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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2精要课件 利用导数判断函数的单调性


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1.3.1

1.3.1
【学习要求】
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利用导数判断函数的单调性

1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性,并能够利用单调性证明 一些简单的不等式. 3.会求函数的单调区间

(其中多项式函数一般不超过三次). 【学法指导】 结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数 正负之间的关系,体会数形结合思想,以直代曲思想.

填一填· 知识要点、记下疑难点

1.3.1

一般地, 在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系:
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导数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0

函数的单调性

增 单调递___ 减 单调递____
常函数

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1.3.1

探究点一
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函数的单调性与导函数正负的关系

问题 1 观察下面四个函数的图象, 回答函数的单调性与其 导函数的正负有何关系?

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1.3.1



(1)在区间(-∞,+∞)内,y′=1>0,y(x)是增函数;

(2)在区间(-∞,0)内,y′=2x<0,y(x)是减函数; 在区间(0,+∞)内,y′=2x>0,y(x)是增函数;
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(3)在区间(-∞,+∞)内,y′=3x2≥0,y(x)是增函数;

1 (4)在区间(-∞,0),(0,+∞)内,y′=-x2<0,y(x)是减函数.

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小结
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一般地,函数的单调性与其导函数的正负有

如下关系: 在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 y =f(x)在这个区间内单调递增;如果 f′(x)<0,那么 函数 y=f(x)在这个区间内单调递减.

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问题 2

若函数 f(x)在区间(a,b)内单调递增,那么 f′(x)

一定大于零吗?
答 由问题 1 中(3)知 f′(x)≥0 恒成立.

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问题 3 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个, 那么如何表示这些区间?试写出问题 1 中(4)的单调区间. (2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系?
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(1)不能用“∪”连接,只能用“,”或“和”字隔开.问题

1 中(4)的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞). (2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的,故单调 区间是定义域的子集.

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例 1 已知导函数 f′(x)的下列信息: 当 1<x<4 时,f′(x)>0; 当 x>4 或 x<1 时,f′(x)<0; 当 x=4 或 x=1 时,f′(x)=0.
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试画出函数 f(x)图象的大致形状. 解 当 1<x<4 时,f′(x)>0,可知 f(x)在此区间内单调递增;
当 x>4 或 x<1 时,f′(x)<0,可知 f(x)在此区间内单调递减;
当 x=4 或 x=1 时,f′(x)=0,这两点比较特殊,我们称它 们为“临界点”.

综上,函数 f(x)图象的大致形状如图所示.

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小结

本题具有一定的开放性,图象不唯一,只要能抓住问

题的本质,即在相应区间上的单调性符合题意就可以了.

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跟踪训练 1 函数 y=f(x)的图象如图所示,试 画出导函数 f′(x)图象的大致形状.

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解 f′(x)图象的大致形状如下图:

注:图象形状不唯一.

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例 2 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x3-4x2+x-1; (2)f(x)=2x(ex-1)-x2;
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(3)f(x)=3x2-2ln x.
解 (1)f′(x)=3x2-8x+1.
令 3x2-8x+1>0,解此不等式,得 4- 13 4+ 13 x< 3 或 x> 3 .
? 4- ? 因此,区间?-∞, 3 ?

13? ?

?4+ 和? ? ? 3 ? ?

? 13 ? ,+∞?为 f(x)的单 ?

调增区间.

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令 3x2-8x+1<0,解此不等式,得
4- 13 4+ 13 3 <x< 3 .
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?4- 因此,区间? ? 3 ?

13 4+ 13? ? , 3 ?为 f(x)的单调减区间.
?

(2)f′(x)=2(ex-1+xex-x) =2(ex-1)(x+1). 当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0; 当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.

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故 f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递增, 在(-1,0)上单调递减.
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(3)函数的定义域为(0,+∞), 3x2-1 2 f′(x)=6x-x =2· x .
3x2-1 令 f′(x)>0,即 2· x >0,
3 3 解得- <x<0 或 x> . 3 3 3 又∵x>0,∴x> . 3

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3x2-1 令 f′(x)<0,即 2· x <0,

3 3 解得 x<- 3 或 0<x< 3 .
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3 又∵x>0,∴0<x< 3 . 3 3 ∴f(x)的单调递增区间为( 3 ,+∞),单调递减区间为(0, 3 ).

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小结 求函数的单调区间的具体步骤是
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(1)确定 f(x)的定义域; (2)计算导数 f′(x); (3)求出 f′(x) =0 的根(也可以直接解 f′(x)>0 和 f′(x)<0); (4)用 f′(x) =0 的根将 f(x)的定义域分成若干区间, 列表考查这若干 个区间内 f′(x)的符号,进而确定 f(x)的单调区间.

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跟踪训练 2 求下列函数的单调区间: ex (1)f(x)=x2-ln x;(2)f(x)= ; x-2 (3)f(x)=sin x(1+cos x)(0≤x<2π).
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解 (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞).
1 ? 2x-1?? 2x+1? f′(x)=2x-x = . x

因为 x>0,所以 2x+1>0, 2 由 f′(x)>0 得 x> 2 , 所以函数
? f(x)的单调递增区间为? ? ? ? 2 ? ,+∞?; 2 ?

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2 由 f′(x)<0 得 x< , 2
又 x∈(0,+∞),
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所以函数

? f(x)的单调递减区间为?0, ? ?

2? ? . 2? ?

(2)函数 f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞).
ex?x-2?-ex ex?x-3? f′(x)= = 2 2. ?x-2? ?x-2? 因为 x∈(-∞,2)∪(2,+∞), 所以 ex>0,(x-2)2>0.

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由 f′(x)>0 得 x>3, 所以函数 f(x)的单调递增区间为(3,+∞);
由 f′(x)<0 得 x<3,
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又定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),
所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,2)和(2,3).

(3)f′(x)=cos x(1+cos x)+sin x(-sin x) =2cos2x+cos x-1=(2cos x-1)(cos x+1). 因为 0≤x<2π,所以 cos x+1≥0, π 5π 由 f′(x)>0 得 0<x<3或 3 <x<2π;

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π 5π 由 f′(x)<0 得 <x< , 3 3
? ? π? ?5π 故函数 f(x)的单调递增区间为?0,3?,? 3 ,2π?, ? ? ? ? ?π 5π? 单调递减区间为?3, 3 ?. ? ?

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探究点二 问题

函数的变化快慢与导数的关系

我们知道导数的符号反映函数 y=f(x)的增减情

况,怎样反映函数 y=f(x)增减的快慢呢?你能否从导
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数的角度解释变化的快慢呢?
答 一般地,如果一个函数在某一范围 内导数的绝对值较大,那么函数在这个 范围内变化得快,这时,函数的图象就 比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数 的图象就“平缓”一些.如图所示,函数 y=f(x)在(0,b) 或(a,0)内的图象“陡峭”,在(b,+∞)或(-∞,a)内的图 象“平缓”.

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例3

如图,设有圆 C 和定点 O,当 l 从

l0 开始在平面上绕 O 匀速旋转(旋转角 度不超过 90° )时,它扫过的圆内阴影部 分的面积 S 是时间 t 的函数, 它的图象大致是下图所示
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的四种情况中的哪一种?

(

)

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1.3.1

解析 由于是匀速旋转,阴影部分面积 S(t)开 始和最后时段缓慢增加,中间时段 S 增速快.
图 A 表示 S 的增速是常数,与实际不符,图 A 应否定;
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图 B 表示最后时段 S 增速快,也与实际不符, B 也应否定; 图 C 表示开始时段增速和最后时段 S 增速比中 间时段快,也应否定; 图 D 表示开始和结束阶段,S 增速慢,中间时
段增速快,符合实际,应选 D. 答案 D

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小结 通过函数图象,不仅可以看出函数的增
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减,还可以看出函数增减的快慢.从导数的角 度研究了函数的单调性及增减快慢后,我们就 能根据函数图象大致画出导函数的图象,反之 也可行.

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1.3.1

跟踪训练 3

(1)如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积

相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各 容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象.
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解 (1)→B (2)→A (3)→D (4)→C

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(2)已知 f′(x)是 f(x)的导函数,f′(x)的图象如图所示, 则 f(x)的图象只可能是 ( D )

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? a+b? ? ? 解析 从 f′(x)的图象可以看出,在区间?a, 内,导 2 ? ? ? ?a+b ? ? ? 数递增;在区间? ,b?内,导数递减.即函数 f(x)的图 ? 2 ? ? ?a+b ? a+b? ? ? ? ? 象在?a, 内越来越陡峭,在? ,b?内越来越平缓. 2 ? ? ? ? 2 ?

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1.3.1

1.函数 f(x)=x+ln x 在(0,6)上是
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( A )

A.单调增函数 B.单调减函数 ? ?1 ? 1? C.在?0,e ?上是减函数,在?e,6?上是增函数 ? ? ? ? ? ?1 ? 1? D.在?0,e ?上是增函数,在?e,6?上是减函数 ? ? ? ?
1 解析 ∵f′(x)=1+ >0, x ∴函数在(0,6)上单调递增.

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2. f′(x)是函数 y=f(x)的导函数,若 y=f′(x)的图象如 图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是
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(

)

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1.3.1

解析 由导函数的图象可知,当 x<0 时,f′(x)>0,即 函数 f(x)为增函数;
当 0<x<2 时,f′(x)<0,即 f(x)为减函数;
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当 x>2 时,f′(x)>0,即函数 f(x)为增函数.
观察选项易知 D 正确.
答案 D

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3.函数 f(x)=ln x-ax(a>0)的单调增区间为 ( A ) ? ?1 ? 1? A.?0,a? B.?a,+∞? ? ? ? ? C.(0,+∞)
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D.(0,a)

解析 f(x)的定义域为{x|x>0},
1 由 f′(x)= -a>0, x 1 得 0<x< . a

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(2,+∞) 4.(1)函数 y=x2-4x+a 的增区间为_________,减区 (-∞,2) 间为____________.
解析 (1)y′=2x-4, y′>0, x>2; y′<0, x<2, 令 得 令 得
所以 y=x2-4x+a 的增区间为(2,+∞),减区间为(-∞,2).

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(2)函数 y=x3-x

? ? 3? ? 3 ? ? ? ? -∞,- 3 ?和? 3 ,+∞? ? ? ? ? ? 的增区间为_______________________,减

? 3 3? ? ? -3,3? ? ? ? 区间为______________.

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3 3 (2)y′=3x -1,令 y′>0,得 x> 3 或 x<- 3 ;
2

3 3 令 y′<0,得- 3 <x< 3 ,

所以 y=x -x

3

? 的增区间为?-∞,- ? ?

? 3? ? 3 ? ? 和? ,+∞?,减 ? 3? ?3 ? ?

3 3 区间为(- 3 , 3 ).

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1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性, 导
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数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近 变化的快慢程度. 2.利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤为 (1)确定函数 f(x)的定义域;(2)求导数 f′(x);(3)在 函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0; (4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间.


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