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黑龙江省大庆实验中学2014届高考数学最后一次冲刺模拟考试试题 文 新人教A版

时间:2014-06-27


黑龙江省大庆实验中学 2014 届高三高考最后一次冲刺模拟考试文科数学试 题
本试卷分为第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,共 2 页。考试时间 120 分钟,满分 150 分。 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡 和试卷规定的位置上. 2.第 l 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3、第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不 能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修 正带.不按以上要求作答的答案无效. 4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 I 卷(选择题) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 A ? {1, 2,3} , B ? {1,3,9} , x ? A ,且 x ? B ,则 x ? ( ) A.1 B.2 C.3 D.9 2.在复平面内,复数

1 2 3 4 B. C. D. 5 5 5 5 8. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , m ? ( 3b ? c,cos C) ,n ? (a,cos A) ,m / / n , 则 cos A 的值等于 ( )
A. 3 3 3 3 B. C. D. 6 4 3 2 9.某几何体的三视图如图所示,其中三角形的三边长与圆的直径均为 2, 则该几何体的体积为 ( ) A.

4? 3 32 ? 8 3 B. π π 正视图 侧视图 3 3 32 ? 3 4?3 3 C. D. π π 3 3 ? x ? y ? 4, 俯视图 (第 6 题) ? 2 2 10.设不等式组 ? y ? x ? 0 表示的平面区域为 D.若圆 C:( x ? 1) ? ( y ? 1) ? r 2 (r ? 0) 不经过区域 ?x ?1 ? 0 ?
A. D 上的点,则 r 的取值范围是 A. [2 2, 2 5] C. (0, 2 2) B. (2 2,3 2] ( )

1 ? 3i 对应的点位于 1? i





A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.设 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,?, ( xn , yn ) 是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这些样本点通过最小 二乘法得到的线性回归直线,以下结论正确的是 ( - - A.直线 l 过点( x , y ) B.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C.x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 4. 若 0 ? a ? 1 , loga (1 ? x) ? loga x ,则 )

D. (0,3 2) (2 5, ??) (2 5, ??) ax x ? R 有大于零的极值点, 11. 设a?R , 若函数 y ? e ? 3x , 则 ( ) 1 1 A. a ? ? 3 B. a ? ?3 C. a ? ? D. a ? ? 3 3 2 2 x y 12.已知点 P 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支上一点, F1 , F2 是双曲线 a b 的左、右两个焦点,且 PF1 ? PF2 , PF2 两条渐近线相交 M , N 两点(如图) ,点 N 恰好平分线段 PF2 , 则双曲线的离心率是 C. 3 D. 2 第 II 卷(非选择题) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ,则 a5 ? A. 5 B.2 14.若某程序框图如图所示,则运行结果为 .
2






开始



1 1 1 A. 0 ? x ? 1 B. x ? C. 0 ? x ? D. ? x ? 1 2 2 2 2 x ? R 5.函数 y ? cos2 x ? sin x , 的值域是 1 A. [0,1] B. [ ,1] C. [?1, 2] D. [0, 2] 2 6.若 a , b 表示直线, ? 表示平面,且 b ? ? ,则“ a / / b ”是“ a / /? ”的
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 7. 在 ?ABC 中, CA CB ? 0, CD ? 为 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

12 题





i ?1



s?0
s? s? 1 i






, 0) , B(b, 0) ,若抛物线 y ? 4x 上存在点 C 15.已知两点 A(1
使 ?ABC 为等边三角形,则 b =_________ . 16. 已知点 A(?3, 0) 和圆 O :x ? y ? 9 ,AB 是圆 O 的直径,M
2 2

i ? i?1

s?

1 ( CA ? CB), CA ? 3, CB ? 4 ,则向量 CD 与 CB 夹角余弦值 2

9 ? 4 否

输出 i
结束

和 N 是 AB 的三等分点, P (异于 A, B )是圆 O 上的动点,

PD ? AB 于 D , PE ? ? ED (? ? 0) ,直线 PA 与 BE 交于

(第 14 题)

1

C ,则当 ? ?

时, | CM | ? | CN | 为定值.

(II)若不等式 f ( x) ? ?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分) a ? c sin A ? sin B 在△ ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a , b , c ,满足 . ? b sin A ? sinC (I)求角 C ; a?b (II)求 的取值范围. c 18. (本题满分 12 分) 某校高三年级在 5 月份进行一次质量考试,考生成绩情况如下表所示:

ax 2 (1 ? 2a ? ea) x ? 恒成立,求 a 的取值范围. ( e 为自然对数的底数) e2 e

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题 号. 22. (本小题满分 10 分) 《选修 4——1:几何证明选讲》 如图, A, B, C 是圆 O 上三个点, AD 是 ?BAC 的平分线,交圆 O 于 D ,过

B 做直线 BE 交 AD 延长线于 E ,使 BD 平分 ?EBC . (I)求证: BE 是圆 O 的切线; (II)若 AE ? 6 , AB ? 4 , BD ? 3 ,求 DE 的长.
(本小题满分 10 分) 《选修 4——4:坐标系与参数方程》

?0, 400?
文科考生 理科考生 67 53

?400, 480? ?480,550? ?550,750?
35 19 6

x

y

z

已知用分层抽样方法在不低于 550 分的考生中随机抽取 5 名考生进行质量分析,其中文科考生抽 圆 C 的方程为 ? 2 ? 2 3? sin ? ?1 ? 0 . 设圆 C 与直线 l 交于点 A , B ,且 P 0, ? 3 . 取了 2 名. ( I)求 z 的值; 13 2 4 (I)求 AB 中点 M 的极坐标; (II)求| PA |+| PB |的值. (II)图 6 是文科不低于 550 分的 6 名学生的语文成绩的茎叶图, 12 0 5 8 24. (本小题满分 10 分) 《选修 4——5:不等式选讲》 计算这 6 名考生的语文成绩的方差; 11 1 已知函数 f ( x) ? m ? x ?1 ? x ? 2 , m ? R ,且 f ( x ? 1) ? 0 的解集为 ?0,1? . (Ⅲ)已知该校不低于 480 分的文科理科考生人数之比为 1: 2 ,不 低于 400 分的文科理科考生人数之比为 2: 5 ,求 x 、 y 的值. (I)求 m 的值; 图6 19. (本题满分 12 分) (II)若 a, b, c, x, y, z ? R ,且 x2 ? y 2 ? z 2 ? a2 ? b2 ? c2 ? m, D C G 是 AC 如图, 矩形 ABCD 中,AD ? 平面ABE ,AE ? EB ? BC ? 2 , 求证: ax ? by ? cz ? 1. 中点, F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面ACE . G (I)求证: AE ? 平面BCE ; (II)求三棱锥 C ? BGF 的体积. F A B 20. (本题满分 12 分) 1 C2 y 如图, 已知抛物线 C1 : x 2 ? 2 py 的焦点在抛物线 C 2 : y ? x 2 ? 1 上, E 2 C1 点 P 是抛物线 C1 上的动点. M (I)求抛物线 C1 的方程及其准线方程;

1 ? x? t ? 2 ? 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) . 在 ?y ? ? 3 ? 3 t ? ? 2 极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,

?

?

(II)过点 P 作抛物线 C 2 的两条切线, M 、 N 分别为两个切点, 设点 P 到直线 MN 的距离为 d ,求 d 的最小值. 21. (本题满分 12 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) . (I)若 a ?

N

O

P

x

1 ,求函数 y ?| f ( x) | 的极值点; e ?1

(第 20 题)

文科数学 参考答案 一、选择题
2

1.B;2.B;3.A;4.C;5.A;6.D;7.D;8.C 9.A;10.C;11.B.12.A 二、填空题 1 1 13.81; 14.5; 15. 5, ? ; 16. . 8 3 三、解答题 a ? c sin A ? sin B a ? b 2 2 2 17. 解: (I) ,化简得 a ? b ? ab ? c , ?3 分 ? ? a ? c b sin A ? sinC a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ? ,C ? . 所以 cos C ? ?6 分 2ab 2 3 2 2? a ? b sin A ? sin B ? ? [sin A ? sin( ? A)] ? 2 sin( A ? ) . (II) ?9 分 ? 3 6 c sinC 3 ? 1 ? ? 5? 2? 因为 A ? (0, ) , A ? ? ( , ) ,所以 sin(A ? ) ? ( ,1] . 3 6 6 6 6 2

∴ FG // AE 且 FG ?

1 AE ? 1 2

? BF ? 平面ACE ∴ BF ? CE
∴ Rt ?BCE 中, BF ? CF ?

1 CE ? 2 2
C1

1 ∴ S ?CFB ? ? 2 ? 2 ? 1 2 1 1 ∴ VC ? BFG ? VG ? BCF ? ? S ?CFB ? FG ? 3 3
p 20. 解: (I) C 1 的焦点为 F (0, ) , ?1 分 2 p 所以 ? 0 ? 1 , p ? 2 . ?2 分 2 故 C 1 的方程为 x 2 ? 4 y ,其准线方程为 y ? ?1 .?4 分

C2

y
M

N

O

P

x

a?b 的取值范围是 (1,2] . ?12 分 c 2 5?2 18. 解: (I)依题意 ? ,∴ z ? 9 ?????????????????????3 分 6 z 111 ? 120 ? 125 ? 128 ? 132 ? 134 ? 125 ???????????????5 分 (II) x ? 6
故, ∴这 6 名考生的语文成绩的方差

(第 21 题)

1 2 2 2 2 2 2 s 2 ? ? ??111 ? 125? ? ?120 ? 125? ? ?125 ? 125? ? ?128 ? 125? ? ?132 ? 125? ? ?134 ? 125? ? ? ? 6 1 ? ?? 142 ? 52 ? 02 ? 32 ? 7 2 ? 92 ? ???????????????????8 分 ? ? ? 60 6
(Ⅲ)依题意

19 ? 6 1 35 ? 19 ? 6 2 ? , ? ???????????????????10 分 y?9 2 x? y?9 5
?????????????????????????????12 分

解得 x ? 100, y ? 41

1 2 1 2 1 2 (II) 设 P(2t , t 2 ) ,M ( x1 , x1 ? 1) ,N ( x2 , x2 ? 1) , 则 PM 的方程:y ? ( x1 ? 1) ? x1 ( x ? x1 ) , 2 2 2 1 2 2 所以 t 2 ? 2tx1 ? x1 ? 1 ,即 x1 ? 4tx1 ? 2t 2 ? 2 ? 0 . 2 1 2 2 同理, PN : y ? x2 x ? x2 ? 4tx2 ? 2t 2 ? 2 ? 0 .?6 分 ? 1 , x2 2 1 2 1 2 x1 ? 1 ? ( x2 ? 1) 1 2 2 ( x ? x1 ) , MN 的方程: y ? ( x1 ? 1) ? 2 2 x1 ? x2 1 2 1 即 y ? ( x1 ? 1) ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 ) . 2 2 2 2 ? 1 2 ? x ? 4tx1 ? 2t ? 2 ? 0 由? 1 ,得 x1 ? x2 ? 4t , x1 ?8 分 ? 2tx1 ? 1 ? t 2 . 2 2 2 ? ? x2 ? 4tx2 ? 2t ? 2 ? 0
所以直线 MN 的方程为 y ? 2tx ? 2 ? t 2 . 于是 d ? ?10 分

19. (I)证明:? AD ? 平面ABE , AD // BC ∴ BC ? 平面ABE ,则 AE ? BC 又? BF ? 平面ACE ,则 AE ? BF ∴ AE ? 平面BCE 解:? AE // 平面BFD ∴ AE // FG ,而 AE ? 平面BCE ∴ FG ? 平面BCE ∴ FG ? 平面BCF ? G 是 AC 中点 ∴ F 是 CE 中点

| 4t 2 ? t 2 ? 2 ? t 2 | 1 ? 4t 2

?2

(1 ? t 2 )2 . 1 ? 4t 2

令 s ? 1 ? 4t 2 ( s ? 1) ,则 d ?

1 9 1 s? ?6 ? 6 ? 6 ? 3 (当 s ? 3 时取等号) . 2 s 2

所以, d 的最小值为 3 . x ?1 1 1 1 21. 解: (I)若 a ? ,则 f ( x ) ? ln x ? , f '( x) ? ? . e ?1 e ?1 x e ?1 当 x ? (0, e ? 1) 时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 当 x ? (e ? 1,??) 时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减. 又因为 f (1) ? 0 , f (e ) ? 0 ,所以

?12 分

?1 分

3

当 x ? (0,1) 时, f ( x ) ? 0 ;当 x ? (1, e ? 1) 时, f ( x ) ? 0 ; 当 x ? (e ? 1, e ) 时, f ( x ) ? 0 ;当 x ? (e ,??) 时, f ( x ) ? 0 . 故 y ?| f ( x ) | 的极小值点为 1 和 e ,极大值点为 e ? 1 . (II)不等式 f ( x ) ? ?
ax 2 ?

?3 分 ?4 分

23. 由 ? 2 ? 2 3? sin ? ?1 ? 0 , 得 x2 ? y 2 ? 2 3 y ?1 ? 0 ,即 x 2 ? y ? 3
2

?

?

2

? 4.

????3 分

(1 ? 2a ? ea ) x ax 2 (1 ? 2a ) x ln x ? ? ? a ? 0 .?(*) ,整理为 e e e2 e2 ax 2 (1 ? 2a ) x 1 2ax 1 ? 2a ? a ,则 g' ( x) ? ? 2 ? 设 g( x ) ? ln x ? 2 ? ( x ? 0) e x e e e
e2 x e x ①当 a ? 0 时, 2ax ? e ? 0 ,又 x ? 0 ,所以, 当 x ? (0, e ) 时, g' ( x ) ? 0 , g( x ) 递增;
2

将直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得
2 ? ? 3 ?1 ? 2 ? 3? t ? 3? =4,即 t ? 6t ? 8 ? 0 , ? t? +? ? ? 2 2 ? ? ? ? ?t ?t ? 6 ? ? 4 ? 0 ,故可设 t1,t2 是上述方程的两实根,所以 ? 1 2 , ?t1t2 ? 8

?

2ax 2 ? (1 ? 2a )ex ? e 2

?

( x ? e )( 2ax ? e )



?6 分

????6 分

解得t1 ? 2, t 2 ? 4.
?3 3? t1 ? t2 ?? ? ? 3 ,? M ? , ,? 点 M 的极坐标为 ? 3, ? . ??????8 分 ? ? ? 2 6? ? ?2 2 ? (II)又直线 l 过点,故由上式及参数 t 的几何意义得 PA ? PB = t1 ? t2
(I) = t1 ? t2 ? 6 . 24.(I) .........10 分

当 x ? (e ,??) 时, g' ( x ) ? 0 , g( x ) 递减. 从而 g( x ) max ? g(e ) ? 0 . 故, g( x ) ? 0 恒成立. ?8 分 ②当 a ? 0 时, ( x ? e )( 2ax ? e ) 2a 1 g' ( x ) ? ? ( x ? e)( 2 ? ) . 2 ex e x e 2a 1 a 2a 1 a e 令 2 ? ? 2 ,解得 x1 ? ,则当 x ? x1 时, 2 ? ? 2 ; a ex e ex e e e 2 e a a ? e ,则当 x ? x 2 时, ( x ? e ) 再令 ( x ? e ) 2 ? 1 ,解得 x 2 ? ? 1. a e e2 取 x 0 ? max( x1 , x 2 ) ,则当 x ? x 0 时, g' ( x ) ? 1 . 所以,当 x ? ( x 0 ,??) 时, g( x ) ? g( x 0 ) ? x ? x 0 ,即 g( x ) ? x ? x 0 ? g( x 0 ) . 这与“ g( x ) ? 0 恒成立”矛盾. 综上所述, a ? 0 . ?12 分 22. (I)证明:连接 BO 并延长交圆 O 于 G ,连接 GC ?DBC ? ?DAC ,又 AD 平分 ?BAC , BD 平分 ?EBC ,??EBC ? ?BAC . 又 ?BGC ? ?BAC ,??EBC ? ?BGC ,

f ( x ? 1) ? 0 ,? x ? x ?1 ? m .

当 m<1 时,? x ? x ?1 ? 1,? 不等式 x ? x ?1 ? m 的解集为 ? ,不符题意. 当 m ? 1 时,

1? m 1? m ? x<0 . ,? 2 2 ②当 0 ? x ? 1 时,得 x ? 1 ? x ? m ,即 1 ? m 恒成立. m ?1 m ?1 ③当 x>1 时,得 x ? ,?1<x ? . 2 2 ? 1? m m ? 1? 综上 x ? x ?1 ? m 的解集为 ? x ?x? ?. 2 ? ? 2
①当 x<0 时,得 x ?

?GBC ? ?BGC ? 90 ,? ?GBC ? ?EBC ? 90 ,? OB ? BE . ? BE 是圆 O 的切线.
( II ) 由 ( 1 ) 可 知 △

?????5 分

BDE ∽ △

ABE ,

BE BD ? ,? AE ? BD ? AB ? BE , AE AB 9 AE ? 6 , AB ? 4 , BD ? 3 ,? BE ? . ??8 分 2
由切割线定理得:

?1 ? m ? 2 ?0 ? 由题意得 ? ,? m ? 1 . m ? 1 ? ?1 ? ? 2 x 2 ? a 2 ? 2ax , y 2 ? b2 ? 2by , (II)

???????????5 分

z 2 ? c 2 ? 2cz ,?a2 ? b2 ? c2 ? x2 ? y2 ? z 2 ? 2 ? ax ? by ? cz ? ,

x2 ? y 2 ? z 2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 1, ?2 ? ax ? by ? cz ? ? 2 ,? ax ? by ? cz ? 1.
由(1)知

??????????10 分

BE 2 ? DE ? AE ? DE ?

27 . 8

?????10 分

4


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