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2006-2013广东高考文科数学立体几何大题

时间:2013-07-24


(2006)17、(本题 14 分)如图 5 所示, AF 、 DE 分 别世 ? O 、? O1 的直径, AD 与两圆所在的平面均 垂 直 , AD ? 8 . BC 是 ? O 的 直 径 ,
A B ? A? C , OE // AD . 6

D

O1

E

(I)求二面角 B ? AD ? F 的大小; (II)求直线 BD 与 EF 所成的角. 17、解:(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直, ∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD 是二面角 B—AD —F 的平面角, 依题意可知,ABCD 是正方形,所以∠BAD=450. 即二面角 B—AD—F 的大小为 450;

C

A B

O

F

图5

(Ⅱ)以 O 为原点,BC、AF、OE 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示), 则 O(0,0,0),A(0, ? 3 2 ,0),B( 3 2 ,0,0),D(0, ? 3 2 ,8),E(0,0, 8),F(0, 3 2 ,0) 所以, BD ? (?3 2,?3 2,8), FE ? (0,?3 2,8)

cos ? BD , EF ??
设 异 面 直 线

BD ? FE | BD || FE |
BD 与

?

0 ? 18 ? 64 100 ? 82
EF

?

82 10

所 成 角 为

? , 则

cos? ?| cos ? BD, EF ?|?

82 10 82 10

直线 BD 与 EF 所成的角为 arccos

(2007) 17.(本小题满分12分) 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主 视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该儿何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S 【解析】画出直观图并就该图作必要的说明. …………………3 分 (2) V ? 64 ……………7分 12分 (3) S ? 40 ? 24 2 ………

P

(2008) 18.(本小题满分 14 分) 如图 5 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆 的内接四边形,其中 BD 是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°, △ADP~△BAD.

A

D

B C

(1)求线段 PD 的长; (2)若 PC= 11 R,求三棱锥 P-ABC 的体积.

图5 18.解:(1)因为 BD 是园的直径,所以 ?BAD ? 90 又△ADP~△BAD.
?

3 ? 4R2 ? AD DP AD 2 ? BD sin 60 ? 4 ? 3R 所以 ? , DP ? ? ? ? 1 BA AD BA ? BD sin 30 ? 2 R ? 2 ? (2)在 Rt ? BCD 中, CD ? BD cos 45 ? 2R 2 2 2 2 2 因为 PD ? CD ? 9R ? 2R ? 11R ? 所以 PD ? CD 又 ?PDA ? 90 所以 PD ? 底面 ABCD ? 3 1 1 2 1 2? 3? 2 S? ABC ? AB ? BC sin ? 60? ? 45? ? ? R ? 2 R ? ? ? ? R ?? ? 2 ? 2 2 2 2 2 ? 4 ? 三棱锥 P ? ABC 体积为 1 1 3 ?1 2 3 ?1 3 VP ? ABC ? ? S? ABC ? PD ? ? R ? 3R ? R 3 3 4 4
(2009) 17.(本小题满分 13 分) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH, 下半部分是长方体 ABCD-EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图 (2)求该安全标识墩的体积 (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为: V ? VP? EFGH ? VABCD? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3
(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH , 又 EG ? HF 又 BD P HF

? cm ?
2

? PO ? HF

? HF ? 平面 PEG ? BD ? 平面 PEG;

(2010) 18.(本小题满分 14 分) 如图 4, 弧AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为
w_w w. k#s5_u.c o*m

线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED , FB = 5a . (1)证明: EB ? FD ; (2)求点 B 到平面 FED 的距离. 18.法一:(1)证明:∵点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, ∴点 B 为圆的圆心 又∵E 是弧 AC 的中点,AC 为直径, ∴ BC ? EB 即 BD ? EB
w_w*w.k_s_5 u .c*o*m

∵ FC ? 平面 BDE , EB ? 平面 BDE , ∴ FC ? EB 又 BD ? 平面 FBD , FC ? 平面 FBD 且 BD ? FC ? C ∴ EB ? 平面

FBD
又∵ FD ? 平面 FBD , ∴ EB ? FD (2)解:设点 B 到平面 FED 的距离(即三棱锥 B ? FED 的高)为 h . ∵ FC ? 平面 BDE , ∴FC 是三棱锥 F-BDE 的高,且三角形 FBC 为直角三角形 由已知可得 BC ? a ,又 FB ?

5a

∴ FC ?

( 5a) 2 ? a 2 ? 2a

在 Rt?BDE 中, BD ? 2a, BE ? a ,故 S ?BDE ? ∴ V F ? BDE ?

1 ? 2a ? a ? a 2 , 2

1 1 2 S ?BDE ? FC ? ? a 2 ? 2a ? a 3 , 3 3 3 又∵ EB ? 平面 FBD ,故三角形 EFB 和三角形 BDE 为直角三角形,
∴ EF ? 6a, DE ? 5a ,在 Rt?FCD 中, FD ?

5a , ∴ S ?FED ?

21 2 a , 2

∵ VF ? BDE ? VB ? FED 即

1 21 2 2 4 21 ? a ? h ? a 3 ,故 h ? a, 3 2 3 21 4 21 a. 21

即点 B 到平面 FED 的距离为 h ?

法二:向量法,此处略,请同学们动手完成。 (2011)18.(本小题满分 13 分) 图 5 所示的集合体是将高为 2,底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一

? ? 半沿切面向右水平平移后得到的.A,A′,B,B′分别为 CD , C ' D' , DE , D' E ' 的中点,
' O1 , O1' , O2,O2 分别为 CD, C ' D ', DE, D ' E ' 的中点.

?

?

(1)证明: O1' , A' , O2 , B 四点共面;
' ' ' (2) G 为 A A′中点, 设 延长\ AO1' 到 H′, 使得 O1' H ' ? AO1' . 证明:BO2 ? 平面H ' B'G'

18.(本小题满分 13 分)

? ? 证明:(1)? A, A?分别为CD, C?D? 中点,
? O1? A? / / O1 A
连接 BO2 ? 直线 BO2 是由直线 AO1 平移得到

? AO1 / / BO2
? O1? A? / / BO2
? O1? , A?, O2 , B 共面。
(2)将 AO1 延长至 H 使得 O1H=O1A, 连接 HO1? , HB, H ?H // ? 由平移性质得 O1?O2? =HB

? BO2? / / HO1?

? ? A?G ? H ?O1? , H ?H ? A?H ?, ?O1? H ?H ? ?GA?H ? ? 2
? ?GA?H ? ? ?O1? H ?H

? ?H ?O1? H ? GH ?A ?
? O1? H ? H ?G ? BO2? ? H ?G

?
2

? O1?O2? ? B ?O2? , O1?O2? ? O2?O2 , B ?O2? ? O2?O2 ? O2? ? O1?O2? ? 平面B ?BO2 O2?

? O1?O2? ? BO2?
? BO2? ? H ?B ?
? H ?B ? ? H ?G ? H ?

? BO2? ? 平面H ?B ?G.

(2012 文数)18.(本小题满分 13 分) 如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB ? 平面 PAD,AB CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 DC 上的点且 DF=

1 AB,PH 为 ? PAD 中 AD 边上的高. 2

(1) 证明:PH ? 平面 ABCD; (2) 若 PH=1,AD= 2 ,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3) 证明:EF ? 平面 PAB.

18、解:
( ) PH为?P AD中的高 1? ? PH ? AD 又AB ? 面P AD, PH ? 平面P AD ? PH ? AB ? PH ? 平面ABCD
(2):过 B 点做 BG BG ? CD,垂足为G ; 连接 HB,取 HB 中点 M,连接 EM,则 EM 是 ?BPH 的中位线
?由(1)知:PH ? 平面ABCD

? EM ? 平面ABCD
?EM? 平面BCF

即 EM 为三棱锥 E - BCF 底面上的高
1 1 EM= PH ? 2 2

S ?BCF ?

1 FC ? BG = 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 2 2

……………………………………………………………

…………6 分
1 VE ? BCF ? ? S BCF ? EM 3 1 2 1 ? ? ? 3 2 2 2 ? 12

………………………………………………………………………………………… ……………………………8 分 (3):取 AB 中点 N,PA 中点 Q,连接 EN,FN,EQ,DQ

? AB // CD , CD ? 平面P AD ? AB ? 平面P AD, PA ? 平面P AD ? AB ? PA 又 ? EN是?P AB的中位线 ? EN // PA ? AB ? EN 1 又 ? DF ? AB 2 ?四边形NADF是距形 ? AB ? FN EN ? FN ? N

? AB ? 平面NEF 又EF ? 平面NEF ? EF ? AB ?四边形NADF是距形 ? AB ? NF NF ? NE ? N ? AB ? 平面NEF

(2013 文数)18.(本小题满分 13 分) 如图 4, 在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D, E 分别是 AB, AC 边上的点,AD ? AE ,F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥

2 A ? BCF ,其中 BC ? . 2
(1) 证明: DE //平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ;ks5u (3) 当 AD ?
A

A

G

E

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3
D G E

D F C

【解析】(1)在等边三角形 ABC 中, AD ? AE

?

AD AE ? ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中 DB EC

B

F 图 4

C

B

也成立,? DE / / BC ,? DE ? 平面 BCF ,

图 5

BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ;
(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ①, BF ? CF ?

1 . 2

? 在三棱锥 A ? BCF 中, BC ? 2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ② 2
? BF ? CF ? F ?CF ? 平面ABF ;

(3)由(1)可知 GE / / CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .

1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? 3 2 ? ? 3 ? 324 ? 3 2 3 2 3 ? ?
【解析】这个题是入门级的题,除了立体几何的内容,还考查了平行线分线段成比例这个平 面几何的内容.


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