nbhkdz.com冰点文库

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

时间:2013-03-31


2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
知识要点 1。线线垂直:在空间,如果两条直线 为 ,则称这两条直线互相垂直。 或平移后 ,并且夹角

2。直线与平面垂直: 定义: 如果一条直线(AB)和一个平面( ? )相交于点 O,并且和这个平面内过交 点(O)的任何直线 的 ,我们就说这条直线和这个平面互相垂直,这条直线叫做平面 ,交点叫做 。垂线上任意一点到垂足间的线段叫做

,这个平面叫做直线的

这个点到这个平面的 的 。

。垂线段的长度叫做这个点到这个平面

性质:由直线与平面垂直的定义可知: 如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和这个平面内的任意直线 此性质用符号语言表示为: 画法:通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边 记法:直线 l 和平面 ? 互相垂直,记作: 3。直线与平面垂直的判定定理: 判定定理:如果一条直线与平面内的两条 面垂直。 此定理用符号语言表示为: 推论 1:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条 此推论用符号语言表示为: 推论 2:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线 此推论用符号语言表示为: 思考:垂直于同一条直线的两个平面有怎样的位置关系? 4. 直线与平面所成的角 斜线和平面所成的角是 ; 直线与平面所成的角的范围是: 5. 二面角 (1)定义: 做 ,这两个半平面叫做 . 记作二面角 ?-AB-? . (简记 P-AB-Q ) 所组成的图形叫二面角. 这条直线叫 。 这个平面。 直线都垂直,则这条直线与这个平 。 。 。

(2) 二面角的平面角: 在二面角 ?-l-? 的棱 l 上任取一点 O , 以点 O 为垂足, 在半平面 ? , ? 内分别作 射线 OA 和 OB ,则射线 OA 和 OB 构成的 ?AOB 叫做二面角的平 面角. 范围: .

6。两个平面互相垂直的定义: 如果两个相交平面的交线与第三个平面 交直线 ,又这两个平面与第三个平面相交的两条相

,就称这两个平面互相垂直。

7。两个平面互相垂直的判定定理与性质定理: 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的 ,则这两个平面互相垂直。 于

性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 另一个平面。 典型例题

例 1.已知 PA⊥面 ABCD,ABCD 为矩形,M、N 分别为 AB、PC 的中点,若∠PDA=45° 求证:MN⊥平面 PCD。

例 2. 如图 1-2-62 所示,直角 ?ABC 所在平面外一点 S,且 SA=SB=SC,点 D 为斜边 AC 的 中点。 (1)求证:SD ? 平面 ABC; (2)若 AB=BC,求证:BD ? 面 SAC。

例 3. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PCD 是边长为 2cm 的等边三角形,且与底面垂直, 而底面 ABCD 是面积为 2 3cm2 的菱形,∠ADC 是锐角.

(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)求证 PA⊥CD.

例 4. 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PB ? 平面 ABCD,M、N 分别是 AB、PC 的中点。 P (1)求证:MN//平面 PAB; (2)若平面 PDA 与平面 ABCD 成 60 的二面角, 求该四棱锥的体积.
N
?

B A

C

M

D

例 5. 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,
D1 C1 B1

(1)证明: BC1 ? 面 A1B1CD; (2)求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.
A1

D

C B

A

例 6.下面是一个几何体的三视图,其中俯视图为正三角形,A1B1=2,AA1=4, 求该几何体的表面积和三棱锥 C1--ABC 的体积 A1

A A1 C1

B1

例 7.(本小题满分 8 分) 如图所示,已知 AB ? 平面BCD,M、N 分别是 AC、AD 的中点,BC ? CD.

(I)求证:MN∥平面 BCD; (II)求证:平面 BCD ? 平面 ABC; (III)若 AB=1,BC= 3 ,求直线 AC 与平面 BCD 所成的角.

A

? N
?M

B C

D

当堂检测 1.若三条直线 OA,OB,OC 两两垂直,则直线 OA 垂直于( A.平面 OAB B.平面 OAC C.平面 OBC D.平面 ABC ).

2.在三棱锥 A—BCD 中,如果 AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD 是锐角三角形,那么( A. 平面 ABD⊥平面 ADC B. 平面 ABD⊥平面 ABC C. 平面 BCD⊥平面 ADC D. 平面 ABC⊥平面 BCD

).

3.设三棱锥 P ? ABC 的顶点 P 在平面 ABC 上的射影是 H ,给出以下说法: ①若 PA ? BC , PB ? AC ,则 H 是 ?ABC 垂心; ②若 PA, PB, PC 两两互相垂直,则 H 是 ?ABC 垂心; ③若 ?ABC ? 90? , H 是 AC 的中点,则 PA ? PB ? PC ; ④若 PA ? PB ? PC ,则 H 是 ?ABC 的外心. 其中正确说法的序号依次是 . 4. 给出下列说法: ①直线上有两点到平面的距离相等,则此直线与平面平行; ②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面; ③直线 m⊥平面α ,直线 n⊥m,则 n∥α ; ④垂直于同一个平面的两条直线平行. 其中正确的两个说法是( ). A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 5.已知 m、n 是不重合的直线,α 、β 是不重合的平面,有下列说法: ①若 m ? α ,n∥α ,则 m∥n; ②若 m∥α ,m∥β ,则α ∥β ; ③若α ∩β =n,m∥n,则 m∥α 且 m∥β ; ④若 m⊥α ,m⊥β ,则α ∥β . 其中正确说法的个数是( ).

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

6.已知两个平面垂直,给出下列一些说法: ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的说法的序号依次是 . 7. 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成 角的正弦值为( ). A.

6 3

B.

2 6 5

C.

15 5

D. 10 5

8. 如图,Rt△ABC 的斜边 BC 在平面 ? 内,两直角边 AB、 AC 与平面 ? 所成的角分别为 30? 、45? ,则平面 ABC 与平面 ? 所成的锐二面角的大小为( ). A.30? B.45? C.60? D.90?

A O

?
9 如图, 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 直线 CD1 与直线 AB 所成角的大小是( A.30? C.60? ). B.45? D.90? A A1

B D C

D1 B1

C1

D B

C

10.(本小题满分 8 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是边长 为 a 的正方形,且 PD= a . P (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)若 E 为 PC 中点,求证:PA∥平面 BDE; E

D

C B

A (第 10 题)

11.如图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点,PA⊥平面 ABC.

(1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)若 D 也是圆周上一点,且与 C 分居直径 AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对 平面.

课后作业 1.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时, 直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( ). A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 2.在直二面角 ? ? AB ? ? 棱 AB 上取一点 P,过 P 分别在 ? , ? 平面内作与棱成 45°角的斜 线 PC、PD,则∠CPD 的大小是( ). A.45° B.60° C.120° D.60°或 120° 3.E 是正方形 ABCD 的 AB 边中点,将△ADE 与△BCE 沿 DE、CE 向上折起,使得 A、B 重 合为点 P,那么二面角 D—PE—C 的大小为 . 4.已知平面 ? , ? 和直线 m,给出条件 ① ? ? ;② ? ? ;③ ? ? ? ? ;④? ? ? ;⑤? // ? . m∥ m⊥ m (1)当满足条件 (2)当满足条件 时,有m∥? ? ; 时,有m⊥? ? .

5. (2012 年 17 题) (本小题满分 8 分)
如图:已知四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面ABCD, ABCD 是正方形,E 是 PA 的中 点, 求证:(1) PC // 平面 EBD

(2)平面 PBC⊥平面 PCD P E A D C B

6. (2011 年 18 题)(本小题满分 8 分)如图,在三棱锥 P ? ABC , PC ? 底面 ABC , . AB ? BC , D 、 E 分别是 AB 、 PB 的中点. (1)求证: DE / / 平面 PAC ; (2)求证: AB ? PB .

7.(2010 年 19 题). (本小题满分 8 分) 如图, ABCD-A1B1C1D1 为长方体. (1)求证:B1D1∥平面 BC1D; A1 (2)若 BC=CC1,求直线 BC1 与平面 ABCD 所成角的大 小.

D1

C1

B1

D

C B

A

8. (2009 年 18 题) .在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, ? 底面 ABCD, PA=AB. PA 且 (1)求证:BD ? 平面 PAC; (2)求异面直线 BC 与 PD 所成的角. P

A

D

B

C

9.在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为 a 的正方形,并且PD= a ,PA=PC= 2a . (1)求证:PD⊥平面ABCD;

(2)求二面角A-PB-C 的大小;

10.已知PCBM 是直角梯形,∠ PCB= 90° ,PM∥ BC,PM=1,PC=2,点A是平面PCBM 外一点,又AC=1,∠ ACB= 90° ,二面角P-BC-A 的大小为60° . (1)求证:平面 PAC⊥ 平面 ABC; (2)求三棱锥 P-MAC 的体积.


赞助商链接

人教版高中数学必修二 2.3 直线与平面垂直的判定 教学设计

人教版高中数学必修二 2.3 直线平面垂直的判定 教学设计_高一数学_数学_高中...其中,线面 垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质, 它是探究线面垂直...

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 教学设计 教案

(1)使学生掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理; (2)能运用性质定理解决一些简单问题; (3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互...

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3 直线平面垂直的判定及其性质_数学_高中教育_教育专区。2016立体几何,高一新课系列教案 2.3 直线平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 2...

高中数学 《2.3直线、平面垂直的判定及其性质》教学案

高中数学 《2.3直线平面垂直的判定及其性质》教学案_数学_高中教育_教育专区。《2.3.1直线与平面垂直的判定》教学案自主探究学习以立体几何的定义、公理和定理...

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3 直线平面垂直的判定及其性质一、目标认知 学习目标 1.了解空间直线和平面的位置关系; 2.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理;进一步熟悉反证法 的实质及...

2.3.1直线与平面垂直的判定练习题

2.3.1直线平面垂直的判定练习题 - 直线平面垂直的判定练习题 1.如果一条直线 l 与平面?的一条垂线垂直,那么直线 l 与平面?的位置关系是 A. l ?? B...

...2.3《直线、平面垂直的判定及其性质》word教案

新人教A版高中数学(必修2)2.3《直线、平面垂直的判定及其性质》word教案 - 2.3 直线平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 一、教学目标 1...

...导学案:2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3 直线平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定一、考纲要求 1 线面垂直定义: 如果一条直线和一个平面相交, 并且和这个平面内的任意一条直线...

2.3.1 直线与平面垂直的判定

2.3.1 直线平面垂直的判定 - 高一北清班教案 授课教师:刘福朕 2.3.1 教学过程 直线平面垂直的判定 直线与平面的垂直 [提出问题]鲁班是我国古代一位...

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3直线平面垂直的判定及其性质 隐藏>> 互动课堂 疏导引导 一、直线与平面垂直的判定 1.直线与平面垂直的定义 如果直线 l 和平面 α 内的任意一条直线都垂直...