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基本不等式


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【考点 20】基本不等式
2009 年考题
1 1 1.(2009 天津高考)设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3a 与3b的等比中项,则 ? 的最小值为( a b



A 8



B 4

C1

D

1 4

【解析】选 B. 因为 3 a ? 3 b ? 3 ,所以 a ? b ? 1 ,

1 1 1 1 b a b a ? ? (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4, a b a b a b a b
当且仅当

b a 1 ? 即 a ? b ? 时“=”成立,故选择 B. a b 2
x y

2.(2009 天津高考)设 x, y ? R, a ? 1, b ? 1, 若a ? b ? 3, a ? b ? 2 3 , 则

1 1 ? 的最大值为( x y



A.2

B.

3 2

C.1

D.

1 2

【解析】选 C. 因为 a x ? b y ? 3, x ? loga 3, y ? logb 3 ,

1 1 a?b 2 ? ? log3 ab ? log3 ( ) ? 1 (当且仅 x y 2

当 a=b= 3 时等号成立). 3.(2009 重庆高考)已知 a ? 0, b ? 0 ,则 A.2 B. 2 2

1 1 ? ? 2 ab 的最小值是( a b
C.4

) D.5

【解析】选 C. 因为

1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ab ? 2 ? 2 ab ? 2( ? ab ) ? 4 当且仅当 ? , a b a b ab ab



1 ? ab ,即 a ? b 时,取“=”号。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ab

4.(2009 湖南高考)若 x∈(0,

? ? )则 2tanx+tan( -x)的最小值为 . 2 2 ? ? 1 ? 0, 所以 【解析】由 x ? (0, ) ,知 tan ? ? 0, tan( ? ? ) ? cot ? ? 2 2 tan ?

2 ? 1 2 tan ? ? tan( ? ? ) ? 2 tan ? ? ? 2 2, 当且仅当 tan ? ? 时取等号,即最小值是 2 2 。 2 tan ? 2
答案: 2 2 5.(2009 湖南高考)若 x ? 0 ,则 x ? 【解析】

2 的最小值为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m x 2 2 x ? 0 ? x ? ? 2 2 ,当且仅当 x ? ? x ? 2 时取等号. x x

答案: 2 2
6.(2009 湖南高考)若 x ? 0 ,则 x ? 【解析】选

2 的最小值为 x

.

x ? 0 ? x?

2 2 ? 2 2 ,当且仅当 x ? ? x ? 2 时取等号. x x

答案: 2 2
7.(2009 江苏高考)按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为 a 元,如果他卖出该产品的单 价为 m 元,则他的满意度为 m

m?a

;如果他买进该产品的单价为 n 元,则他的满意度为 n .如果一个人
n?a

对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 h1 和 h2 ,则他对这两种交易的综合满意度为

h1h2 .

现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元,乙生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元,设产品 A、B 的单价分别为 m A 元和 mB 元,甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h甲 ,乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙 (1)求 h甲 和 h乙 关于 m A 、 mB 的表达式;当 mA (2)设 mA 为多少? (3)记(2)中最大的综合满意度为 h0 ,试问能否适当选取 m A 、mB 的值,使得 h 甲 ? h0 和 h 乙 成立,但等号不同时成立?试说明理由。 【解析】(1)

3 ? mB 时,求证: h甲 = h乙 ; 5

3 ? mB ,当 mA 、 mB 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度 5

? h0 同时

3 当 m A ? mB 时, h甲 ? 5

mB mB 2 ? 3 (mB ? 20)(mB ? 5) , mB ? 12 mB ? 5 5 ?

3 mB 5

h乙 ?

3 mB mB mB 2 5 ? ? , 3 m ? 20 ( m ? 5)( m ? 20) B B B mB ? 3 5

h甲 = h乙

(2)当 mA

3 ? mB 时, 5

h甲 =

mB 2 1 1 ? ? , 20 5 1 2 1 (mB ? 20)(mB ? 5) (1 ? )(1 ? ) 100( ) ? 25 ?1 mB mB mB mB

由 mB ? [5, 20]得

1 1 1 1 1 ? 即 mB ? 20, mA ? 12 时, ?[ , ] ,故当 mB 20 5 mB 20
10 。 5

甲乙两人同时取到最大的综合满意度为

(3)由(2)知: h0 = 由 h甲 =

10 5

mA mB 10 m ? 12 mB ? 5 5 得: A ? ? h0 ? ? ? , mA mB 2 mA ? 12 mB ? 5 5



1 5 3 5 ? x, ? y, 则 x、y ? [ ,1] ,即: (1 ? 4 x)(1 ? y ) ? 。 4 2 mA mB
5 10 得: (1 ? x )(1 ? 4y ) ? 2 5

同理,由 h乙 ? h0 ?

1 ? x、1+y ?[ ,2], 另一方面, x、y ? [ ,1] 1 ? 4x、1+4y ?[2,5],
3 3 5 5 1 (1 ? 4)(1 ? y ) ? , (1 ? x)(1 ? 4y) ? , 当且仅当 x ? y ? , 即 m A = mB 时, 取等号。 由 (1) 知 m A = mB 5 5 2 2 4
时 h 甲=h 乙 所以不能否适当选取 m A 、 mB 的值,使得 h甲 ? h0 和 h乙 ? h0 同时成立,但等号不同时成立。 8. (2009 湖北高考) 围建一个面积为 360m2 的矩形场地, 要求矩形场地的一面利用旧墙 (利用旧墙需维修) , 其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费 用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:米),修建此矩形场地围墙的总费用 为 y(单位:元) 。

1 4

5 2

(Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数:w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。 【解析】 (1)如图,设矩形的另一边长为 a m,则 y 2 =45x+180(x-2)+180· 2a=225x+360a-360 由已知 xa=360,得 a=

360 , x

所以 y=225x+

3602 ? 360( x ? 0) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m x 3602 ? 2 225 ? 3602 ? 10800 x

(II)

x ? 0,? 225 x ?

3602 3602 ? y ? 225x ? ? 360 ? 10440.当且仅当 225x= 时,等号成立. x x
即当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元.

2008 年考题 1、 (2008 四川高考)已知等比数列 {an } 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是( (A) (??, ?1] (B) (??,0)
(1, ??)

)

(C) [3, ??)

(D) (??, ?1] [3, ??)

【解析】选 D.方法 1:∵等比数列 {an } 中 a2 ? 1 ∴当公比为 1 时, a1 ? a2 ? a3 ? 1 , S3 ? 3 ; 当公比为 ?1 时, a1 ? ?1, a2 ? 1, a3 ? ?1 , S3 ? ?1 从而淘汰(A) (B) (C)故选 D; 方法 2:∵等比数列 {an } 中 a2 ? 1 ∴ S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a2 (1 ? q ? 1 ) ? 1 ? q ? 1 ∴当公比 q ? 0 时, q q

S3 ? 1 ? q ? 1 …1 ? 2 q ? 1 ? 3 ;当公比 q ? 0 时, S3 ? 1 ? (?q ? 1 ) ? 1 ? 2 ?q ? (? 1 ) ? ?1 ∴ S3 ? (??, ?1] [3, ??) 故 q q q q
选 D; 方法 3: S3 ? x ? 1 ? 1 ( x ? 0) .由双勾函数 y ? x ? 1 的图象知, x ? 1 …2 或 x ? 1 ? ?2 ,故选 D. x x x x 2、 (2008 重庆高考)函数 f ( x) ? A. 2 5 【解析】选 B. f ( x) ?
x ? x ?1
x 的最大值为( x ?1

) D.1

B. 1 2

C. 2 2

1 ? 1 (当且仅 x ? 1 ,即 x ? 1 时取等号) 。故选 B。 1 2 x x? x
0, 且a ? b ? 2, 则 (

3、 (2008 浙江高考)已知 a 厖0, b A. ab ? 1 2 B. ab …1 2

) D. a 2 ? b2 ? 3

C. a 2 ? b2 …2

【解析】选 C.由 a 厖0, b

2 2 2 2 2 0 ,且 a ? b ? 2 ∴ 4 ? (a ? b) ? a ? b ? 2ab ? 2(a ? b ) ,当且仅当 a=b=1 时等号

2 2 成立∴ a ? b …2 。

4、 (2008 陕西高考)“ a ? 1 ”是“对任意的正数 x , 2 x ? a …1 ”的( 8 x A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



【解析】选 A. a ? 1 ? 2 x ? a ? 2 x ? 1 …2 2 x ? 1 ? 1 ,另一方面对任意正数 x , 2 x ? a …1 8 x x 8x 8x 只要 2 x ? a 厖2 2 x ? a ? 2 2a x x

1 ? a …1 ,所以选 A. 8


5、 (2008 江西高考)若 0 ? a1 ? a2 ,0 ? b1 ? b2 ,且a1 ? a2 ? b1 ? b2 ? 1 ,则下列代数式中值最大的是( A. a1b1 ? a2b2 B. a1a2 ? b1b2 C. a1b2 ? a2b1 D. 1 2

【解析】选 A. a1a2 ? b1b2 ? (

a1 ? a2 2 b1 ? b2 2 1 ) ?( ) ? 2 2 2

a1b1 ? a2b2 ? (a1b2 ? a2b1 ) ? (a1 ? a2 )b1 ? (a1 ? a2 )b2 ? (a2 ? a1 )(b2 ? b1 ) …0 a1b1 ? a2b2 …(a1b2 ? a2b1 ) 1 ? (a1 ? a2 )(b1 ? b2 ) ? a1b1 ? a2b2 ? a1b1 ? a2b1 ? 2(a1b1 ? a2b2 ) ∴ a1b1 ? a2b2 …1 2

6、 (2008年安徽高考)设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? 1( x ? 0), 则 f ( x) ( x A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数

) D.是减函数

【解析】选 A .∵ x ? 0 ∴ ?2 x ? 0, ? 1 ? 0 , f ( x) ? 2 x ? 1 ? 1 ? ?[(?2 x) ? (? 1 )] ? 1 ,由基本不等式 x x x

f ( x) ? ?[(?2x) ? (? 1 )] ? 1 ? ?2 (?2 x)(? 1 ) ? 1 ? ?2 2 ? 1 有最大值. x x
7、 (2008 江苏高考) x, y, z ? R , x ? 2 y ? 3z ? 0,
?

y2 的最小值为 xz



y2 x ? 3z 【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由 x ? 2 y ? 3z ? 0 得 y ? ,代入 得 2 xz x 2 ? 9 z 2 ? 6 xz 6 xz ? 6 xz ? ? 3 ,当且仅当 x ? 3 z 时取“=”。 4 xz 4 xz
答案:3 8、 (2008 湖北高考).如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两 个矩形栏目(即图中阴影部分) ,这两栏的面积之和为 18000cm2,四周空白的宽度 为 10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单 位:cm) ,能使矩形广告面积最小?

【解析】方法 1:设矩形栏目的高为 a cm,宽为 b cm,则 ab=9000. 广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0. 广告的面积 S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b ≥18500+2 25a ? 40b =18500+ 1000 ab ? 24500 . 当且仅当 25a=40b 时等号成立,此时 b=



5 a ,代入①式得 a=120,从而 b=75. 8

即当 a=120,b=75 时,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 方法 2:设广告的高为宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20,

y ? 25 , 其中 x>20,y>25 2

y ? 25 18000 ? 18000 ,由此得 y= ? 25, 2 x ? 20 18000 18000 ? 25 )= ? 25 x, 广告的面积 S=xy=x( x ? 20 x ? 20 360000 ? 25( x ? 20) ? 18500 . 整理得 S= x ? 20
两栏面积之和为 2(x-20) 因为 x-20>0,所以 S≥2 当且仅当

360000 ? 25( x ? 20) ? 18500? 24500 . x ? 20

360000 ? 25( x ? 20 ) 时等号成立, x ? 20
18000 +25,得 y=175, x ? 20

此时有(x-20)2=14400(x>20),解得 x=140,代入 y= 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24500,

故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小.

2007 年考题 1.(2007 上海高考)已知 a , b 为非零实数,且 a ? b ,则下列命题成立的是(
2 2 A、 a ? b 2 2 B、 ab ? a b



C、

1 1 ? 2 2 ab a b

D、

b a ? a b

【解析】选C. 若 a ? b ? 0 ? a ≥ b ,A不成立;若 ?
2 2

?ab ? 0 ? a 2b ? ab2 , B不成立;若 a =1, b =2, a ? b ?



b a 1 b a ? 2, ? ? ? ,所以D不成立 ,故选C. a b 2 a b

2.(2007 重庆高考)若 a 是 1+2 b 与 1-2 b 的等比中项,则

2ab 的最大值为( ) | a | ?2 | b |

A.

2 5 15

B.

2 4

C.

5 5

D.

2 2

【解析】选 B. a 是 1+2 b 与 1-2 b 的等比中项,则 a2 ? 1 ? 4b2 ? a2 ? 4b2 ? 1 ? 4 | ab | .

1 ?| ab |? . 4

a2 ? 4b2 ? (| a | ?2 | b |)2 ? 4 | ab |? 1.

?

2ab 2ab 2 | ab | 4(ab) 2 ? ? ? | a | ?2 | b | 1 ? 4 | ab | 1 ? 4 | ab | 1 ? 4 | ab |

?

4 4 1 ? ( )2 | ab | ab

? (

4 1 ? 2)2 ? 4 | ab |

1 1 | ab |? ? ? 4, 4 | ab |

?

2ab 4 2 max ? . | a | ?2 | b | 32 4
1? x

3.(2007 山东高考)函数 y ? a

(a ? 0,a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线
1 1 ? 的最小值为 m n


mx ? ny ? 1 ? 0(mn ? 0) 上,则
【解析】函数 y ? a
1? x

(a ? 0,a ? 1) 的图象恒过定点 A(1,1) ,
1? m ? 1? n ? 1 ? 0 , m ? n ? 1 , m, n ? 0 ,

(方法一) :m ? n ? 2 mn ?

1 1 1 1 1 1 ?2, ? ?2 ? ? 2 ? 2 ? 4(当且仅当 m=n= 时等号成立) . 2 mn m n m n

(方法二) : 答案:4.

1 1 1 1 n m n m 1 ? ? ( ? ) ? (m ? n) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4(当且仅当 m=n= 时等号成立) . 2 m n m n m n m n

4. (2007 山东高考) 函数 y ? loga ( x ? 3) ?1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为_______. m n

【解析】函数 y ? loga ( x ? 3) ?1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A(?2, ?1) , (?2) ? m ? (?1) ? n ? 1 ? 0 ,

2m ? n ? 1 , m, n ? 0 ,
答案:8.

1 2 1 2 n 4m n 4m ? ? ( ? ) ? (2m ? n) ? 4 ? ? ? 4?2 ? ? 8. m n m n m n m n

5.(2007 上海高考)已知 x, y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 _____ 【解析】 xy ? 答案:

?

1 1 x ? 4y 2 1 1 x?4y ? ( ) ? ,当且仅当x=4y= 时取等号. 4 4 2 16 2

1 16


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