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2014—2015学年第一学期高一数学期末复习资料:函数部分


2014—2015 学年第一学期高一数学期末复习资料:函数部分 一、函数的概念及其表示 【基础自查】 1.函数的基本概念 (1)函数的定义:设 A、B 是非空 数 x,在集合 B 中都有 记作:y=f(x),x∈A. (2)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做 值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域.值域是集合 B 的子

集. (3)函数的三要素: (4)相等函数:如果两个函数的定义域和 数相等的依据. 2.函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有:解析法、列表法、 3.映射的概念 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个 元素 x,在集合 B 中都有 的一个映射.记作“f:A→B” 【基础练习】 1.设有函数组:① y ? x , y ? 确定的元素 y 与之对应,那么 就称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B . 、值域和对应关系. 完全一致,则这两个函数相等;这是判断两函 ,与 x 的值对应的 y 值叫函数 ,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 一个

确定的数 f(x)和它对应,那么称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,

x 2 ;② y ? x , y ? 3 x3 ;③ y ? x , y ?

x ; x

④y??

?1 ??1

( x ? 0), x x ,y? ;⑤ y ? lg x ? 1 , y ? lg .其中表示同一个函数的有______. 10 x ( x ? 0),

2.设集合 M ? {x 0 ? x ? 2} , N ? { y 0 ? y ? 2} ,从 M 到 N 有四种对应如图所示: y 2 y 2 y 2 y 2

O

1 ①

2

x

O

1 ②

2

x

O

1 ③

2

x

O

1 ④

2

x

其中能表示为 M 到 N 的函数关系的有_______.
1

3.写出下列函数定义域: (1) f ( x) ? 1 ? 3x 的定义域为____________; (2) f ( x) ? (3) f ( x ) ?

1 的定义域为______________; x ?1
2

1 ( x ? 1)0 x ? 1 ? 的定义域为__________; (4) f ( x) ? 的定义域为___________. x x ?x

4、设函数 f ( x) ? 2 x ? 3 , g ( x) ? 3x ? 5 ,则 f ( g ( x)) ? _________; g ( f ( x)) ? __________. 考点一 求函数的定义域

例 1、求下列函数的定义域: (1)f(x)= |x-2|-1 log2?x-1? (2)f(x)= ln?x+1? -x2-3x+4

求函数定义域的主要依据是 ①分式的分母不能为零;②偶次方根的被开方式其值非负;③对数式中真数必须大于零, 底数必须大于零且不等于 1;④零次幂的底数不能为零。 巩固练习: 1、求下列函数的定义域: ① y?

1 ? x2 ? 1 ; 2? x

② f ( x) ?

x ; log 1 (2 ? x)
2

③f(x)= 1 ? 2 x

④ f ( x) ?

1 log2 (? x ? 4 x ? 3)
2

⑤y?

2 log 0.5 ( 4 x ? 3 x )

2

2+x x 2 2、设 f(x)=lg ,则 f( )+f( )的定义域为( x 2 2-x A.(-4,0)∪(0,4) 考点二 B.(-4,-1)∪(1,4)

) C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-4,-2)∪(2,4)

求函数的解析式

例 2、已知二次函数 y ? f ( x) 的最小值等于 4,且 f (0) ? f (2) ? 6 ,求 f ( x ) 的解析式. 分析:给出函数特征,可用待定系数法求解.

巩固练习 1、已知函数 f ( x ) 是一次函数,且 f (3) ? 7 , f (5) ? ?1 ,则 f (1) ? ________. 2、如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________. 3、已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,试求 f(x)的表达式. 第2题

1 4、已知 f(x)+2f( )=2x+1,求 f(x). x

5、设函数 f ( x ) ?

1 2 , g ( x) ? x ? 2 ,则 g (?1) ? ______; f [ g (2)] ? _______; f [ g ( x)] ? _______. 1? x

考点三:分段函数
?x2+bx+c,x≤0, ? 例 3、设函数 f(x)=? 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x)=x 解的个数为 ? ?2,x>0,

(

)

A.1 B.2 C.3 D.4
3

巩固练习

?| x ? 1| ?2,| x |? 1, 1 ? 1、设 f(x)= ? 1 ,则 f[f( )]=_____________. 2 , | x |? 1 ? ?1 ? x 2
?1, x ? 0 ?1, x为有理数 ? 2、设 f ( x) ? ?0, x ? 0 , g ( x ) ? ? ,则 f ( g (? )) 的值为_________. ?0,x为无理数 ?? 1, x ? 0 ?
3、已知 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 0 4 4 ,则 f ( ) ? f (? ) 的值为_________. 3 3 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0

4、已知 f ( x) ? ?

?1 ? x, x ? 0
x ?a , x ? 0

,若 f(1)=f(-1),则实数 a 的值为_________.

5、已知 f ( x) ? ?

?2 x , x ? 0 ? x ? 1, x ? 0

,若 f(a)+f(1)=0,实数 a 的值为_________.

二、函数的单调性 【基础自查】 1.函数的单调性 (1)单调函数的概念 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的 变量 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 (2)单调区间的概念 如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数,就说 f(x)在这一区间上具有(严 格的)单调性, 2.函数的最值 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果存在实数 M 满足: 对于 ≤M(或 f(x)≥M); 小值). 【基础练习】 1、下列函数中: ① f ( x) ?
1 ; ② f ? x ? ? x2 ? 2 x ? 1 ; x

两个自

, 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(减函数).

叫 f(x)的单调区间.

的 x∈I, 都有 f(x)

x0∈I,使得 f(x0)=M.那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(或最

③ f ( x) ? ? x ; .

④ f ( x) ? x ?1 .

其中,在区间(0,2)上是递增函数的序号有 2、函数 y ? x x 的递增区间是___ ___.
4

3、函数 y=x2-2x-3 的递减区间是__________. 4、 已知函数 y ? f ( x) 在定义域 R 上是单调减函数, 且 f (a ? 1) ? f (2a) , 则实数 a 的取值范围___. 5.已知下列命题: ①定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (2) ? f (1) ,则函数 f ( x) 是 R 上的增函数; ②定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (2) ? f (1) ,则函数 f ( x) 在 R 上不是减函数; ③定义在 R 上的函数 f ( x) 在区间 (??, 0] 上是增函数, 在区间 [0, ??) 上也是增函数, 则函数 f ( x) 在 R 上是增函数; ④定义在 R 上的函数 f ( x) 在区间 (??, 0] 上是减函数, 在区间 (0, ??) 上也是减函数, 则函数 f ( x) 在 R 上是减函数.其中正确命题的序号有___________. x-2 6、已知函数 y= ,则 ( x-1 ) B.(-∞,-1)是函数的递减区间 D.(1,+∞)是函数的递减区间

A.(-∞,1)是函数的递增区间 C.(-1,+∞)是函数的递增区间

3 例 1、求证: (1)函数 f ( x) ? ?2x2 ? 3x ?1 在区间 (??, ] 上是单调递增函数; 4 2x ?1 (2)函数 f ( x) ? 在区间 (??, ?1) 和 (?1, ??) 上都是单调递增函数. x ?1

分析:利用单调性定义证明函数的单调性,一般分三步骤: (1)在给定区间内任意取两值 x1 , (2)作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,化成因式的乘积并判断符号; (3)给出结论. x2 ; 巩固练习 1.已知函数 f ( x) ?
1 ,则该函数在 R 上单调递__ 2 ?1
x

__。 (填“增” “减” )

2.已知函数 f ( x) ? 4 x2 ? mx ? 5 在 (??, ?2) 上是减函数,在 (?2, ??) 上是增函数,则 f (1) ? ___.
5

3. 已知函数 f ( x) ? 4 x2 ? mx ? 5 在 (??, ?2) 上是减函数,则 m 的取值范围是__
ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是__ x?2 5、下列函数中,在(-∞,0)上为增函数的是 ( )

____ __

__。 __。

4.已知函数 f ( x) ?

A.y=1-x2

B.y=x2+2x

C.y=

1 1+x

D.y=

x x-1

??3a-2?x+6a-1 ?x<1?, 6、已知函数 f(x)=? x 在(-∞,+∞)上单调递减,那么实数 a 的取 ?a ?x≥1?, 值范围是 ( ) 2 3 2 3 A.(0,1) B.(0, ) C.[ , ) D.[ ,1) 3 8 3 8

7、函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上为增函数.若 f(a)≤f(2),则实数 a 的取值范 围是 ( ) A.a≤2 B.a≥-2 C.-2≤a≤2 D.a≤-2 或 a≥2

三、函数的奇偶性 【基础自查】 1.偶函数、奇函数的概念 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内 f(x)就叫做偶函数.偶函数的图象关于 对称. ,那么函数 f(x)就叫做奇 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数

一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 函数.奇函数的图象关于 对称.

2.判断函数的奇偶性: 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: (1)考查定义域是否关于原点对称,这是函数具有奇(偶)性的必要非充分条件. (2)考查表达式 f(-x)是否等于 f(x)或-f(x): 若 f(-x)= ,则 f(x)为奇函数;若 f (-x)= ,则 f(x)为偶函数;

若 f(-x)=-f(x)且 f(-x)=f(x),则 f(x)既是奇函数又是偶函数; 若 f(-x)≠-f(x)且 f(-x)≠f(x),则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数. 【基础练习】

x4 ?1 x ?x 1.给出 4 个函数:① f ( x) ? x ? 5x ;② f ( x) ? ;③ f ( x) ? ?2 x ? 5 ;④ f ( x) ? e ? e . 2 x
5

其中奇函数的有______;偶函数的有________;既不是奇函数也不是偶函数的有________. 2. 设函数 f ? x ? ?

?x ? 1??x ? a ? 为奇函数,则实数
x

a?

. )

3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(
6

A. y ? ? x 3 , x ? R

B. y ? sin x, x ? R

C. y ? x, x ? R

D. y ? ( ) , x ? R

1 x 2

1 4、f(x)=x-x 的图象关于( A.y 轴对称

) C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称

B.直线 y=-x 对称

5、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为
6、定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x>0 时,f(x)=x2+x+1,则 f(x)=________. 考点一 判断函数的奇偶性

【例 1】 下列函数: ①f(x)= 1-x +
2

3x-3-x x -1;②f(x)=x -x;③f(x)=ln(x+ x +1);④f(x)= ; 2
2 3 2

1-x ⑤f(x)=lg .其中奇函数的个数是 ( 1+x
巩固练习 1、判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ?

)

A.2 B.3 C.4 D.5

(1 ? 2 x ) 2 ; 2x
2

(2) f ( x) ? lg( x ?

x2 ? 1) ;
1? x ; 1? x

(3) f ( x) ? lg x ? lg

1 ; x2

(4) f ( x) ? (1 ? x)

(5) f ( x) ? x ? x ?1 ?1 ;
2

(6) f ( x) ? ?

2 ? ?? x ? x ( x ? 0), 2 ? ? x ? x ( x ? 0).

点评:判断函数的奇偶性,应首先注意其定义域是否关于原点对称;其次,利用定义即 f (? x) ? ? f ( x) 或

f (? x) ? f ( x) 判断,注意定义的等价形式 f (? x) ? f ( x) ? 0 或 f (? x) ? f ( x) ? 0 .
考点二 函数奇偶性的应用

2 例 2. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2x ? 2 ,求函数 f ( x ) 的解析式,

并指出它的单调区间.

点评: (1)求解析式时 x ? 0 的情况不能漏; (2)两个单调区间之间一般不用“ ? ”连接; (3)利用奇偶性 求解析式一般是通过“ ?x ”实现转化; (4)根据图像写单调区间.
7

巩固练习 1.已知定义域为 R 的函数 f ?x ? 在区间 ?8,??? 上为减函数,且函数 y ? f ?x ? 8? 为偶函数,则( A. f ?6? ? f ?7? B. f ?6? ? f ?9? C. f ?7? ? f ?9? D. f ?7? ? f ?10? ) )

2. 在 R 上定义的函数 f ?x ? 是偶函数, 且 f ?x ? ? f ?2 ? x ? , 若 f ?x ? 在区间 ?1,2? 是减函数, 则函数 f ?x ? (

A.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是增函数 D.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数 3. 设 ? ? ?? 1,1,

? ?

1 ? ,3? ,则使函数 y ? x ? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值为______. 2 ?
1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 则 f (5) ? ________. 2

4.设函数 f ( x)(x ? R) 为奇函数, f (1) ?

5.若函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0] 上是减函数,且 f (2) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是 .

6、 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数. 当 x≥0 时, f(x)=2x+2x+b(b 为常数), 则 f(-1)等于 ( A.3 B.1 C.-1 D.-3 7、若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)= (
A.-1 B.1 C.-2 D.2

)

)

8、若 f(x)=

1 +a 是奇函数,则 a=________. 2 -1
x

9、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且当 x∈(0,1)时,f(x)= (1)求 f(x)在[-1,1]上的解析式;(2)证明 f(x)在(0,1)上是减函数.

2x . 4 +1
x

8

四、指数与指数函数 基础自查 1.根式 (1)根式的概念: 如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且, n∈N*), 那么这个数叫做 a 的 n 次方根. 也 就是,若 n ,则 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1 且 n∈N*.式子 a叫做根式,这里 n 叫

做根指数,a 叫做被开方数. (2)根式的性质 ①当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时,a n 的 n 次方根用符号 a表示. ②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的 n 次方 n n n 根用符号 a表示,负的 n 次方根用符号- a表示.正负两个 n 次方根可以合写为± a (a>0). n ?n ③? ? a? = n . ④当 n 为奇数时, an= ?a≥0? ?a n ;当 n 为偶数时, an= |a|=? . ?-a ?a<0?

⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂: an ? a ? a ?
n个

? a (n ? N? ) ;②零指数幂: a0 ? 1(a ? 0)

③负整数指数幂:a ? p ?
? m n

m 1 n ( a ? 0, p ? N ) ;④正分数指数幂: a ? n am (a ? 0,m、n ? N + , 且n ? 1) ; ? p a

⑤负分数指数幂: a

?

1 a
m n

?

1
n

am

(a ? 0, m、n ? N ? , 且n ? 1)

⑥0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质 ① ar ? as =
s (a r) ② =

(a>0,r、s∈Q) (a>0,r、s∈Q) (a>0,b>0,r∈Q).

③ (ab) r =

9

3.指数函数的图象与性质

y ? ax

a>1

0<a<1

图象

定义域 值域

R

过定点 性质

.

当 x>0 时,y>1;x<0 时,0<y<1 当 x>0 时,0<y<1;x<0 时,y>1. 在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数

【基础练习】 1.写出下列各式的值: (a ? 0, a ? 1)
(3 ? ? ) ?
2

; 8 ? ______;

2 3

81

?

3 4

?



2.化简下列各式: (a ? 0, b ? 0) (1) 4a b
1

2 3

?

1 3

1 ? 2 ?1 3 ? (? a b 3 ) ? 3
? 1 2

; (2) (a2 ? 2 ? a?2 ) ? (a2 ? a?2 ) ? ; a 2 ? a ?2 ?



3、已知 a 2 ? a 考点一

? 3 ,则 a1 ? a ?1 ?



指数幂的化简与求值
1 4 3 2 1 4 3 2 ? 1 2 1 2

例 1、若 x>0,则 (2 x ? 3 )(2 x ? 3 ) ? 4 x ( x ? x ) ? 巩固练习 1、若 102 x ? 25 ,则 10? x ? .



?2 ? x ? 1, x ? 0, ? 2、设函数 f ( x) ? ? 1 , 若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是 2 ? x?0 ?x



3、化简求值:若 a ? a ?1 ? 3 ,求 a 2 ? a 2 及

1

?

1

a 4 ? a ?4 ? 4 的值; a 2 ? a ?2 ? 8
10

4、计算下列各式:
2 27 ? 1 7 ) 3 ? (2 )0.5 ; (1) (0.027) 3 ? ( 125 9

( 2)

1 ? ( 3 ? 1)0 ? 9 ? 4 5 ; 5?2

考点二

指数函数的性质

例 2、比较各组值的大小: (1) 0.40.2 , 0.20.2 , 2 0.2 , 21.6 ;
1 1 1 1 (3) ( ) 3 , ( ) 2 . 2 3

(2) a ? b , ab , a a ,其中 0 ? a ? b ? 1 ;

点评:比较同指不同底可利用幂函数的单调性,同底不同指可利用指数函数的单调性;另注意 通过 0,1 等数进行间接分类. 例 3、已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?
?2 x ? b 是奇函数,求 a , b 的值; 2 x ?1 ? a

巩固练习 1、函数 f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 对于任意的实数 x, y 都有( ) A. f ( xy) ? f ( x) f ( y) C. f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 2、设 3 x ?
1 ,则( 7

B. f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) D. f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)

) B.-3<x<-2
11

A.-2<x<-1

C.-1<x<0

D.0<x<1

3、将 y=2x 的图像 (

) 再作关于直线 y=x 对称的图像,可得到函数 y ? log 2 ( x ? 1) 的图像. B.先向右平行移动 1 个单位 D. 先向下平行移动 1 个单位 )
y 1 -1 O 1 x

A.先向左平行移动 1 个单位 C.先向上平行移动 1 个单位

4、函数 f ( x) ? a x?b 的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是( A. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0 B. a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0 .

5、函数 y ? a x 在 ?0,1? 上的最大值与最小值的和为 3,则 a 的值为 6、指数函数 f ( x) ? (a ? 1) x 是 R 上的单调减函数,则实数 a 的取值范围是

第4题



7、把函数 f ( x) 的图像分别沿 x 轴方向向左,沿 y 轴方向向下平移 2 个单位,得到 f ( x) ? 2x 的 图像,则 f ( x) ? .
1 是奇函数,则实数 a 的取值 4 ?1
x

8、已知函数 f ( x) ? a ?

. . .

1 9、要使 y ? ( ) x ? m 的图像不经过第一象限,则实数 m 的取值范围 2

10、已知函数 f ( x) ? a2 x?1 ?1 (a ? 0, a ? 1) 过定点,则此定点坐标为 11、若关于 x 的方程 4x ? 2x ? m ? 2 ? 0 有实数根,求实数 m 的取值范围.

五、对数与对数函数 基础自查 1.对数的概念 (1)对数的定义: 如果 ax=N(a>0 且 a≠1), 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. (2)几种常见对数 对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 特点 底数为 a(a>0 且 a≠1) 底数为 10 底数为 e 记法 logaN lg N lnN
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2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质:① aloga N = (2)对数的重要公式 ①换底公式:logbN= ②logab= logaN (a,b 均大于零且不等于 1); logab ;②logaaN= (a>0 且 a≠1).

1 ,推广 logab· logbc· logcd=logad. logba

(3)对数的运算法则:如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)= ③logaMn= M ;②loga N = n ;④log amMn= mlogaM . ;

3.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1

图象

定义域:(0,+∞);值域:R;过点 性质 当 x>1 时,y>0,当 0<x<1,y<0 是(0,+∞)上的增函数 4.反函数

. 当 x>1 时,y<0,当 0<x<1 时,y>0 是(0,+∞)上的减函数

指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线 【基础练习】 1、写出下列各式的值: (a ? 0, a ? 1)

对称.

loga 1 ? _________;

log a a ? __________;

log 1
2

? 4 _______.

2、求值: (1) log 1 (83 ? 45 ) ? ______; (2) (lg 2)3 ? 3lg 2 ? lg5 ? (lg5)3 ? __________;
2

(3) log2 3? log3 4 ? log4 5 ? log5 6 ? log6 7 ? log7 8 ? _________. 3、2 log510+log5 0.25= ( ) A.0 B.1 C.2 D.4
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4、若 a=log3π,b=log76,c=log20.8,则( A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b 5、函数 f(x)=log2(3x+1)的值域为(

)

D.b>c>a )

A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞) 1- x 6、已知函数 f(x)=lg ,若 f(a)=b,则 f(-a)等于 ( 1+ x A.b B.-b 1 C.b 1 D.-b )

2 7、若 loga >1,则 a 的取值范围是________. 3 考点一 【例 1】 对数式的化简与求值 log89 求值:(1) ; log23 (2)(lg 2)3+(lg 5)3+3lg 2lg 5;

1 32 4 (3) lg - lg 2 49 3

8+lg

245.

1 1 ? lg 9 ? lg 240 2 (4) ?1 2 36 1 ? lg 27 ? lg 3 5

巩固练习 1 1 1.(1)若 2a=5b=10,求a+b的值.(2)若 xlog34=1,求 4x+4-x 的值. 2.设 lg 321 ? a ,则 lg 0.321 ? 3.已知函数 f ( x) ? lg . .

1? x ,若 f (a) ? b ,则 f (?a) ? 1? x

4、设已知 f (x6) = log2x,那么 f (8)等于 考点二 对数函数性质的应用 【例 2】 已知函数 f(x)=ln(x+ x2+1) (1)证明 f(x)为奇函数;



(2)若 f(x)=ln(2+ 5),求 x 的值.

14

巩固练习 1、给出下列四个数:① (ln 2)2 ;② ln(ln 2) ;③ ln 2 ;④ ln 2 .其中值最大的序号是______. 2、设函数 f ( x) ? loga ( x ? b)(a ? 0, a ? 1) 的图像过点 (2,1) , (8, 2) ,则 a ? b 等于 3、函数 y ? loga ( x ? 3) ?1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A ,则定点 A 的坐标是 4、函数 f ( x) ? a x ? loga ( x ? 1)在[0,1] 上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值为 .





? 4x ? 4 , x ? 1 5、函数 f ?x ? ? ? 2 的图象和函数 g ?x ? ? log2 x 的图象的交点个数有_____个. ? x ? 4 x ? 3, x ? 1
6、若 x∈(e-1,1),a=ln x,b=2ln x,c=ln3x,则( A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a ) )

7、若函数 f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 等于( A. 2 2 B. 2 4 C. 1 4 D. 1 2

六、幂函数与二次函数 基础自查 1.幂函数的定义 一般地,形如 2.幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下,幂函数 y=x,y=x ,y=x , y ? x ,y=x-1 的图象分别如上图. 3.幂函数的性质 函数 性质 定义域 值 域 y=x R R 奇 增 y=x2 R [0,+∞) 偶 x∈[0, +∞)时,增 x∈(-∞,0]时,减 y=x3 R R 奇 增 y= x 2 [0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 增
1

(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数

是自变量,α 为常数.

2

3

1 2

y=x-1 {x|x∈R 且 x≠0} {y|y∈R 且 y≠0} 奇 x∈(0,+∞)时,减 x∈(-∞,0)时,减 (1,1)

奇偶性 单调性 定点

(0,0),(1,1)
15

4.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)

图象

定义域 值域

(-∞,+∞) 4ac-b2 [ ,+∞) 4a 在 x∈(-∞,- b ]上单调递减 2a

(-∞,+∞) 4ac-b2 (-∞, ] 4a 在 x∈(-∞,- 在 x∈[- b ]上单调递增 2a

单调性 在 x∈[- 奇偶性 顶点 对称性

b ,+∞)上单调递增 2a

b ,+∞)上单调递减 2a

当 b=0 时为偶函数,b≠0 时为非奇非偶函数 b 4ac-b (- , ) 2a 4a 图象关于直线 x=- b 成轴对称图形 2a
2

【基础练习】 1、已知二次函数 y ? x2 ? 3x ? 2 ,则其图像的开口向__ __;对称轴方程为__ 为__ __,与 x 轴的交点坐标为__ __,最小值为__ __. __ ,顶点坐标为 __;顶点坐标

2 、二次函数 y ? ? x2 ? 2mx ? m2 ? 3 的图像的对称轴为 x ? 2 ? 0 , 则 m ? ___ __________,递增区间为_____ _____,递减区间为_____ _____.

3、函数 y ? 2 x2 ? x ? 1的零点为____ ______. 4、 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 在区间 [0, m] 上有最大值 3, 最小值 2, 则 m 的取值范围是________. 5、已知函数 f(x)=x2-2x+2 的定义域和值域均为[1,b],则 b=( A.3 B.2 或 3 C.2 D.1 或 2 6、若二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足 f(x1)=f(x2)(其中 x1≠x2),则 f(x1+x2)等于 b A.- 2a b B.-a C.c 4ac-b2 D. 4a ( ) )

7、若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该 函数的解析式 f(x)=________.
16

8、已知幂函数 f(x)=xα 的部分对应值如右表:则不等式 f(|x|)≤2 的解集是( A.{x|-4≤x≤4} B.{x|0≤x≤4} C.{x|- 2≤x≤ 2} D.{x|0<x≤ 2} f(x) 1 x 1 1 2 2 2

)

9、 如果幂函数 y=xα 的图象, 当 0<x<1 时, 在直线 y=x 的上方, 那么 x 的取值范围是________. 考点一 二次函数的最值

例 1、已知函数 f ( x) ? 2x2 ? 2ax ? 3 在 [?1,1] 有最小值,记作 g (a) . (1)求 g (a) 的表达式; (2)求 g (a) 的最大值.

例 2、函数 f ( x) ?

1 2 ax ? x ? a (a ? R) 在区间 [ 2, 2] 的最大值记为 g (a) ,求 g (a) 的表达式. 2

点评:解答本题应注意两点:一是对 a ? 0 时不能遗漏;二是对 a ? 0 时的分类讨论中应同时考 察抛物线的开口方向,对称轴的位置及 y ? f ( x) 在区间 [ 2, 2] 上的单调性. 例 3、函数 f(x)=x2-2x+2 在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为 g(t). 试写出 g(t)的函数表达式;

巩固练习 1、若关于 x 的方程 x2 ? mx ? 4 ? 0 在 [?1,1] 有解,则实数 m 的取值范围是________________. 2、已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值.

17

3、分别根据下列条件,求实数 a 的值: (1)函数 f ( x) ? ? x2 ? 2ax ? 1 ? a 在在 [0,1] 上有最大值 2; (2)函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 在在 [?3, 2] 上有最大值 4.

考点二

一元二次方程与二次函数

例 4、 二次函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在[-1,3]上有且只有一个零点,求实数 a 的 取值范围.

巩固练习 1、已知二次函数的图像顶点为 A(1,16) ,且图像在 x 轴上截得的线段长为 8,则此二次函数的解 析式为________________.
1 2、若不等式 x 2 ? ax ? 1 ? 0 对于一切 x ? (0, ) 成立,则 a 的取值范围是________________. 2

3、若函数 y=mx2+x+5 在[-2,+∞)上是增函数,则 m 的取值范围是________. 4、当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是________. 5、已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且 f(x)>-2x 的解集为{x|1<x<3},方程 f(x)+6a=0 有 两相等实根,求 f(x)的解析式.
七、函数与方程

基础自查 1.函数的零点 (1)函数零点的定义: 对于函数 y=f(x), 我们把使 (2)几个等价关系: 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有 (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 那么,函数 y=f(x)在区间 就是方程 f(x)=0 的根. 2.二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
18

的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点.



不断的一条曲线,并且有



内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也

Δ >0 二次函数 y= ax2 + bx + c (a >0)的图象 与 x 轴的交点 零点个数 两个 .

Δ =0

Δ <0

. 无交点 一个 无

3.二分法求方程的近似解 (1)二分法的定义:对于在区间[a,b]上连续不断且 通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间 近 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 的函数 y=f(x), ,使区间的两个端点逐步逼

(2)给定精确度ε ,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下: ①确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度ε ;②求区间(a,b)的中点 c;③计算 f(c); (ⅰ)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点;(ⅱ)若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); (ⅲ)若 f(c)· f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)).④判断是否达到精确度ε .即:若|a-b| <ε ,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复②③④. 【基础练习】 1.函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 4 在区间 [?4, ?1] 有_______个零点. 2.已知函数 f ( x) 的图像是连续的,且 x 与 f ( x) 有如下的对应值表:

x
f ( x)

1 -2.3

2 3.4

3 0

4 -1.3

5 -3.4

6 3.4

则 f ( x) 在区间 [1, 6] 上的零点至少有____个. 3、若函数 y=f(x)在 R 上递增,则函数 y=f(x)的零点( A.至少有一个 B.至多有一个 ) D.可能有无数个 )

C.有且只有一个

4、如图所示的函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 (

A.①②

B.①③

C.①④

D.③④
19

4 5、函数 f(x)=x-x的零点的个数是(

)

A.0 B.1 C.2 D.3 ) D.(1,2)

6、函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1)

7、已知函数 f(x)=x2+x+a 在区间(0,1)上有零点,则实数 a 的取值范围是________. 考点一 函数零点与零点个数的判断 )

【例 1】 函数 f(x)=log3x+x-3 的零点一定在区间 ( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 巩固练习
2 ?x +2x-3, x≤0 1、函数 f(x)=? 的零点个数为( ?-2+ln x, x>0

)

A.0 B.1

C.2 D.3 .

2、 设 f ( x) ? 3ax ? 2a ? 1 ,a 为常数. 若存在 x0 ? (0,1) , 使得 f ( x0 ) ? 0 , 则实数 a 的取值范围是

? x 2 ? bx ? c, x ? 0, 3、设函数 f ( x) ? ? 若 f (?4) ? f (0) , f (?2) ? ?2 ,则关于 x 的方程 f ( x) ? x 解的 2, x ? 0. ?
个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )

4、下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是(

5、函数 f(x)=ln x-

1 的零点的个数是( x- 1

)

A.0 个 )

B. 1 个

C.2 个

D.3 个

6、下列函数中在区间[1,2]上一定有零点的是(

A.f(x)=3x2-4x+5 B.f(x)=x3-5x-5 C.f(x)=mx-3x+6 D.f(x)=ex+3x-6 7、用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0 可得其中 一个零点 x0∈________,第二次应计算________. 8、函数 f(x)=2-x+x2-3 的零点个数是________. 9、若函数 f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点是 2,那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是________.

20

2014—2015 学年第一学期高一数学期末复习资料:函数部分 一、函数的概念及其表示 参考答案 基础自查

参考答案

1、 (1)数集;任意;唯一; (2)定义域; (3)定义域; (4)对应关系;2、图像法;3、唯一; 【基础练习】 1、②④⑤;2、②③;3、(1)R;(2) {x x ? ?1 } ;(3) [?1,0) ? (0,??) ;(4) (??,?1) ? (?1,0) ; 4、6x-7;6x+4 考点一 求函数的定义域

|x-2|-1≥0 ? ? 例 1:解:(1)要使函数 f(x)有意义,必须且只须?x-1>0 ? ?x-1≠1 解不等式组得 x≥3,因此函数 f(x)的定义域为[3,+∞).



?x+1>0 ?x>-1 ? ? (2)要使函数有意义,必须且只须? 即? ,解得:-1<x<1 2 ?-x -3x+4>0 ??x+4??x-1?<0 ? ?

因此 f(x)的定义域为(-1,1). 巩固练习 解: (1)① 由题意得: ?

? ?2 ? x ? 0, 解得 x ? ?1 且 x ? ?2 或 x ? 1 且 x ? 2 , 2 x ? 1 ? 0, ? ?

故定义域为 (??, ?2) ? (?2, ?1] ? [1, 2) ? (2, ??) . ② 由题意得: log 1 (2 ? x) ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 ,故定义域为 (1, 2) .
2

③ ( ??, 0] ;④ (1,2) ? (2,3) ; ⑤ [?

1 3 , 0) ? ( ,1] 4 4

2+x 2、解析:f(x)=lg 的定义域为(-2,2),由 2-x

?-2<2<2, ? 2 ?-2<x<2,

x

解得-4<x<-1 或 1<x<4. 答案:B

考点二

求函数的解析式

? ?c ? 6, ? a ? 2, ? ? ? 2 例 2、解法一:设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,则 ?4a ? 2b ? c ? 6, 解得 ?b ? ?4, ?c ? 6. ? 4ac ? b 2 ? ? ? 4. ? 4a ?
故所求的解析式为 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 6 .
2

21

解法二:

f (0) ? f (2) ,? 抛物线 y ? f ( x) 有对称轴 x ? 1 .故可设 f ( x) ? a( x ?1)2 ? 4(a ? 0) .

将点 (0, 6) 代入解得 a ? 2 .故所求的解析式为 f ( x) ? 2 x2 ? 4 x ? 6 . 解法三:设 F ( x) ? f ( x) ? 6. ,由 f (0) ? f (2) ? 6 ,知 F ( x) ? 0 有两个根 0,2, 可设 F ( x) ? f ( x) ? 6 ? a( x ? 0)( x ? 2) (a ? 0) ,? f ( x) ? a( x ? 0)( x ? 2) ? 6 , 将点 (1, 4) 代入解得 a ? 2 .故所求的解析式为 f ( x) ? 2 x2 ? 4 x ? 6 . 点评:三种解法均是待定系数法,也是求二次函数解析式常用的三种形式:一般式,顶点式,零点式. 巩固练习 1、15;2、 y ?

3 3 ? x ? 1 (0 ? x ? 2) ; 2 2
a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1

3、解:(1)设 f(x)=ax2+bx

ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1
? ?2a+b=b+1 ∴? ?a+b=1 ?

1 1 1 1 解得 a= ,b= .因此 f(x)= x2+ x 2 2 2 2

?1? f?x?+2f? ?=2x+1, ? ? ?x? 4、由已知得? ?1?+2f?x?=2+1, ? ? ?f? x ?x?
考点三:分段函数

2 1? 4+x-2x 1 1 ? 消去 f? ?,得 f(x)= . 5、3; ; 2 ; 3x ?x? 7 x ?3

例 3、解析:由 f(-4)=f(0),得 b=4,再由 f(-2)=-2,得 c=2, ∴x>0 时,显然 x=2 是方程 f(x)=x 的解;x≤0 时,方程 f(x)=x 即为 x2+4x+2=x,解得

x=-1 或 x=-2,综上,方程 f(x)=x 解的个数为 3.答案:C
巩固练习 1、

4 ;2、0;3、-2;4、2;5、-3; 13

二、函数的单调性 基础自查

参考答案

1、 (1)任意;f(x1)<f(x2)( f(x1)>f(x2)); (2)区间 D;2、任意;存在; 【基础练习】
(-?, 1] ;4、 (1, ??) ;5、②;6、A; 1、②;2、R;3、
3 例 1、证明: (1)对于区间 (??, ] 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 4

因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?2x12 ? 3x1 ?1 ? (?2x22 ? 3x2 ?1) ? 2x22 ? 2x12 ? 3x1 ? 3x2
? ( x1 ? x2 )[3 ? 2( x1 ? x2 )] ,
22

又 x1 ? x2 ?

3 3 ,则 x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? ,得 3 ? 2( x1 ? x2 ) ? 0 , 4 2

故 ( x1 ? x2 )[3 ? 2( x1 ? x2 )] ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
3 所以,函数 f ( x) ? ?2x2 ? 3x ?1 在区间 (??, ] 上是单调增函数. 4

(2)对于区间 (??, ?1) 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 3( x1 ? x2 ) , ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

又 x1 ? x2 ? ?1 ,则 x1 ? x2 ? 0 , ( x1 ? 1) ? 0 , ( x2 ? 1) ? 0 得, ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0 故
3( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

2x ?1 在区间 (??, ?1) 上是单调增函数. x ?1 2x ?1 同理,对于区间 (?1, ??) ,函数 f ( x) ? 是单调增函数; x ?1 2x ?1 所以,函数 f ( x) ? 在区间 (??, ?1) 和 (?1, ??) 上都是单调增函数. x ?1

所以,函数 f ( x) ?

巩固练习 1、减;2、25;3、 [?16, ??) ; 4、解:设对于区间 (?2, ??) 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
ax1 ? 1 ax2 ? 1 (1 ? 2a)( x2 ? x1 ) ? ? ?0, x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

1 . 2 5、解析:∵y=1-x2 的对称轴为 x=0,且开口向下,∴(-∞,0)为其单调递增区间.答案:

x1 ? x2 ? 0 , ( x1 ? 2) ? 0 , ( x2 ? 2) ? 0 得, ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 0 ,?1 ? 2a ? 0 ,即 a ?

A 6、解析:本题考查对函数单调性概念的理解程度;注意函数在两个区间上如果分别为增,

?3a-2<0, 并不能简单的说函数在并集上增,故由题意知需满足:?0<a<1, ??3a-2?· 1+6a-1≥a1,
3 2 ? ≤a< .答案:C 8 3 7、解析:由已知 y=f(x)在[0,+∞)上递减,f(a)≤f(2)? f(|a|)≤f(2)?|a|≥2? a≤-2 或 a≥2.
23

答案:D
三、函数的奇偶性 参考答案 【基础自查】1、任意;y 轴;f(-x)=-f(x);原点;2、 (2)-f(x);f(x);3、有 f(x+T)=f(x); 【基础练习】 1、①④;②;③;2、-1;3、A;4、C;5、0;

6、解析:当 x=0 时,f(0)=-f(0),即 f(0)=0.当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-x2+x-1,

?x +x+1 ∴f(x)=?0 ?-x2+x-1
考点一 判断函数的奇偶性 1-x2+ 【例 1】解析:①f(x)=

2

x>0, x=0, x<0.

?x +x+1 答案:?0 ?-x2+x-1

2

x>0 x=0 x<0

x2-1的定义域为{-1,1},又 f(-x)=± f(x)=0,

则 f(x)=

1-x2+

x2-1是奇函数,也是偶函数;

②f(x)=x3-x 的定义域为 R,又 f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x), 则 f(x)=x3-x 是奇函数; ③由 x+ x2+1>x+|x|≥0 知 f(x)=ln(x+ x2+1)的定义域为 R, 又 f(-x)=ln(-x+ ?-x?2+1)=ln x+ 1 =-ln(x+ x2+1)=-f(x),则 f(x)为奇函数; 2 x +1

3x-3-x 3-x-3x 3x-3-x ④f(x)= 的定义域为 R,又 f(-x)= =- =-f(x),则 f(x)为奇函数; 2 2 2 ⑤由 1-x 1-x >0 得-1<x<1,f(x)=ln 的定义域为(-1,1), 1+x 1+x

1+x 1-x ?1-x?-1 ? =-ln 又 f(-x)=ln =ln? =-f(x),则 f(x)为奇函数.答案:D 1-x 1+x ?1+x?
巩固练习 1、解: (1)定义域为 x ? R ,关于原点对称; 所以 f ( x ) 为偶函数. (2)定义域为 x ? R ,关于原点对称;

f ( ? x) ?

(1 ? 2? x )2 22 x ? (1 ? 2? x ) 2 (1 ? 2 x ) 2 ? ? ? f ( x) , 2? x 22 x ? 2? x 2x

f (? x) ? f ( x ) ? lg(? x ? x 2 ? 1) ? lg( x ? x 2 ? 1) ? lg1 ? 0 ,

? f (? x) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数.
(3)定义域为 x ? (??,0) ? (0, ??) ,关于原点对称;

f ( x) ? 0 ,? f (? x) ? ? f ( x) 且 f (? x) ? f ( x) ,

24

所以 f ( x ) 既为奇函数又为偶函数. (4)定义域为 x ?[?1,1) ,不关于原点对称;故 f ( x ) 既不是奇函数也不是偶函数. (5) 定义域为 x ? R , 关于原点对称; 既不是奇函数也不是偶函数. (6)定义域为 x ? R ,关于原点对称;
2 2 ? ? ??(? x) ? (? x) (? x ? 0), ?? x ? x ( x ? 0), f (? x) ? ? ? f ( ? x ) ? , 又 f (0) ? 0 , ? 2 2 ( ? x ? 0). ( x ? 0). ( ? x ) ? ( ? x ) x ? x ? ? ? ?

则 f (?1) ? f (1) 且 f (?1) ? ? f (1) , 故 f ( x) f (?1) ? 4 , f (1) ? 2 ,

?? x 2 ? x ( x ? 0), ? ? f (? x) ? ? 2 ? f (? x) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数. ? ? x ? x ( x ? 0).
考点二 函数奇偶性的应用
2

例 2.解:设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,? f (? x) ? x ? 2 x ? 2 .
2 又 f ( x ) 是奇函数,? f (? x) ? ? f ( x) ,? f ( x) ? ? f (? x) ? ? x ? 2 x ? 2 .

? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 0 ? x ? 0. 当 x ? 0 时, f (0) ? 0 .综上, f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? ?0, ?? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 0 ?
作出 f ( x ) 的图像,可得增区间为 (??, ?1] , [1, ??) ,减区间为 [?1, 0) , (0,1] . 巩固练习

1、D;2、B;3、1,3; 4、

5 ;5、 (-2,2) ; 2

6、解析:由 f(-0)=-f(0),即 f(0)=0.则 b=-1,f(x)=2x+2x-1,f(-1)=-f(1)=-3. 答案:D 7、解析:f(4)=f(-1)=-f(1)=-1 f(3)=f(-2)=-f(2)=-2
-x

f(3)-f(4)=-1.

答案:A

8、解析:由已知条件 f(-x)=-f(x) 即 1 1 即 a= .答案: 2 2

1 1 +a=- x -a 整理得:-1+2a=0, 2 -1 2 -1

9、(1)解:只需求出 f(x)在 x∈(-1,0)和 x=± 1,x=0 时的解析式即可,因此,要注意应 用奇偶性和周期性,当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1). ∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=- 2-x 2x =- , 4-x+1 4x+1
25

由 f(0)=f(-0)=-f(0),且 f(1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1),得 f(0)=f(1)=f(-1)=0.
x∈?0,1?, ? 2 ∴在区间[-1,1]上有 f(x)=? - x∈?-1,0?, 4 +1 ?0 x∈{-1,0,1}.
x x x

2x 4 +1

2x (2)证明:当 x∈(0,1)时,f(x)= x . 4 +1 设 0<x1<x2<1,f(x1)-f(x2)= ?2x2-2x1??2x1+x2-1? 2x1 2x2 - = . 4x1+1 4x2+1 ?4x1+1??4x2+1?

∵0<x1<x2<1,∴2x2-2x1>0,2x1+x2-1>0.∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 故 f(x)在(0,1)上单调递减.
四、指数与指数函数

参考答案

基础自查:1.(1)xn=a;(2)a;a; 【基础练习】 1、 (1) ? ? 3 ; (2)4; (3) 考点一
1 a2 ?1 ;2、 (1) ?6a ; (2) 2 ;3、7;47; 27 a ?1

指数幂的化简与求值

例 1、-23; 巩固练习 考点二
1 1、 ;2、 (-∞,-1)∪(1,+∞) ; 5

指数函数的性质

例 2、解: (1) 0.20.2 ? 0.40.2 ? 0.40 ? 1,而 1 ? 20.2 ? 21.6 ,? 0.20.2 ? 0.40.2 ? 20.2 ? 21.6 .
1 1 1 1 1 1 (2) 0 ? a ? 1 且 ?b ? a ? b ,? a ?b ? a a ? ab . (3) ( ) 3 ? ( ) 2 ? ( ) 2 . 2 2 3

例 3、解:因为 f ( x) 是奇函数,所以 f (0) =0,即

b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1? f ( x) ? a?2 a ? 2 x ?1

1 1? 1? 2 又由 f(1)= -f(-1)知 ? ? 2 ? a ? 2. a?4 a ?1 巩固练习 1、C;2、A;3、D;4、C;5、 ;
1 9 11、解:由 4x ? 2 x ? m ?2 ?0 得, m ? ?4 x ? 2 x ? 2 ? ?(2 x ? ) 2 ? ? 2 ,? m ? (?? ,2) 2 4
五、对数与对数函数

参考答案
26

基础自查:1.x=logaN; 【基础练习】 1.0,1,-4;2、 (1)-38; (2)1; (3)3;3、C;解析:log25 5 =2. 答案:C 答案:A

4、A;解析:由 a=log3π>1,0<b=log76<1,c=log20.8<0 知 a>b>c. 5、A;解析:设 y=f(x),t=3x+1.则 y=log2t,t=3x+1,x∈R. 由 y=log2t,t>1 知函数 f(x)的值域为(0,+∞).答案:A 6、B;答案:B 考点一 【例 1】 ?2 ? 7、答案:? ,1?; ?3 ? log2332 2 = . log23 3

对数式的化简与求值 解:(1)原式=

(2)原式=(lg 2+lg 5)(lg22-lg 2lg 5+lg25)+3lg 2lg 5=lg22+2lg 2lg 5+lg25=(lg 2+lg 5)2=1. 1 4 3 1 (3)解法一:原式= (5lg 2-2lg 7)- × lg 2+ (2lg 7+lg 5) 2 3 2 2 5 1 1 1 1 = lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+ lg 5= (lg 2+lg 5)= lg 10= . 2 2 2 2 2 4 2×7 5 4 2 1 解法二:原式=lg -lg 4+lg(7 5)=lg =lg 10= . 7 2 7×4
1 lg10 ? lg 3 ? lg 240 (4)原式= ?1 ? 8 ? 1 ? 0 ; 36 lg 8 lg10 ? lg 9 ? lg 5 lg

巩固练习 1 1 1.解:(1)由已知 a=log210,b=log510,则a+b=lg 2+lg 5=lg 10=1. 1 10 (2)由已知 x=log43,则 4x+4-x=4log43+4-log43=3+ = . 3 3 2、a-3;3、-b;4、0.5; 考点二 对数函数性质的应用

【例 2】(1)证明:∵x+ x2+1>x+|x|≥0,∴f(x)的定义域为 R.f(-x)=ln(-x+ x2+1) 1 =ln =ln(x+ x2+1)-1=-f(x),因此 f(x)为奇函数. 2 x+ x +1 (2)解:由 f(x)=ln(2+ 5),即 x+ 巩固练习 x2+1=2+ 5,解得 x=2.

1、4;2、5;3、 (-2,-1) ;4、0.5;5、3;

1 6、解析:∵ <x<1∴-1<a=ln x<0.2ln x<ln x,即 b<a, e
27

又 a-c=lnx-ln3x=lnx(1-ln x)(1+ln x)<0 则 a<c,因此 b<a<c.答案:C 7、解析:∵0<a<1,∴f(x)=logax 在[a,2a]上为减函数, 2 2 ∴f(x)max=logaa=1,f(x)min=loga 2a=1+loga2∴1=3(1+loga2)即 loga2=- ,∴a= .答案: 3 4 B
六、幂函数与二次函数

参考答案
3 3 1 1 ; ( , ? ) ; (1,0),(2,0) ; ? ; 2 2 4 4

【基础练习】

1、上; x ?

1 2、-2; (-2,3) ; (??, ?2] ; [?2, ??) ;3、 1, ? ;4、[1,2]; 2

f?1?=1 ? 5、解析:函数 f(x)=x2-2x+2 在[1,b]上递增,由已知条件?f?b?=b ?b>1 解得 b=2.答案:C

2 ?b -3b+2=0 ,即? ?b>1

6、解析:由 f(x1)=f(x2)知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 图象的对称轴为 x= b 因此 f(x1+x2)=f(-a)=c. 答案:C

x1+x2 , 2

7、解析:f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2 由已知条件 ab+2a=0,又 f(x)的值域为(-∞,4],则

? a≠ 0 ?b=-2 ?2a2=4

因此 f(x)=-2x2+4.

答案:-2x2+4

8、解析:由表知 A

2 ?1?α 1 1 1 =?2? ,∴α= ,∴f(x)=x . ∴(|x|) ≤2,即|x|≤4,故-4≤x≤4. 答案: 2 ? ? 2 2 2

9、解析:当 0<x<1 时,xα>x,则由指数函数的性质 α<1. 答案:(-∞,1) 考点一 二次函数的最值
a , 2

例 1、解: (1)由 f ( x) ? 2x2 ? 2ax ? 3 知对称轴方程为 x ? 当
a ? ?1 时,即 a ? ?2 时, g (a) ? f (?1) ? 2a ? 5 ; 2

当 ?1 ?

a a a2 ? 1 ,即 ?2 ? a ? 2 时, g (a) ? f (? ) ? 3 ? ; 2 2 2
28

?2a ? 5, (a ? ?2) ? a ? a2 当 ? 1 ,即 a ? 2 时, g (a) ? f (1) ? 5 ? 2a ;综上, g (a ) ? ?3 ? , (?2 ? a ? 2) . 2 2 ? 5 ? 2 a, (a ? 2) ? ?

(2) 当 a ? ?2 时,g (a) ? 1 ; 当 ?2 ? a ? 2 时,g (a) ? 3 ; 当 a ? 2 时,g (a) ? 1 . 故当 a ? 0 时,g (a) 的最大值为 3.
1 1 例 2、 解: ∵直线 x ? ? 是抛物线 f ( x) ? ax 2 ? x ? a 的对称轴, ∴可分以下几种情况进行讨论: a 2

(1)当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) , x ?[ 2, 2] 的图象是开口向上的抛物线的一段, 由x??
1 ? 0 知 f ( x) 在 x ?[ 2, 2] 上单调递增,故 g (a) ? f (2) ? a ? 2 ; a

(2)当 a ? 0 时, f ( x) ? x , x ?[ 2, 2] ,有 g (a) =2; (3)当 a ? 0 时, ,函数 y ? f ( x) , x ?[ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,
1 2 若 x ? ? ? (0, 2 ] 即 a ? ? 时, g (a) ? f ( 2) ? 2 , a 2 1 1 1 2 1 若 x ? ? ? ( 2 ,2] 即 a ? (? , ,? ] 时, g (a) ? f (? ) ? ? a ? a a 2a 2 2 1 1 若 x ? ? ? (2,??) 即 a ? (? ,0) 时, g (a) ? f (2) ? a ? 2 . a 2

? ? a?2 ? 1 ? 综上所述,有 g (a) = ?? a ? 2a ? ? 2 ? ?
例 3、解:(1)f(x)=(x-1)2+1 当 t<1<t+1,0<t<1 综上可知 g(t)=?1,
2

1 (a ? ? ) 2 2 1 , (? ? a ? ? ). 2 2 2 (a ? ? ) 2
当 t+1≤1,t≤0 时 g(t)=t2+1

g(t)=f(1)=1

当 t≥1,g(t)=f(t)=(t-1)2+1

?

t2+1≤0,t≤0 0<t<1

?t -2 t+2,t≥1

巩固练习

1、 (??, ?5] ?[5, ??)

2、解:f(x)=-(x-a)2+a2-a+1, 当 a≥1 时,ymax=a;当 0<a<1 时,ymax=a2-a+1;当 a≤0 时,ymax=1-a.
29

?a≥1, ?a≤0 ?0<a<1 根据已知条件:? ,或? 2 或? ,解得 a=2,或 a=-1. ?a -a+1=2 ?a=2 ?1-a=2 3、解: (1)当 a ? 0 时, f ( x)max ? f (0) ,令 1 ? a ? 2 ,则 a ? ?1 ; 当 0 ? a ? 1 时, f ( x)max ? f (a) ,令 f (a) ? 2 ,? a ?
1? 5 (舍) ; 2

当 a ? 1 时, f ( x)max ? f (1) ,即 a ? 2 .综上,可得 a ? ?1 或 a ? 2 .
3 (2)当 a ? 0 时, f ( x)max ? f (2) ,即 8a ? 1 ? 4 ,则 a ? ; 8 3 当 a ? 0 时, f ( x)max ? f (?1) ,即 1 ? a ? 4 ,则 a ? ?3 .综上, a ? 或 a ? ?3 . 8

考点二

一元二次方程与二次函数

例 4、解:Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9a2-16a+8>0,f(-1)=-2a+2, f(3)=10a+2. (1)若 f(-1)=0,a=1,f(x)=x2+x,其零点为 x=0,x=-1,a=1 舍去. 1 13 6 2 2 1 (2)若 f(3)=0,a=- , f(x)=x2- x- =(x+ )(x-3).其零点为 x=- ,x=3,a=- 应 5 5 5 5 5 5 舍去. (3)由 f(-1)f(3)<0,即(a-1)(5a+1)>0 1 解得 a<- ,或 a>1. 5

1 综上实数 a 的取值范围是(-∞,- )∪(1,+∞). 5 巩固练习
5 1、 y ? ?x2 ? 2x ? 15 ;2、 [? , ??) ; 2

m>0 ? ? 3、解析:由已知条件当 m=0,或? 1 时,函数 y=mx2+x+5,在[-2+∞]上是 - ≤ - 2 ? ? 2m 1 增函数,解得 0≤m≤ . 4 1 答案:[0, ] 4

?f?1?≤0 4、解析:解法一:只需满足? ,解得 m≤-5. ?f?2?≤0 ? 4? ? 4? 解法二:当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 可化为 m<-?x+x?.设 g(x)=-?x+x?. ? ? ? ? g(x)在(1,2)递增,则 g(x)>g(1)=-5,因此 m≤-5.答案:(-∞,-5] 5、解:设 f(x)+2x=a(x-1)(x-3)(a<0) 则 f(x)=ax2-4ax+3a-2x 16a2+16a+4-36a2=0

f(x)+6a=ax2-(4a+2)x+9a,Δ=(4a+2)2-36a2=0
30

20a2-16a-4=0

1 5a2-4a-1=0, (5a+1)(a-1)=0 解得 a=- ,a=1 舍去 5

1 因此 f(x)的解析式为 f(x)=- (x-1)(x-3). 5
七、函数与方程

参考答案

基础自查 1、 (1)f(x)=0; (2)零点; (3)连续;f(a)f(b)<0; (a,b) ;3、f(a)f(b)<0;一分为二;零点; 【基础练习】 4 1.1;2、3;3、答案:B;4、答案:B;5、解析:由 x-x=0 解得 x=2 或 x=-2.答案:C 6、解析:f(-1)=2-1-3=- 答案:B 7、解析:函数 f(x)=x2+x+a 在(0,1)上递增.由已知条件 f(0)f(1)<0,即 a(a+2)<0, 解得-2<a<0.答案:(-2,0) 考点一 函数零点与零点个数的判断 5 2 f(0)=1 则 f(x)=2x+3x 在(-1,0)上有唯一的一个零点.

【例 1】解析:解法一:函数 f(x)=log3x+x-3 的定义域为(0,+∞), 并且在(0,+∞)上递增连续,又 f(2)=log32-1<0,f(3)=1> 0,∴函数 f(x)=log3x+x-3 有唯一的零点且零点在区间(2,3)内. 解法二:方程 log3x+x-3=0 可化为 log3x=3-x,在同一坐标系中作出 y=log3x 和 y= 3-x 的图象如图所示,可观察判断出两图象交点横坐标在区间(2,3)内.答案:C 巩固练习 1、解析:当 x≤0 时,x2+2x-3=0,解得 x=1 或 x=-3,则 f(x)在(-∞,0)上有一个零点; 当 x>0 时,-2+ln x=0,解得 x=e2,则 f(x)在(0,+∞)上有一个零点,所以 f(x)共有两个零 点,故选 C.答案:C
1 2、 (??, ?1) ? ( , ??) ;3、C; 2

4、解析:图 A 没有零点,因此不能用二分法求零点.图 B 的图象不连续.图 D 在 x 轴下方没 有图象,故只有 C 图可用二分法求零点.答案:C 5、解析:本题考查了学生的画图能力,构造函数等方法.这种题型很好地体现了数形结合的 数学思想.构建函数 h(x)=ln x,g(x)= 图象可知有两个交点. 答案:C
31

1 ,f(x)的零点个数即 h(x)与 g(x)交点的个数.画出 x- 1

6、解析:对选项 D,∵f(1)=e-3<0,f(2)=e2>0,∴f(1)f(2)<0.答案:D 7、解析:∵f(x)=x3+3x-1 是 R 上的连续函数,且 f(0)<0,f(0.5)>0,则 f(x)在 x∈(0,0.5)上 存在零点,且第二次验证时需验证 f(0.25)的符号.答案:(0,0.5) f(0.25)

8、解析:令 2-x+x2-3=0,即 2-x=3-x2 在同一坐标系中作出 y=2-x 与 y=3-x2 的图象如图 所示,因此 f(x)=2-x+x2-3 有两个零点.答案:2 9、解析:由已知条件 2a+b=0,即 b=-2a 1 1 ? 1? g(x)=-2ax2-ax=-2ax?x+2?则 g(x)的零点是 x=0,x=- .答案:0,- ? ? 2 2

32


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