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导数的综合应用补充讲义(参考答案)


导数的综合应用答案
一、复习目标:(1)全面梳理导数应用的不同类型,掌握导数应用的常见策略;
(2)能熟练借助导数,研究参数的取值范围问题.

二、课前热身:
1. 在平面直角坐标系 xoy 中, 点 P 在曲线 C : y ? x3 ?10x ? 3 上, 且在第二象限内, 已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则在点

P 处的切线方程为

2 x ? y ? 19 ? 0
2 .

. .

2.已知直线 y ? x ? 1 与曲线 y ? ln(x ? a) 相切,则实数 a 的值为 3. 设函数 f ( x) ? x( x ? 1)(x ? 2)?( x ? 6) ,则 f ?(0) ? 720

4.已知函数 f ( x) 的导函数为 f ' ( x) ,且满足 f ( x) ? 3x 2 ? 2 xf ' (2) ,则 f ' (5) ? 5 .若函数 f ( x) ? ?

6

.

2 ? t ? 3.
类型一:恒成立问题

1 2 x ? 4 x ? 3 ln x 在 [t , t ? 1] 上不单调,则实数 t 的取值范围是 0 ? t ? 1 或 2

三、导数综合应用策略研究:
1 , g ( x) ? x 2 ? 2ax ? 4 ,若任意 x1 ? [0,1] ,存在 x2 ? [1,2] , x ?1

问题 1. 已知函数 f ( x ) ? x ?

使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,则实数 a 的取值范围是 . 1 解析:由于 f′(x)=1+ >0,因此函数 f(x)在[0,1]上单调递增, ?x+1?2 所以 x∈[0,1]时,f(x)min=f(0)=-1. 根据题意可知存在 x∈[1,2],使得 g(x)=x2-2ax+4≤-1, x 5 即 x2-2ax+5≤0,即 a≥ + 能成立, 2 2x x 5 令 h(x)= + ,则要使 a≥h(x)在 x∈[1,2]能成立,只需使 a≥h(x)min, 2 2x x 5 9 9 又函数 h(x)= + 在 x∈[1,2]上单调递减,所以 h(x)min=h(2)= ,故只需 a≥ . 2 2x 4 4 类型二:变换主元问题(供理科班研究)
kx 问题 2.设函数 f ( x) ? xe (k ? 0) ,若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围.

解析:由题意 f ?( x) ? (1 ? kx)e kx ? 0在x ? (?1,1)上恒成立,即 1 ? kx ? 0在x ? (?1,1)上恒成立 ∴?

?1 ? k ? (?1) ? 0 ?k ? 1 ?? ?1 ? k ? 1 ? 0 ?k ? ?1
2

又 k ? 0 ,∴ k 的取值范围是 ? ?1,0?

? 0,1? .


类型二:分离参数问题 问题 3.若曲线 f ( x) ? ax ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 取值范围是 解析: f ?( x) ? 2ax ?

1 ( x ? 0) x

1 1 ? 0 在 ? 0, ??? 内有解,即 a ? ? 2 ( x ? 0) ? a ? (?? ,0) . x 2x 3 问题 4.设函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1( x ? R) ,若对于任意的 x ? ?? 1,1? 都有 f ( x) ? 0 成立,则实
依题意方程 2ax ? 数 a 的值为 解析:当 x ? 0 ,则不论 a 取何值, f ? x ? ? 0 显然成立; 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ax3 ? 3x ? 1 ? 0 可化为, a ? 令 g ? x? ? .

3 ?1 ? 2 x ? 3 1 ? 1? ? 3 ,则 g ' ? x ? ? , 所以 g ? x ? 在区间 ? 0, ? 上单调递增,在区间 2 4 x x x ? 2? ?1? ?1 ? ,1? 上单调递减,因此 g ? x ?max ? g ? ? ? 4 ,从而 a ? 4 ; ? ?2? ?2 ? 3 ?1 ? 2 x ? 3 1 ' ?0 当 ? 1 ? x ? 0 时, f ( x) ? ax3 ? 3x ? 1 ? 0 可化为 a ? 2 ? 3 , g ? x ? ? x x x4 g ? x ? 在区间 ? ?1,0? 上单调递增,因此 g ? x ?ma n ? g ? ?1? ? 4 ,从而 a ? 4 , 综上 a ? 4 .
类型四:极值运用问题 问题 5.已知函数 f ( x) ? x3 ? x . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程; (2)设 a ? 0 ,如果过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,证明: ?a ? b ? f (a) . 解析: (1) y ? (3t ?1) x ? 2t .
2 3

3 1 ? x 2 x3

(2)如果有一条切线过点 (a,b) ,则存在 t ,使 b ? (3t ?1)a ? 2t .
2 3

若过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,则方程 2t ? 3at ? a ? b ? 0 有三个相异的实数
3 2

3 2 2 根.记 g (t ) ? 2t ? 3at ? a ? b ,则 g ?(t ) ? 6t ? 6at ? 6t (t ? a) . 当 t 变化时, g (t ),g ?(t ) 变化情况如下表:

t
g ?(t ) g (t )

(??, 0) ?

0 0

(0,a) ?

a
0 极小值 b ? f (a)

(a, ? ?) ?
增函数

增函数 减函数 极大值 a ? b 如果过 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 三条切线, 即 g (t ) ? 2t ? 3at ? a ? b =0 有三个相异的实数根,
3 2

则有 ?

?a ? b ? 0, 即 ?a ? b ? f (a ) . b ? f ( a ) ? 0. ?


类型五:二次求导问题 问题 6.已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 1 解析:f′(x)=(ln x-ax)+x( -a)=ln x+1-2ax(x>0) x ln x+1 ln x+1 -ln x 令 f′(x)=0 得 2a= ,设 φ(x)= ,则 φ′(x)= 2 x x x 易知 φ(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,大致图象如右图 若 f(x)有两个极值点,则 y=2a 和 y=φ(x)图象有两个交点, 1 ∴0<2a<1,∴0<a< . 2


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