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平面向量知识点总结及练习


平面向量
一.向量有关概念: 1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示, 注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移) 。 如: 已知 A (1,2) , B (4,2) , 则把向量 AB 按向量 a = (-1,3) 平移后得到的向量是_____ (答: (3,0) ) 2.零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作:

0 ,注意零向量的方向是任意的; 3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB 共线的单位向量是 ? AB ); | AB | 4.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性; 5.平行向量(也叫共线向量) :方向相同或相反的非零向量 a 、b 叫做平行向量,记作: a ∥ b , 规定零向量和任何向量平行。 提醒: ①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念: 两个向量平行包含两个向量共线, 但两条 直线平行不包含两条直线重合; ③平行向量无传递性! (因为有 0 ); ④三点 A、B、C 共线 ? AB、 AC 共线; 6.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是- a 。 如:下列命题: (1)若 a ? b ,则 a ? b 。 (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相 同。 (3)若 AB ? DC ,则 ABCD 是平行四边形。 (4)若 ABCD 是平行四边形,则 AB ? DC 。 (5)若

a ? b ,b ?c ,则 a ? c 。 (6)若 a // b, b // c ,则 a // c 。其中正确的是_______
(答: ( 4) (5) ) 二.向量的表示方法: 1.几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如 AB ,注意起点在前,终点在后; 2.符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 a , b , c 等; 3.坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 为基底, 则平面内的任一向量 a 可表示为 a ? xi ? y j ? ? x, y ? ,称 ? x, y ? 为向量 a 的坐标,a = ? x, y ? 叫做 向量 a 的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三.平面向量的基本定理:如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向 量 a,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a= ?1 e1+ ?2 e2。如 (1)若 a ? (1,1), b ? (1, ?1), c ? (?1,2) ,则 c ? ______ (答: a ? b ) ; (2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 A. e1 ? (0,0), e2 ? (1, ?2) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10) B. e1 ? (?1,2), e2 ? (5,7) D. e1 ? (2, ?3), e2 ? ( , ? ) (答:B) ; (3)已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC , AC 上的中线,且 AD ? a, BE ? b ,则 BC 可用向量 a, b 表示为_____ (答: a ? b ) ; (4)已知 ?ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2 DB , CD ? r AB ? s AC ,则 r ? s 的值是 ___
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??

1 2

3 2

1 2

3 4

2 3

4 3

(答:0) 四.实数与向量的积:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,它的长度和方向规定如下:

?1? ? a

? ? a , ? 2 ? 当 ? >0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同,当 ? <0 时, ? a 的方向与 a 的方

向相反,当 ? =0 时, ? a ? 0 ,注意: ? a ≠0。 五.平面向量的数量积: 1.两个向量的夹角:对于非零向量 a , b ,作 OA ? a, OB ? b , ?AOB ? ?

? 0 ? ? ? ? ? 称为向量 a , b 的夹角,当? =0 时, a , b 同向,当? = ? 时, a , b 反向,当? = 2
时, a , b 垂直。 2.平面向量的数量积:如果两个非零向量 a , b ,它们的夹角为 ? ,我们把数量 | a || b | cos? 叫 做 a 与 b 的数量积(或内积或点积) ,记作: a ? b ,即 a ? b = a b cos ? 。规定:零向量与任一向 量的数量积是 0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。如 (1)△ABC 中, | AB |? 3 , | AC |? 4 , | BC |? 5 ,则 AB ? BC ? _________ (答:-9) ; (2)已知 a ? (1, ), b ? (0, ? ), c ? a ? kb, d ? a ? b , c 与 d 的夹角为 (3)已知 a ? 2, b ? 5, a b ? ?3 ,则 a ? b 等于____ (答: 23 ) ; (4)已知 a, b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则 a与a ? b 的夹角为____ (答: 30 ) 3. b 在 a 上的投影为 | b | cos ? ,它是一个实数,但不一定大于 0。如 已知 | a |? 3 , | b |? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为______ (答: 4. a ? b 的几何意义:数量积 a ? b 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积。 5.向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其夹角为 ? ,则: ① a ? b ? a ?b ? 0; ②当 a ,b 同向时,a ? b = a b , 特别地,a ? a ? a ? a , a ? a ; 当 a 与 b 反向时,a ? b
2 2 2
? ?
? ?
? ?

?

? ??

? ??

? ??

1 2

1 2

?
4

,则 k 等于____ (答:1) ;

12 ) 5

b 不同向,a ? b ? 0 是 ? 为锐角的必要非充分条件;当? =- a b ;当 ? 为锐角时,a ? b >0,且 a、 b 不反向, a ? b ? 0 是 ? 为钝角的必要非充分条件; 为钝角时, a ? b <0,且 a、
③非零向量 a , b 夹角 ? 的计算公式: cos ? ?
? ?
?

a ?b a b
?

;④ | a ? b |?| a || b | 。如

(1)已知 a ? (? ,2? ) , b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围是______ (答: ? ? ? (2)已知 ?OFQ 的面积为 S ,且 OF ? FQ ? 1 ,若
? ?? ? ??

4 1 或? ? 0且? ? ) ; 3 3

? ?? ? ?? 1 3 ?S? ,则 OF , FQ 夹角 ? 的取值范 2 2

围是_________ (答: (

? ? , )) ; 4 3

(3)已知 a ? (cos x,sin x), b ? (cos y,sin y), a 与 b 之间有关系式 k a ? b ? 3 a ? kb , 其中k ? 0 , ①用 k 表示 a ? b ;②求 a ? b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角 ? 的大小 1 k2 ?1 ( k ? 0) ;②最小值为 , ? ? 60 ) (答:① a ? b ? 4k 2 六.向量的运算: 1.几何运算: ①向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如 此之外,向量加法还可利用“三角形法则” :设 AB ? a, BC ? b ,那么向量 AC 叫做 a 与 b 的和,即

a ? b ? AB ? BC ? AC ;
②向量的减法:用“三角形法则” :设 AB ? a, AC ? b, 那么a ? b ? AB ? AC ? CA ,由减向量 的终点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。 如:(1) 化简: ① AB ? BC ? CD ? ___; ② AB ? AD ? DC ? ____; ③ ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? _____ (答:① AD ;② CB ;③ 0 ) ; (2)若正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? a, BC ? b, AC ? c ,则 | a ? b ? c | =_____ (答: 2 2 ) ; (3)若 O 是 ABC 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,则 ABC 的形状 为____ (答:直角三角形) ; (4)若 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点, ?ABC 所在平面内有一点 P ,满足 PA ? BP ? CP ? 0 , 设

| AP | ? ? ,则 ? 的值为___ | PD |
(答:2) ; (5)若点 O 是 △ ABC 的外心,且 OA ? OB ? CO ? 0 ,则 △ ABC 的内角 C 为____ (答: 120 ) ; 2.坐标运算:设 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则: ①向量的加减法运算: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 。

如: (1)已知点 A(2,3), B(5, 4) , C (7,10) ,若 AP ? AB ? ? AC(? ? R) ,则当 ? =____时,点 P 在第 一、三象限的角平分线上 (答: (2)已知 A(2,3), B(1,4), 且 AB ? (sin x,cos y) , x, y ? (?

1 2

? ?

1 ) ; 2

, ) ,则 x ? y ? 2 2
(答:

?

2 6 (3)已知作用在点 A(1,1) 的三个力 F1 ? (3,4), F2 ? (2, ?5), F3 ? (3,1) , 则合力 F ? F1 ? F2 ? F3 的终
点坐标是 (答: (9,1) ) ②实数与向量的积: ? a ? ? ? x1 , y1 ? ? ? ? x1 , ? y1 ? 。 ③若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ?x 2 ? x1 ,y 2 ? y1 ? ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有

或?

?

) ;

向线段的终点坐标减去起点坐标。如 设 A(2,3), B(?1,5) ,且 AC ?

1 AB , AD ? 3 AB ,则 C、D 的坐标分别是__________ 3 11 (答: (1, ),(?7,9) ) ; 3

④平面向量数量积: a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 。如 已知向量 a =(sinx,cosx), b =(sinx,sinx), c =(-1,0) 。 (1)若 x= (2)若 x∈ [? c 的夹角;

1 3? ? , ] ,函数 f ( x) ? ? a ? b 的最大值为 ,求 ? 的值 2 8 4
(答: (1)150 ;(2)

? ,求向量 a 、 3

1 或 ? 2 ?1 ) ; 2

⑤向量的模: | a |?

x 2 ? y 2 , a ?| a |2 ? x 2 ? y 2 。如
(答: 13 ) ;

2

已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 | a ? 3b | =_____ ⑥两点间的距离:若 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 | AB |?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

。如

如图,在平面斜坐标系 xOy 中, ?xOy ? 60 ,平面上任一点 P 关于斜坐 标系的斜坐标是这样定义的:若 OP ? xe1 ? ye2 ,其中 e1 , e2 分别为与 x 轴、y 轴同方向的单位向量,则 P 点斜坐标为 ( x, y ) 。 (1)若点 P 的斜坐标为(2, -2) ,求 P 到 O 的距离|PO|; (2)求以 O 为圆心,1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程。 (答: (1)2; (2) x ? y ? xy ?1 ? 0 ) ;
2 2

七.向量的运算律:

? ? 2.结合律: a ? b ? c ? ? a ? b ? ? c, a ? b ? c ? a ? ? b ? c ? , ? ? a ? ? b ? ? ? a ? b ? ? a ? ? ? b ? ; 3.分配律: ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a, ? ? a ? b ? ? ? a ? ? b , ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c 。
1.交换律: a ? b ? b ? a , ? ? a ? ? ?? ? a , a ? b ? b ? a ; 如 下列命题中:① a? ( b ? c ) ? a? b ? a? c ;② a? ( b ? c ) ? ( a? b ) ? c ;③ ( a ? b ) ?| a |
2 ? ? ?
? ? ? ?
2

?

?

?

? ?

? ?

?

? ?

? ?

?

?

?

?

2
2

?2 | a | ? | b | ? | b |2 ;④ 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ;⑤若 a ? b ? c ? b, 则 a ? c ;⑥ a ? a ;⑦
a ?b a
2

?

b a

;⑧ (a ? b)2 ? a ? b ;⑨ (a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b 。其中正确的是______

2

2

2

2

(答:①⑥⑨) 提醒: (1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平 方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两 边不能约去一个向量,切记两向量不能相除 ( 相约 ) ; ( 2 )向量的“乘法”不满足结合律 ,即

a(b ? c) ? (a ? b)c ,为什么?
八.向量平行(共线)的充要条件: a // b ? a ? ? b ? (a ? b)2 ? (| a || b |)2 ? x1 y2 ? y1 x2 =0。如 (1)若向量 a ? ( x,1), b ? (4, x) ,当 x =_____时 a 与 b 共线且方向相同 (答:2) ; (2)已知 a ? (1,1), b ? (4, x) , u ? a ? 2b , v ? 2a ? b ,且 u // v ,则 x=______

(答:4) ; (3)设 PA ? (k ,12), PB ? (4,5), PC ? (10, k ) ,则 k=_____时,A,B,C 共线 (答:-2 或 11) 九 . 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 : a ? b ? a ? b ? 0 ?| a ? b |?| a ? b |

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 特 别 地

(

AB AB

?

AC AC

)?(

AB AB

?

AC AC

) 。如

(1)已知 OA ? (?1,2), OB ? (3, m) ,若 OA ? OB ,则 m ? (答:

3 ) ; 2

(2) 以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB,?B ? 90? , 则点 B 的坐标是________ (答:(1,3)或(3,-1) ) ; (3)已知 n ? (a, b), 向量 n ? m ,且 n ? m ,则 m 的坐标是________ (答: (b, ?a)或(?b, a) ) 十.线段的定比分点: 1.定比分点的概念:设点 P 是直线 P 1 P 2 上异于 P 1 、P 2 的任意一点,若存在一个实数 ? ,使

? 的定比 PP ? ? PP2 ,则 ? 叫做点 P 分有向线段 PP 1 1 2 所成的比,P 点叫做有向线段 PP 1 2 的以定比为 分点; ? 的符号与分点 P 的位置之间的关系: 2. 当 P 点在线段 P 1 P 2 上时 ? ? >0; 当 P 点在线段 P 1 P 2
的延长线上时 ? ? <-1;当 P 点在线段 P 2 P 1 的延长线上时 ? ?1 ? ? ? 0 ;若点 P 分有向线段 PP 1 2 所成的比为 ? ,则点 P 分有向线段 P 2P 1 所成的比为 若点 P 分 AB 所成的比为

1

?

。如

3 ,则 A 分 BP 所成的比为_______ 4
(答: ? )

7 3

?, 3.线段的定比分点公式:设 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) , P( x, y ) 分有向线段 PP 1 2 所成的比为
? x? ? ? 则? ?y ? ? ?

x ?x ? x1 ? ? x2 x? 1 2 ? ? 2 1? ? ? ,特别地,当 ? =1 时,就得到线段 P 1 P 2 的中点公式 。在使用定比分 y ? y ? 1 ? y2 y1 ? ? y2 ? ? 2 1? ?

点的坐标公式时,应明确 ( x, y ) , ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标。在 具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比 ? 。如 (1)若 M(-3,-2) ,N(6,-1) ,且 MP ? ?
???

1 ??? MN ,则点 P 的坐标为_______ 3
(答: ( ?6, ? ) ) ;

7 3

M ?M 2B (2) 已知 A(a,0), B(3, 2 ? a) , 直线 y ? ax 与线段 AB 交于 M , 且A

1 2

, 则 a 等于_______

f ( x, y)? 0按向量 a ? ? h, k ? 平移得曲线 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 .注意: (1)函数按向量平移与平常“左

(答:2或-4) x? ? x ? h 十 一 . 平 移 公 式 : 如 果 点 P( x, y ) 按 向 量 a ? ? h, k? 平 移 至 P( x?, y?) , 则 ? ;曲线 ? ? y? ? y ? k

加右减”有何联系?(2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊!如 (1)按向量 a 把 (2, ?3) 平移到 (1, ?2) ,则按向量 a 把点 (?7, 2) 平移到点______ (答: (-8,3) ) ; ( 2 )函数 y ? sin 2 x 的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是 y ? cos 2 x ? 1 ,则 a = ________ 12、向量中一些常用的结论: (1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用; (2) || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | ,特别地,当 a、 b 同向或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | (答: ( ?
? ?

? ,1) ) 4

b 反 向或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b |? || a |? |b || a、 b 不共线 ? || a | ? | b ||?| a ? b | ;当 a、 ? |a ? b ;当 | ). ? || a |? |b || ? |a ? b ? | |a ? | b | (这些和实数比较类似 | ( 3 ) 在 ?ABC 中 , ① 若 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? , 则 其 重 心 的 坐 标 为
? x ? x ? x y ? y ? y3 ? G? 1 2 3 , 1 2 ? 。如 3 3 ? ?
若⊿ABC 的三边的中点分别为(2,1) 、 (-3,4) 、 (-1,-1) ,则⊿ABC 的重心的坐标为_______ (答: ( ?

2 4 , )) ; 3 3

② PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的重心,特别地 PA ? PB ? PC ? 0 ? P 为 ?ABC

3

的重心; ③ PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心; ④向量 ? ( AB ? AC )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心(是 ?BAC 的角平分线所在直线);

| AB | | AC |

⑤ | AB | PC? | BC | PA? | CA | PB ? 0 ? P ?ABC 的内心;

? ,点 M 为平面内的任一点,则 MP ? MP1 ? ? MP2 ,特别 (3)若 P 分有向线段 PP 1 2 所成的比为 1? ? MP 1 ? MP 2 ; 地 P 为 PP 1 2 的中点 ? MP ? 2
( 4 )向量 PA 、 PB、 PC 中三终点 A、 B、 C 共线 ? 存在实数 ?、? 使得 PA ? ? PB? ? PC 且

? ? ? ? 1 .如
平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 已 知 两 点 A(3,1) , B(?1,3) , 若 点 C 满 足

OC ? ?1 OA? ?2 OB ,其中 ?1 , ?2 ? R 且 ?1 ? ?2 ? 1,则点 C 的轨迹是_______
(答:直线 AB)

? ??

? ??

? ??

2.2 平面向量的线性运算
1.在矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 1 ,则向量 ( AB ? AD ? AC) 的长等于( (A)2 (B) 2 3 (C)3 (D)4 )

2.下面给出四个命题: ① 对于实数 m 和向量 a 、 b 恒有: m(a ? b) ? ma ? mb ② 对于实数 m 、 n 和向量 a ,恒有 (m ? n)a ? m a ? na

③ 若 ma ? mb(m ? R) ,则有 a ? b ④ 若 ma ? na(m, n ? R, a ? 0) ,则 m ? n 其中正确命题的个数是( ) (A)1 (B)2

(C)3

(D)4 ; 答案:相同;=;

3.若 a 与 b 的方向相反,且 a ? b ,则 a+b 的方向与 a 的方向 此时 a ? b

a?b.

4.已知 D、E、F 分别是△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点,且 BC ? a , CA ? b , AB ? c ,则下列 各式:① EF ?

1 1 1 1 1 c ? b ;② BE ? a ? b ;③ CF ? ? a ? b ;④ AD ? BE ? CF ? 0 2 2 2 2 2
答案:2

. 其

中正确的等式的个数为

5 .已知 A 、 B 、 C 三点不共线, O 是△ ABC 内的一点,若 OA ? OB ? OC ? 0 ,则 O 是△ ABC 的 。 (填重心 、垂心、内心、外心之一) 答案:重心

B ?8 ,A C 6. 若 A

? 5 , 则 BC 的取值范围是
A

答案: [3,13]

解析:由结论||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,因为 BC = | AB ? AC | 。 7.如图,D、E、F 是 ?ABC 的边 AB、BC、CA 的中点, 则 AF ? DB =
B D

F

C E

答案: BE

b 表示) 8.在 ABCD 中, AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC ,M 为 BC 的中点,则 MN ? _______。 (用 a、
解析:如图,由AN ? 3NC得4 AN ? 3AC =3(a ? b) , AM ? a ? 所以 MN ?

1 b, 2

3 1 1 1 ( a ? b) ? ( a ? b) ? ? a ? b 。 4 2 4 4


9.化简: ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) = 答案:0

10.如图, ABCD 是一个梯形, AB∥CD, 且 AB=2CD, M、 N 分别是 DC 和 AB 的中点, 已知 AB =a, AD =b, 试用 a,b 表示 BC 和 MN .

2.3 平面向量基本定理及坐标表示
一、选择题 1.设平面向量 a=(-1,0),b=(0,2),则 2a-3b=( A.(6,3) B.(-2,-6)
2

) D.(7,2) ).

C.(2,1)

2.已知平面向量 a=(x,1),b=(-x,x ),则向量 a+b( A.平行于 x 轴 C.平行于 y 轴

B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线 ). D.(-5,-10) )

3.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b=( A.(-2,-4) B.(-3,-6) C.(-4,-8)

→ → 4. 设点 A(2,0),B(4,2),若点 P 在直线 AB 上,且|AB|=2|AP|,则点 P 的坐标为( A.(3,1) B.(1,-1) C.(3,1)或(1,-1) D.无数多个 5.若向量 AB =(1,2) , BC =(3,4) ,则 AC =( A (4,6) B (-4,-6) C (-2,-2) ) D (2,2)

6.已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z),且 a⊥b,若 x,y 满足不等式|x|+|y|≤1,则 z 的取值 范围为( A.[-2,2] ). B.[-2,3] C.[-3,2] D.[-3,3]

? m ? 2 2 7.设两个向量 a=(λ +2,λ -cos α )和 b=?m, +sin α ?,其中 λ ,m,α 为实数.若 a=2b, ? 2 ?
λ 则 的取值范围是( m A.[-6,1] 二、填空题 8. 设 a=(1,2),b=(2,3),若向量 λ a+b 与向量 c=(-4,-7)共线,则 λ =________. 1 1 9.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 + 的值为________. a b 10.设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),且 a 与 b 的方向相反,则 a 的坐标为________. 11.设 e1,e2 是平面内一组基向量,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量 e1+e2 可以表示为另一组基 向量 a,b 的线性组合,即 e1+e2=________a+________b. 12. 在平面直角坐标系 xOy 中, 四边形 ABCD 的边 AB∥DC, AD∥BC.已知点 A(-2,0), B(6,8), C(8,6), 则 D 点的坐标为________. 三、解答题 ). B.[4,8] C.(-∞,1] D.[-1,6]

→ → → → 1 1 13.已知点 A(-1,2),B(2,8)以及AC= AB,DA=- BA,求点 C,D 的坐标和CD的坐标. 3 3



14.已知 A(1,1)、B(3,-1)、C(a,b). (1)若 A、B、C 三点共线,求 a、b 的关系式; (2)若 AC =2 AB ,求点 C 的坐标.

→ 数 m 满足的条件.





15.已知向量OA=(3,4),OB=(6,-3),O C =(5-m,-3-m).若点 A,B,C 能构成三角形,求实

→ →



16.已知 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+tAB,求 (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由.


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平面向量知识点归纳

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必修4平面向量复习(知识点+经典例题+练习)

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