上的解题过程中你受到什么启发?
用一元一次方程的 方法可以解决问题 用图象法可以 解决问题

小彬

小明

用作图象的方法可以直 观地获得问题的结果,但 有时却难以准确,为了获 得准确的结果,我们一般 用代数方法。

用方程组的方法可 以解决问题

小颖

思考题:
1.某区中学生足球赛共赛8轮(即每队均 需参赛8场),胜一场得3分,平一场得1 分,负一场得0分。在这次足球联赛中, 17/2 猛虎队踢平的场数是所负场数的2倍,共 得17分,试问该队胜了几场?(要求用图 象法求解) y
4 8/3 2 1

(2004年湖北省国家课改实验区中考题)
解:设:胜x场,负y场,则平2y场。
根据题意得:

? y ? ?1 / 3x ? 8 / 3 ? ? y ? ?3 / 2 x ? 17 / 2

0

2 3

5

x


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