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2015届高三数学暑期微训练-导数的应用

时间:2015-01-09


2015 届高三数学暑期微训练 2-11《导数的应用》 (1 )
1. 函数 f(x)=(x-3)e 的单调递增区间是( A. (-∞,2) C. (1,4)
x x

) B. (0,3) D. (2,+∞)
x x x

解析:函数 f(x)=(x-3)e 的导数为 f′(x)=[(x-3)e ]′=1·e

+(x-3)·e =(x- 2)e .由函数导数与函数单调性的关系,得当 f′(x)>0 时,函数 f(x)单调递增,此时由不等 式 f′(x)=(x-2)·e >0,解得 x>2. 答案:D 1 2 π 2. 已知 f(x)= x +sin( +x),f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(x)的图象是( 4 2 )
x x

1 2 π 1 2 1 解析:f(x)= x +sin( +x)= x +cosx,f′(x)= x-sinx. 4 2 4 2 易知该函数为奇函数,所以排除 B、D. π π 1 π π π 1 当 x= 时,f′( )= × -sin = - <0,可排除 C.选 A. 6 6 2 6 6 12 2 答案:A 3.已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(e -1)(x-1) (k=1,2),则( A. 当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B. 当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 C. 当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D. 当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 解析:当 k=1 时,f(x)=(e -1)(x-1),
x x k

)

f′(x)=xex-1,
∵f′(1)=e-1≠0, ∴f(x)在 x=1 处不能取到极值; 当 k=2 时,f(x)=(e -1)(x-1) ,f′(x)=(x-1)(xe +e -2), 令 H(x)=xe +e -2, 则 H′(x)=xe +2e >0,x∈(0,+∞). 说明 H(x)在(0,+∞)上为增函数, 且 H(1)=2e-2>0,H(0)=-1<0, 因此当 x0<x<1(x0 为 H(x)的零点)时,f′(x)<0,f(x)在(x0,1)上为减函数. 当 x>1 时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数. ∴x=1 是 f(x)的极小值点,故选 C. 答案:C 1 3 2 4. 函数 f(x)= x -x -3x-1 的图象与 x 轴的交点个数是________. 3 解析:f′(x)=x -2x-3=(x+1)(x-3),函数在(-∞,-1)和(3,+∞)上是增函数, 2 在(-1,3)上是减函数,由 f(x)极小值=f(3)=-10<0, f(x)极大值=f(-1)= >0 知函数 f(x)的图 3 象与 x 轴的交点个数为 3. 答案:3 5. 已知函数 f(x)=mx +lnx-2x 在定义域内是增函数, 则实数 m 的取值范围为________. 1 2 解析: f′(x)=2mx+ -2, 根据题意得 f′(x)≥0 在 x∈(0, +∞)上恒成立, 所以 2m≥
2 2

x

2

x

x

x

x

x

x

x

x

1 2 1 1 1 - 2,求出 - 2在 x∈(0,+∞)上的最大值为 1,则 m≥ .检验:当 m= 时满足题意. x x x 2 2

?1 ? 答案:? ,+∞? ?2 ?


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