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金兰合作组织2013学年第一学期高二期中数学试卷


金兰合作组织 2013 学年第一学期高二期中数学试卷
(本次考试不得使用计算器) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 直线 x ? y ? tan 30? ? 1 ? 0 的倾斜角是( ▲ ). A. 30? B. 60? C. 120? D. 150?

2

. 若方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? y ? k ? 0 表示圆,则实数 k 的取值范围是( ▲ ). A. k ? 5 B. k ?
5 4

C. k ?

3 2

D. k ?

3 2

? x ? y ? 0, ? 2 x ? y ? 2, ? 3. 若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则实数 m 的取值范围 ? x ? y ? m, ? y ? 0, ?

是( ▲ ). 4 A. m ? B. 0 ? m ? 1 3

C. 1 ? m ?

4 3

D. 0 ? m ? 1或m ?

4 3

4. 已知直线 l1 : (a ? 1) x ? y ? a ? 0 和 l2 : ax ? (a ? 1) y ? 0 ,若 l1 ? l2 ,则实数 a 的值 为( ▲ ). A. 1 B. ?1 C. ?1,1 D.
3? 5 3? 5 , 2 2

5.从椭圆短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为 120? ,那么此椭圆的离 心率为( ▲ ). A.
1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

6 3

6. 方程 1 ? x lg( x 2 ? y 2 ? 1) ? 0 表示的曲线图形是( ▲ ).
y y

O

1

x

O B

1

x C

A
2

︱ 7. 若不等式 4x ? x ? ax 的解集为 ? x 0 ? x ? 4? , 则实数 a 的取值范围为 ▲ ) ( .
A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? 0 D. a ? 0

D

8. 已知直线 l 与椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 2 交于 A,B 两点, 线段 AB 的中点为 P, 设直线 l 的 斜率为 k1 (k1 ? 0) ,直线 OP 的斜率为 k 2 ,则 k1k2 的值等于( ▲ ).
1 1 D. ? 2 2 9.某同学拿 50 元买纪念邮票,票面 1 元 2 角的邮票 5 张为一套,票面 2 元的邮 票 4 张为一套,邮票必须成套购买.如果该同学每种邮票至少买两套,则共有 ( ▲ )种不同的买法. A.6 B. 9 C. 11 D. 15

A. 2

B. ?2

C.

10.设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关于原点对称的直线为 l ' ,若 l ' 与椭圆 x 2 ?

y2 ? 1 的交 4

点为 A、B,点 P 为椭圆上的动点,则使△PAB 的面积为 2 ? 1 的点 P 的个数为 ( ▲ ). A.1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 当 ? 变化时, 直线 3x ? 4 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0 恒过定点_▲_. 12. 已知 P(3,5)为圆 x 2 ? y 2 ? 10 y 内一点,则过点 P 的弦长的范围是_▲_. 13. 已知 P,Q 分别是直线 l : 2 x ? y ? 5 ? 0 和圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 3 上的两个动 点,且直线 PQ 与圆 C 相切,则︱PQ︱的最小值是_▲_.
? x ? y ? 2 ? 0, 7 ? 14. 设实数 x, y 满足条件 ? x ? ay ? 4 ? 0, 且目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值是 , 2 ? 2 y ? 3 ? 0, ?

则实数 a ?

_▲_.
x2 y 2 ? ? 1 上一点, F1 , F2 是椭圆的 4 5

15.点 P 是椭圆

焦点,且 ?F1PF2 ? 30? ,则 S ?F1PF2 ?

_▲_. 16.如右图所示,A、B 是椭圆的两个顶点,C 是线 段 AB 的中点, 为椭圆的右焦点, F 射线 OC 交椭圆于 点 M,且∣OF∣=2,若 MF⊥OA,则此椭圆的标准方 程为_▲_. 17. 已知关于 x 的方程 x2 ? ax ? 2b ? 0 (a, b ? R) 的两个实数根分别在区间(0,1) 和(1,2)内,则 4a ? 3b ? 12 的取值范围是_▲_.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 18.( 本小题 14 分) 已知过点 P(1,2)的直线分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两点. 求: (1) y 轴上的截距是 x 轴上的截距的两倍时直线的方程; (2)∣PA∣·︱PB∣取最小值时直线的方程.
? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? 19. (本小题 14 分)已知实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 2 ? 0, ?

(1)求动点 P( x, y ) 所在区域的面积; (2)当 ?1 ? a ? 2 时,求 z ? y ? ax 的最值. 20. (本小题 14 分) 已知圆 M 的圆心在直线 y ? x 上,且与直线 2 x ? y ? 2 ? 0 相 切于点 P(1,0) , (1)求圆 M 的标准方程; (2)若圆 M 与圆 N: ( x ? 2m)2 ? ( y ? n)2 ? n2 ? 1 交于 A,B 两点,且这两点平分圆 M 的圆周,求圆 N 的半径的最小值及此时圆 N 的方程. 21. (本小题 15 分)已知定点 A (0, 3) ,点 B 在圆 F: x 2 ? ( y ? 3)2 ? 16 上运动,F 为圆心, 线段 AB 的垂直平分线交 BF 于点 P . (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; 1 (2)若曲线 Q: x 2 ? 2ax ? y 2 ? a 2 ? 被轨 4 迹 E 包围着,求实数 a 的最小值; (3)已知 Q(2,0) ,求︱PQ︱的最大值. 22. (本小题 15 分)已知椭圆 C: A,B 两点. (1)当椭圆的焦距为 2,且 a 2 , b 2 , c 2 成等差数列时,求椭圆 C 的方程; (2)在(1)的条件下,求弦 AB 的长度; (3)若椭圆 C 的离心率 e 满足: 求椭圆 C 的长轴的取值范围.
5 3 ,且以 AB 为直径的圆过坐标原点, ?e? 5 3

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 a 2 b2

金兰合作组织 2013 学年第一学期高二期中数学答题卷
(本次考试不得使用计算器) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


考号

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. ; ; ; . 12. 14. 16. ; ; ;



13. 15.

线

17.



三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 18.( 本小题 14 分)

姓名 班级









19. (本小题 14 分)

20. (本小题 14 分)

21. (本小题 15 分)

22. (本小题 15 分)

金兰合作组织 2013 学年(上)高二期中数学试题答案
1-10 CBDCD DADBC 12.[8,10] 17.(16,21) 13. 2 14.2 15. 4(2 ? 3) 11.(-2,2) 16.
x2 y 2 ? ?1 8 4

18. (1)
x y 设所求直线的方程为 ? ? 1, 即2 x ? y ? 2a ? 0?? 3? a 2a 因为直线l过点P(1, 2) 所以2 ? 1+2-2a ? 0 即a ? 2???????????? 6? 所以所求直线的方程为2x+y-4=0??????? 7?

(2)
设所求直线的方程为y ? 2 ? k ( x ? 1) 由题意可知k ? 0?????????8? 令x ? 0, 则y ? 2 ? k ; 令y ? 0, 则x ? 1 ? 2 k

2 所以A(1 ? , 0), B(0, 2 ? k ) ??????10? k 2 4 2 2 PA ? PB ? [(? ) 2 ? 4] ? [1 ? (? k ) 2 ] ? 8 ? 4k 2 ? 2 ???12? k k 4 ? 16 k2 4 当且仅当4k 2 ? 2 , 即k ? ?1时取等号 k 所以 PA ? PB 的最小值是4时,直线的方程为x ? y ? 3 ? 0???14? ? 8 ? 2 4k 2 ?

19.(1)画出可行域,设可行域的三个顶点分别为 A、B、C,直线

x ? 2 y ? 1 ? 0与y轴









D















A(-1,0),B(0,2),C(1,1),D(0, 则点 P 所在区域的面积为

1 ),……………… 4? 2

1 BD ? ( xA ? xc ) 2 1 1 3 ? (2 ? )(1 ? 1) ? ????? 7? 2 2 2 S? ABC ?

(2)
z ? y ? ax, 即y ? ax ? z (?1 ? a ? 2), 直线与y轴交点的纵坐标为z ????? 8? 点B (0, 2)处,zmax ? 2?????????10? 1 当 ? 1 ? a ? 时,点A(?1, 0)处,zmin ? a;??????12? 2 1 当 ? a ? 2时,点C (1,1)出,zmin ? 1 ? a.??????14? 2

20.(1)
a 设圆心M (a, a ), 有题意得: ? ( ?2) ? ?1, 解得a ? ?1????? 4? a ?1 所以圆M 圆心(-1,-1),半径r1 = 22 ? 1 ? 5 圆M 的标准方程为( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5?????? 7?

(2)
圆N的圆心N (2m, n), 半径r2 ? n 2 ? 1 由平面几何知识,得: AN ? AM ? MN
2 2 2

所以n 2 ? 1 ? 5 ? (2m ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 ???????? 9? 1 5 5 即n ? ?2m ? 2m ? 3 ? ?2(m ? ) 2 ? ? ? ??????11? 2 2 2 5 29 1 当n ? ? 时,r2的最小值为 ,m ? ? 2 2 2 5 29 此时圆N的方程为( x ? 1) 2 ? ( y ? ) 2 ? ??????14 2 4

21.(1) 由题意,得 PF ? PA ? PF ? PB ? FB ? 4??? 2?

所以动点P的轨迹是以点A, F为焦点的椭圆 其中c= 3, 2a ? 4即a ? 2, 所以b ? 1????? 4? 故轨迹E的方程为x 2 ?
(2)

y2 ? 1????? 5? 4

1 曲线Q是以(a,0)为圆心,半径是 的圆, ???? 6? 2 1 ? 1 ?? 2 ? y ? 2 ? 设M(x,y)是此曲线上任意一点,则有 ? ???? 7? ?a ? 1 ? x ? a ? 1 ? ? 2 2 1 1 1 1 因为曲线Q被轨迹E包围着,所以 ? 1 ? a ? ? a ? ? 1, ? ? a ? 2 2 2 2 1 所以a的最小值是 ? ????????10? 2

(3) 设P( x, y ), 则有y 2 ? 4(1 ? x 2 ), x ? [?1,1]
PQ =( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? 4(1 ? x 2 ) ? ?3x 2 ? 4 x ? 8
2

2 28 ? ?3( x ? ) 2 ? , x ? [?1,1]???????13? 3 3 2 28 2 21 2 当x ? ? 时, PQ max = , PQ max = ????15? 3 3 3 22.(1)
由题意可知,2c=2,c=1且有2b 2 ? a 2 ? c 2 ,因为a 2 ? b 2 ? c 2 , 所以b 2 =2,a 2 ? 3 故椭圆C的方程是 x2 y 2 ? ? 1???? 3? 3 2

(2)
? x2 y 2 ? 1, ? ? 联立 ? 3 消去y, 得:x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 5 2 ? x ? y ? 1 ? 0, ? 6 3 则有x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? ?????? 5? 5 5 所以 AB ? 2 x1 ? x2 ? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 8 3 ??? 7? 5

? x2 y 2 ? 1, ? ? 联立 ? a 2 b 2 消去y, 得: 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 (a (3) ? x ? y ? 1 ? 0, ?

由? ? 4a 2b 2 (a 2 ? b 2 ? 1) ? 0, 得a 2 ? b 2 ? 1?????? 8? 2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) , x1 x2 ? 2 ?????? 9? a 2 ? b2 a ? b2 ??? ??? ? ? 因为以AB为直径的圆经过坐标原点所以OA ? OB ? 0, 即x1 x2 +y1 y2 =0??10? 且有x1 ? x2 ? 因为y1 y2 ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ), 所以2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 a2 ????????11? 2a 2 ? 1 1 把上式代入a 2 ? b 2 ? 1,得a 2 ? ????????12? 2 2 2 2 c a ?b 1 由e 2 ? 2 ? , 得b 2 ? a 2 ? a 2 e 2,所以2a 2 =1+ ???13? 2 a a 1 ? e2 即a 2 ? b 2 ? 2a 2b 2 ? 0, 故b 2 = 由 5 3 9 5 ?e? ,得 ? a 2 ? ,??????14? 5 3 8 4 3 2 ? 2a ? 5 ?????????15? 2

故有

第九题,做的时候感觉读不懂邮票是怎么买的,一张一张呢还是一套一套呢? 后来经过计算一张一张买是没答案的,一套一套买可以得到答案,当然做是做出 来了,就是做的时候很纠结,浪费些时间。


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