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高中数学大题规范解答-全得分系列之(十)概率与统计的综合问题答题模板


概率与统计是高中数学的重要学习内容,在高考试卷中,每年都有所涉及,以解答题形 式出现的试题常常设计成包含概率计算, 统计图表的识别等知识为主的综合题, 以考生比较 熟悉的实际应用问题为载体, 注重考查基础知识和基本方法; 以排列组合和概率统计等基础 知识为工具,考查对概率事件的识别及概率计算.

“大题规范解答——得全分”系列之(十)

率与统计的综合问题答题模板

[典例] (2012 辽宁高考改编· 满分 12 分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节 目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名.下面是根据调查结果 绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中 有 10 名女性. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料判断是否有 95%的把握认为“体 育迷”与性别有关? 非体育迷 男 女 合计 体育迷 合计

(2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育 迷”中有 2 名女性,若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率. n?ad-bc?2 附 K2= , ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(K2≥k) 0.05 0.01

k

3.841

6.635

[教你快速规范审题]

1.审条件,挖解题信息 观察 ― → 条件 100 名观众收看节目时间的频率分布直方图及日均收看时间不低于 40 分钟的观众 称为体育迷,女体育迷 10 名
借助直方图可确定 ?????? ?

非体育迷及 体育迷人数

2.审结论,明解题方向 观察所求结论 ― 完成2×2列联表并判断“体育迷”与性别的相关性 →
需要 ??? ?

确定a,b,c,d及K2的值

3.建联系,找解题突破口 由直方图及条件确定体育迷与非体育迷人数 计算K2可判断结论 ― → 完成列联表 ― →

1.审条件,挖解题信息 观察条件 ― 确定“超级体育迷”标准且有2名女性“超级体育迷” →
由频率分布直方图 ?????? ?

确定“超级体育迷”的人数

2.审结论,明解题方向 观察所求结论 ― 从“超级体育迷”中任取2人求至少有1名女性观众的概率 →
分类分析 ???? ?

1名女性观众或两名女性观众

3.建联系,找解题突破口 由频率分布直方图确定“超级体育迷”的人数
列举法列举出 ????? ?

所有基本事件并计数为n和至少有1名女性的基本事件,计数为m 求概率 [教你准确规范解题]

???? ?

代入P=

m n

(1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而完成 2×2 列联表如下: 非体育迷 男 女 合计 ?(3 分) 100×?30×10-45×15?2 100 将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 K = = ≈3.030. 33 75×25×45×55
2

体育迷 15 10 25

合计 45 55 100

30 45 75

因为 3.030<3.841,所以我们没有 95%的把握认为“体育迷”与性别有关.?(6 分) (2)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为 5 人,从而一切可能结果所组成的基本 事件为(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3, b2),(b1,b2),其中 ai 表示男性,i=1,2,3,bj 表示女性,j=1,2.由 10 个基本事件组成,而且 这些基本事件的出现是等可能的.?(9 分) 用 A 表示“任选 2 人中, 至少有 1 人是女性”这一事件, A={(a1, 1), 1, 2), 2, 则 b (a b (a b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},?(11 分) 7 事件 A 由 7 个基本事件组成,因而 P(A)= .? 分) (12 10 [常见失分探因] 频率 忽视直方图纵轴表示为 导致每组人数计算失误. 组距 K2的计算不准确、导致结果判断出错. 1.“超级体育迷”人数计算错误导致失误. 2.由5人中任取2人列举出所有可能结果时重复或遗漏某一情况导致失误. ————————————[ 教 你 一 个 万 能 模

板]————————————————— 第一步 理清题意,理解问题中的条件和结论.尤其是直方图中给定的信息,找关键量 ― →

第二步 由直方图确定所需的数据,列出 2×2 列联表 ― → 第三步 利用独立性检验的步骤进行判断 ― → 第四步 确定基本事件总数及所求事件所含基本事件的个数 ― → 第五步 利用概率公式求事件的概率 ― → 第六步 反思回顾、检查关键点易错点及答题规范

1.(2012· 佛山模拟)已知某车间加工零件的个数 x 与所花费时间 y(h)之间的线性回归方 ^ 程为y=0.01x+0.5,则加工 600 个零件大约需要的时间为( A.6.5 h C.3.5 h B.5.5 h D.0.3 h )

^ 解析:选 A 将 600 代入线性回归方程y=0.01x+0.5 中得需要的时间为 6.5 h. 2.(2013· 衡阳联考)已知 x 与 y 之间的一组数据: x y 0 m 1 3 2 5.5 3 7

^ 已求得关于 y 与 x 的线性回归方程y=2.1x+0.85,则 m 的值为( A.1 C.0.7 B.0.85 D.0.5

)

解析:选 D 回归直线必过样本中心点(1.5, y ),故 y =4,m+3+5.5+7=16,得 m =0.5.

3.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀 统计成绩,得到如下所示的列联表: 优秀 甲班 乙班 总计 10 c 非优秀 b 30 105 ) 总计

2 已知在全部 105 人中随机抽取 1 人,成绩优秀的概率为 ,则下列说法正确的是( 7 A.列联表中 c 的值为 30,b 的值为 35 B.列联表中 c 的值为 15,b 的值为 50 C.根据列联表中的数据,若按 95%的可靠性要求,能认为“成绩与班级有关系” D.根据列联表中的数据,若按 95%的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系”

解析:选 C 由题意知,成绩优秀的学生数是 30,成绩非优秀的学生数是 75,所以 c 105×?10×30-20×45?2 =20, b=45, 选项 A、 错误. B 根据列联表中的数据, 得到 K2= ≈6.109 55×50×30×75 >3.841,因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”. 4.已知 x、y 的取值如下表: x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 )

^ ^ ^ 从所得的散点图分析,y 与 x 线性相关,且y=0.95x+a,则a=( A.2.5 C.2.7 B.2.6 D.2.8

解析: B 因为回归方程必过样本点的中心( x , y ), x =2, y =4.5, 选 又 则将(2,4.5) ^ ^ ^ 代入y=0.95x+a可得a=2.6. 5.(2012· 湖南高考)设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关 ^ 关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x -85.71,则下列结论中不正确的是( . A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg 解析:选 D 由于回归直线的斜率为正值,故 y 与 x 具有正的线性相关关系,选项 A 中的结论正确;回归直线过样本点的中心,选项 B 中的结论正确;根据回归直线斜率的意 )

义易知选项 C 中的结论正确;由于回归分析得出的是估计值,故选项 D 中的结论不正确. ^ ^ ^ 6.(2013· 合肥检测)由数据(x1,y1),(x2,y2),?,(x10,y10)求得线性回归方程y=bx+a, x1+x2+?+x10 y1+y2+?+y10 ^ ^ ^ 则“(x0, 0)满足线性回归方程y=bx+a”是“x0= y , 0= y ”的 10 10 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ^ ^ ^ 解析:选 B x0,y0 为这 10 组数据的平均值,又因为回归直线y=bx+a必过样本中心点 ( x , y ),因此(x0,y0)一定满足线性回归方程,但坐标满足线性回归方程的点不一定是( x , y ). 7.(2012· 唐山模拟)考古学家通过始祖鸟化石标本发现:其股骨长度 x(cm)与肱骨长度 ^ y(cm)的线性回归方程为y=1.197x-3.660,由此估计,当股骨长度为 50 cm 时,肱骨长度的 估计值为________ cm. ^ 解析:根据回归方程y=1.197x-3.660,将 x=50 代入,得 y=56.19,则肱骨长度的估 计值为 56.19 cm. 答案:56.19 8. 在一项打鼾与患心脏病的调查中, 共调查了 1 671 人, 经过计算 K2 的观测值 k=27.63, 根据这一数据分析,我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的.(有关,无关) 解析:由观测值 k=27.63 与临界值比较,我们有 99%的把握说打鼾与患心脏病有关. 答案:有关 9.(2012· 宁夏模拟)某单位为了了解用电量 y 度与气温 x℃之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气温,并制作了对照表:

气温(℃) 用电量(度)

18 24

13 34

10 38

-1 64

^ 由表中数据得线性回归方程y=bx+a 中 b=-2,预测当气温为-4℃时,用电量的度数 约为________. 解析: x =10, y =40,回归方程过点( x , y ), ∴40=-2×10+a.

^ ∴a=60.∴y=-2x+60. ^ 令 x=-4,∴y=(-2)×(-4)+60=68. 答案:68 10.已知 x,y 的一组数据如下表: x y 1 1 3 2 6 3 7 4 8 5

(1)从 x,y 中各取一个数,求 x+y≥10 的概率; 1 1 1 (2)对于表中数据,甲、乙两同学给出的拟合直线分别为 y= x+1 与 y= x+ ,试利用 3 2 2 “最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好. 解:(1)从 x,y 中各取一个数组成数对(x,y),共有 25 对,其中满足 x+y≥10 的有(6,4), 9 (6,5),(7,3),(7,4),(7,5),(8,2),(8,3),(8,4),(8,5),共 9 对.故所求概率 P= . 25 4 1 (2)用 y= x+1 作为拟合直线时,所得 y 值与 y 的实际值的差的平方和为 S1=?3-1?2 ? ? 3 10 11 7 +(2-2)2+(3-3)2+? 3 -4?2+? 3 -5?2= . ? ? ? ? 3 1 1 用 y= x+ 作为拟合直线时,所得 y 值与 y 的实际值的差的平方和为 S2=(1-1)2+(2 2 2 7 9 1 -2)2+?2-3?2+(4-4)2+?2-5?2= . ? ? ? ? 2 1 1 ∵S2<S1,∴直线 y= x+ 的拟合程度更好. 2 2 11.(2012· 东北三省联考)某学生对其亲属 30 人的饮食习惯进行了一次调查,并用茎叶 图表示 30 人的饮食指数.(说明:图中饮食指数低于 70 的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数 高于 70 的人,饮食以肉类为主.)

(1)根据茎叶图,帮助这位学生说明其亲属 30 人的饮食习惯; (2)根据以上数据完成下列 2×2 的列联表: 主食蔬菜 50 岁以下 主食肉类 合计

50 岁以上 合计

(3)能否有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关,并写出简要分析. 解:(1)30 位亲属中 50 岁以上的人多以食蔬菜为主,50 岁以下的人多以食肉为主. (2) 主食蔬菜 50 岁以下 50 岁以上 合计 4 16 20 主食肉类 8 2 10 合计 12 18 30

30?8-128?2 30×120×120 (2)K2= = =10>6.635,有 99%的把握认为亲属的饮食 12×18×20×10 12×18×20×10 习惯与年龄有关. 12.某电脑公司有 6 名产品推销员,其工作年限与年推销金额的数据如下表: 推销员编号 工作年限 x/年 推销金额 y/万元 1 3 2 2 5 3 3 6 3 4 7 4 5 9 5

(1)以工作年限为自变量 x,推销金额为因变量 y,作出散点图; (2)求年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程; (3)若第 6 名推销员的工作年限为 11 年,试估计他的年推销金额. 解:(1)依题意,画出散点图如图所示, (2)从散点图可以看出,这些点大致在一条直线附近,设所 ^ ^ ^ 求的线性回归方程为y=bx+a. - ? ?xi- x ??yi- y ?
5

^ 则b=

x=1



? ?xi- x ?2
x=1

5

10 ^ ^- =0.5,a= y -b x =0.4, 20

∴年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程为 ^ y=0.5x+0.4. (3)由(2)可知,当 x=11 时, ^ y=0.5x+0.4=0.5×11+0.4=5.9(万元). ∴可以估计第 6 名推销员的年推销金额为 5.9 万元.

1.某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,所得数据如下表: x y 6 2 8 3 10 5 12 6

则 y 对 x 的线性回归直线方程为( ^ A.y=2.3x-0.7 ^ C.y=0.7x-2.3
4

)

^ B.y=2.3x+0.7 ^ D.y=0.7x+2.3

解析:选 C ∵ ?xiyi=6×2+8×3+10×5+12×6=158,
i=1

x=

6+8+10+12 2+3+5+6 =9, y = =4. 4 4

158-4×9×4 ^ ∴b= =0.7, 36+64+100+144-4×81 ^ a=4-0.7×9=-2.3. ^ 故线性回归直线方程为y=0.7x-2.3. 2.(2012· 东北三校联考)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持 两种态度)的关系,运用 2×2 列联表进行独立性检验,经计算 K2=7.069,则有________的 把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”. 附: P(K2≥k0) k0 0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

解析:因为 7.069 与附表中的 6.635 最接近(且大于 6.635),所以得到的统计学结论是: 有 99%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”. 答案:99% 3.某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票.按照 北京暴雨前后两个时间收集有效投票,暴雨后的投票收集了 50 份,暴雨前的投票也收集了 50 份,所得统计结果如下表: 支持 北京暴雨后 北京暴雨前 总计 x 20 A 不支持 y 30 B 总计 50 50 100

2 已知工作人员从所有投票中任取一个,取到“不支持投入”的投票的概率为 . 5 (1)求列联表中的数据 x,y,A,B 的值; (2)绘制条形统计图,通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水 设施的投入的态度?

(3)能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入 有关? n?ad-bc?2 附:K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(K2≤k) k 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

解:(1)设“从所有投票中抽取一个,取到不支持投入的投票”为事件 A, y+30 2 由已知得 P(A)= = ,所以 y=10,B=40,x=40,A=60. 100 5 40 4 (2)由(1)知北京暴雨后支持为 = , 50 5 4 1 不支持率为 1- = , 5 5 20 2 北京暴雨前支持率为 = , 50 5 2 3 不支持率为 1- = . 5 5 条形统计图如图所示, 由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投 入的态度.

100?30×40-20×10?2 1000 000 50 (3)K2= = = ≈16.78>10.828. 50×50×40×60 50×20×60 3 故至少有 99.9%的把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的 投入有关.

1.以下是某地最新搜集到的二手楼房的销售价格 y(单位:万元)和房屋面积 x(单位: m2)的一组数据: 房屋面积 x(m2) 销售价格 y(万元) 80 18.4 105 22 110 21.6 115 24.8 135 29.2

若销售价格 y 和房屋面积 x 具有线性相关关系. (1)求销售价格 y 和房屋面积 x 的回归直线方程; (2)根据(1)的结果估计当房屋面积为 150 m2 时的销售价格. 80+105+110+115+135 解:(1)由题意知, x = =109, 5 y =
n

18.4+22+21.6+24.8+29.2 ^ = 23.2. 设所 求 回 归直线 方 程 为 y = bx + a , 则 b= 5

? ?xi-109??yi-23.2?
i=1



? ?xi-109?2
i=1

n

308 ≈0.196 2, 1 570

^ a= y -b x ≈23.2-0.196 2×109=1.814 2,故回归直线方程为y=0.196 2x+1.814 2. ^ (2)由(1)知, x=150 时, 当 估计房屋的销售价格为y=0.196 2×150+1.814 2=31.244 2(万 元). 2.(2012· 徐州二模)在研究色盲与性别的关系调查中,调查了男性 480 人,其中有 38 人 患色盲,调查的 520 名女性中,有 6 人患色盲. (1)根据以上数据建立一个 2×2 列联表; (2)若认为“性别与患色盲有关系”,求出错的概率. 解:(1)2×2 列联表如下: 患色盲 男 女 总计 38 6 44 不患色盲 442 514 956 总计 480 520 1 000

(2)假设 H0:“性别与患色盲没有关系”,根据(1)中 2×2 列联表中数据,可求得 K2= 1 000×?38×514-6×442?2 ≈27.14, P(K2≥10.828)=0.001, H0 成立的概率不超过 0.001, 又 即 480×520×44×956 故若认为“性别与患色盲有关系”,则出错的概率为 0.1%.


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