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2016年普通高等学校招生全国统一考试北京卷(押题版)数学(理科) Word版无答案


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2016 年普通高等学校招生全国统一考试

北京卷(理科)
第I卷

(押题版)2016.5.12

本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,

共 40 分。在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? ?-2,-1,0,1,2? , B ? ?x | x ?1 ? 0? ,那么集合 A ? B 等于( A. ?1? B. ?4? C. ?2,3? D. ?1, 2? ) )

2. 命题“ ?x ? R , x2 ? x ? 2 ? 0 ”的否定为( A.

?x0 ? R , x02 ? x0 ? 2 ? 0

B. ?x ? R , x2 ? x ? 2 ? 0

C. ?x0 ? R , x02 ? x0 ? 2 ? 0 D. ?x ? R , x2 ? x ? 2 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 3.已知 a ? 1, b ? 6, a ? (b ? a) ? 2 则向量 a 与 b 的夹角为( )

? ? D. 4 6 4. “ 3 ? a ? 4 ” 是函数“ f ( x) ? ax ? 3 在(-1,2)存在零点”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充 分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
A. B. C. 5. 如图所示,程序框图的功能是 ( ) 1 1 A.求{ }前 10 项和 B.求{ }前 10 项和 n 2n 1 1 C.求{ }前 11 项和 D.求{ }前 11 项和 n 2n

? 2

? 3

第 5 题图

6. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

)

A.54

B.66

C. 60

D.72

(第 6 题图)

7. 如图,PA切圆O于点A,割线PBC经过圆心O,若PB=OB=1,OD平分∠AOC,交 圆O于点D,连接PD交圆O于点E,则PE的长等于( ) A.
7 7

B. 7 C.

5 7 7

D.

3 7 7

(第 7 题图)

8. 已知甲、乙、丙、丁四名同学分别在学习英语、语文、数学、理综;具体情 况如下:①甲不在学英语,也不在学理综 ③若甲不学数学,则丁也不学英语 ⑤丁不在学数学,也不在学理综 由以上信息对甲、乙、丙、丁四名同学学习科目判断正确的是( A. 甲在学数学 B.乙在学语文 C. 丙在学英语 ) ②乙不在学数学,也不在学英语 ④丙不在学理综,也不在学英语

D.无法判断丁的科目

第 II 卷
二、填空题(本大题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分,把答案填在横线上)
9. 设复数 z ?
2 ,则 z ? z ? ?1? i
2
1 3

. . (用>连接)

1 10. 已知 a ? log 1 , b ? 2 , c ? ( ) 2 则 a, b, c 的大小关系 3 3

11. 等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y 2 ? 16 x 的准线交 于 A、B 两点, AB ? 4 3 ,则的实轴长 .

12.某公司安排 3 名保安从周一到周五值班,每天只安排一 名保安 ,每人至少安 ...... ... ..... 排一天 ,至多安排两天 (若安排两天 ,这两天必须相邻 ) ,则不同的安排方法 ... ...... ..... ....... 有 种.(用数字作答)

?y ? x ?x ? 2 y ? 4 ? 13.已知实数 x, y 满足 ? ,则 r 的最小值为 ? y ? ?2 2 2 2 ? ?( x ? 1) ? ( y ? 1) ? r (r ? 0)
2 14. 已知函数 f ( x) ? 2mx? m 若 ? 2, m? 0, m? R . x1 ? x2 ? 1, 则

.

f ( x1 ) 取值范围 f ( x2 )



.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 15. (本小题 13 分) ? 4 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c , B ? , cos A ? , b ? 3 . 3 5 (1)求 sin C 的值 (2)求△ABC 的面积 解:

16. (本小题 13 分) 为了响应国家“六五普法,惠及全民”的精神,北京某地区在 2015 年底至 2016 年初举办了普法宣传活动,被测考生成绩全部介于 50 分到 100 分之间(满分 100 分) .该地区的考试部门从参加考试的考生成绩中随机抽取 n 名考生的考试成绩, 将统计结果按如下方式分成 5 组:第一组 [50,60) ,第二组 [60,70) ,?,第五组:
[90,100] ,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,其中成绩在
[5 0, 6 0 ) 的学生人数为 6.

(I)求 n 的值,并估计该地区考生考试成绩的众数、中位数和平均数(结果保 留到 0.1) ; (II)设考试成绩在 80 分(包括 80 分)以上者为优秀,考官从这个地区的考生 考试成绩中随机地选取 4 个成绩,若以上述频率作为概率,用 X 表示所选取的考 试成绩中优秀成绩的个数,求 X 的分布列和数学期望.
解:

17. (本小题 14 分) 在四棱锥 E ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, AC 与 BD 交于点
O , EC⊥底面ABCD , F 为 BE 的中点.

(Ⅰ)求证: DE ∥平面 ACF ; (Ⅱ)求证 BD⊥AE ; (Ⅲ) 若 AB ? 2CE 在线段 EO 上是否存在点 G , 使 CG ⊥平面 BDE ?若存在, 求出 解:
EG 的值,若不存在,请说明理由. EO

18. (本小题 13 分)
1 已知函数 f ( x) ? x ? ax 2 ? ln(1 ? x) ,其中 a ? 0 . 2

(Ⅰ)若 x ? 2 是 f ( x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若 f ( x) 在 ?0, ??? 上的最大值是 0 ,求 a 的取值范围. 解:

19.(本小题 14 分) x2 y2 1 如图,椭圆 C:a2+b2 =1(a > b > 0)的离心率为2,其左焦点到点 P(2,1)的距离 为 10,不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求△ABP 面积取最大值时直线 l 的方程.
解:

20. (本小题满分 13 分) 对于正整数 a , b , 存在唯一一对整数 q和r , 使得 a =bq +r ,
0 ? r ? b . 特别地,当 r ? 0 时,称 b 能整除 a ,记作 b 丨a ,已知 A ? ?1, 2,3,.....23? .

(Ⅰ)存在 q ? A ,使得 2016 ? 91q ? r (0 ? r ? 91) ,试求 q , r 的值; (Ⅱ)求证:不存在这样的函数 f : A ? ?1, 2,3? ,使得对任意的整数 x1 , x2 ? A , 若 x1 ? x2 ??1,2,3? ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; (Ⅲ)若 B ? A, card( B) ? 12, ( card ( B) 指集合 B 中的元素的个数) ,且存在
a, b ? B , b ? a, b 丨a ,则称 B 为“和谐集”. 求最大的 m ? A ,使含 m 的集合 A 的

有 12 个元素的任意子集 为“和谐集” ,并说明理由. 解:


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