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第2章2.1.1指数函数


§2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算

学习目标 1.理解n次方根及根式的概念. 2.理解分数指数幂的含义,掌握根式与分 数指数幂的互化. 3.掌握有理数指数幂的运算性质.

课前自主学案

2.1.1

课堂互动讲练

知能优化训练

/> 课前自主学案

温故夯基 平方根 如果 x3=a, 1. 如果 x2=a, 那么 x 叫做 a 的________; 那么 x 叫做 a 的_________,它们有如下运算性质: 立方根 ?a, a≥0 ? 2 a (1) a =|a|=? ;(2)( a)2=__ (a≥0); ? ?-a, a<0
3 a a (3) a =___;(4)( a) =___.

3

3

3

2.初中学习过的整数指数幂an(n∈N*)表示的意 义为n个a相乘,即a· a· a=an(n∈N*);正整数 a· …· n个a 指数幂具有以下性质: am+n (1)am·n=______ (m,n∈N*); a (2)(am)n=_____ (m,n∈N*); am n

(3)(ab)n=_____ (n∈N*). anbn

知新益能
1.方根 xn=a (1)方根的定义:如果________,那么 x 叫做 a 的 n 次 n>1,且n∈N* 方根,其中_______________. n 0=0 0 记作______; (2)方根的性质: 的任何次方根都是__, ①0 n a ②当 n 是奇数时,实数 a 的 n 次方根,记作_____,并 n n a>0 a<0 且有 a>0 时,______;a<0 时,________;

两个 ③当 n 是偶数时,正数 a 的 n 次方根有______,它 n 相反数 a 们互为________;其中正的 n 次方根用符号____表 n - a 示;负的 n 次方根用符号______表示.因此,正数 n ± a(a>0) a 的偶次方根合并写成____________; 偶次 ④负数没有______方根.

2.根式 n a (1)根式的定义:式子_____叫做根式,这里 n 叫做 根指数 被开方数. ________,a 叫做____________

a (2)根式的性质:①( a)n=___ (n>1,且 n∈N*);
②当 n 为奇数时, a =___; a 当 n 为偶数时, n
?a, ? a =|a|=? ? ?-a,
n

n

n

n

?a≥0? ?a<0?

.

3.分数指数幂

n m (1)正数的正分数指数幂的意义是: n = ______(a>0, a m, a 1 * n∈N ,且 n>1). m n m - a (2)正数的负分数指数幂的意义是:a n =______ (a>0,
m

m,n∈N*,且 n>1). 没有意义. (3)0 的正分数指数幂是__,0 的负分数指数幂__________ 0

问题探究
1.根式一定是无理式吗?
提示:根式不一定为无理式,如 a+1为无 理式,而 ?x+1? 2=|x+1|为有理式.

2.a8=a2成立吗?
4 1

4

1

提示: 不一定.当 a≥0 时,a8=a2成立;当 a<0 时, a 8有意义,而 a2无意义,a8=a2不成立,故分数指数 幂不能随便约分.
4 1 4 1

课堂互动讲练

考点突破 根式的化简与求值
对于根式 a的化简与求值是指对 a 开 n 次方或者利用性质把根指数减小. n

例1

化简下列各式: 5 6 4 7 ?-2?5; ?3-π?6; ?x+2? 4; ?x-7? .
7

(1) (2) (3) (4)

【思路点拨】 解答本题可依据根式的性质 n
?|a| n为大于1的偶数 ? a =? ,完成化简. ?a n为大于1的奇数 ?
n

【解】 (2) 6

(1)
6

5

?-2? =-2.
5

?3-π? = ?π-3? =π-3. ?x+2 ?x≥-2? 4 ? 4 (3) ?x+2? =|x+2|=? . ? ?-x-2 ?x<-2?
6

6

(4)

7

?x-7? =x-7.
7

【名师点拨】 对于形如 a 的化简要分清 n 的 奇偶性及 a 的正负.

n

n

根式与分数指数幂的转化与应用 根式参与其它代数式的计算时,往往需要转化 为分数指数幂的形式.
(1)化简: xy · xy · xy· (xy) (xy≠0); 1 2 ?-4?0 1 - (2)计算:2 2+ + - ?1- 5?0·3. 8 2 2-1
例2

3

2

-1

-1

【思路点拨】 先化简各个分数指数幂,然 后再进行四则运算.

【解】
1 2

(1)原式=[xy · (xy )2] 3· 2· (xy) (xy)
1


2

-1

1 1

1

-1

=x3·3|x|6|y| 6· 2· y |x| |y|
?1 ? =x3· 3=? |x| ?-1 ?
1


1



1



1 2

1

x>0 x<0

.

1 1 (2)原式= + + 2+1-22=2 2-3. 2 2

【名师点拨】 根式化为分数指数幂时,从 里向外,依次转化.

自我挑战 1 (a,b>0).

3 2 -3 化简:(a2· b ) ÷
1 2 1 1

1

b

-4

a

-2

解:原式=(a2·3) ÷ (a )2]2 b [b =a 2· ÷ · 2) b (b a =a
- + -

-3

-4

-2

3

-2

-2



1

3 1

b 2 2·
0

- 2+ 2

1 =a · = . b a
-1

关于指数幂的条件求值 由给出的一个或几个有关指数幂形式的已 知等式,通过代数运算求其它形式的指数 幂的代数式的值.

例3

已知 a2+a 2=3,求下列各式的值:


1



1

(1)a+a 1; -2 2 (2)a +a ;
3 3


a2-a 2 (3) 1 1. - a2-a 2
【思路点拨】 解答本题可从总体上寻求各式 与条件 a2+a 2的联系,进而整体代入求值.
1


1

【解】

(1)将 a2+a 2=3 两边平方,
-1

1



1

得 a+a +2=9, -1 即 a+a =7. -2 2 (2)将上式两边平方,有 a +a +2=49, -2 2 所以 a +a =47. (3)由于 a2-a 2=(a2) -(a 2) , a2-a 2 ?a2-a 2??a+a +a2· 2? a 所以有 1 1= 1 1 - - a2-a 2 a2-a 2
- - -1 -

3



3

1

3



1

3

3

3

1

1

1

1

=a+a 1+1=7+1=8.



【名师点拨】 条件求值是代数式求值中的常见题 型,一般要结合已知条件先化简再求值.另外要特 别注意条件的应用,如条件中的隐含条件等.整体 代入,可以简化解题过程.本题若通过 a2+a 2=3 解出 a,再代入求值将非常复杂.
1


1

互动探究2 若将例题中的条件改为已知a2+a-2 =3,怎样求a+a-1及a3+a-3的值?
解:∵a2+a 2=3,∴(a+a 1)2-2=3, -1 2 -1 ∴(a+a ) =5,∴a+a =± 5. - - - a3+a 3=(a+a 1)(a2-1+a 2) =± 5×(3-1)=± 5. 2
- -

方法感悟 方法技巧 1.解决根式的化简问题,首先要先分清根式为 奇次根式还是偶次根式,然后运用根式性质进行 化简.(如例1) 2.为使开偶次方后不出现符号错误,第一步先 用绝对值表示开方的结果,第二步再去掉绝对值 符号化简,化简时要结合条件或分类讨论.(如 例1(3),例2(1)) 3.一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正 指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数运 算.同时还要注意运算顺序.(如例2)

失误防范 (1)对于多重根式的化简,要搞清被开方数,由里 向外用分数指数幂写出,然后用性质进行化简. (2)在应用分数指数幂的定义时,必须特别注意该 定义的应用范围(即定义的条件): ①底数 a 必须是正实数,即 a>0; ②a n 及 a
m


m

n 中的

m,n 均为正整数且 n>1.

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