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四川省武胜中学2013届高三下学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案


武胜中学 2013 届 2013 年补习年级第一次月考

数 学(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.直线 3 x+y-1=0 的倾斜角是 ( A.30°
*

) C.120° ) D.150°

B.6



2.差数列 {an }(n ? N )中, 若a4 ? a5 ? a6 ? 27, 则a1 ? a9 等于(

A.9 B. 27 C.18 D.54 2 2 3.已知 a、b∈R,那么“ab<0”是“方程 ax +by =1 表示双曲线”的 ( ) A.必要不充分条件 C.既不充分又不必要条件 4. 为了得到函数 y ? 3sin(2 x ? A.横坐标缩短到原来的 C.纵坐标缩短到原来的 A ①② B ②③ B.充分不必要条件 D.充要条件

?

只需把函数 y ? 3sin( x ? ) 图象上所有点的 ( ) ) 的图象, 5 5

?

1 倍,纵坐标不变 B.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 2 1 倍,横坐标不变 2
C ③④ D.纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变

D ①④ )

5.设 a, b, c 是三条不同的直线,? , ? 是两个不同的平面, a ? b 的一个充分条件是 则 ( A. a ? c, b ? c C. a ? ? , b / /? B.

? ? ?, a ? ?,b ? ?

D. a ? ? , b ? ? ) D.(0,1)∪(1,+∞)

6.若 loga(a2+1)<loga2a<0,则 a 的取值范围是( A.(0, )
1 2

B.( ,1)

1 2

C.(0,1)

7.已知 ? ABC 中,点 D 是 BC 的中点,过点 D 的直线分别交直线 AB 、 AC 于 E 、 F 两点, 若 AB ? ? AE (? ? 0) , AC ? ? AF ( ? ? 0) ,则

??? ?

??? ?

????

??? ?

1

?

?

4

?

的最小值是(



A. 9

B.

7 2

C. 5

D.

9 2


8.函数 f ( x) ? log a x ?1 (a ? 1) 的图像大致为下图的(

y 1 x -1 A
9.已知椭圆

y x 1

y 1

y

1 -1 O B

1

-1 O 1 C

x

-1

O 1x -1 D

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的半焦距为 c (c>0),左焦点为 F,右顶点为 A,抛物线 a 2 b2


y2 ?

15 (a ? c) x 与椭圆交于 B、C 两点,若四边形 ABFC 是菱形,则椭圆的离心率是( 8 8 15
B.

A.

4 15

C.

2 3

D.

1 2

10. F ( x) ? 数

对于 x ? R 恒成立,则 (
2

f ( x) 是定义在 R 上的函数, 其中 f ( x) 的导函数 f ?( x) 满足 f ?( x) ? f ( x) ex

2012

A. f (2) ? e f (0), f (2012) ? e C. f (2) ? e f (0), f (2012) ? e
2

f (0) f (0)

B. f (2) ? e f (0), f (2012) ? e
2 2

2012

f (0) f (0)

2012

D. f (2) ? e f (0), f (2012) ? e

2012

二.填空题(每题 5 分,共 25 分) 11.已知某个几何体的三视图如图(正视图中的弧线是半圆) ,根据图中标出 的尺寸(单位: cm ) ,可得这个几何体的体积是 . 12.数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则 13.已知单位向量

1 3 2

e1



e2

的夹角为60°,则

an 的最小值为 ▲ n 2e1 ? e2 ?

cos? 2 ?? ? ?? ? 1 ? ? ? 0, ? sin?? ? sin ? ? cos ? ? ? 4? 的值为 ? ? 2? ,则 2 14. 已 知 ,且
__________ 15.已知函数 f ( x) ,若对给定的三角形 ABC,它的三边的长 a、b、c 均在 函数 f ( x) 的定义域内,都有 f (a ) 、 f (b) 、 f (c) 也为某三角形的三边 的长,则称 f ( x) 是△ABC 的“三角形函数” .下面给出四个命题:

__________

2

正视图

侧视图

2

俯视图

? ①函数 f1 ( x) ? x ( x ? (0, ?)) 是任意三角形的“三角形函数” ;

②若定义在 (0, ?) 上的周期函数 f 2 ( x) 的值域也是 (0, ?) ,则 f 2 ( x) 是任意三角形 ? ? 的“三角形函数” ; 2 4 ③若函数 f3 ( x) ? x3 ? 3x ? m 在区间 , ) 上是某三角形的“三角形函数” ,则 m 的取 ( 3 3 62 值范围是 ( , ?) + ; 27 ④若 a、b、c 是锐角△ABC 的三边长,且 a、b、c∈N+,则 f 4 ( x) ? x 2 +ln x ( x ? 0) 是△ ABC 的“三角形函数” .

以上命题正确的有 . (写出所有正确命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f (x)=(sinx+cosx)2-2sin2x. (Ⅰ)求 f (x)的单调递减区间;

A 6 (Ⅱ)A、B、C 是△ABC 的三内角,其对应的三边分别为 a、b、c.若 f ( ) ? , 8 2 ??? ???? ? AB ? AC =12, a ? 2 7 ,且 b<c,求 b、c 的长.
17. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,点 E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于 F. (Ⅰ)求证:PA∥平面 EDB; (Ⅱ)求证:PB⊥平面 EFD; (Ⅲ)求二面角 C-PB-D 的大小. 18(本小题满分12分.) 设 F E C B P

f ( x) ? x ? ? ax ? ? bx ?? 的 导 数

f ' x(

) 满 足
A

D

f ' ?( ? a ) ?

f,

? ,其中常数 a, b ? R . ' ( ?b) ?

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (?, f (?)) 处的切线方程; (Ⅱ) 设 g ( x) ? f '( x)e
?x

,求函数 g ( x) 的极值.

19. (本小题满分 12 分)已知各项均不为零的数列{an}的首项 a1 ? ∈N+,k 是不等于 1 的正常数) . (Ⅰ)试问数列 {

3 ,2an+1an=kan-an+1(n 4

1 2 ? } 是否成等比数列,请说明理由; an k ? 1

(Ⅱ)当 k=3 时,比较 an 与

3n ? 4 的大小,请写出推理过程. 3n ? 5

20. (本小题满分 13 分)动点 M(x,y)与定点 F(1,0)的距离和它到直线 l:x=4 的距离之比 是常数

1 ,O 为坐标原点. 2

(Ⅰ)求动点 M 的轨迹 E 的方程,并说明轨迹 E 是什么图形? (Ⅱ)已知圆 C 的圆心在原点,半径长为 2 ,是否存在圆 C 的切线 m,使得 m 与圆 C ??? ??? ??? 2 ? ? ? 相切于点 P,与轨迹 E 交于 A、B 两点,且使等式 AP ? PB ? OP 成立?若存在,求出 m 的方程;若不存在,请说明理由. 21.已知函数 g ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ln x
2

(Ⅰ) 当 a ? 1 时, 求函数 g (x) 的单调增区间; (Ⅱ) 求函数 g (x) 在区间 ?1, e ? 上的最小值; (III) 在(Ⅰ)的条件下,设 f ( x) ? g ( x) ? 4 x ? x ? 2 ln x ,
2

证明:

? k ? f (k ) ?
k ?2

n

1

3n 2 ? n ? 2 (n ? 2) .参考数据: ln 2 ? 0.6931 . n(n ? 1)

武胜中学 2013 届 2013 年补习年级第一次月考 数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.C 2.C 3.D 4.A 5.C 6.B .7.D 8.C 9.D 10.B 二.填空题(25 分) 11. 8 ? ? ;12.

13.√3

14.

15. ①④
? ), 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (Ⅰ)f (x)=1+sin2x-1+cos2x= 2 sin(2x+ ∴ 当 2 k? ? 解得 k? ?

?
2

≤2x+

? 3? ≤ 2k? ? 时,f (x)单调递减, 4 2
5? , 8

?
8

≤x≤ k? ?

即 f (x)的单调递减区间为[ k? ? (Ⅱ)f ( ∴

?
8

, k? ?

5? ](k∈Z). ????????6 分 8

6 3 A ? A A ? )= 2 sin( + )= ,即 sin( + )= , 2 2 4 4 4 4 8

2? ? 5? A ? ? + = 或 ,即 A= 或 (舍) . 3 3 3 4 4 3

??? ???? ? 1 由 AB ? AC =c·b·cosA=12,cosA= ,得 bc=24.①

2

又 cosA=

b2 ? c 2 ? a 2 1 2 2 ? ,a ? 2 7 ,得 b +c =52. 2bc 2
z P F D A x G B E C

∵ b2+c2+2bc=(b+c)2 =100,b>0,c>0, ∴ b+c=10,② 联立①②,且 b<c,解得 b=4,c=6. ???12 分 17.解:如图所示建立空间直角坐标系,设 DC=1. (Ⅰ)连结 AC,交 BD 于 G,连结 EG.依题意得 A(1,0,0),P(0,0,1),E(0,

y

1 1 , ). 2 2

∵ 底面 ABCD 是正方形,所以 G 是此正方形的中心, 故点 G 的坐标为(

1 1 , ,0), 2 2

??? ? ??? ? 1 1 且 PA ? (1, , 1), ? ( , , ) . 0 ? EG 0 ? 2 2

∴ PA ? 2EG ,这表明 PA//EG.而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB, ∴ PA//平面 EDB. ???????????????????????4 分 (Ⅱ)依题意得 B(1,1, 0), PB =(1,1,-1).

??? ?

??? ???? ? ???? 1 1 1 1 又 DE ? (0, , ) , 故 PB ? DE ? 0 ? ? ? 0 . 2 2 2 2
∴ PB ? DE . 由已知 EF ? PB ,且 EF ? DE ? E , ∴ PB ? 平面 EFD.??????????????????????8 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知 EF ? PB , PB ? DF ,故 ?EFD 是所求二面角的平面角. 设点 F 的坐标为(x0,y0,z0), PF ? k PB , 则(x0,y0,z0-1)=k(1,1,-1),从而 x0=k,y0=k,z0=1-k,

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? 1 ∵ PB ? FD =0,所以(1,1,-1)·(k,k,1-k)=0,解得 k ? ,

3

??? ? ??? ? 1 1 2 1 1 1 1 1 2 ∴ 点 F 的坐标为 ( , , ) ,且 FE ? (? , , ? ) , FD ? (? , , ? ) ? 3 3 3 3 6 6 3 3 3 ??? ??? ? ? FE ? FD 1 ? ? ? ∴ cos ?EFD ? ??? ??? ? ,得 ?EFD ? . 3 | FE || FD | 2
∴ 二面角 C-PB-D 的大小为

? .????????????????12 分 3

19.解: (Ⅰ)由 2an+1an=kan-an+1,可得

ka ? 1 1 = n , an ?1 2an



1 2 4 2 2 2 ka ? 1 1 1 1 2 = n = ( ? . ? ? ? ? ) ,首项为 ? a1 k ? 1 3 k ? 1 k ? 1 k an k ? 1 an ?1 k ? 1 2an



1 2 4 2 5 } 为零数列,不成等比数列. ? ? 0 ,即 k= 时,数列 { ? an k ? 1 3 k ?1 2



4 2 5 ? ? 0 ,即 k>0,k ? 1 且 k ? 时, 3 k ?1 2
1 2 4 2 1 为首项, 为公比的等比数列. ? } 是以 ? an k ? 1 3 k ?1 k

数列 {

∴ 综上所述,当 k=

1 2 5 5 时,数列 { ? } 不成等比数列;当 k>0,k ? 1 且 k ? 时, an k ? 1 2 2

数列 {

1 2 ? } 是等比数列.??????????????6 分 an k ? 1
1 1 1 ? 1} 是以 为首项, 为公比的等比数列. an 3 3
n

(Ⅱ)当 k=3 时,数列 {



3 1 1 1 =1- n , ? 1 ? ( ) n ,即 an= n an 3 3 ?1 3 ?1

∴ an-

1 1 1 1 3n ? 4 3n ? 3n ? 4 =1- n -(1)= - n = , 3n ? 5 3n ? 5 3 ? 1 (3n ? 5)(3n ? 1) 3n ? 5 3 ?1

令 F(x) =3x-3x-4(x≥1),则 F ?( x) =3xln3-3≥ F ?(1) >0, ∴ F(x)在 [1, ?) 上是增函数. ? 而 F(1)=-4<0,F(2)=-1<0,F(3)=14>0, ∴ ①当 n=1 和 n=2 时, an<

3n ? 4 ; 3n ? 5

②当 n≥3 时,3n+1>3n+5,即

1 1 3n ? 4 > n ,此时 an> . 3n ? 5 3 ? 1 3n ? 5

∴ 综上所述,当 n=1 和 n=2 时,an<

3n ? 4 3n ? 4 ;当 n≥3 时,an> .?12 分 3n ? 5 3n ? 5

20.解: (Ⅰ)由题意得,

( x ? 1) 2 ? y 2 1 ? , x?4 2
??????5 分

化简得:

x2 y 2 ? ? 1,即轨迹 E 为焦点在 x 轴上的椭圆. 4 3

(Ⅱ)设 A(x1,x2),B(x2,y2). ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ∵ OA ? OB =( OP ? PA )?( OP ? PB )= OP + OP ? PB + PA ? OP + PA ? PB , ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 由题知 OP⊥AB,故 OP ? PB =0, PA ? OP =0. ? ? ??? ??? ??? 2 ??? ??? ??? 2 ??? ??? ? ? ? ? ? ? ∴ OA ? OB = OP + PA ? PB = OP - AP ? PB =0. 假设满足条件的直线 m 存在, ①当直线 m 的斜率不存在时,则 m 的方程为 x= ? 2 , 代入椭圆

x2 y 2 6 . ? ? 1,得 y= ? 2 4 3

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 6 ∴ OA ? OB =x1x2+y1y2=-2- ? 0,这与 OA ? OB =0 矛盾,故此时 m 不存在. 4
②当直线 m 的斜率存在时,设直线 m 的方程为 y=kx+b, ∴|OP|=

b 1? k
2

? 2 ,即 b2=2k2+2.

联立 ∴

x2 y 2 2 2 2 ? ? 1与 y=kx+b 得,(3+4k )x +8kbx+4b -12=0, 4 3
x1+x2=

?8kb 4b 2 ? 12 ,x1x2= , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
3b2 ? 12k 2 , 3 ? 4k 2

y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2= ∴ OA ? OB =x1x2+y1y2= ∴ 7b2-12k2-12=0, 又∵ b2=2k2+2,

??? ??? ? ?

4b 2 ? 12 3b2 ? 12k 2 + =0. 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

∴ 2k2+2=0,该方程无解,即此时直线 m 也不存在. 综上所述,不存在直线 m 满足条件.???????????????13 分 22.(Ⅰ)当 a ? 1 时, g ( x) ? x ? 3x ? ln x , g ?( x) ?
2

2 x 2 ? 3x ? 1 ?0 x

x ? 1或 x ?

1 1 。函数 f (x) 的单调增区间为 (0, ), (1,??) 2 2

(Ⅱ) g ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ln x ,
2

a 2 x 2 ? (2a ? 1) x ? a (2 x ? 1)( x ? a) ? ? ?0 x x x 当 a ? 1, x ? ?1, e?, g ?( x) ? 0, g ( x) 单调增。 g ( x) min ? ?2a 当 1 ? a ? e , x ? (1, a), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调减. x ? (a, e), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调增。 g ?( x) ? 2 x ? (2a ? 1) ?
g ( x) min ? g (a) ? ?a 2 ? a ? a ln a 2 当 a ? e , x ? ?1, e?, g ?( x) ? 0, g ( x) 单调减, g ( x) min ? g (e) ? e ? (2a ? 1)e ? a
g ( x ) min ? 2a, a ? 1 ? ? 2 ? ?? a ? a ? a ln a,1 ? a ? e ? e 2 ? (2a ? 1)e ? a, a ? e ?


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