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平面向量解题技巧


平面向量的解题技巧
由 2007 年高考题分析可知: 1.这部分内容高考中所占分数一般在 10 分左右. 2.题目类型为一个选择或填空题,一个与其他知识综合的解答题. 3.考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主.

考点透视
“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一,高考每年都考,题型主要有选择题、填空题,也可以与其他知识相 结合

在解答题中出现,试题多以低、中档题为主.透析高考试题,知命题热点为: 1.向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积. 2.平面向量的坐标运算,平面向量的数量积及其几何意义. 3.两非零向量平行、垂直的充要条件. 4.由于向量具有“数”与“形”双重身份,加之向量的工具性作用,向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何 等知识相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及 圆锥曲线中的典型问题等. 5.利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转化为向量的运算等;利用 数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题.

例题解析: 一. 向量的概念,向量的基本运算
(1)理解向量的概念,掌握向量的几何意义,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题,掌握向量 垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.

1. (2007 年北京卷理) 已知 且 B. C.



所在平面内一点, ,那么( D. )



边中点, A. 命题意图:本题考查能

够结合图形进行向量计算的能力. 解: . 故选 A.

2. (2006 年安徽卷) 在平行四边形 (用 表示)

中,

, M 为 BC 的中点, 则

______.

命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积.

解:由







所以


1

3.(2006 年广东卷)如图所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量

(

)

(A)

(B)

(C)

(D)

命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力.

解:

,故选 A.

4.设平面向量 后与 同向,其中





的和 ) (B) (D)

.如果向量





,满足

,且

顺时针旋转

,则(

(A) (C)

命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念. 常规解法:∵ 故 ,应选 D. 巧妙解法:令 ,则 ,由题意知 ,从而排除 B,C,同理排除 A,故选 D. ,∴ 故把 2 (i=1,2,3),分别按顺时针旋转 30 后与 重合,

点评:巧妙解法巧在取

,使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.

二.向量的坐标运算

5.( 2006 年重庆卷)与向量



的夹角相等,且模为 1 的向量是 (

)

(A)

(B)



(C)

(D)



命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.

解:设与向量



的夹角相等,且模为 1 的向量为





解得
2





,选 B.

6.(2006 年天津卷)设向量 与 则 _.

的夹角为 ,且





命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题. 解:设 ,由





时,

,故填

.

7.(2006 年湖北卷)已知向量



是不平行于 轴的单位向量,且

,则 =(



(A)

(B)

(C)

(D)

命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.

解:设

,则依题意有

,故选 B.

三. 平面向量与三角函数的结合
(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题,由于结合性强,因而综合能力较强,所以复 习时,通过解题过程,力争达到既回顾知识要点,又感悟思维方法的双重效果,解题要点是运用向量知识,将所给问题 转化为代数问题求解.

(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题,如垂直、平行、共线等,此类题综合性比较强,难度大.

8.(2007 年陕西卷理 17.)设函数

,其中向量 =(m,cos2x),

=(1+sin2x,1),x∈R,且函数 y=f(x)的图象经过点 (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合. 解:(Ⅰ) ,



由已知

,得



(Ⅱ)由(Ⅰ)得



3



时,

的最小值为





,得 值的集合为

9.(2007 年湖北卷理 16) 已知 的面积为 ,且满足 ,设 和 的夹角为 .

(I)求 的取值范围;

(II)求函数 解:(Ⅰ)设 中角

的最大值。 的对边分别为 ,

则由



,可得





(Ⅱ)









即当

时,

;当

时,



10.(2007 年广东卷理)已知 (1)若 解: (1) , ,若 ,求 的值;(2)若

的三个顶点的直角坐标分别为 为钝角,求 的取值范围;





.

,则





, ∴



(2)

为钝角,则

,解得



∴c 的取值范围是



11.(2007 年山东卷文 17)在

中,角





的对边分别为 、 、 ,



(1)求

;(2)若

,且

,求 .

4

解:

(1)



, 解得





是锐角,



(2)∵ 又

, ,

, , .

. .



12.(2006 年湖北)设函数

,其中向量 , .

(Ⅰ)求函数 (Ⅱ)将函数

的最大值和最小正周期; 的图像按向量 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的 .

命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识,考查推理和 运算能力. 解: (Ⅰ)由题意得,

所以,

的最大值为

,最小正周期是

.

(Ⅱ)由



,即

,(k∈Z)

于是



(k∈Z)

因为 k 为整数,要使

最小,则只有 k=1,此时

即为所求.

13.(2006 年全国卷 II)已知向量 (Ⅰ)若 (Ⅱ)求 ,求 ; 的最大值.







命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、 以及三角公式、 三角函数的性质等基本知识,

5

考查推理和运算能力. 解:

(Ⅰ)若 (Ⅱ)由

,则 ,

,由此得 得

(

),所以





时,

取得最大值,即当

时,

最大值为



四. 平面向量与解析几何的结合
14. (2006 年陕西卷)如图,三定点 E、M 满足 , , , 、 、 . (II) 求动点 M 的轨迹方程。 三角公式、 , 三动点 D、

(I)求动直线 DE 斜率的变化范围; 命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、 三角函数的性质及图像和圆锥曲线方程的求法等基 本知识,考查推理和运算能力. 解: 如图, , , , 由 , 知 ,则 ,

(Ⅰ) 设





同理

.

∴ ∵ (Ⅱ) ∵ ∴ , ∴ , . ,

∴ ∵ ,

即 . ,





.

即所求轨迹方程为: 15.(2006 年全国卷 II)已知抛物线 (

的焦点为 F,A、B 是抛物线上的两动点,且

),过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M. 为定值;
6

(Ⅰ)证明

(Ⅱ)设△ABM 的面积为 S,写出

的表达式,并求 S 的最小值.

命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程,以及函数的导数的应用等基本知识,考查推理和 运算能力. 解: (Ⅰ)由已知条件,得 设 , , ,则 . , .



,得 ,

即 代入得 (3)

将(1)式两边平方并把

解(2)(3)式得



,且有



抛物线方程为

,求导得



所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是









解出两条切线的交点 M 的坐标为









所以 所以 为定值,其值为 0.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中,FM⊥AB,





因而



因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y=-1 的距离,

所以

于是





知 S≥4,且当λ =1 时,S 取得最小值 4.
7


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