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人教A版数学必修一2.2.2指、对数函数与反函数(3)ppt课件


2.2.2-3
第三课时

对数函数及其性质
指、对数函数与反函数

问题提出

a 设a>0,且a≠1为常数, ? s .若以 t为自变量可得指数函数y=ax,若以s 为自变量可得对数函数y=logax. 这两 个函数之间的关系如何进一步进行数学 解释?
t

识探究(一):反函数的概念 思考1:设某物体以3m/s的速度作匀速直

线运动,分别以位移s和时间t为自变量, 可以得到哪两个函数?这两个函数相同 吗? s t ? 和s=3t 得到 3
思考2:设 2 ? y ,分别x、y为自变量可以
x

得到哪两个函数?这两个函数相同吗?

y ? 2 和y ? log2 x
x

思考3:我们把具有上述特征的两个函数 互称为反函数,那么函数y=ax(a>0, 且a≠1)的反函数是什么?函数 y ? 2 x ? 1 的反函数是什么? x y ? a (a ? 0, 且a ? 1)的反函数是 :

1 1 y ? 2 x ? 1的反函数是 : y ? x ? . 2 2
小结:求反函数的一般步骤分三步 一解、二换、三注明.

y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1)

思考4:在函数y=x2中,若将y作自变量, 那么x与y的对应关系是函数吗?为什么?
不是,因为当y=1时,x有两个值1与-1和它对应.

思考5:一个函数在其对应形式上有一对一 和多对一两种,那么在哪种对应下的函数 才存在反函数?
在一对一的情况下,才存在反函数.

知识探究(二): 指、对数函数的比较分析

思考1:当a>1时,指、对数函数的图象 和性质如下表:你能发现这两个函数 有什么内在联系吗?

y=ax

(a>1)
1 0 x

y=logax(a>1)
y 0

图象 定义域 值域 性质

y

1

x

R

(0, ??)
R
当x>1时y>0; 当0<x<1时y<0; 当x=1时y=0; 在R上是减函数.

(0, ??)
当x>0时y>1; 当x<0时0<y<1; 当x=0时y=1; 在R上是增函数.

思考2:一般地,原函数与反函数的定义 域、值域有什么关系?函数图象之间有 什么关系?单调性有什么关系?

原函数的定义域就是反函数的值域, 原函数的值域是反函数的定义域,它 们的图象关于直线y=x对称,原函数与 反函数具有相同的单调性.

思考3:函数y = 1-x ,

1 y? x

的反函数

分别是什么?由此推测:如果函数 y=f(x)的图象关于直线y= x对称,则 函数f(x)与其反函数有什么关系? y=1-x的反函数是y=1-x 1 1 y? 的反函数是 y ? x x
函数f(x)与其反函数相等

理论迁移

例1 求下列函数的反函数
(1) y ? 3x ?1, (2) y ? x ?1( x ? 0)
1 1 解 : (1) y ? 3 x ? 1 ? 3 x ? y ? 1 ? x ? y ? . 3 3 1 1 所以 , y ? 3 x ? 1的反函数是y ? x ? . 3 3

(2) y ? x ? 1( x ? 0) ? x ? y ? 1( y ? 1) ? x ? ( y ? 1) 2 ( y ? 1) ? y ? x ? 1( x ? 0)的反函数是 : y ? ( x ? 1) ( x ? 1).
2

例1 求下列函数的反函数

(3) y ? 3
解 : (3) y ? 3

x ?1

? 2; (4) y ? log1 ( x ? 4).
x ?1

x ?1

?2?3

? y ? 2 ? x ? 1 ? log3 ( y ? 2)

2

? x ? log3 ( y ? 2) ? 1.

? y ? 3x?1 ? 2的反函数为 : y ? log3 ( x ? 2) ?1( x ? 2).

1 y 1 y (4) y ? log1 ( x ? 4) ? x ? 4 ? ( ) ? x ? ( ) ? 4 2 2 2
1 x ? y ? log1 ( x ? 4)的反函数为 : y ? ( ) ? 4. 2 2

练习 1. 求下列函数的反函数 (1) y=4x (x∈R) (2) y=0.25x (x∈R)

y ? log4 x( x ? 0)
x

y ? log0.25 x( x ? 0)

(3) y=( 2 ) (x∈R) (4) y=lgx (x>0)

y ? log

2

x( x ? 0) y ? 10 ( x ? R)
x

例2 已知函数 f ( x) ? log2 (1 ? 2 ) . (1)求函数f(x)的定义域和值域; (2)求证函数y=f(x)的图象关于直线 y=x对称.
x

解 : (1)1 ? 2 ? 0 ? 2 ? 1 ? x ? 0 ? 定义域(-∞,0)
x x

所以,函数f(x)的值域为(-∞,0) (2) y ? log2 (1 ? 2 x ) ? 1 ? 2 x ? 2 y ? 2 x ? 1 ? 2 y
y

2 x ? 0 ? ?2 x ? 0 ? 1 ? 2x ? 1 ? log2 (1 ? 2 x ) ? 0

? x ? log2 (1 ? 2 ) ? f ( x)的反函数y ? log2 (1 ? 2 ).
x

因f(x)的反函数与原函数相等,故结论成立.

练习 2. 函数y=3x的图象与函数y=log3x的 图象关于
3x

(D )

A. y轴对称
C. 原点对称

B. x轴对称
D. 直线y=x对称

例3 函数f(x)=loga (x-1)(a>0且a≠1)

的反函数的图象经过点(1, 4),求a的值.
解:依题意,得

1 ? loga (4 ?1)

即 : loga 3 ? 1,?a ? 3.
小 结:若函数y=f(x)的图象经过点(a, b),
则其反函数的图象经过点(b, a).

解:依题意,得:

例4 若点P(1,2)同时在函数y= ax ? b 及其反函数的图象上,求a、b 的值. 2 ? a ?1 ? b

1? a?2 ?b a?b ? 4 a ? ?3; 2a ? b ? 1 b ? 7.

课堂小结
1. 反函数的定义;求反函数的步骤; 2. 互为反函数的函数图象间关系; 3. 互为反函数的两个函数具有相同的 增减性.

作业: P75 习题2.2B组:4,5.


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