nbhkdz.com冰点文库

2.1.1(1)归纳推理


第二章 推理与证明

2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 第 1 课时 归纳推理 【课标要求】 1.了解合情推理的含义,能利用归纳法进行简单的推理. 2.体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 【核心扫描】 1.对归纳推理的理解.(重点) 2.能利用归纳推理进行简单的推理.(重点)

自学导引 归纳推理的概念 由某类事物的部分

对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概括出一般结论的推理. 想一想:1.归纳推理的结论一定正确吗? 提示 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然性 的,而是或然性的,结论不一定正确. 2.归纳推理的前提条件是什么?归纳所得的结论有什么要求? 提示 有几个已知的特殊现象,结论是未知的一般现象,该结论应该超越前提所包含的 范围. 名师点睛 归纳推理 1.归纳推理的特点 (1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论,该结论超越了前提所包含的 范围. (2)归纳出的结论具有猜测性质,是否属实,还需逻辑证明和实践检验,即结论不一定可 靠. (3)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想可以作为进一步研究的 起点,帮助人们发现问题和提出问题. 2.归纳推理的一般步骤 (1)通过对有限资料进行观察、分析,发现某些相同性质.一般地,如果归纳的个别情况 越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题就越可能为真. (2)猜想:在以上基础上提出带有规律性的结论. (3)检验:检验猜想.

题型一 归纳推理在数列中的应用 【例 1】 根据下列条件,写出数列中的前 4 项,并归纳猜想它的通项公式. (1)a1=3,an+1=2an+1; 1 (2)a1=a,an+1= ; 2-an (3)对一切的 n∈N*,an>0,且 2 Sn=an+1. [思路探索] 根据已知条件和递推关系, 先求出数列的前几项, 然后总结归纳其中的规律,

写出其通项. 解 (1)由已知可得 a1=3=22-1, a2=2a1+1=2×3+1=7=23-1, a3=2a2+1=2×7+1=15=24-1, a4=2a3+1=2×15+1=31=25-1. + 猜想 an=2n 1-1,n∈N*. (2)由已知可得 a1=a, 1 1 a2= = , 2-a1 2-a 2-a 1 a3= = , 2-a2 3-2a 3-2a 1 a4= = . 2-a3 4-3a ?n-1?-?n-2?a 猜想 an= (n∈N*). n-?n-1?a (3)∵2 Sn=an+1, ∴2 S1=a1+1, 即 2 a1=a1+1,∴a1=1. 又 2 S2=a2+1, ∴2 a1+a2=a2+1, ∴a2 2-2a2-3=0. ∵对一切的 n∈N*,an>0,∴a2=3. 同理可求得 a3=5,a4=7, 猜想出 an=2n-1(n∈N*). 规律方法 虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的,但它所具有的由特殊到一般、 由具体到抽象的认识过程,对于数学的发现是十分有用的,观察、实验,对有限的资料作出 归纳整理,提出带有规律性的猜想,是数学研究的基本方法之一. 2an 【变式 1】 (1)在数列{an}中,a1=1,an+1= ,n∈N*,猜想这个数列的通项公式. 2+an 1 1 a + ?(n∈N*),求出 a1,a2,a3,并推 (2)已知正项数列{an}的前 n 项和 Sn,满足 Sn= ? 2? n an? 测 an 的表达式. 2a1 2 解 (1)在{an}中,a1=1,a2= = , 2+a1 3 2a2 2 2a3 2 a3= = ,a4= = ,?, 4 2+a2 2+a3 5 2 所以猜想{an}的通项公式 an= . n+1 1 1 1 a1+ ?得,a1= , (2)由 a1=S1= ? a1? 2? a1 又 a1>0,所以 a1=1. 1 1 an+ ?, 当 n≥2 时,将 Sn= ? a ? 2 n? 1 1 Sn-1= ?an-1+a ?的左右两边分别相减得 2? n-1? 1 ? 1 1 1 an+ ?- ?an-1+ an= ? an? 2? an-1?, 2? 1 1 整理得 an- =-?an-1+a ?, an ? n-1? 1 2 所以 a2- =-2,即 a2+2a2+1=2, a2

又 a2>0,所以 a2= 2-1. 1 同理 a3- =-2 2, a3 即 a2 + 2 2a3+2=3, 3 又 a3>0,所以 a3= 3- 2. 可推测 an= n- n-1. 题型二 归纳推理在几何中的应用 【例 2】 在平面内观察,凸四边形有 2 条对角线,凸五边形有 5 条对角线,凸六边形有 9 条对角线??由此猜想凸 n 边形有几条对角线,并给出证明. [思路探索] 通过前几项的对角线的条数之间的联系,猜想凸 n 边形的对角线条数. 解 凸四边形有 2 条对角线,凸五边形有 5 条对角线,比凸四边形多 3 条,凸六边形有 9 条对角线,比凸五边形多 4 条,?? 于是猜想凸 n 边形的对角线条数比凸(n-1)边形多(n-2)条对角线, 由此凸 n 边形的对角 1 * 线条数为 2+3+4+5+?+(n-2)= n(n-3)(n≥4,n∈N ). 2 证明如下:设凸 n 边形有 f(n)条对角线,则由条件可得 f(n)=f(n-1)+(n-2)(n≥4),且 f(4)=2, 所以 f(n) = (f(n) - f(n - 1))+ (f(n - 1) - f(n - 2)) +?+ (f(5) - f(4) + f(4)) = (n - 2) + (n - 3) 1 +?+3+2= n(n-3)(n≥4,n∈N*). 2 规律方法 归纳推理的一般步骤: 首先,通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律);然后,把这种相似性推 广为一个明确表述的一般性命题(猜想);最后,对所得出的一般性命题进行检验.在数学上, 检验的标准是能否进行严格的证明. 【变式 2】 平面内有 n(n≥1)条直线,任意两条直线不平行,任意三条直线不过同一点, 用 f(n)表示这 n 条直线把平面分成的区域的个数, 试猜想 f(n)的表达式(用 n 表示), 给出证明. 解 如图所示,f(1)=2,

f(2)=4=f(1)+2, f(3)=7=f(2)+3, f(4)=11=f(3)+4, f(5)=16=f(4)+5, 由此猜想 f(n)=f(n-1)+n. 将 f(2)-f(1)=2, f(3)-f(2)=3, f(4)-f(3)=4, f(5)-f(4)=5,? f(n)-f(n-1)=n 相加, n2+n+2 得 f(n)=f(1)+2+3+?+n= . 2 题型三 归纳推理的应用 【例 3】 观察如图所示的“三角数阵” 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5

????第 1 行 ????第 2 行 ????第 3 行 ????第 4 行 ????第 5 行

???? 记第 n 行的第 2 个数为 an(n≥2,n∈N*),请仔细观察上述“三角数阵”的特征,完成下 列各题: (1)第 6 行的 6 个数依次为________、 ________、 ________、 ________、 ________、 ________; (2)依次写出 a2、a3、a4、a5; (3)归纳出 an+1 与 an 的关系式. 审题指导 (1)观察数阵,总结规律:除首末两数外,每行的数等于它上一行肩膀上的两 数之和,得出(1)的结果. (2)由数阵可直接写出答案. (3)写出 a3-a2,a4-a3,a5-a4,从而归纳出(3)的结论. [规范解答] 由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数 之和,且每一行的首末两数都等于行数. (1)6,16,25,25,16,6(4 分) (2)a2=2,a3=4,a4=7,a5=11(8 分) (3)∵a3=a2+2, a4=a3+3,a5=a4+4 由此归纳:an+1=an+n.(12 分) 【题后反思】 对于数阵问题的解决方法,既要清楚每行、每列数的特征,又要对上、下 行,左、右列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解. 【变式 3】 将全体正整数排成一个三角形数阵,根据以下规律,数阵中第 n(n≥3)行的 从左至右的第 3 个数是________.

2×3 解析 第 2 行最右边的数为 3= ; 2 3×4 第 3 行最右边的数为 6= ; 2 4×5 第 4 行最右边的数为 10= ; 2 ?? ?n-1?n ?n-1?n 1 故猜想第 n-1 行最右边的数为 , ∴第 n 行从左到右的第 3 个数是 +3= (n2 2 2 2 -n+6). 1 答案 (n2-n+6) 2 方法技巧 归纳推理在数式中的应用 【示例】 (2012· 汕头模拟)观察下列各式: 1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6 2 +7+8+9+10=7 ,?可以得出的一般结论是( ). A.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=n2 B.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 C.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-1)=n2 D.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-1)=(2n-1)2 [思路分析] 观察数式的结构特点, 提炼出数式的变化规律, 运用归纳推理写出一般结论. 解析 通过观察可以发现:第一个式子的第一个数是 1,第二个式子的第一个数是 2,? 故第 n 个式子的第一个数是 n;第一个式子中有 1 个数,第二个式子中有 3 个数相加,?故

第 n 个式子中有 2n-1 个数相加;第一个式子的结果是 1 的平方,第二个式子的结果是 3 的 平方,?第 n 个式子的结果应该是 2n-1 的平方,故可以得到 n+(n+1)+(n+2)+?+(3n -2)=(2n-1)2. 答案 B 方法点评 归纳推理从个别到一般的推理,通过归纳猜想出结论.一般来说,归纳推理 发现真理的过程是以观察和实验作为基础的,从具体问题 → 实验观察 → 经验归纳 ( 归纳推 理)→形成一般命题→结论猜想→证明.


2.1.1归纳推理教案

2.1.1 合情推理——归纳推理一、 教学目标 1.知识与技能目标: 理解归纳推理的概念,了解归纳推理的作用,体会并 认识归纳推理在数学发现中的作用,掌握归纳推理的...

新人教A版选修2-2《2.1.1.1归纳推理》同步练习及答案

新人教A版选修2-2《2.1.1.1归纳推理》同步练习及答案_数学_高中教育_教育...a2-7a+6 2 +(a -5a-6)i(a?R).实数 a 取什么值时,z 是(1)实数? ...

2.1.1 合情推理-归纳推理

2.1.1 合情推理-归纳推理_数学_高中教育_教育专区。2 .1.1 合情推理——...2、 (1) 1 2 1 3 1 4 1 5 < , < , < , < ,???,由此归纳出...

2.1.1(1)归纳推理_学案(人教A版选修1-2)

2.1.1(1)归纳推理_学案(人教A版选修1-2)_数学_高中教育_教育专区。第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 第 1 课时 归纳推理 ...

2.1.1归纳推理与类比推理

2.1.1归纳推理与类比推理_数学_高中教育_教育专区。高二数学导学案课题 课标要求...2. 2 三.课堂小结本节综述: 四.巩固联系: 1 1 1 1 1.观察 (1? 2 ?...

2.1.1 归纳推理导学提纲

2.1.1 归纳推理导学提纲_高二数学_数学_高中教育_教育专区。好好好 曲阜一中 2015—2016 学年度高二(文)第二学期导学提纲·编号 12 总编号 12 2.1.1 归纳...

2.1.1合情推理 1.归纳推理

第二章 推理与证明编写人: 2.1.1 合情推理编号:001 1.归纳推理 学习目标 1、通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理这种基本的分析问题法,认识归纳推理的 ...

2[1].1.1_归纳推理(1)

优秀教学案例评选 教案设计中学 222236 苏科版高二年级数学 --- 学 教案设计 1 塑造孩子的未来需要我们协手合作 归纳推理( 2.1.1 归纳推理(1)苏科版教学设计...

2.1.1 归纳推理

2.1.1 归纳推理(1) 5页 免费 归纳推理 25页 免费 PLC_洗衣机设计 22页 20财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击...