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集合A级03集合的基本运算


集合的运算

知识内容
1. 集合的运算
(1) 交集的概念: 一般地, 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合, 称为 A 与 B 的交集, 记作 A ? B (读作“ A 交 B ”) ,即 A ? B ? {x | x ? A, 且 x ? B} ① 数学符号表示: A ? B ? {x | x ? A, 且 x ? B

} ② Venn 图反映:

A B

A

B

A

B

A B

(2)并集的概念:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的 并集,记作 A ? B (读作“ A 并 B ”) ,即 A ? B ? {x | x ? A, 或 x ? B} ① 数学符号表示: A ? B ? {x | x ? A, 或 x ? B} ② Venn 图反映:

B

A

A B A

B

(3)补集的概念: 全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集, 通常记作 U 补集:对于一个集合 A ,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集,记作 ?U A ,即 ? U A ? {x | x ? U , 且 x ? A} ①数学符号表示: ? U A ? {x | x ? U , 且 x ? A} ②Venn 图反映:

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U A

U

A

A ? (? U A) ? U ; A ? (? U A) ? ? ; 痧 U ( U A) ? A

公式定理小结: (1) A ? A ; ? ? A ; (2)若 A ? B , B ? C ,则 A ? C ;若 A ? B , B ? C ,则 A ? C ; (3) A ? B ? B ? A ; (4) A ? B ? A ; A ? B ? B ; (5) A ? ? ? ? ; (6) A ? B ? B ? A ; (7) A ? A ? B ; B ? A ? B ; (8) A ? ? ? A (9) A ? (? U A) ? ? ; A ? (? U A) ? U ; (10) 痧 U ( U A) ? A

2. 集合的简单性质:
(1) A ? A ? A, A ? ? ? ?, A ? B ? B ? A; (2) A ? ? ? A, A ? B ? B ? A; (3) ( A ? B) ? ( A ? B); (4) A ? B ? A ? B ? A; A ? B ? A ? B ? B ; (5) 痧 S ? A ? B ? ? ? S A? ? ? ? S B? , 痧 S ? A ? B ? ? ? S A? ? ? ? S B? . 3.

集合元素个数公式:
n( A ? B) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) .

<备注>求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且” 与“或”, 在处理有关交集与并集的问题时, 常常从这两个字眼出发去揭示、 挖掘题设条件, 结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法.

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例题精讲
1. 集合的基本运算 ) 【例1】 (2010 四川卷文 1)设集合 A ? ?3 , 5, 6, 8? ,集合 B ? ?4 , 5, 7, 8? ,则 A ? B 等于( A. ?3 , 4, 5, 6, 7, 8? B. ?3 , 6? C. ?4 , 7? D. ?5 , 8?

【例2】 (2010 重庆卷文 11)设 A ? ?x | x ? 1 ? 0? , B ? ? x | x ? 0? ,则 A ? B ? ____________ .

【例3】 (2011 朝阳一模理 1)若集合 M ? { y | y ? x , x ? R},N ? { y | y ? x ? 2, x ? R } ,则 M I N
2

等于(

) B. (??, ??)

A. ?0, ???

C . ?

D. { (2, 4) , (?1, 1) }

【例4】 (2010 浙江卷文 1)设 P ? ?x | x ? 1? , Q ? x | x2 ? 4 ,则 P ? Q ? ( A. ?x | ?1 ? x ? 2? C. ?x |1 ? x ? 4? B. ?x | ?3 ? x ? ?1? D. ?x | ?2 ? x ? 1?

?

?



【例5】 (2011 江西高考)若集合 A ? {x ?? ? ? x ?? ? ?}, B ? {x A. {x ??? x ? ?} B. {x ? ? x ??} C.

x?? ? ?} ,则 A ? B ? x
D. {x ? ? x ??}

{x ? ? x ? ?}

【例6】

已知集合 A={直线} B={椭圆},则集合 A∩B 中元素的个数为( A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 0 个 1 个或 2 个



1 ? ? 【例7】 (2009 北京卷文 1)设集合 A ? ? x | ? ? x ? 2 ? ,B ? ? x | x 2 ≤1? ,则 A ? B ? ( 2 ? ?



A. ?x | ?1≤ x ? 2? C. ? x | x ? 2?

1 ? ? B. ? x | ? ? x ≤ 1? 2 ? ?

D. ?x |1≤ x ? 2?
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【例8】 (2010 山东卷文 1)已知全集 U ? R ,集合 M ? x | x2 ? 4 ≤ 0 ,则 ? UM ? ( A. ?x | ?2 ≤ x ≤ 2? C. ?x x ? ?2或x ? 2? B. ?x ?2 ≤ x ≤ 2? D. ?x x ≤ ?2或x ≥ 2?

?

?



【例9】 已知 A ? { y | y ? x2 ? 4x ? 3, x ? R} , B ? { y | y ? ? x2 ? 2x ? 2, x ? R} ,则 A ? B 等于(



A. ?

B. {?1, 3}

C. R

D. [?1, 3]

【例10】 若全集 I ? {( x, y) ? x ? R, y ? R} ,集合 A ? {( x, y ) ?

y?3 ? 2, x ? R, y ? R} ,集合 x ?1

B ? {( x, y) ? y ? 2 x ? 5, x ? R, y ? R},求 (?I A) ? B

【例11】 若集合 M ? ?( x , y) x ? y ? 0? , N ? ( x , y) x 2 ? y 2 ? 0, x ? R , y ? R ,则有( A. M ? N ? M B. M ? N ? N C. M ? N ? M D. M ? N ? ?

?

?



【例12】 设集合 U ? R, A ? {x | ?1 ? x ? 5}, B ? {x | 3 ? x ? 9}, 求A ? B, ? U ( A ? B) .

【例13】 x、 y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)| _________
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x y =1,a>0,b>0},当 A∩B 只有一个元素时, a,b 的关系式是 ? a b

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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【例14】 设集合 A ? {x | ( x ? 3)( x ? a) ? 0, a ? R} , B ? {x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} ,求 A ? B, A ? B .

【例15】 (2010 重庆) 设 U ? ?0 , 若? 则实数 m ? ________. 1, 2, 3? , 1, 2? , A ? x ?U | x2 ? mx ? 0 , U A ??

?

?

【例16】 (2011 北京高考)已知集合 P ? {x | x 2 ? 1} , M ? {a} ,若 P ? M ? P ,则 a 的取值范围是 A. (??, ?1] B. [1, ??) C. [?1,1] D. (??, ?1] ? [1, ??)

【例17】 若 A ? ?1,4, x?, B ? 1, x2 且 A ? B ? B ,则 x ?

? ?



【例18】 若集合 A ? {x ? x2 ? 2 x ? 8 ? 0} , B ? {x ? x ? m ? 0}. (1)若 m ? 3 ,全集 U ? A ? B ,试求 A ? ? UB; (2)若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围; (3)若 A ? B ? A ,求实数 m 的取值范围.

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【例19】 若集合 A ? {x ? x2 ? ax ? a2 ?19 ? 0} , B ? {x ? x2 ? 5x ? 6 ? 0} , C ? {x ? x2 ? 2 x ? 8 ? 0},求 a 的值使得 ? ? ? A ? B? U ? A ? C ? 同时成立 .

2.

集合的元素个数
2

【例20】 (2008.江苏)A= ? x ? x ? 1? ? 3x ? 7? ,则 A ? Z 的元素的个数



【例21】 (2009 全国 I 卷理 1 文 2)设集合 A ? ?4 , 5, 7, 9? , B ? ?3 , 4, 7, 8, 9? ,全集 U ? A ? B ,则 集合 ? U ? A ? B ? 中的元素共有( A. 3 个 B. 4 个 ) C. 5 个 D. 6 个

【例22】 (2009 江西卷理 3) 已知全集 U ? A ? B 中有 m 个元素,? 痧 若A? B非 U A? ? ? U B ? 中有 n 个元素. 空,则 A ? B 的元素个数为( A. mn B. m ? n ) C. n ? m D. m ? n

【例23】 50 名同学参加跳远和铅球测验,跳远和铅球测验成绩分别为及格 40 人和 31 人, 2 项测验成绩均 不及格的有 4 人, 2 项测验成绩都及格的人数是( )

A. 35

B. 25

C. 28

D. 15

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3.

集合的运算律
) C . I ? B ? ? ? I A? D. I ? A ? ? ? I B ?

【例24】 (2008 西城二模理 1)设 A, B 是全集 I 的两个子集,且 A ? B ,则下列结论一定正确的是( A. I ? A ? B B. I ? A ? B

【例25】 下列表述中错误的是( A.若 A ? B ,则 A ? B ? A C. ( A ? B) 苘A
( A ? B)

) B.若 A ? B ? B ,则 A ? B D. 痧 U ? A ? B ? ? ? U A? ? ? ? U B?

【例26】 若 U 为全集,下面三个命题中真命题的个数是(



⑴ 若 A ? B ? ? ,则 ?痧 U A? ? ? U B ? ? U ⑵ 若 A ? B ? U ,则 ?痧 U A? ? ? U B ? ? ? ⑶ 若 A ? B ? ? ,则 A ? B ? ? A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

y ?3 ? ? ? 1? ,B ? ?( x , y) | y ? x ? 1? ,则 ?I ( A ? B) 等于( ) 【例27】 已知 I ? {( x , y ) | x , y ? R} , A ? ?( x , y ) | x?2 ? ?

A. ?

B. {(2 , 3)}

C. (2 , 3)

D. {2 , 3}

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【例28】 设 A ? {x ? Z | | x |? 6} , B ? ?1,2,3? , C ? ?3,4,5,6? ,求: (1) A ? ( B ? C ) ; (2) A ? ?A ( B ? C ) .

【例29】 已知全集 U ? {x | x ? 10, 且x ? N *} , A ? {2, 4,5,8} , B ? {1,3,5,8} ,求 CU ( A ? B) , CU ( A ? B) ,
(CU A) ? (CU B) , (CU A) ? (CU B) ,并比较它们的关系.

【例30】 下列表示图形中的阴影部分的是 ( A. ( A ? C ) ? ( B ? C ) B. ( A ? B ) ? ( A ? C ) C. ( A ? B ) ? ( B ? C ) D. ( A ? B ) ? C



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【例31】 (陕西高考)某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参见两个小 组. 已知参加数学、 物理、 化学小组的人数分别为 26,15,13 , 同时参加数学和物理小组的有 6 人, 同时参加物理和化学小组的有 4 人,则同时参加数学和化学小组的有________人

4.

集合综合题
2 2

【例32】 若三个方程 x ? ax ? 4 ? 0, x ? ? a ?1? x ?16 ? 0 和 x 2 ? 2ax ? 3a ? 10 ? 0 中至少有一个方程有 时实根,求实数 a 的取值范围.

【例33】 设全集 U ? R , M ? m | 方程mx2 ? x ? 1 ? 0有实数根 , N ? n | 方程x2 ? x ? n ? 0有实数根 ,求

?

?

?

?

?? M ? ? N .
U

【例34】 设 I ? R ,集合 A ? {x | x2 ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0} , B ? {x | x2 ? (a ? 1) x ? a2 ? 0} ,

C ? {x | x2 ? 2ax ? 2a ? 0} .若 A, B, C 中至少有一个不是空集,求实数 a 的取值范围.

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课后检测
【习题1】(2010 全国 I)设全集 U ? ?1, 2, 3, 4, 5? ,集合 M ? ?1, 4? , N ? ?1, 3, 5? ,则 N ? ?? UM? ? ( ) B. ?1, 5? C. ?3 , 5? D. ?4 , 5?

A. ?1, 3?

【习题2】已知 M ? {x ? x2 ? 1} , N ? { y ? y ? x2 ? 1} ,那么 M ? N 等于 A. ? BM C. N D. R

【习题3】(2009 西城二模)已知集合 A 、 B 满足 A ? B ? A ,那么下列各式中一定成立的是 ( A. A ? B C. A ? B ? B B. B ? A D. A ? B ? A



【习题4】(2010 东城一模文 2)设集合 A ? {1, 2, 4,6} , B ? {2,3,5} ,则韦恩图中阴影部分表示的集合为 ( A. ?2? C. ?1, 4,6? ) B. ?3,5? D. ?3,5,7,8?
U A B

【习题5】( 2010 江苏卷 1 )设集合 A ? ??1, 1, 3? , B ? a ? 2 , a2 ? 4 , A ? B ? ?3? ,则实数 a 的值 为 .

?

?

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【习题6】已知全集 U ? {x | x ? 10, 且x ? N *} ,A ? {2, 4,5,8} ,B ? {1,3,5,8} , 求 ?U ( A ? B) , , ? U ( A ? B) , 比较它们的关系.



【习题7】某班有学生 55 人, 其中体育爱好者 43 人, 音乐爱好者 34 人, 还有 4 人既不爱好体育也不爱 音乐,则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.



【习题8】已知集合 A ? a2 , a ? 1, ?3 , B ? a ? 3,2a ? 1, a2 ? 1 ,若 A ? B ? ??3? ,求实数 a 的值.

?

?

?

?

2 【习题9】若 三 个 方 程 x ? ax ? 4 ? 0, x ? ? a ?1? x ?16 ? 0 和 x ? 2ax ? 3a ? 10 ? 0 中 至 少 有 一 个 方

2

2

程有时实跟,求实数 a 的取值范围.

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