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2.3《幂函数》


2.3

幂 函 数

问题引入:函数的生活实例
问题 1 :如果张红购买了每千克 1 元的苹果 w 千克, 那么她需要付的钱数p =w 元, 。? x 这里p是w的函数 y 问题 2:如果正方形的边长为 a ,那么正方形的面积 y = x? 是S = a?, 这里S是a的函数 。 问题 3:如果正方体的边长为 a ,那么正方体

的体积 y= x? 是V = a? ,这里V是a的函数 。 问题4:如果正方形场地的面积为 S,那么正方形的边 1 1 2 长a= S 2, 这里a是S的函数 。 y=x 问题5:如果某人t s内骑车行进了1km,那么他骑车 ?1 ?1 y=x 的平均速度v = t km/s, 这里v是t的函数 。

若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y 来表示,则它们的函数关系式将是:

以上问题中的函数有什么共同特征?
(1)

(2)

(3)
(4) (5)

y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1

(1)都是函数;
(2)均是以自变量为底的幂; (3)指数为常数; (4)自变量前的系数为1。

上述问题中涉及的函数,都是形如y=xα的函数。

一般地,函数

y?x

a

叫做幂函数(power function) ,

其中x为自变量, 为常数。 a
注意:幂函数的解析式必须是y = xa 的形式,

其特征可归纳为“两个系数为1,只有1项”.
你能说出幂函数与指数函数的区别吗?
指数函数:解析式 y ? a ,底数为常数a,a>0, a≠1,指数为自变量x; a 幂函数:解析式 y ? x ,底数为自变量x, 指数为常数α, α∈R;
x

一、定义

几点说明:
1 1、对于幂函数,我们只讨论 ? =1,2,3, , 2 -1时的情形。 2、幂函数不象指数函数和对数函数,其定义 域随 ? 的不同而不同。

下面研究幂函数

y?x .
a
1 2

结合图象,研究性质:定义域、值域、 单调性、奇偶性、过定点的情况等。
研究

y=x

y?x

2

y?x

3

y?x

y?x

?1

y=x0 在同一平面直角坐标系内作出这
六个幂函数的图象.

y=x y ? x
x … …
… … …

2

y?x y?x
3

1 2

y?x
1 1
1 1 1

?1

y=x0
3 3
9 27

-3 -3
9 -27 \

-2 -2
4 -8 \

-1 -1
1 -1 \

0 0
0 0 0

2 2
4 8

… …
… … …

y?x

y?x
y?x

2

3
1 2

y?x

2
1/2

3
1/3

y?x

?1



-1/3

-1/2

-1

\

1



函数y=x的图象和性质

定义域:

值 域:
奇偶性:

R R

奇函数 在R上是增函数 单调性:

函数y=x2的图象和 性质

定义域:

R

值 域:[0,??) 奇偶性: 偶函数
在 [ 0 , ?? ) 上是增函数 单调性:

在(??,0]上是减函数

函数y=x3的图 象和性质

定义域:
值 域:

R R

奇偶性:奇函数

在R上是增函数 单调性:

函数y ? x

1 2

的图像和性质

定义域: [0,??)
值 域: [0,??)

奇偶性: 非奇非偶函数
在[0,??)上是增函数 单调性:

函数y=x-1的图象 和性质

0? ? ??, 定义域: 0? ? ??, 值 域:

(0,+?) (0,+?)

奇偶性: 奇函数
在(-?,0)和(0, ??)上是减函数 单调性:

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4) 在第一象限内 , 函数图象的变化 趋势与指数有什 么关系? (-1,1)
-6 -4 -2

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

在第一象限内, 当a>0时,图象随x增大而上升。 当a<0时,图象随x增大而下降

-3

-4

不管指数是多少 (-2,4) ,图象都经过哪 个定点?
(-1,1)
-6 -4 -2

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

在第一象限内, 当a>0时,图象随x增大而上升。 当a<0时,图象随x增大而下降。

-3

图象都经过点(1,1) a>0时,图象还都过点(0,0)点

-4

观察幂函数图象,将你发现的结论写在下表:
y=x 定义域 值域 奇偶性 R R y=x2 R y=x3 y=x
1 2

y=x-1

R [0,+∞) R [0,+∞)

{x|x≠0}
{y|y≠0}

[0,+∞)







非奇 非偶



在R 在(-∞,0]上减, 在R上 单调性 上增 在[0,+∞)上增, 增

在[0, 在(-∞,0)上减, +∞)上增, 在(0,+∞)上减

公共点

(1,1)

例1
如果函数 f ( x) ? (m ? m ?1)x
2 m2 ?2m?3

是幂函数,

且在区间( 0 , +∞ )内是减函数,求满足条件的
实数m的集合。

解:依题意,得 m ? m ? 1 ? 1 解方程,得 m=2或m=-1 ?3 检验:当 m=2时,函数为 f ( x) ? x 0 符合题意.当m=-1时,函数为 f ( x) ? x ? 1 不合题意,舍去.所以m=2
2

例2. 利用单调性判断下列各值的大小。 (1)5.20.8 与 5.30.8 (2)0.20.3 -2 与 0.30.3-2 解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,

(3)

2.5

5

与 2.7

5

∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5

练习2
1)

1.3
?2

0.5<

1.5

0.5

?2 < 5.1 2) 5.09
1 4

3) ?1.79 > ?1.81 4)

1 4

(2 ? a )

2 ? 2 3 ≤

2

2 ? 3

例3

证明幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数.

复习用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 设x1, x2是某个区间上任意二值,且x1<x2; (2). 作差 f(x1)-f(x2),变形 ; (3). 判断 f(x1)-f(x2) 的符号; (4). 下结论. 证明:任取 x1 , x2 ?[0,??), 且x1 ? x2 , 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ?
?

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x1 ? x2

x1 ? x2 , ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ). x1 ? x2

所以幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数.

课堂小结:

本节知识结构: 幂函数

定义

五个特殊幂函数
图象 基本性质

P79习题2.3: 1,2,3.


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