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高中物理竞赛辅导参考资料之14


气体分子动理论

本章内容 Contents
平衡态 概率 统计平均值 气体压强与温度的统计意义

chapter 14

equilibrium state , probabiility, statical mean quantity statical meanning of gas pressure an

d temperature

玻耳兹曼分布律

Boltzmann distribution maxwell speed distribution

麦克斯韦速率分布律 气体分子的平均自由程
mean free path of gas molecular

平衡态 平衡态 概率 统计平均值
一气体系统若不受外界影响(无物质 和能量交换)或只受恒定的外力场作用 的条件下,气体系统的宏观特性(如温 度、压强等)长时间不随时间改变的状 态称为平衡态。 处于平衡态中的气体,其分子仍不停 作热运动,但其总体平均效果不随时间 改变,是一种动态平衡。

物态参量 不受(或忽略)恒定外力场作用时, 平衡态气体各部分的宏观性质是均匀的; 只受恒定外力场作用时,平衡态气体的 密度并不均匀。但这两种情况下气体的 宏观性质都不随时间变化。
本章除玻耳兹曼分布一节考虑恒定重力场作用 外,均忽略恒定外力场的作用。

描述平衡态的参量称为物态参量或态 参量。如体积、压强、温度等。

微观与宏观量
热现象与物质的分子运动密切相关。大量 分子的无规则运动称为分子的热运动。
气体的微观量
描述单个分子特征的量(大小、质量和速度等)。

单个气体分子的运动具有偶然性和随机性。

气体的宏观量
表征大量分子宏观特征的量(体积、压强和温度等)。 大量分子运动的集体表现具有统计规律性。

气体的宏观量是大量分子行为的统计平均表现

物态参量之间所满足的关系式称为物态方程 物态方程

理想气体的物态方程:
气体的压强 单位: 帕 单位: 立方米

气体的体积
气体的质量

气体的热力学温度

单位: 开

单位: 千克

气体的摩尔质量 单位: 千克 摩尔 气体常数


mol

8.31 J mol

K
10 Pa

1标准大气压(1atm)=1.103

热力学温度

=(摄氏温度t +273.15)

续上 理想气体的物态方程:
对一定量(mol)的气体
三者只要给定 两个就确定了一个平衡态

图中的一点 代表一个平衡态
若气体受外界影响,某平衡态被 破坏,变为非平衡态。物态随时间 而变化称为过程。
图不能表示非平衡态,也不能表示这种非 平衡情况下的动态变化过程。

准静态过程 准静态过程
若经历非平衡过程后可以 过渡到一个新的平衡态,此 过程称为弛豫,所需时间称 为弛豫时间。 若过程进行得充分缓慢, 使过程中的某一状态到相邻 状态的时间比弛豫时间大得 多,则每一中间态都可近似 地看作平衡态。这样的过程 称为准静态过程。 图中的过程曲线, 都是准静态过程曲线。 平衡态

准静态过程

平衡态

概率
概率

概率 统计平均值

在所有可能发生的事件中,某种事件发生可能性 (或相对机会)的大小。 在很多次的试验中 事件X出现的次数 试验总次数 若可能事件有 种 试验总次数

概率定义式
某事件X 出现的概率

归一化条件

则 种可能事件发生的总次数

各种可能事件的概率之和等于1。称为概率的归一化条件。

概率密度函数

若表示事X的量 可连续变化(例如在某些随机因素影 响下,多次测量某电机的转速可能在某一范围内变化)。
事件出现在 内的概率 与 的位置和 的大小有关 称概率密度或概率密度函数 在 附近单位间 隔内出现的概率

概率密度函数

若函数

的形式已知



等概率假设
在气体动理论中经常用到一些等概率假设,如假设处于 平衡态的气体,每个分子出现在容器内任何一点处的概率 相等;每个分子朝各个方向运动的概率相等(如在直角坐 标中,分子速度的三个分量的各种统计平均值相等)等。

统计平均值
测量值 …

对某量 出现次数 …

进行

次测量,

测量值乘 以出现次数 ……

的统计平均值
… …



值可连续变化



连续变量的平均值等于该量与概率密度函数乘积的积分。

气体微观模型 气体的压强与温度的统计意义
一、理想气体的微观模型
气体分子的大小与分子间的平均距离相 比可以忽略。 分子除碰撞瞬间外,无其它相互作用。

碰撞视为完全弹性碰撞。
这是由气体的共性抽象出来的一个理想 模型。在压力不太大、温度不太低时,与 实际情况附合得很好。

理想气体压强 二、理想气体的压强公式
推导思路 宏观:器壁单位面积所受的压力

微观:大量气体分子频繁碰撞器壁对器壁单位面积的平均冲力
标准状态下 气体的分子数密度 的数量级为 个 个

要考虑分子速度 (大小及方向) 不同的因素

考虑单位时间作 用在单位面积上 的冲量就是压强

亦即

其数量之多已 能很好满足微 观统计的要求

对各种不同速 度间隔的分子 碰壁冲量求和

运用统计平均 值及平衡态概 念得到压强与 微观量的关系

容器盛同种气体,分子质量
射向器壁面元 速度为

压强公式推导 ,居平衡态

的某分子束碰壁后反射

的某分子弹碰中的动量变化为

光 滑 器 壁

反X向 (不与法向平行的速度分量,其相应的动量无变化)

在 时间内,入射分子束斜园柱体的 体积 中速度基本为 其 的分子,都能碰撞器壁一次。 若气体中速度基本为 的分子数密度为 则该组分子与 碰撞而发生的动量变化为

容器盛同种气体,分子质量 ,居平衡态 气体中速度基本为 的分子数密度为 该组分子与 射向器壁面元 碰撞而发生的动量变化为 的某分子束碰壁后反射
速度为 的某分子弹碰中的动量变化为
反X向 (不与法向平行的速度分量,其相应的动量无变化)

续上

光 滑 器 壁

将上式对平衡态气体中从各个不同方 向、以不同速度射向 的各组分子 在 时间内,入射分子束斜园柱体的 求和,其总动量变化为 体积 中速度基本为 其 的分子,都能碰撞器壁一次。
此式包含


(负射向分量)

的分子。只有 相碰。 若气体中速度基本为的分子才能与 的分子数密度为 因平衡态中两者各占一半,故 则该组分子与 碰撞而发生的动量变化为 能与 碰撞的所有分子的总动量变化为

能与 碰撞的所有分子的总动量变化为 气体中速度基本为 的分子数密度为 该组分子与 碰撞而发生的动量变化为

续上

光 滑 器 壁

容器中气 将上式对平衡态气体中从各个不同方 体总体的分 的 统计平均值 向、以不同速度射向 的各组分子 子数密度

求和,其总动量变化为 得

此式包含 分子受器壁 作用的平均冲力为 和 (负射向分量) 应用动量定理, 的分子。只有 的分子才能与 相碰。
壁对气

因平衡态中两者各占一半,故

器壁 碰撞的所有分子的总动量变化为 能与 受气体分子作用的平均冲力
气对壁 壁对气

器壁 受气体分子作用的平均冲力 能与 碰撞的所有分子的总动量变化为
气对壁 壁对气

续上

由于分子向 X、Y、Z方向运动概率相等
可推知 容器中气 又因 体总体的分 子数密度 则

光 滑 器 壁

的 统计平均值

得 得

气对壁

由此推得:

分子受器壁 作用的平均冲力为 应用动量定理,
壁对气 气对壁

理想气体的压强公式

器壁 受气体分子作用的平均冲力 定义 为大量 气体分子的平均平动动能
气对壁 壁对气

压强统计意义 三、理想气体压强的统计意义
理想气体的压强公式
气对壁

定义

为大量 气体分子的平均平动动能

气体的宏观量压强,是大量气体分子作用于器壁的平均冲 力,由微观量的统计平均值 和 决定。 理想气体压强公式是反应大量分子行为的一种统计规律, 并非力学定律,只对个别分子而言,气体压强没有意义。
注: 推导过程中的 在宏观上很小,但在微观上相对于分子的大小 和 和作用时间应当足够大,保证在 时间内有大量分子与 发生 碰撞。 平衡态中同种气体的分子全同,其出现位置和各向运动概率相等,这已 包含了分子之间相互碰撞因素的一种动平衡,推导中不必考虑此类碰撞。

气体温度公式 气体温度的统计意义
理想气体 物态方程 可用另一形式表达

其中

分子质量 总分子数 阿伏伽德罗常数 分子数密度
玻耳兹曼常数


理想气体 压强公式

理想气体的

温度公式
气体分子的平均平动动能

注:

阿伏伽德罗常数 玻耳兹曼常数

6.02 10 23 mol 1 23 1.38 10 J K 1

气 体 温 度 的

温度的统计意义 理想气体的
温度公式
气体分子的平均平动动能

统计意义
气体的热力学温度

与 气体分子的平均平动动能

成正比。

气体的热力学温度可看作是对分子热运动剧 烈程度的量度。 气体的温度是大量分子热运动的集体表现, 离开大量分子,温度失去意义。 具有统计意义。

某氧器瓶内,氧气的压强 温度

凡例

1.00 atm ;分子数密度

27 C

视为理想气体,平衡态

氧分子的平均平动动能



3 2 6.21 10

3 2 1.38 10
21

23

27+273

J

由 3 2
(1atm)=1.103 10 Pa
1标准大气压

2 3 3 1.103 10 2 6.21 10 21
25

5

2.66 10



一个电子经过1伏特电势差加速后所获的

动能为1电子伏特(1ev) = 1.602 10 J 如果某理想气体系统的分子平均平动动能要达到1ev,
其温度将会有多高? 由

虚设联想 19

太阳表面温度

K
标准状态下(0 C,1atm)理想气体的 分子平均平动动能 分子数密度

C

5490 C 难以实现

3.53 10 2 ev 2.92 10 25 个 m

3

玻耳兹曼分布 玻耳兹曼分布律

数学表达

麦氏速率分布 麦克斯韦速率分布律
处于平衡态的气体,其分子沿各向运动的机会均 等,这并非意味着每个分子的运动速率完全相同, 而是大量不同运动速度(大小和方向)的分子,在 一定条件下所形成的一种热动平衡状态。
麦克斯韦速率分布律,是表示气体处于热平衡时, 气体的分子数按速度大小(速率)分布的规律。

首先引用一种简明的实验方法,说明气体的分子 数按速率分布的客观规律性:

实验动态示意 麦氏速率分布实验

麦氏分布实验

速率分布含义

速率分布函数 (速率 附近单位间隔内 的分子数与总分子数之比)

到 + 速率间隔内的分子数

处于

总分 子数

分布曲线

速率分布函数

p p
玻耳兹曼常数, 若m、T 给定, 函数的形式可概括为
曲线

快减

快增

速率分布曲线 有单峰,不对称

两者相乘

速率

恒取正

归一化条件
对分子质量为m 、热力学温度为T 、处于平衡态的气体 速率在 到 区间内的分子数 与总 分子数 之比

若将速率区间扩展至 到
即具有一切可能速率的分 子数与总分子数之比应为

最概然速率

与此函数的极大值对应的速率
令 即

称为最概然速率
易得







不同条件比较

(或 用

) 进行比较

相同

相同

麦克斯韦速率分布律应用举例 平均速率
在讨论气体分子平均自由程问题时涉及到分子的算术平均 速率概念;在讨论平均平动动能时涉及到方均根速率概念。 麦克斯韦速率分布函数就是计算此类速率的概率密度函数。

平均速率(算术平均速率)
根据某连续变量 x 的平均值等于该 量与概率密度函数乘积的积分的定义。

注意到

类似

也有 或

方均根速率 方均根速率 ( 的统计平均值的开平方)
即 作为参与统计平均的连续变量


注意到



回忆 联系
类似
也有



速率小结

特征速率例题 氧气摩尔质量 3.20 10
温度

mol

27 C

处于平衡态


气体分子的

27

273

300 ( k )

394 ( m s ) 447 ( m s ) 483 ( m s )

归一化例题

假设有大量的某种粒子,总数目为N,其速率分布函数为

均为正常数,且

为已知

画出该速率分布函数曲线 根据概率分布函数应满足的基本条件,确定系数 求速率在 区间的粒子数
抛物线方程

+

Max

假设有大量的某种粒子,总数目为N,其速率分布函数为

续上概率分布函数应满足 归一化条件
本题

均为正常数,且

为已知

画出该速率分布函数曲线 根据概率分布函数应满足的基本条件,确定系数 求速率在 区间的粒子数

要求

抛物线方程

+

Max



速率在 区间的粒子数 得

随堂小议 请在放映状态下点击你认为是对的答案
f (v)

① ②

o
则代表氧的分布函数曲线为

v

(1)曲线 ①

(2)曲线 ②

结束选择

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f (v)

① ②

o
则代表氧的分布函数曲线为

v

(1)曲线 ①

(2)曲线 ②

结束选择

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① ②

o
则代表氧的分布函数曲线为

v

(1)曲线 ①

(2)曲线 ②

结束选择

分子平均动能
理想气体

压强 公式 温度 公式

气体分子的平均 平动动能

只是气体分子运动能量的一部分在某方面产生的统计平均效果

如果将原子看成质点,将分子看成是原子的 刚性连接体(刚性分子),则分子的动能除平 动动能外,对于双原子分子和多原子分子还有 转动动能。

分子平均动能的计算,涉及自由度概念:

独立坐标的数目(

确定某物体空间位置所需的 自由度 ),称为该物体的自由度数。

单原子分子
平动自由度

双原子分子
平动自由度
转动自由度

三及多原子分子
平动自由度 转动自由度

能量均分定理
理想气体,平衡态,分子平均平动动能 因 故

每个平动自由度的平均平动动能均为
将等概率假设推广到转动动能,每个转动自由度的 转动能量相等,而且亦均等于

(能量按自由度均分定理)

在温度为 的平衡态下,气体分子的每一 个自由度,都平均地具有 的动能。

(能量按自由度均分定理) 分子平均动能

在温度为 的平衡态下,气体分子的每一 个自由度,都平均地具有 的动能。 理想气体,平衡态,分子平均平动动能

因 处于平衡态温度为 的理想气体,若将气体分子看作刚 故 性分子,如果分子有 个平动自由度, 个转动自由度,则

每个平动自由度的平均平动动能均为

将等概率假设推广到转动动能,每个转动自由度的 分 子 转动能量相等,而且亦均等于

(能量按自由度均分定理)

动动能,按一定的原则确定振动自由度。(略)

在温度为 的平衡态下,气体分子的每一 若将分子看作非刚性分子,还要考虑分子的振 个自由度,都平均地具有 的动能。

理想气体处于平衡态时,证明气 体分子的平均动能 是平均平动 动能 的 倍。
简例

气体分子平均动能的含义 气体温度的统计意义

本题是为了帮助理解



成正比的原因。

理想气体内能
某一定量理想气体的内能 分子的平均动能之和。
分子的平均动能

组成气体的全部

mol 气体有

个分子 (阿伏伽德罗常数)
mol

mol 理想气体的内能
理想气体

mol 理想气体的内能

理想气体

内能算例
mol 理想气体的内能

平均自由程
热运动分子之间 频繁碰撞 分子的运动路径 曲折复杂

碰撞时两 分子质心距 离的平均值 称为分子的 有效直径

碰撞频率 碰撞时两分子质心距离的平均值称为 分子的有效直径
分子在单位时间内与其它分子的平均碰撞次数称

热运动分子之间 碰撞频率的倒数为 相邻两次碰撞时间 频繁碰撞 分子在与其它分子的相邻两次碰撞之间所经历路程的平均值为 分子的运动路径 平均自由程 曲折复杂

碰撞频率

碰撞时两 为分子的平均速率 分子质心距 可联系 离的平均值 称为分子的 有效直径 进行估算

碰撞时两分子质心距离的平均值称为 分子的有效直径 若能找出 与 的关系,则 分子在单位时间内与其它分子的平均碰撞次数称 碰撞频率的倒数为 相邻两次碰撞时间 设气体分子数密度

平均自由程

自由程推导

设分子 的碰撞路径ABCD长度

碰撞频率

可求

质心在半径为 、长度为 的圆柱 分子在与其它分子的相邻两次碰撞之间所经历路程的平均值为 则柱内分子数为 体内的分子都会与 相碰。

平均自由程
平均碰撞频率
为分子的平均速率
其中可联系 称为碰撞截面 但其它分子也在运动 进行估算 要作相对速率修正
先假设其它分子静止

平均自由程

自由程算式 平均碰撞频率
相对速率修正
证明略



恒定



随堂小议 请在放映状态下点击你认为是对的答案

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v = 4 v0 , Z = 2Z0 , λ = λ0
v = 2 v0 , Z = 2Z0 , λ = λ0
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v = 4 v0 , Z = 2Z0 , λ = λ0
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