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2011届高考数学第一轮热身复习教案:函数的图像特征


2013 第一轮复习专题之函数的图像特征
A组 1.命题甲:已知函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则 f(x)的图象关于直线 x=1 对称.命题乙: 函数 f(1+x)与函数 f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称.则甲、乙命题正确的是__________. 解析:可举实例说明如 f(x)=2x,依次作出函数 f(1+x)与函数 f(1-x)的图象判断.

答案: 甲 x 2.(2010 年济南市高三模拟考试)函数 y= ·x(a>1)的图象的基本形状是_____. a |x|

解析:先去绝对值将已知函数写成分段函数形式,再作图象即可,函数解析式: y=
?ax(x>0) ? ? ,由指数函数图象易知①正确. ?-ax(x<0) ?

答案:① 1 3.已知函数 f(x)=( )x-log3x,若 x0 是方程 f(x)=0 的 5 0<x1<x0,则 f(x1)的值为__________(正负情况). 1 1x 解析:分别作 y=( )x 与 y=log3x 的图象,如图可知,当 0<x1<x0 时,( ) 1>log3x1, 5 5 ∴f(x1)>0.答案:正值 4.(2009 年高考安徽卷改编)设 a<b,函数 y=(x-a)2(x-b)的图象可能是_____. 解 , 且

解析:∵x>b 时,y>0.由数轴穿根法,从右上向左下穿,奇次穿偶次不穿可知,只有③正 确.答案:③ 5.(原创题)已知当 x≥0 时,函数 y=x2 与函数 y=2x 的图 象 如图所

示,则当 x≤0 时,不等式 2x·2≥1 的解集是__________. x 解析:在 2x·2≥1 中,令 x=-t,由 x≤0 得 t≥0, x ∴2 t· 2≥1,即 t2≥2t,由所给图象得 2≤t≤4, (-t) ∴2≤-x≤4,解得-4≤x≤-2. 答案:-4≤x≤-2


?3-x 2, x ∈[-1,2], 6.已知函数 f(x)= ? ? x-3, x ∈ (2,5].
(1)画出 f(x)的图象;(2)写出 f(x)的单调递增区间. 解:(1)函数 f(x)的图象如图所示.,

(2)由图象可知,函数 f(x)的单调递增区间为[-1,0],[2,5]. B组 1-x 1.(2010 年合肥市高三质检)函数 f(x)=ln 的图象只可能是__________. 1+x

2 解析: 本题中 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}, 从而排除②③选项. 又由于 u(x)=-1+ 在 1+x 1-x 定义域{x|-1<x<1}内是减函数,而 g(x)=lnx 在定义域(0,+∞)内是增函数,从而 f(x)=ln 1+x 2 =ln(-1+ )在定义域{x|-1<x<1}是减函数. 1+x 答案:① 2.家电下乡政策是应对金融危机、积极扩大内需的重要举措.我市某家电制造集团为尽快实 现家电下乡提出四种运输方案,据预测,这四种方案均能在规定时间 T 内完成预期的运输任 务 Q0, 各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如下图所示. 在这四种方案中, 运输效率(单 位时间的运输量)逐步提高的是

解析:运输效率是运输总量 Q 与时间 t 的函数的导数,几何意义为图象的切线,切线斜 率的增长表明运输效率的提高,从图形看,②正确. 答案:② 3.如图,过原点 O 的直线与函数 y=2x 的图象交于 A,B y 轴的垂线交函数 y=4 的图象于点 C,若 AC 平行于 y 轴, 是__________. 解析:设 C(a,4a),所以 A(a,2a),B(2a,4a),又 O,A,B 2 4a 以 = ,故 4a=2×2a,所以 2a=0(舍去)或 2a=2,即 a= a 2a
a x

两点,过 B 作 则点 A 的坐标

三点共线,所 1,所以点 A

的坐标是(1,2).答案:(1,2) 4. 已知函数 f(x)=4-x2, g(x)是定义在(-∞, 0)∪(0, +∞)上的奇函数, x>0 时, 当 g(x)=log2x, 则函数 y=f(x)· g(x)的大致图象为__________.

解析:f(x)为偶函数,g(x)是奇函数,所以 f(x)· g(x)为奇函数,图象关于原点对称,当 x→ +∞时,f(x)→-∞,g(x)→+∞,所以 f(x)· g(x)→-∞ 5.某加油机接到指令,给附近空中一运输机加油.运 油量为 Q1(吨),加油机加油箱内余油 Q2(吨),加油时间 Q1、Q2 与时间 t 的函数关系式的图象如右图.若运输机 以原来的速度飞行需 11 小时到达目的地,问运输机的 够用?________. 解析:加油时间 10 分钟,Q1 由 30 减小为 0.Q2 由 40 增加到 69,因而 10 分钟时间内运输 机用油 1 吨.以后的 11 小时需用油 66 吨.因 69>66,故运输机的油料够用.答案:够用 6.已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x),且 x∈(-1,1]时,f(x)=|x|,则 y=f(x)与 y=log7x 的交点的个数为__________. 答案:② 输机的余 为 t 分钟, 加完油后 油料是否

解析:由 f(x+2)=f(x)知函数 y=f(x)为周期为 2 的周期函数,作图. 答案:6
m

7.函数 y=x n (m,n∈Z,m≠0,|m|,|n|互质)图象如图所示, 正确的是__________. ①mn>0,m,n 均为奇数 ②mn<0,m,n 一奇一偶 ③mn<0,m,n 均为奇数 ④mn>0,m,n 一奇一偶

则下列结论

解析:由于幂函数在第一象限的图象趋势表明函数在(0,+∞)上单调递减,此时只需保 m |m| m 证 <0,即 mn<0,有 y=x n =x- |n| ;同时函数只在第一象限有图象,则函数的定义域为(0,+ n ∞),此时|n|定为偶数,n 即为偶数,由于两个数互质,则 m 定为奇数.答案:② 8.(2009 年高考福建卷改编)定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上, 下列函数中与 f(x)的单调性不同的是 ①y=x2+1 ②y=|x|+1 ? ?2x+1,x≥0 ③y=? 3 ? ?x +1,x<0
?ex,x≥0 ? ④y=? -x ? ?e ,x<0

解析:∵f(x)为偶函数,由图象知,f(x)在(-2,0)上为减函数,而 y=x3+1 在(-∞,0)上 为增函数.答案:③ 9. (2010 年安徽合肥模拟)已知函数图象 C′与 C: y(x+a+1)=ax+a2+1 关于直线 y=x 对称, 且图象 C′关于点(2,-3)对称,则 a 的值为__________. 解析:∵C′与 C:y(x+a+1)=ax+a2+1 关于直线 y=x 对称, 1-a ∴C′为 x(y+a+1)=ay+a2+1.整理得,y+1+a= . x-a ∵C′关于点(2,-3)对称,∴a=2.答案:2 10.作下列函数的图象: 1-|x| 1 (1)y= ;(2)y=|x-2|(x+1);(3)y= ;(4)y=|log2x-1|;(5)y=2|x-1|. |x|-1 |1-x| 1 解:(1)定义域{x|x∈R 且 x≠± 1},且函数是偶函数.又当 x≥0 且 x≠1 时,y= .先作 x-1

1 1 函数 y= 的图象,并将图象向右平移 1 个单位,得到函数 y= (x≥0 且 x≠1)的图象(如图 x x-1 (a)所示).

1 又函数是偶函数,作关于 y 轴对称图象,得 y= 的图象(如图(b)所示). |x|-1

?(x-2) -4 (x≥2), (2)函数式可化为 y=? 1 9 ?-(x-2) +4 (x<2).
1
2

9

其图象如图①所示.

2

?1+x ?1-x (3)函数式化为 y=? 1 ?-1 ?

(x<0), (0≤x<1), (x>1). 其图象如图②所示.

(4)先作出 y=log2x 的图象,再将其图象向下平移 1 个单位长度,保留 x 轴上方的部分, 将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方,即得 y=|log2x-1|的图象,如图③所示.

(5)先作出 y=2x 的图象,再将其图象在 y 轴左边的部分去掉,并作出 y 轴右边的图象关于 y 轴对称的图象,即得 y=2|x|的图象,再将 y=2|x|的图象向右平移 1 个单位长度,即得 y=2|x
1|


的图象,如图④所示.

a 1 1 11.已知函数 f(x)=- x (a>0 且 a≠1).(1)证明:函数 y=f(x)的图象关于点( ,- )对称; 2 2 a+ a (2)求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. 1 1 解:(1)证明:函数 f(x)的定义域为 R,任取一点(x,y),它关于点( ,- )对称的点的坐 2 2 a a ax 标为(1-x,-1-y).由已知,y=- x ,则-1-y=-1+ x =- x .,f(1-x)=- a+ a a+ a a+ a a a a·x a ax =- =- =- x . - a a1 x+ a a+ a·x a a+ a x+ a a

1 1 ∴-1-y=f(1-x).即函数 y=f(x)的图象关于点( ,- )对称. 2 2 (2)由(1)有-1-f(x)=f(1-x).即 f(x)+f(1-x)=-1. ∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1. 则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. x+b 1 1 3 1 12.设函数 f(x)= (x∈R,且 a≠0,x≠ ).(1)若 a= ,b=- ,指出 f(x)与 g(x)= 的图 a 2 2 x ax-1 象变换关系以及函数 f(x)的图象的对称中心;(2)证明:若 ab+1≠0,则 f(x)的图象必关于直线 y=x 对称. 3 x- 2 2x-3 1 3 1 解:(1)a= ,b=- ,f(x)= = =2+ , 2 2 1 x-2 x-2 x-1 2 ∴f(x)的图象可由 g(x)的图象沿 x 轴右移 2 个单位,再沿 y 轴上移 2 个单位得到,f(x)的图 象的对称中心为点(2,2). x0+b (2)证明:设 P(x0,y0)为 f(x)图象上任一点,则 y0= ,P(x0,y0)关于 y=x 的对称点为 ax0-1 x0+b y0+b P′(y0,x0).由 y0= 得 x0= .∴P′(y0,x0)也在 f(x)的图象上.故 f(x)的图象关于直 ax0-1 ay0-1 线 y=x 对称.


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