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空间几何体


专题五 立体几何
第1讲 空间几何体

1.棱柱、棱锥、棱台 (1)棱柱的性质 侧棱都相等,侧面是平行四边形;两个底面与平行

于底面的截面是全等的多边形;过不相邻的两条侧
棱的截面是平行四边形;直棱柱的侧棱长与高相等 且侧面与对角面是矩形.

(2)正棱锥的性质
侧棱相等,侧面是全等的等

腰三角形,斜高相等; 棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直 角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影 也构成一个直角三角形;某侧面的斜高、侧棱及底

面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面
内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半 也构成一个直角三角形.

(3)正棱台的性质
侧面是全等的等腰梯形;斜高相等;棱台的高、斜 高和两底面的边心距组成一个直角梯形;棱台的高、

侧棱和两底面外接圆的半径组成一个直角梯形;棱

台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个直
角梯形. 2.圆柱、圆锥、圆台 (1)圆柱、圆锥、圆台的概念 分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角 梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各 边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、 圆锥、圆台.

(2)圆柱、圆锥、圆台的性质
轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形;平行 于底面的截面都是圆.

3.球

(1)球面与球的概念
半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周所成的 曲面叫做球面.

以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周
形成的几何体叫做球体,简称球.半圆的圆心叫做 球的球心. (2)球的截面性质 球心和截面圆心的连线垂直于截面;球心到截面的

距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为
d= R 2 ? r 2 .

4.空间几何体的三视图 三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分

别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体
轮廓线的正投影形成的平面图形,反映了一个几何 体各个侧面的特点.任意一个物体的长、宽、高一般

指的是物体占有空间的左右、前后、上下的最大距
离. 5.柱体、锥体、台体的表面积 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 S直棱柱侧=Ch,S正棱锥侧= 1 Ch′, 2 1 S正棱台侧= (C+C′)h′ 2 (其中C、C′为底面周长,h为高,h′为斜高).

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积 S圆柱侧=2 ? rl,S圆锥侧= ? rl,S圆台侧=? (r+r′)l

(其中r、r′为底面半径,l为母线长).
柱或台的表面积等于侧面积与两个底面积的和,锥 体的表面积是侧面积与一个底面积的和. 6.柱体、锥体、台体的体积 (1)棱柱、棱锥、棱台的体积 1 1 V棱柱=Sh,V棱锥= Sh,V棱台= h(S+ SS ?+S′) 3 3 (其中S、S′为底面积,h为高).

(2)圆柱、圆锥、圆台的体积 1 V圆柱= ? r2h,V圆锥= ? r2h, 3 1 V圆台 = ? h(r2+rr′+ r ?2 ) 3 (其中r、r′为底面半径,h为高). 7.球的表面积与体积 (1)半径为R的球的表面积公式为S球=4 ? R2.

(2)半径为R的球的体积公式为V球= 4 ? R3.
3

一 、 空间几何体的三视图
例1 (2009· 潍坊模拟)下图是一个几何体的三视图, 侧(左)视图是一个等边三角形,根据图中尺寸

(单位:cm),可知这个几何体的表面积是(



A.(18+ 3 ) cm2 C.(18+2 3) cm2

B. 21 3 cm2 2 D.(6+ 2 3 )cm2

思维启迪

根据三视图确定原几何体及其有关数

据,然后由公式求其表面积. 解析 由三视图可得几何体是一个正三棱柱.正三

棱柱的高为3,底面边长为2.
∴S表=2×3×3+ 3 ×22×2=18+ 2 3(cm2) 4 故选C. 答案 C

探究提高(1)解答此类问题,首先由三视图想象出几何
体的形状,并由相关数据得出几何体中的量,进而求得表 面积或体积. (2)掌握三视图是正确解决这类问题的关键,同时也体 现了知识间的内在联系,是高考的新动向.

变式训练1(2009·山东,4)一空间几何体的三视

图如图所示,则该几何体的体积为





A. 2? ? 2 3 B. 4? ? 2 3 C.2? ? 2 3 D. 4? ? 2 3 3 3 解析 该空间几何体为一圆柱体和一四棱锥组成,圆柱 的底面半径为1,高为2,体积为2 ? ,四棱锥的底面边长 为 2,高为 3 ,所以体积为 1 ? ? 2 ?2 ? 3 ? 2 3 ,所以该 3 3 几何体的体积为 2? ? 2 3 . 3 答案 C

二 、几何体的表面积和体积 例2 如图所示,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD是半径为R的圆的内接

四边形,其BD是圆的直径,∠
? ? , ABD=60°,∠BDC= 45° ? ?

△ADP ∽ △ BAD. △ (1)求线段PD的长; (2)若PC= 11R,求三棱锥P-ABC的体积. 思维启迪 (1)可根据条件得到AB、AD的长,再由 相似三角形的性质求得PD的长. (2)求三棱锥P-ABC的体积只须证明PD⊥面ABCD,

即PD为三棱锥的高即可求解.

解 (1)∵BD是圆的直径 ∴∠ BCD=90°. 又∵△ADP∽△BAD, ∴ AD ? DP , 故DP ? AD BA AD BA
2
2

3 ( BD sin 60? ) 2 4 R ? 4 ? ? ? 3R. ? 1 BD sin 30 2R ? 2

(2)在Rt△BCD中,CD=BDcos 45°= 2 R

∵PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2
∴PD⊥CD,又∵∠PDA=∠DAB=90°

∴PD⊥底面ABCD
1 ∵S△ABC= AB·BCsin(60°+45°) 2 1 = R× 2R ( 3 ? 2 ? 1 ? 2 ) ? 3 ? 1 R 2 2 2 2 2 2 4 ∴三棱锥P-ABC的体积为 1 3 ?1 2 3 ?1 3 1 VP-ABC= ×S△ABC×PD = × R ? 3R ? R. 3 4 4 3 探究提高 (1)求几何体的体积问题,可以多角度、

多方位地考虑问题,对三棱锥,等体积转化法是常用 的方法,转换底面的原则是使其高易求,常把底面放

在已知几何体的某一面上.
(2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思 想,将不规则几何体变化为规则几何体,易于求解.

变式训练2(2009·海南,宁夏文,18) 如图,在三棱锥P—ABC中,△PAB是 等边三角形,∠PAC=∠PBC=90°.

(1)证明:AB⊥PC;
(2)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC, 求三棱锥P—ABC的体积.

(1)证明

因为△PAB是等边三角形,所以PB=PA.

因为∠PAC=∠PBC=90°,PC=PC, 所以Rt△PBC≌Rt△PAC, 所以AC=BC. 如图,取AB中点D,连结PD、CD,

则PD⊥AB,CD⊥AB,又PD∩CD=D 所以AB⊥平面PDC,

所以AB⊥PC.
(2)解 作BE⊥PC,垂足为E,连结AE. 因为Rt△PBC≌Rt△PAC,所以AE⊥PC,AE=BE. 由已知,平面PAC⊥平面PBC,故∠AEB=90°. 因为∠AEB=90°,∠PEB=90°,AE=BE,AB=PB, 所以Rt△AEB≌Rt△BEP,所以△AEB、△PEB、△CEB 都是等腰直角三角形. 由已知PC=4,得AE=BE=2,△AEB的面积S=2.

因为PC⊥平面AEB.

1 8 所以三棱锥P—ABC的体积V= S·PC = . 3 3

三、球与多面体 例3 在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢

球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触,经过棱锥的
一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是 ( B )?

解析 正三棱锥的内切球心在高线上,与侧面有公 共点,与棱无公共点.

变式训练3

(2009·全国Ⅰ理,15)直三棱柱ABC—
20 ? .

A1B1C1的各顶点都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2, ∠BAC=120°,则此球的表面积等于 解析 在△ABC中,由余弦定理知BC2=AB2+AC2-

1 2 ∴BC= 2 3 . 2 3 由正弦定理知△ABC的外接圆半径r满足 =2r. sin 120?
2AC·AB·cos 120°=4+4-2×2×2×( ? ) =12,

∴r=2,由题意知球心到平面ABC的距离为1,设球的半

径为R= 22 ?1 ? 5

,∴S球=4 ?R2=20 ? .

例4 已知正四棱锥的底面边长为a,侧棱长为 2 a. (1)求它的外接球的体积; (2)求它的内切球的表面积. 思维启迪 本题可以根据“切”“接”关系,先确 定球的半径,然后根据体积和表面积公式求解.



如图所示,△SAC的外接圆是外接

球的一个大圆,所以只要求出这个外接 圆的半径即可,而内切球的球心到棱锥 的各个面的距离相等,所以可由正四棱 锥的体积求出其半径.

(1)设外接球的半径为R,球心为O,则 OA=OC=OS,所以O为△SAC的外心,即△SAC的外 接圆半径就是球的半径. ∵AB=BC=a,∴AC= 2 a, ∵SA=SC=AC= 2 a,∴△SAC为正三角形.

AC 2a 2 6 , ? ? a sin?ASC sin 60? 3 4 3 8 6 6 因此R= a , V球= ? R = ? a 3. 3 3 27
由正弦定理得2R=

(2)设内切球的半径为r,作SE垂直底面于E,作 SF⊥BC于F,连接EF,

a 2 7 , SB ? BF ? ( 2a) ? ( ) ? a 2 2 S△SBC= 1 BC ? SF ? 1 a ? 7 a ? 7 a 2 , 2 2 2 4
则有SF=
2 2 2

S棱锥全=4S△SBC+S底=( 7 +1)a2, 又SE= SF 2 ? EF 2 ?

6 , ? 7 ? ?a? a? ?? ? ? a ? 2 ? 2 ? ?2?
6 3 a, 6

2

2

1 6 1 2 ∴V棱锥= S底h= a × a= 3 2 3

3V棱锥 ∴r = S全

6 3 a 42 ? 6 6 ? ? a , 2 12 ( 7 ? 1)a 3?

S球=4

r2=

探究提高 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时, 一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空 间问题化归为平面问题,再利用平面几何知识寻找 几何体中元素间的关系. (2)若球面四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC 两两垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,则4R2=a2+b2 +c2,把有关元素“补形”成为一个球内接正方体 ? (或其他图形),从而显示出球的数量特征,这种 方法是一种常用的好方法.

4? 7 a2 . 3

变式训练4

(2008·浙江理,14)如图

所示,已知球O的面上四点A、B、C、D,
DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC= , 3 9 ? 则球O的体积等于 . 2 解析 以CD为弦,连结两端点与球面上的点A、B, 均有AC⊥AD,BC⊥BD,由此可判定CD为该球的直 径,由DA=AB=BC= 得CD =
2

3
2

DA ? AB ? BC 3 3 4 ? 3? 9 ,所以V球= ? · ? ? ? ? 2 3 ? 2? 2

2=3,所以球的半径R=

.

规律方法总结

1.正四面体就是棱长都相等的三棱锥,正六面体就
是 正方体,连结正方体六个面的中心,可得到一个正


面体,正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正 四 棱锥拼接而成.正方体与球有以下三种特殊情形:一 是球内切于正方体;二是球与正方体的十二条棱相

切;三是球外接于正方体.它们的相应轴截面如图所
示(正方体的棱长为a,球的半径为R).

2.一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相

比发生了变化,注意原图与直观图中的“三变、三不
变”.三变:坐标轴的夹角改变,与y轴平行线段的长 度改变(减半),图形改变.三不变:平行性不变,

与x轴平行的线段长度不变,相对位置不变.按照斜二
测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的 面积有以下关系: S直观图= 3.长方体的外接球
2 S原图形,S原图形= 2 2 S直观图. 4

(1)长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体 对角线长等于外接球的直径,即 a 2 ? b 2 ? c 2 =2R. (2)棱长为a的正方体的体对角线等于外接球的 直径,即 3 a=2R.

4.棱长为a的正四面体与球 (1)斜高为 3 a. 2 (2)高为 6 a. 2 2 (3)对棱中点连线长为 a. 2 6 6 (4)外接球的半径为 a,内切球的半径为 12 a. 4 2 3 2 (5)正四面体的表面积为 3 a ,体积为 a . 12 5.连结棱长为a的正方体的四个顶点可以得到一 个棱长为 2 a的正四面体,其体积为正方体体积 1 的 .

3

一、选择题 1.(2009·银川模拟)一个空间几何体的正(主) 视图、侧(左)视图、俯视图为直角三角形,边

长如图所示,那么这个几何体的体积为(



A.1 C.3

B.2 D.4

解析 由三视图知,几何体为三棱锥,V= 1 1 ? ?1×2×3=1,故选A. 3 2 答案 A

2.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的
尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是( )

A. 4 000 cm3 3 C.2 000 cm3 解析

B. 8 000 cm3

3
D.4 000 cm3

由几何体的三视图可知,几

何体是四棱锥.如图侧面PCD⊥面 ABCD.顶点P在底面ABCD上的射 影E是CD的中点.且AB=BC=20 cm, PE=20 cm. ∴VP—ABCD= 1 ·SABCD·PE 3 1 8 000 = ×20×20×20= cm3. 3 3 答案 B

3.如图所示,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长

均为2,且侧棱AA1⊥平面A1B1C1,正(主)视图是
边长为2的正方形,该三棱柱的侧(左)视图的面 积为 ( )

A.4 C.2 2

B.2 3 D. 3

解析

根据已知条件知,其侧(左)视图为以底面三角

形的中线为宽,以棱柱的高为长的长方形,由于其正
(主)视图是边长为2的正方体,故底面边长为2,底面

3×2= ,棱柱的高为2,所以侧 3 2 (左)视图的面积为 2 3 ,故选B.
三角形的中线长为 答案 B

4.四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a,则该四

面体的体积的最大值为
A. 3 a3 B. 2 a3 8 8 C.1 a3 D. 1 a3 12 8 解析 方法一 设三棱锥另一棱长BC=x, 如图所示,取BC的中点E,连结AE、 DE,易证BC垂直于平面ADE,





故VA-BCD= 1 S△ADE·BE+ 1 S△ADE·EC 3 3 2 2 1 1 1 3 a ? x = S△ADE·BC= · ·a· x 3 3 2 2 3 2 2 2 a a a x ? ( 3 a ? x ) = = , x 2 (3a 2 ? x 2 ) ≤ 12· 8 2 12 当且仅当x2=(3a2-x2) ? x= 6 a时取得等号. 2 方法二 如上图,底ABD是固定的,当C动起来时, 显然当平面CAD⊥平面ABD时高最大,体积最大,
3 1 3 2 3 a Vmax= ·( a ) · a= . 3 4 2 8 答案 C

5.(2009·宁波模拟)一个几何体的三视图如图所

示,则这个几何体的体积等于





1 3 A. a 6 C. 2 a 3 3
解析

由三视图知,此几何体为去掉一个角的正方

1 3 B. a 2 D. 5 a 3 6

体.如图.

∴V=a3-

答案 D

1 1 2 ×a= 5 a3. ? a 6 3 2

二、填空题 6.如下图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为2,侧棱 长为4,E、F分别是AB、A1C1的中点,则EF的长等



.

解析 如图,取AC中点G,连结FG、EG, 因为E、F分别是AB、A1C1的中点,所以

FG∥AA1,FG=AA1=4,EG∥BC,
1 BC=1. 2 因为FG⊥平面ABC,所以FG⊥GE.

EG=

在Rt△EFG中, EF= EG2 ? FG2 ? 1 ? 16 = 17. 答案 17

7.如图所示,三棱锥P—ABC的高PO=8,AC=BC =3,∠ACB=30°,M、N分别在BC和PO上,且

CM=x,PN=2CM,则下面四个图象中
(0,3]).

大致

描绘了三棱锥N—AMC的体积V与x的变化关系(x∈

1 S△AMC·ON 3 1 1 1 = × |AC|·|CM|× ×(8-2x) 2 3 2 1 = 1 x(4-x)= (-x2+4x) (0<x≤3) 2 2 由抛物线图象性质可知x∈(0,2]时,

解析 VN-AMC=

V逐渐增大;x∈[2,3]时, V逐渐减小. 答案 ①

三、解答题 8.一个多面体的直观图,正(主)视图(正前方观 察),俯视图(正上方观察),侧(左)视图

(左侧正前方观察)如下图所示.

(1)探求AD与平面A1BCC1的位置关系并说明理由;
(2)求此多面体的表面积和体积.

解 从俯视图可得:底面四边形ABCD和侧面四边形
A1C1CB是矩形,又从正(主)视图可得,

BC⊥AB,BC⊥BA1,且AB∩BA1=B,BC⊥面ABA1,
△A1AB是正三角形,

∴三棱柱是正三棱柱.
(1)∵底面四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC. 又∵BC? ? 面A1BCC1,∴AD∥面A1BCC1.

(2)依题意可得:AB=BC=a,
由V=S×h, ∵S= ×sin 60°×a×a= ∴V=S×h=

1 2

S侧=C×h=3a×a=3a2;

3 a2×a= 3 a3. 4 4

3 a 2, 4

S表=S侧+2S底=3a2+2×

此多面体的表面积和体积分别为(3+

3 a2=(3+ 3 )a2, 4 2

3 a3 . 4

3 )a2 , 2

9.已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下,E是侧棱PC 上的动点.

(1)求四棱锥P-ABCD的体积. (2)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你 的结论. (3)求四棱锥P-ABCD的侧面积.

解 (1)由三视图得该几何体的图形如图. 由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱

PC⊥底面ABCD,且PC=2.
∴VP-ABCD=
1 S正方形ABCD·PC= 2 . 3 3

(2)不论点E在何位置,都有BD⊥AE. 证明如下:连结AC,∵底面ABCD是正方形, ∴BD⊥AC.∵PC⊥底面ABCD且BD? ?平面ABCD, ∴BD⊥PC.

又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面PAC, ∴不论点E在何位置,都有AE? ?平面PAC, ∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE. (3)由(1)知PC⊥CD,PC⊥BC,CD=CB, ∴Rt△PCD≌Rt△PCB. ∵AB⊥BC,AB⊥PC,BC∩PC=C, ∴AB⊥平面PCB. ∵PB? ?平面PBC,∴AB⊥PB.同理,AD⊥PD. ∴四棱锥P-ABCD的侧面积S=2S△PCD+S△PAB

1 1 1 +S△PAD=2× CD·PC+ AB·PB+ AD·PD 2 2 2
1 1 1 ? 2 ? ? 1? 2 ? ? 1? 5 ? ? 1? 5 2 2 2 = 2? 5 .

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