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2013届人教优化设计第一轮数学理复习课件4.4


4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 ?
?

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?

知识梳理?

1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx +φ)(A>0,ω >0),x∈[0, +∞) A T= f=? = T
1

振幅

周期

频率

相位

初相

ωx+φ

φ

答案:



?

? 2π

?

2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图

用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下
表所示.
x
ωx+φ y=Asin(ωx+φ) 0 0
π 2

?

π 0

3π ? 2

2π 0

A

-A

答案:-?
?
2π ? ?-?

?

? -? ? -? ? -? ? ? 2? ? 2? ?

π

?

π

?



?

?

?

3.函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤

?
答案:|φ|
?

?? ? ? ?

1

1

?

A

A

?

基础自测?
1 2

1.把y=sin? x的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y=sin ωx的图 象,则ω的值为( A.1 B.4 ).

C.?
4

1

D.2

答案:C

? ? ? 其 中 ω ? 0, | φ |? 2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ) ? ? 的最小正周期是π,且f(0) 2 ? ?

?
?

3 =? ,则(
1

).
?

A.ω=? ? ,φ=
2

6

B.ω=? ? ,φ=
2

1

3

C.ω=2,φ=?
6

?

D.ω=2,φ=?
3

?

答案:D

3.(2012上海模拟)将函数y=f'(x)sin x的图象向左平移? 个单位,得到函
4

?

数y=1-2sin2x的图象,则f(x)是? ( A.2cos x B.cos x C.2sin x

). D.sin x

答案:C

4.已知函数f(x)=2sin? ? ? ωx
?

?

3? ? ? 7? ? 的图象如图所示,则f ? ? = ? 4 ? ? 12 ?

?

.

?
答案:0

?

思维拓展?

1.五点法作y=Asin(ωx+φ)的图象,首先确定哪些数据? 提示:先确定ωx+φ,即先使ωx+φ等于0,? ?,2π,然后求出x的值. ,π,
2
2

?

3?

2.在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途 径,向左或向右平移的单位个数为什么不一样? 提示:可以看出,前者平移|φ|个单位,后者平移? 个单位,原因在于相位
ω φ

变换和周期变换都是针对变量x而言的,因此在用这样的变换法作图

象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序,否则会出现错误.

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一、三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象
3 【例1】 设函数f(x)=sin ωx+? cos ωx(ω>0)的周期为π.

(1)求它的振幅、初相;
(2)用五点法作出它在一个周期上的图象; (3)说明函数f(x)的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.

解:(1)f(x)=sin
π ? ? =2sin ? ? x ? ? . 3? ?

3 ωx+?

cos

?1 ? 3 sin? x ? co s? x ? ωx=2? 2 ?2 ?

?

?

又∵T=π,∴?=π,即ω=2.
?
π ? ? 2x ? ?. ∴f(x)=2sin ? 3? ?



?

∴函数f(x)=sin ωx+?3 cos ωx的振幅为2,初相为? .
3

π

(2)列出下表,并描点画出图象如图.
? 2x+?
3

0
? -?
6

? ?
2

π
? ?
3

3? ? 2
7? ? 12


? 5?
6

x

? ?
12

y=2sin
? ? ? 2x ? ? ? 3? ? ?

0

2

0

-2

0

(3)把y=sin x图象上所有的点向左平移? 个单位,得到y=sin? ?x ?
3
?

π

?

π ? ? 的图 3?

象,再把y=sin? ?x ?
?

?

1 π ? 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ? 2 3?

? (纵坐

? 标不变),得到y=sin? ? ? 2x

π ? π 的图象,然后把y=sin ? 2 x ? ? 的图象上所有 ? ? ? 3? 3? ? ? π ? ? 2x ? ? 点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin ? 3? ?

?

?

的图象.

?

方法提炼1.用“五点法”作图应抓住四条:①将原函

数化为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式;② 求出周期T=? ;③求出振幅A;④列出一个周期内的五个特殊点,当画
ω 2?

出某指定区间上的图象时,应列出该区间内的特殊点.

2.图象变换法 (1)平移变换. ①沿x轴平移,按“左加右减”法则;

②沿y轴平移,按“上加下减”法则.
(2)伸缩变换. ①沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的? ω 倍(纵坐 标y不变); ②沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A倍(横坐 标x不变).
1

请做[针对训练]2

二、求函数y=Asin(ωx+φ)+b的解析式
【例2-1】 如图所示:
? ? ? ω ? 0 , | φ |? 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b ? ? 的图象的一部分 2 ? ?

?

?
(1)求f(x)的表达式; (2)试写出f(x)的对称轴方程.

【例2-2】 已知函数f(x)=?3 sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函 数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为? .
2

?

(1)求f?? 的值; ?
? 8 ?

?? ?

(2)将函数y=f(x)的图象向右平移? 个单位后,得到函数y=g(x)的图象,
6

?

求g(x)的单调递减区间.

?

方法提炼确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的

步骤: (1)求A,b,确定函数的最大值M和最小值m, 则A=?
M ?m 2

,b=?

M ?m 2

.
2? T

(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=? .

(3)求φ,常用方法有: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象 与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区

间上).
②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破 口.具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第
?

二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=? ;“第三点”(即图象下降时与
2

x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=?;
2

3?

“第五点”为ωx+φ=2π.
请做[针对训练]3

三、三角函数模型的应用 【例3】 已知某海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)

的函数,记作y=f(t).下表是某日各时刻记录的浪高数据:
t y 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1.0 18 0.5 21 0.99 24 1.5

经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acos ωt+b. (1)根据以上数据,求函数y=Acos ωt+b的最小正周期T,振幅A及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)

的结论,判断一天内从上午8:00至晚上20:00之间,有多少时间可供冲
浪者进行运动?

?

方法提炼三角函数模型在实际中的应用体现在两个

方面,一是已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键 是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则,二是把 实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数

的有关知识解决问题,其关键是建模.

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