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新课标高中数学选修4-4参数方程综合测试


选修 4-4 参数方程综合测试
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

? x ? ?2 ? 5t ) . (t为参数) 与坐标轴的交点是( ? y ? 1 ? 2t 2 1 1 1 ( , 0) B. (0, )、 ( , 0) A. (0, )、 C. (0, ?

4)、 (8, 0) 5 2 5 2 2.把方程 xy ? 1 化为以 t 参数的参数方程是( ) .
1.曲线 ?
1 ? ?x ? t 2 A. ? 1 ? y ? t?2 ?

(8, 0) D. (0, )、

5 9

? x ? sin t ? B. ? 1 y? ? sin t ?

? x ? cos t ? C. ? 1 y? ? cos t ?

? x ? tan t ? D. ? 1 y? ? tan t ?
) .

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t 2 2 3 3 A. B. ? C. D. ? 3 2 3 2 ? x ? ?1 ? 8cos ? 4.点 (1, 2) 在圆 ? 的( ) . ? y ? 8sin ?
3.若直线的参数方程为 ? A.内部 B.外部 C.圆上 D.与θ 的值有关 ) .

1 ? ?x ? t ? 5.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
A.一条直线 6.两圆 ? B.两条直线 C.一条射线

D.两条射线 ) . D.内含 ) .

? x ? ?3 ? 2 cos? ? x ? 3 cos ? 与? 的位置关系是( ? y ? 4 ? 2 sin ? ? y ? 3 sin ?
B.外切 C.相离

A.内切 7.与参数方程为 ? A. x ?
2

? ?x ? t ? ? y ? 2 1? t

(t为参数) 等价的普通方程为(

y2 y2 2 ?1 ? 1(0 ? x ? 1) B. x ? 4 4 y2 y2 2 ? 1(0 ? y ? 2) D. x 2 ? ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) C. x ? 4 4 ? x ? 5cos ? ? 8.曲线 ? ) . ( ? ? ? ? ) 的长度是( ? y ? 5sin ? 3 5? 10? A. 5? B. 10? C. D. 3 3 2 2 9.点 P ( x, y ) 是椭圆 2 x ? 3 y ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为(
A. 2 2 B. 2 3 C. 11 D. 22

) .

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 10.直线 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点, ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2 则 AB 的中点坐标为( ) . A. (3, ?3) B. (? 3,3) C. ( 3, ?3) D. (3, ? 3)

? x ? 4t 2 11.若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? (t为参数) 上,则 | PF | 等于( ? y ? 4t
A. 2 12.直线 ? B. 3 C. 4 D. 5 ) .

) .

? x ? ?2 ? t (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为( ? y ? 1? t 1 A. 98 B. 40 C. 82 D. 93 ? 4 3 4
? x ? et ? e ? t ? (t为参数) 的普通方程为__________________. t ?t ? ? y ? 2(e ? e )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.参数方程 ?

14.直线 ?

? ? x ? ?2 ? 2t ? ? y ? 3 ? 2t

(t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______.

? x ? t cos ? ? x ? 4 ? 2cos ? 与圆 ? 相切,则 ? ? _______________. ? y ? t sin ? ? y ? 2sin ? 16.设 y ? tx(t为参数) ,则圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的参数方程为____________________.
15.直线 ? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)

? ?x ? 1? t (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P ? ? y ? ?5 ? 3t 与 Q(1, ?5) 的距离.
求直线 l1 : ? 18. (本小题满分 12 分)

10 , 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x2 ? 12 y2 ? 1 交于点 M , N , 2 求 | PM | ? | PN | 的值及相应的 ? 的值.
过点 P ( 19. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, A(?2,0), B(0, 2), C (cos ? , ?1 ? sin ? ) ( ? 为变数), 求 ?ABC 面积的最大值. 20. (本小题满分 12 分)已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程. (2)设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积. 21. (本小题满分 12 分)
2 2

?
6



1 ? x ? (et ? e ? t ) cos ? ? ? 2 分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: ? y ? 1 (et ? e ? t ) sin ? ? ? 2 (1) ? 为参数, t 为常数; (2) t 为参数, ? 为常数.
22. (本小题满分 12 分) 已知直线 l 过定点 P ( ?3, ? ) 与圆 C : ?

3 2

求: (1)若 | AB |? 8 ,求直线 l 的方程;

? x ? 5cos ? (? 为参数) 相交于 A 、 B 两点. ? y ? 5sin ?

(2)若点 P ( ?3, ? ) 为弦 AB 的中点,求弦 AB 的方程. 答案与解析: 1.B

3 2

2.D 3.D 4.A 5.D

2 1 1 ,而 y ? 1 ? 2t ,即 y ? ,得与 y 轴的交点为 (0, ) ; 5 5 5 1 1 1 当 y ? 0 时, t ? ,而 x ? ?2 ? 5t ,即 x ? ,得与 x 轴的交点为 ( , 0) . 2 2 2 xy ? 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制. y ? 2 ?3t 3 k? ? ?? . x ? 1 2t 2
当 x ? 0 时, t ?
2 2 ∵点 (1, 2) 到圆心 (?1, 0) 的距离为 (1 ? 1) ? 2 ? 2 2 ? 8 (圆半径)

∴点 (1, 2) 在圆的内部.

y ? 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ? 2, 或x ? ?2 ,所以表示两条射线.

2 2 6.B 两圆的圆心距为 (?3 ? 0) ? (4 ? 0) ? 5 ,两圆半径的和也是 5 ,因此两圆外切.

7.D 8.D

x2 ? t,

9.D

y2 y2 ? 1 ? t ? 1 ? x2 , x2 ? ? 1, 而t ? 0, 0 ? 1 ? t ? 1, 得0 ? y ? 2 . 4 4 ? 2? 曲线是圆 x 2 ? y 2 ? 25 的一段圆弧,它所对圆心角为 ? ? ? . 3 3 10? 所以曲线的长度为 . 3 x2 y 2 ? ? 1 ,设 P( 6 cos? , 2sin ? ) , 椭圆为 6 4 x ? 2 y ? 6 cos? ? 4sin ? ? 22 sin(? ? ?) ? 22 .

t ?t 1 3 2 (1 ? t )2 ? (?3 3 ? t ) ? 16 ,得 t 2 ? 8t ? 8 ? 0 , t1 ? t2 ? 8, 1 2 ? 4 , 2 2 2 1 ? x ? 1? ? 4 ? ? 2 ? ?x ? 3 ?? 中点为 ? . ?y ? ? 3 ? y ? ?3 3 ? 3 ? 4 ? ? ? 2 2 11.C 抛物线为 y ? 4 x ,准线为 x ? ?1 , | PF | 为 P(3, m) 到准线 x ? ?1 的距离,即为 4 .
10.D

12.C

? 2 x ? ?2 ? 2t ? ? x ? ? 2 ? t ? ? 2 ,把直线 ? x ? ?2 ? t ?? ? ? ? y ? 1? t ? y ? 1? t ? y ? 1 ? 2t ? 2 ? ? 2 2 2 代入 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 25 ,得 (?5 ? t )2 ? (2 ? t )2 ? 25, t 2 ? 7t ? 2 ? 0 ,
| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 41 ,弦长为 2 | t1 ? t2 |? 82 .

13.

x y ? ? 1, ( x ? 2) 4 16

2

2

y ? ? x ? et ? e ? t x ? ? 2et ? y y ? ? 2 ?? ? (x ? ) x (? ? ) . 4 ?y t ?t 2 2 ? ? e ?e ? x ? y ? 2e? t ?2 ? ? 2

14. (?3, 4) ,或 (?1, 2) 15.

? 5? ,或 6 6

1 2 . (? 2t )2 ? ( 2t )2 ? ( 2) 2 , t 2 ? , t ? ? 2 2

直线为 y ? x tan ? ,圆为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 ,作出图形,相切时, 易知倾斜角为

? 5? ,或 . 6 6
4t ; 1? t2

4t ? x? ? ? 1? t2 16. ? 2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?

x2 ? (tx)2 ? 4tx ? 0 ,当 x ? 0 时, y ? 0 ,或 x ?

4t ? x? ? 4t ? 1? t2 而 y ? tx ,即 y ? ,得 . ? 2 1? t2 ? y ? 4t ? 1? t2 ? ? ?x ? 1? t 17.解:将 ? ,代入 x ? y ? 2 3 ? 0 ,得 t ? 2 3 , ? ? y ? ?5 ? 3t
2

得 P(1 ? 2 3,1) ,而 Q(1, ?5) , 得 | PQ |?

(2 3) 2 ? 62 ? 4 3 .

? 10 ? t cos ? ?x ? 18.解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线 2 ? y ? t sin ? ? 3 2 2 并整理得 (1 ? sin ? )t ? ( 10 cos ? )t ? ? 0 , 2 3 2 则 | PM | ? | PN |?| t1t2 |? , 1 ? sin 2 ? ? 3 ? 2 所以当 sin ? ? 1 时,即 ? ? , | PM | ? | PN | 的最小值为 ,此时 ? ? . 2 4 2

19.解:设 C 点的坐标为 ( x, y ) ,则 ?

? x ? cos ? , ? y ? ?1 ? sin ?

即 x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 为以 (0, ?1) 为圆心,以 1 为半径的圆. ∵ A(?2, 0), B(0, 2) , ∴ | AB |? 4 ? 4 ? 2 2 , 且 AB 的方程为

即 x ? y ? 2 ? 0,

x y ? ? 1, ?2 2

1 ? (?1) 3 2, ∴点 C 到直线 AB 的最大距离为 1 ? 2 1 3 2) ? 3 ? 2 . ∴ S?ABC 的最大值是 ? 2 2 ? (1 ? 2 2 ? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 20.解: (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? , ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2
2 2

则圆心 (0, ?1) 到直线 AB 的距离为

| ?(?1) ? 2 |

?

3 2. 2

? 3 x ? 1? t ? ? 2 2 2 (2)把直线 ? ,代入 x ? y ? 4 , ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 , 2 2 t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2 .
当 t ? 0 时, cos ? ? 而 x ? y ? 1,
2 2

21.解: (1)当 t ? 0 时, y ? 0, x ? cos ? ,即 x ? 1, 且y ? 0 ;

x y , ,sin ? ? 1 t ?t 1 t ?t (e ? e ) (e ? e ) 2 2
y2 ? 1;



x2 1 t (e ? e ? t ) 2 4

?

1 t ?t 2 (e ? e ) 4

(2)当 ? ? k? , k ? Z 时, y ? 0 , x ? ?

1 t (e ? e ?t ) ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 2 ? 1 t ?t 当 ? ? k? ? , k ? Z 时, x ? 0 , y ? ? (e ? e ) ,即 x ? 0 ; 2 2

2x ? t ?t e ?e ? ? k? ? cos ? , k ? Z 时,得 ? 当? ? , 2 ?e t ? e ? t ? 2 y ? sin ? ? 2x 2y ? t 2e ? ? ? 2x 2y 2x 2y ? cos ? sin ? t ?t ? )( ? ), 即? ,得 2e ? 2e ? ( 2 x 2 y cos ? sin ? cos ? sin ? ? t ? 2e ? ? ? cos ? sin ? ? x2 y2 ? ?1. 即 cos 2 ? sin 2 ? ? x ? 5cos ? 22.解: (1)由圆 C 的参数方程 ? ? x2 ? y 2 ? 25 , ? y ? 5sin ? ? x ? ?3 ? t cos ? ? (t为参数) , 设直线 l 的参数方程为① ? 3 y ? ? ? t sin ? ? ? 2 2 将参数方程①代入圆的方程 x ? y 2 ? 25
得 4t ?12(2cos ? ? sin ? )t ? 55 ? 0 ,
2

∴△ ? 16[9(2cos ? ? sin ? ) ? 55] ? 0 ,
2

所以方程有两相异实数根 t1 、 t 2 ,
2 ∴ | AB |?| t1 ? t2 |? 9(2 cos ? ? sin ? ) ? 55 ? 8 ,

化简有 3cos ? ? 4sin ? cos ? ? 0 ,
2

3 , 4 从而求出直线 l 的方程为 x ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 15 ? 0 . (2)若 P 为 AB 的中点,所以 t1 ? t2 ? 0 ,
解之 cos ? ? 0 或 tan ? ? ? 由(1)知 2cos ? ? sin ?

? 0 ,得 tan ? ? ?2 ,
2 2

故所求弦 AB 的方程为 4 x ? 2 y ? 15 ? 0( x ? y ? 25) .

备用题: 1.已知点 P( x0 , y0 ) 在圆 ?

? x ? 3 ? 8cos ? 上,则 x0 、 y0 的取值范围是( ? y ? ?2 ? 8sin ? A. ?3 ? x0 ? 3, ?2 ? y0 ? 2 B. 3 ? x0 ? 8, ?2 ? y0 ? 8 C. ?5 ? x0 ? 11, ?10 ? y0 ? 6

) .

D.以上都不对 1.C 由正弦函数、余弦函数的值域知选 C.

? x ? 1 ? 2t ) . (t为参数) 被圆 x 2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( ?y ? 2 ? t 12 12 9 9 5 5 10 A. B. C. D. 5 5 5 5 2 ? x ? 1 ? 5t ? ? ? x ? 1 ? 2t ? x ? 1 ? 2t ? 5 2.B ,把直线 ? 代入 ?? ? y ? 2 ? t 1 ? ?y ? 2 ?t ? y ? 1 ? 5t ? ? 5 ? 2 2 2 x ? y ? 9 得 (1 ? 2t ) ? (2 ? t )2 ? 9,5t 2 ? 8t ? 4 ? 0 ,
2.直线 ?

12 8 16 12 5. | t1 ? t2 |? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? (? ) 2 ? ? ,弦长为 5 | t1 ? t2 |? 5 5 5 5 ? x ? 2 pt 2 3.已知曲线 ? (t为参数,p为正常数) 上 的 两 点 M , N 对 应 的 参 数 分 别 为 t1和t2, , ? y ? 2 pt 且t1 ? t2 ? 0 ,那么 | MN |? _______________. 3. 4 p | t1 | 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴,即 x 轴, | MN |? 2 p | t1 ? t2 |? 2 p | 2t1 | .
4.参数方程 ? 4.解:显然

? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) (? 为参数) 表示什么曲线? ? y ? sin ? (sin ? ? cos ? )

y y2 1 1 ? tan ? ,则 2 ? 1 ? , cos 2 ? ? 2 , 2 y x x cos ? ?1 x2 1 1 2 tan ? x ? cos 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2? ? cos 2 ? ? ? ? cos 2 ? , 2 2 1 ? tan 2 ? y y 2 ?1 y2 y 1 1 x ? x x (1 ? ) ? ?1 , 即x? ? , ? 2 2 2 2 x x y y y 2 1? 2 1? 2 1? 2 x x x 2 y y ? ?1, 得x? x x 2 2 即 x ? y ?x? y ?0.
2 2

5.已知点 P ( x, y ) 是圆 x ? y ? 2 y 上的动点, (1)求 2 x ? y 的取值范围; (2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 5.解: (1)设圆的参数方程为 ?

? x ? cos ? , ? y ? 1 ? sin ?

2x ? y ? 2cos? ? sin ? ?1 ? 5 sin(? ? ? ) ?1,
∴ ? 5 ? 1 ? 2 x ? y ? 5 ? 1. (2) x ? y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0 ,

∴ a ? ?(cos ? ? sin ? ) ? 1 ? ? 2 sin(? ? 即a ?

?
4

) ? 1 恒成立,

2 ?1.


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