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高中数学排列组合中的分组分配问题


排列组合中的分组分配问题
分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。 某些排列组合问题看似非分配问题, 实际上可运用分配问题的方法来解决。 下面就排列组合中的分组分配问题, 谈谈自己在教学 中的体会和做法。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 一、 提出分组与分配问题,澄清模糊概念 n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同得对象,称为分配问题,分定向分配和不定

向分配两种问题;将 n 个不同元素按照某些条件分成 k 组,称为分组问题.分组问题有不平 均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的,前者组与 组之间只要元素个数相同是不区分的;而后者即使 2 组元素个数相同,但因对象不同,仍然 是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题 例 1 六本不同的书,分为三组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? (1)每组两本. (2)一组一本,一组二本,一组三本. (3)一组四本,另外两组各一本. 分析:(1)分组与顺序无关,是组合问题。分组数是 C2 C2 C2 =90(种) ,这 90 种分组实 6 4 2 际上重复了 6 次。我们不妨把六本不同的书写上 1、2、3、4、5、6 六个号码,考察以下两 种分法:(1,2)(3,4)(5,6)与(3,4)(1,2)(5,6),由于书是均匀分组的,三组的本数一样, 又与顺序无关,所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序,因 此还应取消分组的顺序,即除以组数的全排列数 A3 ,所以分法是 3

C 6C 4C 2 =15(种)。(2)先分 3 A3

2

2

2

2 组,方法是 C1 C5 C3 ,那么还要不要除以 A3 ?我们发现,由于每组的书的本数是不一样的, 6 3 3

2 因此不会出现相同的分法,即共有 C1 C5 C3 =60(种) 分法。 6 3

(3)分组方法是 C4 C1 C1 =30(种) ,那么其中有没有重复的分法呢?我们发现,其中两组 6 2 1 的书的本数都是一本,因此这两组有了顺序,而与四本书的那一组,由于书的本数不一样, 不可能重复。所以实际分法是

C 6C 2C 1 =15(种)。 2 A2

4

1

1

通过以上三个小题的分析,我们可以得出分组问题的一般方法。

结论 1:

一般地,n 个不同的元素分成 p 组,各组内元素数目分别为 m 1 ,m 2 ,?,
3 2 C n 1 C n ? m1 C n ? m1 ? m2 ?C m p

m

m

m

mp

m p ,其中 k 组内元素数目相等,那么分组方法数是

Ak

k



三、基本的分配的问题 (一)定向分配问题 例 2 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方 法? (1) 甲两本、乙两本、丙两本. (2) 甲一本、乙两本、丙三本. (3) 甲四本、乙一本、丙一本. 分析:由于分配给三人,每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题,由分布
2 4 2 计数原理不难解出:分别有 C 6C 2C 2 =90(种), C1 C5 C3 =60(种), C 6C 1 C 1 =30(种)。 6 3 2 1 4 2

(二)不定向分配问题 例 3 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方 法? (1) 每人两本. (2) 一人一本、一人两本、一人三本. (3) 一人四本、一人一本、一人一本. 分析:此组题属于分配中的不定向分配问题,是该类题中比较困难的问题。由于分配给 三人,同一本书给不同的人是不同的分法,所以是排列问题。实际上可看作“分为三组,再 将这三组分给甲、 乙、 丙三人” 因此只要将分组方法数再乘以 A3 , , 3 即
4 1 1

C 6C 4C 2 3 =90(种), A3 3 A3

2

2

2

C6 C5 C3 A3 =360(种)

1

2

3

3

C 6C 2C 1 3 =90(种)。 A3 2 A2

结论 2. 一般地,如果把不同的元素分配给几个不同对象,并且每个不同对象可接受的 元素个数没有限制,那么实际上是先分组后排列的问题,即分组方案数乘以不同对象数的 全排列数。 通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则:先分组后排列。 例 4 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,有多少种分法? 分析:六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿” ,即书要分完,人不能空手。因此,考虑 先分组,后排列。先分组,六本书怎么分为三组呢?有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、 二 本 、 三 本 (3) 两 组 各 一 本 , 另 一 组 四 本 。 所 以 根 据 加 法 原 理 , 分 组 法 是

C 6C 4C 2 + 1 2 3 + C 6C 2C 1 =90(种)。再考虑排列,即再乘以 3 。所以一共有 540 种不 C6 C5 C3 A3 3 2 A3 A2
同的分法。 四、分配问题的变形问题 例 5 四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中,恰有一个空盒的放法有多 少种? 分析:恰有一个空盒,则另外三个盒子中小球数分别为 1,1,2。实际上可转化为先将 四个不同的小球分为三组,两组各 1 个,另一组 2 个,分组方法有

2

2

2

4

1

1

C 4C 3C 2 (种),然后将这 2 A2

1

1

2

三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)中的 3 个的排列问题,即共有

C 4C 3C 2 3 =144(种)。 A4 2 A2
例 6 有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙、丙各需 1 人承担,从 10 人中选派 4 人承担这三项任务,不同的选法有多少种? 分析:先考虑分组,即 10 人中选 4 人分为三组,其中两组各一人,另一组二人,共 有

1

1

2

C 10C 9C 8 (种)分法。再考虑排列,甲任务需 2 人承担,因此 2 人的那个组只能承担甲任 2 A2 C 10C 9C 8 2 =2520(种) A2 2 A2
1 1 2

1

1

2

务,而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务,所以共有 不同的选法。

例 7 设集合 A={1,2,3,4},B={6,7,8},A 为定义域,B 为值域,则从集合 A 到集合 B 的不同的函数有多少个? 分析:由于集合 A 为定义域,B 为值域,即集合 A、B 中的每个元素都有“归宿” ,而集 合 B 的每个元素接受集合 A 中对应的元素的数目不限,所以此问题实际上还是分组后分配 的问题。先考虑分组,集合 A 中 4 个元素分为三组,各组的元素数目分别为 1、1、2,则共 有

C 4C 3C 2 (种)分组方法。再考虑分配,即排列,再乘以 3 ,所以共有 C 4C 3C 2 3 =36(个) A3 A3 2 2 A2 A2

1

1

2

1

1

2

不同的函数。

掌握上述两个结论,就能顺利解决任何分配问题。学会了分配问题,还能将一些其他的 排列组合问题转化为分配问题来解决。


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