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13.2导数的应用


2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编

第十三章


导数

导数的应用

【考点阐述】 利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值. 【考试要求】 (3)理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件(导数在极值点两侧异

号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最 小值. 【考题分类】 (一)选择题(共 7 题) 1. (安徽卷理 9)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? g ( x) 的图象与 y ? e x 的图象关于直线

y ? x 对称。而函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象关于 y 轴对称,若 f (m) ? ?1 ,则

m 的值是(
A. ?e
【答案】D

) B. ?

1 e

C. e

D.

1 e

【解析】 :由题知 g ( x) ? ln x,

1 f ( x) ? ln(? x), 则 ln(?m) ? ?1, m ? ? 选 D。 e

2. (福建卷理 12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可 能是( )

【标准答案】D 【试题解析】从导函数的图象可知两个函数在 x0 处斜率相同,可以排除 B 答案,再者导函数的函数值反映的 是原函数的斜率大小,可明显看出 y=f(x)的导函数的值在减小,所以原函数应该斜率慢慢变小,排除 AC,最后 就只有答案 D 了,可以验证 y=g(x). 【高考考点】导函数的意义 【易错提醒】有的同学只知道导函数反映单调性,却不知道它还可以反映斜率的变化. 【学科网备考提示】建议让学生在最后一轮一定要回归课本,抓课本基本概念.

3. (福建卷文 11)如果函数 y=f(x)的图象如右图,那么导函数 y=f(x)的图象可能是(



【标准答案】A

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【试题解析】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,所以只有答案 A 满足. 【高考考点】导函数的意义 【易错提醒】导函数的概念不清,不知道两函数之间的关系. 【学科网备考提示】建议让学生在最后一轮一定要回归课本,抓课本基本概念.

4. (广东卷理 7)设 a ? R ,若函数 y ? eax ? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则( A. a ? ?3 B. a ? ?3 C. a ? ?



1 3

D. a ? ?

1 3

【答案】B 【解析】本题考查导数知识的简单应用及函数、方程知识的综合应用。易求得

f '( x) ? 3 ? aeax ,若函数在 x ? R 上有大于零的极值点,即 f '( x) ? 3 ? aeax ? 0 有正根。当
有 f '( x) ? 3 ? ae
ax

? 0 成立时,显然有 a ? 0 ,此时 x ?

1 3 ln(? ) ,由 x ? 0 我们马上就能 a a

得到参数 a 的范围为 a ? ?3 。 5. (广东卷文 9)设 a ? R ,若函数 y ? e x ? ax , x ? R ,有大于零的极值点,则( A、 a ? ?1 【答案】A 【解析】函数 y ? e x ? ax 的导数为 y? ? e x ? a . B、 a ? ?1 C、 a ? ? )

1 e

D、 a ? ?

1 e

令 y? ? e x ? a ? 0 ,显然 a≥0 时无解,故可否定 B,C. 当 a<0 时,解得 x ? ln(?a) ,若 ln(?a) ? 0 , ? a ? 1 ,所以 a ? ?1 ,故选 A.
6. (海南宁夏卷文 4)设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( A. e2 【标准答案】B 【试题解析】∵ f ? x ? ? x ln x ∴ f ∴由 f
'
'



B.

e

C.

ln 2 2

D. ln 2

? x ? ? ln x ? x ?

1 ? ln x ? 1 x

? x0 ? ? 2 得 ln x0 ?1 ? 2

? x0 ? e ,选B

7. (湖北卷理 7)若 f ( x) ? ? A. [?1, ??) 【标准答案】C

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是( ) 2
C. (??, ?1] D. (??, ?1)

B. (?1, ??)

【试题解析】 由题意可知 f ( x) ? ? x ?
'

b ? 0 , x ? ( 1? ) ?, ? 在 x?2

上恒成立, b ? x( x ? 2) 即

在 x ? (?1, ??) 上恒成立,由于 x ? ?1 ,所以 b ? ?1 ,故C为正确答案. 【高考考点】考查导数与单调性的关系,恒成立问题以及不等式的相关问题。 【易错提醒】对在什么时候取等号,什么时候不取等号搞不清楚。 【学科网备考提示】恒成立问题是高考中的常考问题,常与不等式有关。
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(二)填空题(共 1 题) 1. (江苏卷 14) f ( x) ? ax3 ? 3x ? 1 对于 x?? ?1,1? 总有 f ( x) ? 0 成立, a = 则 【答案】4 【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。 要使 f ( x) ? 0 恒成立,只要 f ( x)min ? 0 在 x?? ?1,1? 上恒成立。



f ?( x) ? 3ax2 ? 3 ? 3(ax2 ?1)
10 当 a ? 0 时, f ( x) ? ?3x ? 1 ,所以 f ( x)min ? ?2 ? 0 ,不符合题意,舍去。 20 当 a ? 0 时 f ?( x) ? 3ax2 ? 3 ? 3(ax2 ?1) ? 0 , 即 f ( x) 单 调 递 减 ,

f ( x)min ? f (1) ? a ? 2 ? 0 ? a ? 2 ,舍去。
30 当 a ? 0 时 f ?( x) ? 0 ? x ? ?

1 a

① 若

? ? 1 ? 1 1? ? 1 ? a ? 1 时 f ( x) 在 ? ?1, ? ? 和 ? ,1? 上单调递增, a? a ? ? a ? 1 1? , ? 上单调递减。 a a? ?

在??

? ? ?

所以 f ( x) min

? f (?1) ? ?a ? 4 ? 0 ? 1 ? ? ? ? ? min ? f (?1), f ( ) ? ? 0 ? ? ?a?4 1 1 a ? ?0 ? ? ? ? f ( ) ? 1? 2 a a ?

② 当

1 ? 1 ? a ? 1 时 f ( x) 在 x???1,1? 上单调递减, a

f ( x)min ? f (1) ? a ? 2 ? 0 ? a ? 2 ,不符合题意,舍去。综上可知 a=4.
(三)解答题(共 35 题) 1. (安徽卷理 20)设函数 f ( x) ?

1 ( x ? 0 且x ? 1) x ln x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)已知 2 ? x 对任意 x ? (0,1) 成立,求实数 a 的取值范围。
a 1 x

【解析】(1)

f ' ( x) ? ?

ln x ? 1 1 , 若 f ' ( x) ? 0, 则 x ? 列表如下 2 2 x ln x e

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x
f ' ( x)
f ( x)
1

1 (0, ) e

1 e
0 极大值 f ( )

1 ( ,1) e

(1, ??)

+
单调增

1 e
单调减

单调减

(2)



2 x ? x a 两边取对数, 得

1 ln 2 ? a ln x ,由于 0 ? x ? 1, 所以 x
(1)

a 1 ? ln 2 x ln x
由(1)的结果可知,当 x ? (0,1) 时,

1 f ( x ) ? f ( ) ? ?e , e a ? ?e ,即 a ? ?e ln 2 为使(1)式对所有 x ? (0,1) 成立,当且仅当 ln 2 a 3 3 2 2. (安徽卷文 20)设函数 f ( x) ? x ? x ? (a ? 1) x ? 1, 其中a 为实数。 3 2
(Ⅰ)已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)已知不等式 f ' ( x) ? x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立,求实数 x 的取值范围。 【 解 析 】( I ) f ?( x) ? ax2 ? 3x ? a ? 1 ? f ( x) 在 x ? 1 取 得 极 值 ? f ?(1) ? 0 即

a ? 3 ? a ?1 ? 0 ? a ? 1
( Ⅱ )

ax2 ? 3x ? a ? 1

? x2 ? x ? a ? 1



( x2 ? 2)a ? x2 ? 2x ? 0



g ( x) ? ( x2 ? 2)a ? x2 ? 2x 即 对 任 意 a ? (0, ??) 都 成 立 则 g (0) ? 0 即

( x2 ? 2) ? 0 ? x2 ? 2 x ? 0 ??2 ? x ? 0
【试题解析】本题考查运用导数求三次函数的单调区间,从而求字母参数的取值范围,属于 中等题 【高考考点】导数的三大应用 【学科网备考提示】要熟练掌握导数的三大应用:①求斜率:在曲线的某点有切线,则求导 后把横坐标代进去, 则为其切线的斜率; ②有关极值: 就是某处有极值, 则把它代入其导数, 则为 0 ;③单调性的判断: f ?( x) ? 0 , f (x) 单调递增; f ?( x) ? 0 , f (x) 单调递减,和 一些常见的导数的求法. 要熟练一些函数的单调性的判断方法有, 作差法, 作商法, 导数法; 对于含参范围问题,解决方法有,当参数为一次时,可直接解出通过均值不等式求最值把其 求出;当为二次时,可用判别式法或导数法等求.而此种题型函数与方程仍是高考的必考, 以函数为背景、导数为工具,以分析、探求、转化函数的有关性质为设问方式,重点考查函 数的基本性质,导数的应用,以及函数与方程、分类与整合等数学思想.其中试题灵活多变, 3. (北京卷理 18)已知函数 f ( x) ?
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2x ? b ,求导函数 f ?( x ) ,并确定 f ( x ) 的单调区间. ( x ? 1)2
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【标准答案】 f ?( x) ?

2( x ? 1)2 ? (2 x ? b)?2( x ? 1) ( x ? 1)4

?

?2 x ? 2b ? 2 ( x ? 1)3 2[ x ? (b ? 1)] . ( x ? 1)3

??

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? b ? 1 . 当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(??,b ? 1)

b ?1
0

(b ?11) ,

(1 ? ?) ,

?

?

?

当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(??, 1)

(1,b ?1)

b ?1
0

(b ? 1, ?) ?

?

?

?

, 所以,当 b ? 2 时,函数 f ( x ) 在 (??,b ? 1) 上单调递减,在 (b ? 11) 上单调递增,
, 在 (1 ? ?) 上单调递减. 1) , , 当 b ? 2 时,函数 f ( x ) 在 (??, 上单调递减,在 (1 b ? 1) 上单调递增,在 (b ? 1 ? ?) 上
单调递减. 当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ( x ) ?

2 1) , ,所以函数 f ( x ) 在 (??, 上单调递减,在 (1 ? ?) x ?1

上单调递减. 【高考考点】: 导数,导数的应用 【易错提醒】: 公式记忆出错,分类讨论出错 【备考提示】: 大学下放内容,涉及面相对较小,题型种类也较少,易于掌握。 4. (北京卷文 17) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3bx ? c(b ? 0) , g (x) ?f (x) 2 是奇函数. 且 ?
3 2

(Ⅰ)求 a , c 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间. 【解析】 (Ⅰ)因为函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 为奇函数, 所以,对任意的 x ? R , g (? x) ? ? g ( x) ,即 f (? x) ? 2 ? ? f ( x) ? 2 .
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又 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3bx ? c 所以 ? x ? ax ? 3bx ? c ? 2 ? ? x ? ax ? 3bx ? c ? 2 .
3 2 3 2

所以 ?

?a ? ?a, 解得 a ? 0,c ? 2 . ?c ? 2 ? ?c ? 2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? x3 ? 3bx ? 2 .所以 f ?( x) ? 3x2 ? 3b(b ? 0) . 当 b ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ? ?b . x 变化时, f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(??, ?b ) ?

? ?b
0

(? ?b,?b )
?

?b ( ?b, ?) ?
0

?

?

所以,当 b ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (??, ?b ) 上单调递增,在 (? ?b,?b ) 上单调递减, ? 在 ( ?b, ?) 上单调递增. ?

? 当 b ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在 (??, ?) 上单调递增.
5. (福建卷理 22)已知函数 f(x)=ln(1+x)-x1 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)记 f(x)在区间 ? 0, ?? (n∈N*)上的最小值为 bx 令 an=ln(1+n)-bx. (Ⅲ)如果对一切 n,不等式 an ?

an? 2 ?

c 恒成立,求实数 c 的取值范围; an? 2

(Ⅳ)求证:

a a ? ?a2 n?1 ? a1 a1a3 ? ?? ?? 1 3 ? ? 2an ? 1 ? 1. a2 a2 a4 a2 a4 ? ?a 2 n ?
1 ?x -1= . 1? x 1? x

【标准答案】解法一: (I)因为 f(x)=ln(1+x)-x,所以函数定义域为(-1,+ ? ),且 f〃(x)= 由 f〃(x)>0 得-1<x<0,f(x)的单调递增区间为(-1,0) ; 由 f〃(x)<0 得 x>0,f(x)的单调递增区间为(0,+ ? ). (II)因为 f(x)在[0,n]上是减函数,所以 bn=f(n)=ln(1+n)-n, 则 an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n. (i)

an ?2 ( an ?2 ? an ) ? n ? 2( n ? 2 ? n ) ? n ? 2

2 n?2 ? n

>

2 n?2 ? 1. n?2 ? n?2

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又 lim n ? 2( n ? 2 ? n ) ? lim
x ??

2 2 1? 1? n?2

? 1,

因此 c<1,即实数 c 的取值范围是(- ? ,1). (II)由(i)知

1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1. 2n ? 1

2an ? 1 ? 1(n ? N*)
解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为 f(x)在 ? 0, n? 上是减函数,所以 bn ? f (n) ? ln(1 ? n) ? n, 则 an ? ln(1 ? n) ? bn ? ln(1 ? n) ? ln(1 ? n) ? n ? n. (i)因为 恒成立. 则 c ? n ? 2 ? n2 ? 2n 对 n∈N*恒成立. 设 g (n) ? n ? 2 ? n2 ? 2n , n∈N*,则 c<g(n)对 n∈N*恒成立. 考虑 g ( x) ? x ? 2 ? x ? 2 x , x ? ?1, ?? ?.
2

c c ? n ? 2 ? n 对 n∈N* ? an? 2 ? an 对 n∈N*恒成立.所以 n?2 an? 2

因为 g′ ) ? 1 ? (x

1 ? 1 2 x ?1 x ?1 =0, ( x ? 2 x) 2 (2 x ? 2) ? 1 ? ?1 ? 2 x ?1 x2 ? 2 x

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所以 g ( x)在?1, ??? 内是减函数;则当 n∈N*时,g(n)随 n 的增大而减小,

又因为 lim g (n) ? lim(n ? 2 ? n2 ? 2n ) ? lim
x ?? x ?? x ??

2n ? 4 n ? 2 ? n2 ? 2n

? lim
x ??

2?

4 n

=1.

2 2 1? ? 1? n n

所以对一切 n ? N* , g (n) ? 1. 因此 c≤1,即实数 c 的取值范围是(-∞,1]. (ⅱ) 由(ⅰ)知

1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1. 2n ? 1 1? ? ? (2n ? 1) 3 5 ?? 1 ? (n ? N ? ). 2?4? ? (2n) 6 ?? 2n ? 1

下面用数学归纳法证明不等式

①当 n=1 时,左边=

1 1 ,右边= ,左边<右边.不等式成立. 2 3

②假设当 n=k 时,不等式成立.即 当 n=k+1 时,

1? ? ? (2k ? 1) 3 5 ?? 1 ? . 2?4?6? (2k ) ?? 2n ? 1

1 ? 3 ? 5? 2k-1 (2k ? 1) ( ) 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 3 < ? ? ? 2 ? 4 ? 6? 2k)2k ? 2) ( ( 2k ? 2 2k ? 1 2k ? 2 2k ? 2

?

1 2k ? 3
,

= 4k 2 ? 8k ? 3
4k 2 ? 8k ? 4

?

1 2k ? 3



1 2k ? 3

?

1 2(k ? 1) ? 1

即 n=k+1 时,不等式成立 综合①、②得,不等式 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) < 1 (n ? N*) 成立. 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ( 2 n) 2n ? 1 所以 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) < 2n ? 1 ? 2n ? 1
2 ? 4 ? 6 ? ? ? ( 2n)
1 1 ?3 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? +?+ 2 2 ?4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ( 2n )

< 3- 1 5- 3=?+ 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 1. + 即 a1 ? a1a3 ? ?+ a1a3 ?a 2 n?1 < 2an?1 ? 1(n ? N*) . a2 a2 a4 a 2 a 4 ?a 2 n

【试题解析】 【高考考点】本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识,考查运用导 数研究函数性质的方法,考查分析问题和解决问题的能力,满分 14 分. 【易错提醒】第一问中导数记不住公式 【学科网备考提示】此题为压轴题,所以平时可以让学生学会放弃一些自己能力范围之外的 题目,把多余的时间多花点在中低档题目上,可是 80%的分数呀,多么可观,可是纵观历年的高 考成绩来看又有多少人真正的做到了这 120 分?
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6 . 福 建 卷 文 21 ) 已 知 函 数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? nx ? 2 的 图 象 过 点 ( -1 , -6 ) 且 函 数 ( ,

g ( x) ? f ?( x) ? 6 x 的图象关于 y 轴对称.
(Ⅰ)求 m、n 的值及函数 y=f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a>0,求函数 y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值. 【标准答案】 解: (1)由函数 f(x)图象过点(-1,-6) ,得 m-n=-3, ??① 3 2 2 由 f(x)=x +mx +nx-2,得 f′(x)=3x +2mx+n, 则 g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n; 而 g(x)图象关于 y 轴对称,所以-

2m ? 6 =0,所以 m=-3, 2?3

代入①得 n=0. 于是 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 由 f′(x)>得 x>2 或 x<0, 故 f(x)的单调递增区间是(-∞,0)(2,+∞) , ; 由 f′(x)<0 得 0<x<2, 故 f(x)的单调递减区间是(0,2). (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f′(x)=3x(x-2), 令 f′(x)=0 得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: X f′(x) f(x) (-∞.0) + 0 0 极大值 (0,2) - 2 0 极小值 (2,+ ∞) +

由此可得: 当 0<a<1 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值 f(O)=-2,无极小值; 当 a=1 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; 当 1<a<3 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值 f(2)=-6,无极大值; 当 a≥3 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上得:当 0<a<1 时,f(x)有极大值-2,无极小值,当 1<a<3 时,f(x)有极小值-6,无极大 值;当 a=1 或 a≥3 时,f(x)无极值. 【试题解析】 【高考考点】本小题主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识,考 查运用导数研究函数性质的方法,以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法,考查分析 问题和解决问题的能力. 【易错提醒】对于 a 的讨论标准找不到或对其讨论不全造成结果错误. 【学科网备考提示】分类讨论思想在数学中是非常重要的思想之一,所以希望能加强这方面 的训练. 7. (广东卷文 17)某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、 每层 2000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用 为 560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=

购地总费用 ) 建筑总面积

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【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 y 元,依题意得

2160 ?10000 10800 ? 560 ? 48 x ? ( x ? 10, x ? N * ) 2000 x x 10800 10800 ? 0 ,解得 x ? 15 则 y ? ? 48 ? ,令 y? ? 0 ,即 48 ? 2 x2 x y ? (560 ? 48 x) ?
当 x ? 15 时, y? ? 0 ;当 0 ? x ? 15 时, y? ? 0 , 因此,当 x ? 15 时, y 取得最小值, ymin ? 2000 元. 答:为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。 8. (海南宁夏卷理 21)设函数 f ( x) ? ax ? 的切线方程为 y ? 3 。 (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)证明:曲线 y ? f ( x) 的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (3)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 1 和直线 y ? x 所围三角形的面积 为定值,并求出此定值。 【试题解析】 (Ⅰ) f ?( x) ? a ?

1 (a, b ? Z ) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处 x?b

1 , ( x ? b) 2

1 ? ?2a ? 2 ? b ? 3, ? 于是 ? ?a ? 1 2 ? 0. ? ( x ? b) ?
9 ? ?a ? ? 4 , ?a ? 1, ? 解得 ? 或? ?b ? ?1, ?b ? ? 8 . ? 3 ?
1 . x ?1 1 (II)证明:已知函数 y1 ? x, y2 ? 都是奇函数, x 1 所以函数 g ( x ) ? x ? 也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形。 x 1 ?1 。 而函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ?1
因 a, b ? Z ,故 f ( x ) ? x ? 可知,函数 g ( x) 的图像按向量 a=(1,1)平移,即得到函数的图象,故函数 y ? f ( x) 的

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图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形。 (III)证明:在曲线上任一点 ( x0 , x0 ?

1 ). x0 ? 1
, 过 此 点 的 切 线 方 程 为



f ' ( x0 ) ? 1 ?

1 ( x0 ? 1)2



y?

x02 ? x0 ? 1 1 ? [1 ? ]( x ? x0 ) . x0 ? 1 ( x0 ? 1)2
令 x ?1得 y ?

x0 ? 1 x ?1 ,切线与直线 x ? 1 交点为 (1, 0 ). x0 ? 1 x0 ? 1

令 y ? x 得 y ? 2 x0 ? 1 ,切线与直线 y ? x 交点为 (2 x0 ? 1, 2 x0 ?1) . 直线 x ? 1 与直线 y ? x 的交点为(1,1). 从而所围三角形的面积为

1 x0 ? 1 1 2 | ? 1|| 2 x0 ? 1 ? 1|? | ? 1|| 2 x0 ? 2 |? 2 . 2 x0 ? 1 2 x0 ? 1

所以, 所围三角形的面积为定值 2. 9. (海南宁夏卷文 21)设函数 f ( x) ? ax ? b ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 x

7 x ? 4 y ? 12 ? 0 。 (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的三角形面
积为定值,并求此定值。 【试题解析】1)方程 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 可化为 y ?

7 1 x ? 3 ,当 x ? 2 时, y ? ; 4 2

b 1 ? ? 2a ? 2 ? 2 ?a ? 1 b 3 ? ' 又 f ? x ? ? a ? 2 ,于是 ? ,解得 ? ,故 f ? x ? ? x ? x x ?b ? 3 ?a ? b ? 7 ? ? 4 4
(2)设 P ? x0 , y0 ? 为曲线上任一点,由 y ? 1 ?
'

3 知曲线在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 x2

? ? 3 ? 3? ? 3 ? y ? y0 ? ?1 ? 2 ? ? x ? x0 ? ,即 y ? ? x0 ? ? ? ?1 ? 2 ? ? x ? x0 ? x0 ? ? x0 ? ? x0 ? ?
令 x ? 0 ,得 y ? ?

? 6 ? 6 ,从而得切线与直线 x ? 0 的交点坐标为 ? 0, ? ? ; x0 ? x0 ?

令 y ? x ,得 y ? x ? 2x0 ,从而得切线与直线 y ? x 的交点坐标为 ? 2x0 , 2x0 ? ;

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所以点 P ? x0 , y0 ? 处的切线与直线 x ? 0, y ? x 所围成的三角形面积为

1 6 ? 2 x0 ? 6 ; 2 x0

故曲线 y ? f ? x ? 上任一点处的切线与直线 x ? 0, y ? x 所围成的三角形面积为定值, 此定值 为6; 10. (湖北卷理 20)水库的蓄水量随时间而变化,现用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点, 根据历年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为
1 t ? 2 ?(?t ? 14t ? 40)e 4 ? 50,0 ? t ? 10, V (t ) ? ? ?4(t ? 10)(3t ? 41) ? 50,10 ? t ? 12. ?

(Ⅰ) 该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期.以 i ? 1 ? t ? i 表示第 1 月份 i ? 1,2,?,12 ) ( , 同一年内哪几个月份是枯水期? (Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e ? 2.7 计算). 【标准答案】20. 【试题解析】 (1)①当时 0 ? t ? 10 , V (t ) ? (?t ? 14t ? 40)e ? 50 ? 50,
2 1 t 4

化简得 t ? 14t ? 40 ? 0 ,解得 t ? 4或t ? 10, 又0 ? t ? 10, 故0 ? t ? 4 .
2

②当 10 ? t ? 12 时, V (t ) ? 4(t ? 10)(3t ? 41) ? 50 ? 50 ,化简得, (t ? 10)(3t ? 41) ? 0 解得 10 ? t ?

41 , 又10 ? t ? 12, 故10 ? t ? 12 .综上得, 0 ? t ? 4 ,或 10 ? t ? 12 . 3

故知枯水期为 1 月,2 月,3 月,4 月,11 月,12 月共 6 个月。 (2)由(1)知, V (t ) 的最大值只能在(4,10)内内达到。

1 2 3 1 1t 由 V (t ) ? e (? t ? t ? 4) ? ? e 4 (t ? 2)(t ? 8) , 4 2 4
'

1 t 4

' 令 V (t ) ? 0 ,解得 t ? 8 ( t ? ?2 舍去) 。

当 t 变化时, V (t ) 与 V (t ) 的变化情况如下表:

'

t
V ' (t )
V (t )

(4,8) +

8 0 极大值

(8,10) -

?

?

2 由上表, V (t ) 在 t ? 8 时取得最大值 V (8) ? 8e ? 50 ? 108.32 (亿立方米) 。

故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米。
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【试题解析】第(1)问实际上就是解不等式,当然要注意问题的转化;第(2)问求最值要 先求导再通过单调性求最值。 【高考考点】本题考查函数、导数和不等式等基本知识,考查用导数求最值和综合运用数学 知识解决实际问题的能力。 【易错提醒】不等式解出后在写最后的结果时出错;求导求错。 【学科网备考提示】解不等式是高中数学的重要内容,不等式问题贯穿高中数学的始终;导 数是新增加的内容, 是处理许多问题的有利工具, 是高考的必考内容, 考生一定要认真掌握。 11. (湖北卷文 17) 已知函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? m2 x ? 1 (m 为常数,且 m>0)有极大值 9. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若斜率为 ?5 的直线是曲线 y ? f ( x) 的切线,求此直线方程. 【试题解析】 解:(Ⅰ) f’(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,则 x=-m 或 x= 当 x 变化时,f’(x)与 f(x)的变化情况如下表: x f’(x) f (x) (-∞,-m) + -m 0 极大值 (-m,

1 m, 3
1 m 3
0 (

1 m) 3

1 m ,+∞) 3
+



极小值

从而可知,当 x=-m 时,函数 f(x)取得极大值 9, 即 f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3+2x2-4x+1, 依题意知 f’(x)=3x2+4x-4=-5,∴x=-1 或 x=- 又 f(-1)=6,f(-

1 . 3

1 68 )= , 3 27 68 1 =-5(x+ ), 27 3

所以切线方程为 y-6=-5(x+1),或 y-

即 5x+y-1=0,或 135x+27y-23=0. 【试题解析】本题主要考查应用导数研究函数的性质的方法和运算能力。 【高考考点】函数的性质与切线方程的求法。 【易错提醒】忽略“ m 为常数,且 m ? 0 ” 【学科网备考提示】函数的本质在于把握函数的性质.

x2 12. (湖南卷理 21)已知函数 f(x)=ln (1+x). 1? x
2

(I ) 求函数 f ( x ) 的单调区间;
a?a ? e 对任意的 n ? N* 都成立(其中 e 是自然对数的底数).求 ? 的 (Ⅱ)若不等式 (1 ? )

1 n

最大值. 【试题解析】 (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域是 (?1, ??) ,
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f ?( x) ?

2ln(1 ? x) x 2 ? 2 x 2(1 ? x) ln(1 ? x) ? x 2 ? 2 x ? ? . 1? x (1 ? x)2 (1 ? x)2

设 g ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x2 ? 2x, 则 g ?( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x. 令 h( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x, 则 h?( x) ?

2 ?2 x ?2? . 1? x 1? x

当 ?1 ? x ? 0 时, h?( x) ? 0, h( x) 在(-1,0)上为增函数, 当 x>0 时, h?( x) ? 0, h( x) 在 (0, ??) 上为减函数. 所以 h(x)在 x=0 处取得极大值,而 h(0)=0,所以 g ?( x) ? 0( x ? 0) , 函数 g(x)在 (?1, ??) 上为减函数. 于是当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0, 当 x>0 时, g ( x) ? g (0) ? 0. 所以,当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0, f ( x ) 在(-1,0)上为增函数. 当 x>0 时, f ?( x) ? 0, f ( x ) 在 (0, ??) 上为减函数. 故函数 f ( x ) 的单调递增区间为(-1,0) ,单调递减区间为 (0, ??) . (Ⅱ)不等式 (1 ? )

1 1 ? e 等价于不等式 ( n ? a ) ln(1 ? ) ? 1. 由1 ? ? 1 知, n n 1 1 1 ? , x ? ? 0,1? , 则 a? ? n. 设 G ( x) ? 1 ln(1 ? x) x ln(1 ? ) n
n?a

1 n

G?( x) ? ?

1 1 (1 ? x) ln 2 (1 ? x) ? x 2 ? 2? 2 . (1 ? x) ln 2 (1 ? x) x x (1 ? x) ln 2 (1 ? x)
2

由(Ⅰ)知, ln (1 ? x) ?

x2 ? 0, 即 (1 ? x)ln 2 (1 ? x) ? x2 ? 0. 1? x

所以 G?( x) ? 0, x? ? 0,1? , 于是 G(x)在 ? 0,1? 上为减函数. 故函数 G(x)在 ? 0,1? 上的最小值为 G (1) ? 所以 a 的最大值为

1 ? 1. ln 2

1 ? 1. ln 2
1 4 9 x ? x3 ? x 2 ? cx 有三个极值点。 4 2
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13. (湖南卷文 21)已知函数 f ( x) ?

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(I)证明: ?27 ? c ? 5 ; (II)若存在实数 c,使函数 f (x) 在区间 ? a, a ? 2? 上单调递减,求 a 的取值范围。 【试题解析】 (I)因为函数 f ( x) ?

1 4 9 x ? x3 ? x 2 ? cx 有三个极值点, 4 2

所以 f ?( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? c ? 0 有三个互异的实根. 设 g ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? c, 则 g?( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3( x ? 3)( x ?1), 当 x ? ?3 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 在 (??, ?3) 上为增函数; 当 ?3 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 在 (?3,1) 上为减函数; 当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 在 (1, ??) 上为增函数; 所以函数 g ( x) 在 x ? ?3 时取极大值,在 x ? 1 时取极小值. 当 g (?3) ? 0 或 g (1) ? 0 时, g ( x) ? 0 最多只有两个不同实根. 因为 g ( x) ? 0 有三个不同实根, 所以 g (?3) ? 0 且 g (1) ? 0 . 即 ?27 ? 27 ? 27 ? c ? 0 ,且 1 ? 3 ? 9 ? c ? 0 , 解得 c ? ?27, 且 c ? 5, 故 ?27 ? c ? 5 . (II)由(I)的证明可知,当 ?27 ? c ? 5 时, f ( x ) 有三个极值点. 不妨设为 x1,x2,x3 ( x1 ? x2 ? x3 ) ,则 f ?( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 ). 所以 f ( x ) 的单调递减区间是 (??,x1 ] , [ x2 , x3 ] 若 f (x) 在区间 ? a, a ? 2? 上单调递减, 则 ?a, a ? 2? ? (??,x1 ] , 或 ?a, a ? 2? ? [ x2 , x3 ] , 若 ?a, a ? 2? ? (??,x1 ] ,则 a ? 2 ? x1 .由(I)知, x1 ? ?3 ,于是 a ? ?5. 若 ?a, a ? 2? ? [ x2 , x3 ] ,则 a ? x2 且 a ? 2 ? x3 .由(I)知, ?3 ? x2 ? 1.
3 2 2 又 f ?( x) ? x ? 3x ? 9 x ? c, 当 c ? ?27 时, f ?( x) ? ( x ? 3)( x ? 3) ;

当 c ? 5 时, f ?( x) ? ( x ? 5)( x ?1) .
2

因此, 当 ?27 ? c ? 5 时, 1 ? x3 ? 3. 所以 a ? ?3, 且 a ? 2 ? 3.
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即 ?3 ? a ? 1. 故 a ? ?5, 或 ?3 ? a ? 1. 反之, 当 a ? ?5, 或 ?3 ? a ? 1 时, 总可找到 c ? (?27,5), 使函数 f (x) 在区间 ? a, a ? 2? 上单调递减.

? 综上所述, a 的取值范围是 (??, 5) ? (?3,1) .
14. (江苏卷 23)请先阅读:在等式 cos 2 x ? 2cos 2 x ? 1 ( x ? R )的两边求导,得:

(cos 2x)? ? (2cos2 x ?1)?

,由求导法则,得 ( ? sin 2 x)? ? 4cos x? ? sin x) ,化简得等 2 (

sin 式: sin 2 x ? 2 cos x? x .
(1)利用上题的想法(或其他方法) ,结合等式(1+x)n= C0 ? C1 x ? C2 x2 ? ?? Cn xn n n n n ( x ? R ,正整数 n ≥ 2 ) ,证明: n[(1 ? x)n?1 ? 1] =

? kC x
k ?1 k n

n

k ?1



(2)对于正整数 n≥ 3 ,求证: (i)

? (?1)
k ?1

n

k

kCk =0; n

(ii)

? (?1)
k ?1

n

k

k k 2Cn =0;

(iii)

1 k 2n?1 ? 1 ? k ? 1 Cn ? n ? 1 . k ?1
n

2 证明: (1)在等式 (1+x)n =C0 ? C1 x ? Cn x2 ? ? ? Cn xn 两边对 x 求导得 n n n 1 2 n n n(1 ? x)n?1 ? Cn ? 2Cn x ? ?? (n ?1)Cn ?1xn?2 ? nCn xn?1
n

移项得

k n[(1 ? x)n?1 ? 1] ? ? kCn x k ?1 k ?2

(*)

(2) (i)在(*)式中,令 x ? ?1 ,整理得

? (? 1 )
k ?1

n

k ?1

k kCn ? 0

所以

? (?1)
k ?1

n

k

k kCn ? 0

(ii)由(1)知 n(1 ? x)

n?1

1 2 n n ? Cn ? 2Cn x ? ?? (n ?1)Cn ?1x n?2 ? nCn x n?1, n ? 3 n ?2 2 n ? 2Cn ? 3? Cn x ? ?? n(n ?1)Cn xn?2 2 3

两边对 x 求导,得 n(n ?1)(1 ? x) 在上式中,令 x ? ?1

2 2 0 ? 2Cn ? 3? Cn (?1) ? ?? n(n ?1)Cn (?1)n?2 2 3

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? k (k ? 1)C
k ?2 n k k ?2

n

k n

(?1)k ?2 ? 0 ,

亦即

? (? 1 ) k(
n k ?1

2

? k C)k ? n

0

(1)

又由(i)知

? (? 1 )kC
k

k n

? 0

(2)

由(1)+(2)得

? (?1)
k ?1

n

k

k k 2 Cn ? 0

n ( iii ) 将 等 式 ( 1 + x ) 0 ? 1x C = n C n ?

2 n

2 x C? ? n nxn两 边 在 [0,1] 上 对 x 积 分 ? C

? (1 ? x) dx ? ? (C
n 0 0

1

1

0 n

n ? C1 x ? C2 x2 ? ? ? Cn xn )dx n n
n

由微积分基本定理,得

1 (1 ? x)n?1 n ?1

1 0

? (?

1 k k ?1 Cn x ) k ?0 k ? 1

1 0

所以

n 1 k 2 ?1 ? 1 Cn ? ? k ?1 n ?1 k ?0 n

15. (江西卷理 22)已知函数 f ? x ? ?

1 1 ax , x ? ? 0, ? ?? . ? ? ax ? 8 1? x 1? a

?1? .当 a ? 8 时,求 f ? x ? 的单调区间;
? 2 ? .对任意正数 a ,证明:1 ? f ? x ? ? 2 .
【试题解析】

?1? 、当 a ? 8 时, f ? x ? ?

1? x 1? x 1 , ? ,求得 f ? ? x ? ? 3 1? x 3 2 x ?1 ? x ?

于是当 x ? (0, 1] 时, f ? ? x ? ? 0 ;而当 x ?[1, ? ?) 时, f ? ? x ? ? 0 . 即 f ( x ) 在 (0, 1] 中单调递增,而在 [1, ? ?) 中单调递减. (2).对任意给定的 a ? 0 , x ? 0 ,由 f ( x) ?

1 1 ? ? 1? x 1? a

1 8 1? ax



若令 b ?

8 ,则 abx ? 8 ax

… ① ,而 f ? x ? ?

1 1 1 ? ? 1? x 1? a 1? b

… ②

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(一) 、先证 f ? x ? ? 1 ;因为

1 1 1 1 1 1 , , , ? ? ? 1? x 1? x 1? a 1? a 1? b 1? b

又由 2 ? a ? b ? x ? 2 2a ? 2 bx ? 4 4 2abx ? 8 ,得 a ? b ? x ? 6 . 所 以

f ? x? ? 3?

1 ? 1? x a ( ?x

?a

?

?b

?

1? x

?

?a

?

?b 2 ?b 1

1 1

?

?a

?

9 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) 1 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) ? abx ? ? 1. (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b) (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b)

(二) 再证 f ? x ? ? 2 ; 、 由①、 ②式中关于 x, a, b 的对称性, 不妨设 x ? a ? b . 0 ? b ? 2 则 (ⅰ 、当 a ? b ? 7 ,则 a ? 5 ,所以 x ? a ? 5 ,因为 )

1 ? 1, 1? b

1 1 2 1 1 1 ? ? ? 1 ,此时 f ? x ? ? ? ? ?2. 1? x 1? a 1? 5 1? x 1? a 1? b
(ⅱ 、当 a ? b ? 7 …③,由① , x ? ) 得

8 1 ab , , ? ab ab ? 8 1? x

1 b b2 b 2 因为 ?1 ? ? ?1 ? [ ] 所以 2 1? b 1? b 4 ( 1 b ) ? 2 ?1 ) (b
同 理 得

1 b ? 1? 2(1 ? b) 1? b
⑤ ,

…④

1 a ? 1? 2(1 ? a) 1? a
…⑥







1? a b ab ? f ? x? ? 2 ? ? ? 1 ? a ? 1 ? b ? 2 ab ? 8 ? ? 2? ?
今证明

a b ab ? ?2 1? a 1? b ab ? 8

… ⑦ 因为 ,

a b ab , ? ?2 1? a 1? b (1 ? a)(1 ? b)

只要证 显然.

ab ab ? ,即 ab ? 8 ? (1 ? a)(1 ? b) ,也即 a ? b ? 7 ,据③ ,此为 ( 1? a ) ( ? b ) a b? 8 1

因此⑦ 得证.故由⑥ 得 f ( x) ? 2 .

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综上所述,对任何正数 a, x ,皆有 1 ? f ? x ? ? 2 . 16. (江西卷文 21)已知函数 f ( x) ?

1 4 1 3 x ? ax ? a 2 x2 ? a4 (a ? 0) 4 3

(1)求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (2)若函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 1 恰有两个交点,求 a 的取值范围. 【试题解析】 (1)因为 f ?( x) ? x3 ? ax2 ? 2a2 x ? x( x ? 2a)( x ? a) 令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? ?2a, x2 ? 0, x3 ? a 由 a ? 0 时, f ?( x ) 在 f ?( x) ? 0 根的左右的符号如下表所示

x
f ?( x )
f ( x)

(??, ?2a)

?2a
0
极小值

(?2a,0)

0
0
极大值

(0, a )

a
0
极小值

(a, ??)

?
?

?
?

?
?

?
?

所以 f ( x ) 的递增区间为 (?2a,0)与(a, ??)

f ( x) 的递减区间为 (??, 2a)与(0,a) ?
(2)由(1)得到 f ( x)极小值 ? f (?2a ) ? ? a , f ( x)极小值 ? f ( a ) ?
4

5 3

7 4 a 12

f ( x)极大值 ? f (0) ? a4
要使 f ( x ) 的图像与直线 y ? 1 恰有两个交点,只要 ? a ? 1 ?
4

5 3

7 4 a 或 a4 ? 1 , 12

4

即a ?

12 或 0 ? a ? 1. 7
ln x ? ln x ? ln( x ? 1) . 1? x

17. (辽宁卷理 22)设函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 f(x)的单调区间和极值;

(Ⅱ)是否存在实数 a,使得关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集为(0,+ ? )?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,试说明理由. 说明:本小题主要考查函数的导数,单调性,极值,不等式等基础知识,考查综合利用数学 知识分析问题、解决问题的能力.满分 14 分.

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解析: (Ⅰ) f ?( x) ?

1 ln x 1 1 ln x . ··········· · 2 分 ··········· · ·········· ·· ? ? ? ?? 2 x(1 ? x) (1 ? x) x x ?1 (1 ? x)2

1) ,∞ 故当 x ? (0, 时, f ?( x) ? 0 , x ? (1 ? ) 时, f ?( x) ? 0 .
所以 f ( x ) 在 (0, 单调递增,在 (1 ? ) 单调递减.···················· 分 ··········· ········· ·········· ········· 4 1) ,∞

? 由此知 f ( x ) 在 (0,∞) 的极大值为 f (1) ? ln 2 ,没有极小值. ·············· 分 ··········· ·· 6 ·········· ···
(Ⅱ) (ⅰ)当 a ≤ 0 时, 由于 f ( x) ?

(1 ? x) ln(1 ? x) ? x ln x ln(1 ? x) ? x ? ln(1 ? x) ? ln x ? ? ? 0, 1? x 1? x

? 故关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集为 (0,∞) . ····················· 分 ···················· 10 ·········· ··········
(ⅱ)当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 正整数,且有
n n 1? a 1 ? ··········· ······ ·········· ······· ln ?1 ? n ? ? ? n ? e 2 ? 1 ? n ? ? log 2 (e 2 ? 1) . ················· 12 分 2 ? 2 ? 2

ln x ln 2n 1? ? 1? ? ? ln ? 1? ? 知 f (2n ) ? ? ln ?1 ? n ? ,其中 n 为 n 1? x 1? 2 ? x? ? 2 ?

又 n ≥ 2 时,

ln 2n n ln 2 n ln 2 2 ln 2 ? ? ? . n n n(n ? 1) n ? 1 1 ? 2 1 ? (1 ? 1) 2



2 ln 2 a 4 ln 2 ? ?n? ? 1. n ?1 2 n
n 2

取整数 n0 满足 n0 ? ? log2 (e ? 1) , n0 ?

4 ln 2 ? 1 ,且 n0 ≥ 2 , a

则 f (2 0 ) ?
n

n0 ln 2 1 ? ? ln ?1 ? n0 n0 1? 2 ? 2

? a a ? ? ? ? a, ? 2 2

? 即当 a ? 0 时,关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集不是 (0,∞) . ? 综合(ⅰ) (ⅱ)知,存在 a ,使得关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集为 (0,∞) ,且 a 的取
值范围为 ? ?∞, . ····································· 分 ·········· ··········· ··········· ···· 0? ···································· 14 18. (辽宁卷文 22)设函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3a x ? 1(a,b ?R) 在 x ? x1 , x ? x2 处取得
3 2 2

极值,且 x1 ? x2 ? 2 .

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(Ⅰ)若 a ? 1 ,求 b 的值,并求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 a ? 0 ,求 b 的取值范围. 【试题解析】本小题主要考查函数的导数,单调性、极值,最值等基础知识,考查综合利用 导数研究函数的有关性质的能力. 解: f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3a 2 .① ····························· 2 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ?( x) ? 3x2 ? 2bx ? 3 ; 由题意知 x1,x2 为方程 3x ? 2bx ? 3 ? 0 的两根,所以 x1 ? x2 ?
2

4b2 ? 36 . 3

由 x1 ? x2 ? 2 ,得 b ? 0 .·································· 分 ··········· ·········· ··········· · 4 ·········· ··········· ··········· · 从而 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 1 , f ?( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x ? 1)( x ?1) .

, ? ,∞ 当 x ? (?11) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (?∞, 1) ? (1 ? ) 时, f ?( x) ? 0 . , ? ,∞ 故 f ( x ) 在 (?11) 单调递减,在 (?∞, 1) , (1 ? ) 单调递增. ············· 6 分 ··········· ·· ·········· ···
(Ⅱ)由①式及题意知 x1,x2 为方程 3x ? 2bx ? 3a ? 0 的两根,
2 2

4b2 ? 36a3 所以 x1 ? x2 ? .从而 x1 ? x2 ? 2 ? b2 ? 9a2 (1? a) , 3a
由上式及题设知 0 ? a ≤1 . ································· 分 ··········· ·········· ··········· 8 ·········· ··········· ··········· 考虑 g (a) ? 9a ? 9a , g ?(a) ? 18a ? 27a ? ?27a ? a ?
2 3
2

? ?

2? ············ 10 ·········· ·· ? . ··········· ·· 分 3? ?2? 4 ?? . ?3? 3

故 g (a ) 在 ? 0, ? 单调递增,在 ? , 单调递减,从而 g (a ) 在 ? 0, 的极大值为 g ? 1? 1? 又 g (a ) 在 ? 0, 上只有一个极值,所以 g ? 1?

? ?

2? 3?

?2 ? ?3 ?

?2? 4 1? ? ? 为 g (a) 在 ? 0, 上的最大值,且最小值为 ?3? 3

? 2 3 2 3? ? 4? , ? . ···········14 分 g (1) ? 0 .所以 b2 ? ?0, ? ,即 b 的取值范围为 ? ? ··········· ·········· 3 ? ? 3? ? 3
19. (全国Ⅰ卷理 19 文 21)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 , a ? R .
3 2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 内是减函数,求 a 的取值范围. ?
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? 2 ? 3

1? 3?

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【试题解析】

解:⑴∵f '(x)=3x 2 +2ax+1 令f '(x)=3x 2 +2ax+1>0,再令△=4a 2-12>0时,a 2 >3,∴a<- 3,或a> 3 ∴当a ? [- 3, 3]时,f(x) 0恒成立,∴在R上单调递增 , ? 当a ? (-?,- 3) ? ( 3,+?)时, -2a- 4a 2-12 -a- a 2-3 -a+ a 2-3 = 或x> 6a 3a 3a 2 ? -a- a -3 ? ? -a+ a 2-3 ? ∴f(x)单调递增区间为-? ?, ,+? ? ?, ? ? ? ? ? 3a 3a ? ? ? ? ? -a- a 2-3 -a+ a 2-3 ? 单调增减区间为? , ? ? ? 3a 3a ? ? x<

2 1 ⑵只需3x 2 +2ax+1 ? 0在区间(- ,- )恒成立即可。 3 3 2 令g(x)=3x +2ax+1,∴只需: 2 4 2 ? 7 ? ?g(- 3 ) ? 3 ? 9 -2a ? 3 +1 ? 0 ? ?a ? ∴? 4 ∴a ? 2 ? ?g(- 1 )=3 ? 1 -2a ? 1 +1 ? 0 ?a ? 2 ? ? 3 9 3 ? ∴a的取值范围为[2,+?)
20. (全国Ⅱ卷理 22)设函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f ( x) ≤ ax ,求 a 的取值范围. 【试题解析】 (Ⅰ) f ?( x) ? 当 2kπ ?

sin x . 2 ? cos x

(2 ? cos x) cos x ? sin x(? sin x) 2cos x ? 1 ? . ··········· ·· 分 ··········· · 2 ·········· ·· 2 (2 ? cos x) (2 ? cos x) 2

2π 2π 1 ? x ? 2kπ ? ( k ? Z )时, cos x ? ? ,即 f ?( x) ? 0 ; 3 3 2 2π 4π 1 ? x ? 2kπ ? 当 2kπ ? ( k ? Z )时, cos x ? ? ,即 f ?( x) ? 0 . 3 3 2
因此 f ( x ) 在每一个区间 ? 2kπ ?

? ?

2π 2π ? ,kπ ? ? ( k ? Z )是增函数, 2 3 3 ?

2π 4π ? ? f ( x) 在每一个区间 ? 2kπ ? ,kπ ? ? ( k ? Z )是减函数. ············ 6 分 ··········· · ·········· ·· 2 3 3 ? ?

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(Ⅱ)令 g ( x) ? ax ? f (x) ,则

g ?( x) ? a ?

2 cos x ? 1 (2 ? cos x) 2

?a?

2 3 ? 2 ? cos x (2 ? cos x) 2
2

1 1? 1 ? ? 3? ? ? ?a? . 3 ? 2 ? cos x 3 ?
故当 a ≥

1 时, g ?( x) ≥ 0 . 3

又 g (0) ? 0 ,所以当 x ≥ 0 时, g ( x) ≥ g (0) ? 0 ,即 f ( x) ≤ ax . ·········· 9 分 ·········· ·········· 当0 ? a ?

1 时,令 h( x) ? sin x ? 3ax ,则 h?( x) ? cos x ? 3a . 3

故当 x ??0, arccos3a ? 时, h?( x) ? 0 . 因此 h( x) 在 ?0, arccos3a ? 上单调增加.

arccos3a) 时, h( x) ? h(0) ? 0 , 故当 x ? (0,
即 sin x ? 3ax .

arccos3a) 时, f ( x) ? 于是,当 x ? (0,
当 a ≤ 0 时,有 f ?

sin x sin x ? ? ax . 2 ? cos x 3

π ?π? 1 ? ? ? 0 ≥ a? . 2 ?2? 2 ?1 ?3 ? ?

因此, a 的取值范围是 ? , ? ? . ····························· 分 ···························· 12 ·········· ··········· ······· ? 21. (全国Ⅱ卷文 21)设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax ? 3x .
3 2

(Ⅰ)若 x ? 2 是函数 y ? f (x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x),x ?[0, ,在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值范围. 2] 【试题解析】
2 (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax ? 6 x ? 3x(ax ? 2) .

因为 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,所以 f ?(2) ? 0 ,即 6(2a ? 2) ? 0 ,因此 a ? 1 . 经验证,当 a ? 1 时, x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点.·················· 分 ··········· ······ 4 ·········· ·······
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(Ⅱ)由题设, g ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 3ax2 ? 6x ? ax2 ( x ? 3) ? 3x( x ? 2) . 当 g ( x) 在区间 [0, 上的最大值为 g (0) 时, 2]

g (0) ≥ g (2) ,
即 0 ≥ 20a ? 24 .

6 . ··········· ··········· ·········· ········· 分 ··········· ·········· ··········· ········ 9 ·········· ··········· ··········· ········ 5 6 反之,当 a ≤ 时,对任意 x ? [0, , 2] 5 6 g ( x) ≤ x 2 ( x ? 3) ? 3 x( x ? 2) 5 3x ? (2 x 2 ? x ? 10) 5 3x ? (2 x ? 5)( x ? 2) 5
故得 a ≤

≤0 ,
2] 而 g (0) ? 0 ,故 g ( x) 在区间 [0, 上的最大值为 g (0) .
综上, a 的取值范围为 ? ??, ? . ·····························12 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ·······

? ?

6? 5?

22. (山东卷理 21)已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln( x ? 1), 其中 n∈N*,a 为常数. (1 ? x)n

(Ⅰ)当 n=2 时,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a=1 时,证明:对任意的正整数 n,当 x≥2 时,有 f(x)≤x-1. 【标准答案】 (I) f ( x ) 的定义域为 x x ? 1 ,当 n ? 2 时 f ( x) ?

?

?

1 ? a ln( x ? 1), ( ? x) 2 1

? 1 ? 2 ? a(1 ? x) 2 f ( x) ? ? ? a ln( x ? 1), ? ? . ( ? x) 2 ( ? x)3 1 ?1 ?
/

/

/ 1)当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 得 x1 ? 1 ?

2 2 ? 1, x2 ? 1 ? ? 1, a a

f / ( x) ?

?a( x ? x1 )( x ? x2 ) , ( ? x )3 1

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当 x ? ?1,1 ?

? ? ?

2? / ? 时, f ( x) ? 0, f ( x) 单调递减; a? ? ? 2 , ?? ? 时, f / ( x) ? 0, f ( x) 单调递增。 ? a ?

当 x ? ?1 ?

? ? ?

2)当 a ? 0 时 f / ( x) ? 0 恒成立, f ( x ) 无极值。 纵上可知 n ? 2 时, 当 a ? 0 时 f ( x) 在 x ? 1 ? 当 a ? 0 时 f ( x ) 无极值。 (II)当 a ? 1 时, f ( x) ?

2 2 a 2 处取得极小值为 f (1 ? ) ? (1 ? ln ), a a 2 a

1 ? ln( x ? 1), ( ? x) n 1 1 ? 1,故只需证1 ? ln( x ? 1) ? x ? 1。 ( ? x) n 1

当 x ? 2 时,对任意 n ? N * , 恒有

令 h( x) ? x ?1 ? ?1 ? ln( x ?1)? ? x ? 2 ? ln( x ?1) , x??2, ??? ,

h / ( x) ? 1 ?

1 x?2 ? ? 0, x ?1 x ?1

故 h( x) 在 ?2,??? 上单调递增,即 h( x) ? h(2) 在 ?2,??? 上恒成立,而 h(2) ? 0,

h( x) ? x ?1 ? ?1 ? ln( x ?1)? ? 0, 1 ? ln( x ? 1) ? x ? 1恒成立,
因此,当 x ? 2 时,恒有 f ( x) ? x ? 1. 【试题分析】 第一问对 a 讨论时要注意一些显而易见的结果, a ? 0 时 f ( x) ? 0 恒成立, : 当
/

f ( x) 无极值。第二问需要对构造的新函数 h( x) 进行“常规处理” ,即先证单调性,然后求
最值 ,最后作出判断。 【高考考点】: 导数及其应用、构造函数证明不等式 【易错提醒】: 没有注意该函数定义域对问题的影响,分类讨论无目标,判断

f / ( x) ?

?a( x ? x1 )( x ? x2 ) 的正负漏掉符号。 ( ? x )3 1

【学科网备考提示】: 函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理,使之成为一个系统,在 具体运用时自如流畅,既要具有一定的思维定向,也要谨防盲目套用。此类问题对转化能力 要求很高,不能有效转化是解题难以突破的主要原因,要善于构造函数证明不等式,从而体 现导数的工具性。
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23. (山东卷文 21)设函数 f ( x) ? x2e x?1 ? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点. (Ⅰ)求 a 和 b 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ)设 g ( x ) ? 【试题解析】 (Ⅰ)因为 f ?( x) ? ex?1 (2 x ? x2 ) ? 3ax2 ? 2bx ? xex?1 ( x ? 2) ? x(3ax ? 2b) , 又 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点,所以 f ?(?2) ? f ?(1) ? 0 ,

2 3 x ? x 2 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 3

因此 ?

??6a ? 2b ? 0, 1 解方程组得 a ? ? , b ? ?1 . 3 ?3 ? 3a ? 2b ? 0,
1 3

x ?1 (Ⅱ)因为 a ? ? , b ? ?1 ,所以 f ?( x) ? x( x ? 2)(e ?1) ,

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2 , x2 ? 0 , x3 ? 1 .

? 1) 因为当 x ? (??, 2) ?(0, 时, f ?( x) ? 0 ; 0) , 当 x ? (?2, ? (1 ? ?) 时, f ?( x) ? 0 . 0) , ? 1) 所以 f ( x ) 在 (?2, 和 (1 ? ?) 上是单调递增的;在 (??, 2) 和 (0, 上是单调递减的.
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? x e 故 f ( x) ? g ( x) ? x e
2 x ?1
2 x ?1

1 ? x3 ? x 2 , 3

? x3 ? x2 (e x?1 ? x) ,令 h( x) ? e x?1 ? x ,则 h?( x) ? e x?1 ?1 .

令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,因为 x ? ? ??, 时, h?( x) ≤ 0 , 1? 所以 h( x) 在 x ? ? ??, 上单调递减.故 x ? ? ??, 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 ; 1? 1? 因为 x??1 ? ?? 时, h?( x) ≥ 0 ,所以 h( x) 在 x??1 ? ?? 上单调递增. , , 故 x??1 ? ?? 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 . ,

? 所以对任意 x ? (??, ?) ,恒有 h( x) ≥ 0 ,又 x ? 故对任意 x ? (??, ?) ,恒有 f ( x) ≥ g ( x) .
24. (陕西卷理 21)已知函数 f ( x) ?

2

≥ 0 ,因此 f ( x) ? g ( x) ≥0 ,

一个极小值点,其中一个是 x ? ?c .
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kx ? 1 ( c ? 0 且 c ? 1 , k ? R )恰有一个极大值点和 x2 ? c

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(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的另一个极值点; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极大值 M 和极小值 m ,并求 M ? m ≥ 1 时 k 的取值范围. 【试题解析】 (Ⅰ) f ?( x) ?

k ( x 2 ? c) ? 2 x(kx ? 1) ?kx 2 ? 2 x ? ck ,由题意知 f ?(?c) ? 0 , ? ( x 2 ? c) 2 ( x 2 ? c) 2

2 即得 c k ? 2c ? ck ? 0 , (*)? c ? 0 ,? k ? 0 .

由 f ?( x) ? 0 得 ?kx ? 2 x ? ck ? 0 ,
2

由韦达定理知另一个极值点为 x ? 1 (或 x ? c ?

2 ) . k

2 2 ,即 c ? 1 ? . c ?1 k 当 c ? 1 时, k ? 0 ;当 0 ? c ? 1 时, k ? ?2 .
(Ⅱ)由(*)式得 k ?

? , 1) (i)当 k ? 0 时, f ( x ) 在 (??, c) 和 (1 ? ?) 内是减函数,在 (?c, 内是增函数.
? M ? f (1) ? k ?1 k ? ? 0, c ?1 2

m ? f (?c) ?

?kc ? 1 ?k 2 ? ? 0, c 2 ? c 2(k ? 2)

由M ?m ?

k k2 ? ≥1 及 k ? 0 ,解得 k ≥ 2 . 2 2(k ? 2)

? , 1) (ii)当 k ? ?2 时, f ( x ) 在 (??, c) 和 (1 ? ?) 内是增函数,在 (?c, 内是减函数.

? M ? f (?c) ?

k ?k 2 ? 0 , m ? f (1) ? ? 0 2 2(k ? 2)

M ?m ?

?k 2 k (k ? 1)2 ? 1 ? ? 1? ≥1 恒成立. 2(k ? 2) 2 k ?2

综上可知,所求 k 的取值范围为 (??, 2) ? [ 2, ?) . ? ?
3 2 2 2 25. (陕西卷文 22)设函数 f ( x) ? x ? ax ? a x ? 1, g (x) ? ax ? 2x ?1, 其中实数 a ? 0 .

(Ⅰ)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象只有一个公共点且 g ( x) 存在最小值时,记 g ( x) 的最小值为 h(a) ,求 h(a) 的值域;
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(Ⅲ)若 f ( x ) 与 g ( x) 在区间 (a, a ? 2) 内均为增函数,求 a 的取值范围. 【试题解析】 (1)? f ' ?x ? ? 3x 2 ? 2ax ? a 2 ? 3? x ?

? ?

a? ??x ? a ?, 又 a ? 0 , 3?

? x ? ?a 或 x ?

a a 时, f ' ?x ? ? 0; 当 ? a ? x ? 时, f ' ?x ? ? 0; 3 3

a? ?a ? ? ? f ?x ? 在 ?? ?,?a ? 和 ? ,?? ? 内是增函数,在 ? ? a, ? 内是减函数。 3? ?3 ? ?
(2)由题意知 x ? ax ? a x ? 1 ? ax ? 2 x?! 即 x x 2 ? a 2 ? 2 ? 0 恰有一根(含重根)
3 2 2 2

?

?

??

?a 2 ? 2 ? 0, 即 ? 2 ? a ? 2 , 又 a ? 0 ,?a ? ? 2,0 ? 0, 2 ,

?

? ?

?

1? 1 ? 当 a ? 0 时, g ?x ? 才存在最小值 ,?a ? 0, 2 . ? g ?x ? ? a? x ? ? ? 1 ? , a? a ?
? 1 2? ? h?x ? ? 1 ? , a ? 0, 2 . ? h?a ? 的值域为 ? ? ?,1 ? ?. ? a 2 ? ?
(3)当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??, ?a ? 和 ?

?

?

2

?

?

?a ? ?1 ? , ??, ? 内是增函数, g ? x ? 在 ? , ?? ? 内是增 ?3 ? ?a ?

? ?a ? 0 ? a ? 函数,由题意得 ?a ? ? a ? 1 , 3 ? 1 ? ?a ? a ?
? ? a? 1? ? ? 和 ? ?a, ??, ? 内是增函数, g ? x ? 在 ? ??, ? 内是增函数, 3? a? ?

当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??, ?

? ?a ? 0 ? ? 由题意得 ?a ? 2 ? ? ? ?a ? 2 ? ?

a ? a ? ?3 3 1 a

综上可知, 实数 a 的取值范围为

? ??, ?3? ? ?1, ??? ;
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点评 三次函数与二次函数单调性的研究方法,凸现导数和二次函数的工具性。 易错指导 不明确分类的标准和为什么分类,导致重复和遗漏。 26. (四川卷理 22)已知 x ? 3 是函数 f ? x ? ? a ln ?1 ? x ? ? x ?10x 的一个极值点。
2

(Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅲ)若直线 y ? b 与函数 y ? f ? x ? 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围。
' 【解】(Ⅰ)因为 f ? x ? ? : ' 所以 f ? 3? ?

a ? 2 x ? 10 1? x

a ? 6 ? 10 ? 0 4

因此 a ? 16 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

f ? x? ? 1 6 l ? ? x ? 2x ? 1 0 x? ? 1, ? n 1 ? x ,? ? ?
f ? x? ?
'

2 ? x 2 ? 4x ? 3 ? 1? x
'

当 x? ? ?1,1? ? ? 3, ??? 时, f 当 x ? ?1,3? 时, f
'

? x? ? 0

? x? ? 0

所以 f ? x ? 的单调增区间是 ? ?1,1? , ?3, ???

f ? x ? 的单调减区间是 ?1,3?
(Ⅲ)由(Ⅱ)知, f ? x ? 在 ? ?1,1? 内单调增加,在 ?1,3? 内单调减少,在 ?3,??? 上单调 增加,且当 x ? 1 或 x ? 3 时, f
'

? x? ? 0

所以 f ? x ? 的极大值为 f ?1? ? 16ln 2 ? 9 ,极小值为 f ?3? ? 32ln 2 ? 21 因此 f ?16? ? 16 ?10 ?16 ? 16ln 2 ? 9 ? f ?1?
2

f ? e?2 ? 1? ? ? 2 ? 1 1 ? ?2 1 ? 3 f?

?

3

所以在 f ? x ? 的三个单调区间 ? ?1,1? , ?1,3? , ?3, ??? 直线 y ? b 有 y ? f ? x ? 的图象各有一 个交点,当且仅当 f ? 3? ? b ? f ?1? 因此, b 的取值范围为 ?32ln 2 ? 21,16ln 2 ? 9? 。

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【点评】 :此题重点考察利用求导研究函数的单调性,最值问题,函数根的问题; 【突破】 :熟悉函数的求导公式,理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键,数形结 合理解函数的取值范围。 27. (四川卷文 20)设 x ? 1 和 x ? 2 是函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ?1 的两个极值点。
5 3

(Ⅰ)求 a 和 b 的值; (Ⅱ)求 f ? x ? 的单调区间 【解】(Ⅰ)因为 f ' ? x ? ? 5x4 ? 3ax2 ? b : 由假设知: f ' ?1? ? 5 ? 3a ? b ? 0

f ' ? 2? ? 24 ? 5 ? 22 ? 3a ? b ? 0
解得 a ?

25 , b ? 20 3
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
2 f ' ? x? ? 5 x4 ? 3 a x ? b 5 ??

x ?1 ??
'

4

x ?4 ?

?5 ?

x? ?? 1

x? x ?? 2 ?? ?1 ? x?2

当 x? ? ??, ?2? ? ? ?1,1? ? ? 2, ??? 时, f 当 x? ? ?2, ?1? ? ?1,2? 时, f
'

? x? ? 0

? x? ? 0

因此 f ? x ? 的单调增区间是 ? ??, ?2? , ? ?1,1? , ? 2, ???

f ? x ? 的单调减区间是 ? ?2, ?1? , ?1, 2?
【点评】 :此题重点考察利用导数研究函数的极值点,单调性,最值问题; 【突破】 :熟悉函数的求导公式,理解函数极值与导数、函数单调性与导数的关系;重视图 象或示意图的辅助作用。 28. (天津卷理 20)已知函数 f ? x ? ? x ?

a ? b?x ? 0? ,其中 a, b ? R . x

(Ⅰ)若曲线 y ? f ?x ? 在点 P?2, f ?2?? 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 ,求函数 f ?x ? 的解析式; (Ⅱ)讨论函数 f ?x ? 的单调性; 本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识,考查 运算能力、综合分析和解决问题的能力.满分 12 分. (Ⅰ)解: f ?( x ) ? 1 ?

a ,由导数的几何意义得 f ?(2) ? 3 ,于是 a ? ?8 . x2

由切点 P(2, f (2)) 在直线 y ? 3x ? 1 上可得 ?2 ? b ? 7 ,解得 b ? 9 . 所以函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? x ?

8 ?9. x
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(Ⅱ)解: f ?( x ) ? 1 ?

a . x2

当 a ? 0 时,显然 f ?( x) ? 0 ( x ? 0 ) .这时 f ( x ) 在 (??, 0) , (0, ??) 上内是增函数. 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? a . 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

(??, ? a )
+ ↗

? a
0 极大值

(? a ,0)
- ↘

(0, a )
- ↘

a
0 极小值

( a , ??)
+ ↗

所以 f ( x ) 在 (??, ? a ) , ( a , ??) 内是增函数,在 (? a ,0) , (0, ??) 内是减函数. (Ⅲ)解:由(Ⅱ)知, f ( x ) 在 [ ,1] 上的最大值为 f ( ) 与 f (1) 的较大者,对于任意的

1 4

1 4

39 ? 1 ? 1 1 ? f ( ) ? 10 ?b ? ? 4a a ? [ , 2] ,不等式 f ( x) ? 10 在 [ ,1] 上恒成立,当且仅当 ? 4 ,即 ? , 4 2 4 ? f (1) ? 10 ?b ? 9 ? a ? ?
对任意的 a ? [ , 2] 成立. 从而得 b ?

1 2

7 7 ,所以满足条件的 b 的取值范围是 (??, ] . 4 4

(Ⅲ)若对于任意的 a ? ? ,2? ,不等式 f ?x ? ? 10 在 ? ,1? 上恒成立,求 b 的取值范围. 2 4 29. (天津卷文 21)设函数 f ( x) ? x4 ? ax3 ? 2x2 ? b( x ?R) ,其中 a,b ? R . (Ⅰ)当 a ? ?

?1 ?

? ?

?1 ? ? ?

10 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; 3

(Ⅱ)若函数 f ( x ) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对于任意的 a ?? ?2, ,不等式 f ( x) ≤ 1 在 ??11? 上恒成立,求 b 的取值范围. 2? , 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识,考查综 合分析和解决问题的能力.满分 14 分. (Ⅰ)解: f ?( x) ? 4x ? 3ax ? 4x ? x(4 x ? 3ax ? 4) .
3 2 2

当a ? ?

10 2 时, f ?( x) ? x(4x ?10x ? 4) ? 2x(2x ?1)( x ? 2) . 3

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令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ?

1 , x3 ? 2 . 2

当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, 0)
- ↘

0 0 极小值

1 (0, ) 2
+ ↗

1 2
0 极大值

1 ( , 2) 2
- ↘

2 0 极小值

(2, ??)
+ ↗

所以 f ( x ) 在 (0, ) , (2, ??) 内是增函数,在 (??, 0) , ( , 2) 内是减函数. (Ⅱ)解: f ?( x) ? x(4 x2 ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 的根.
2

1 2

1 2

为使 f ( x ) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 成立,即有 ? ? 9a ? 64 ? 0 .
2 2

8 8 ? a ? .这时, f (0) ? b 是唯一极值. 3 3 8 8 因此满足条件的 a 的取值范围是 [? , ] . 3 3
解些不等式,得 ? (Ⅲ)解:由条件 a ? [?2, 2] ,可知 ? ? 9a ? 64 ? 0 ,从而 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立.
2 2

当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . 因此函数 f ( x ) 在 [?1,1] 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者. 为使对任意的 a ? [?2, 2],不等式 f ( x) ? 1 在 [?1,1] 上恒成立,当且仅当 ?

? f (1) ? 1 ,即 ? f (?1) ? 1

?b ? ?2 ? a ,在 a ? [?2, 2] 上恒成立. ? ?b ? ?2 ? a
所以 b ? ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是 (??, ?4] . 30. (浙江卷理 21)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 ?(x) 的单调区间; (Ⅱ)设 g (a ) 为 ?(x) 在区间 ?0,2? 上的最小值。 (i)写出 g (a ) 的表达式; (ii)求 a 的取值范围,使得 ? 6 ? g (a) ? ?2 。 【试题解析】 本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识,同时考查分类讨论思想
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x ( x ? a) 。

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以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.满分 15 分. (Ⅰ)解:函数的定义域为 [0, ?) , f ?( x) ? ?

x?

x ? a 3x ? a (x ? 0) . ? 2 x 2 x

若 a ≤ 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 有单调递增区间 [0, ?) . ? 若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 当x?

a a ,当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 , 3 3

a ?a ? ? a? 时, f ?( x) ? 0 . f ( x ) 有单调递减区间 ?0, ? ,单调递增区间 ? , ? ? . ? 3 ?3 ? ? 3?

(Ⅱ)解: (i)若 a ≤ 0 , f ( x ) 在 [0, 上单调递增,所以 g (a) ? f (0) ? 0 . 2] 若 0 ? a ? 6 , f ( x ) 在 ?0, ? 上单调递减,在 ? ,? 上单调递增, 2

? a? ? 3?

?a ? ?3 ?

所以 g (a) ? f ?

2a a ?a? .若 a ≥ 6 , f ( x ) 在 [0, 上单调递减, 2] ??? 3 3 ?3?

所以 g (a) ? f (2) ? 2(2 ? a) .

a ≤ 0, ?0, ? ? 2a a 综上所述, g (a ) ? ?? , 0 ? a ? 6, ? 3 3 ? 2(2 ? a), a ≥ 6. ?
(ii)令 ?6 ≤ g (a) ≤ ?2 .若 a ≤ 0 ,无解.若 0 ? a ? 6 ,解得 3 ≤ a ? 6 . 若 a ≥ 6 ,解得 6 ≤ a ≤ 2 ? 3 2 .故 a 的取值范围为 3 ≤ a ≤ 2 ? 3 2 . 31(浙江卷文 21)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? x2 ( x ? a) 。 (Ⅰ)若 f ' (1) ? 3 ,求 a 的值及曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ?0,2? 上的最大值。 【试题解析】 本题主要考查基本性质、导数的应用等基础知识,以及综合运用所学知识分析问题 解决问题的能力。满分 15 分。 (I)解: f '( x) ? 3x ? 2ax .
2

因为 f '(I) ? 3 ? 2a ? 3 , 所以

a ? 0.
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又当 a ? 0 时, f (I) ? 1, f '(I) ? 3 , 所以曲线 y ? f ( x)在(1, f (I)) 处的切线方程为 (II)解:令 f '( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0, x2 ? 当

3x- y- 2= 0 .

2a . 3

2a ? 0 ,即 a≤0 时, f ( x) 在[0,2]上单调递增,从而 3

fmax ? f (2) ? 8 ? 4a .


2a ? 2 时,即 a≥3 时, f ( x) 在[0,2]上单调递减,从而 3

f max ? f (0) ? 0 .
当0 ?

2a ? 2a ? ? 2a ? ? 2 ,即 0 ? a ? 3 , f ( x) 在 ?0, ? 上单调递减,在 ? , 2? 上单调递增, 3 ? 3? ?3 ?

从而

?8 ? 4a, 0 ? a ? 2. ? f max ? ? 2 ? a ? 3. ?0, ? ?8 ? 4a, a ? 2. ? ?0, ? a ? 2.
2

综上所述, f max ? ?

32. (重庆卷理 20)设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0), 曲线 y=f(x)通过点(0,2a+3) ,且 在点(-1,f(-1) ) 处的切线垂直于 y 轴. (Ⅰ)用 a 分别表示 b 和 c; -x (Ⅱ)当 bc 取得最小值时,求函数 g(x)=-f(x)e 的单调区间. 【标准答案】
2 解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? ax ? bx ? c, 所以f ?(x ) ? 2ax ? b.

又因为曲线 y ? f ( x) 通过点(0, 2a ? 3 ),故 f (0) ? 2a ? 3, 而f (0) ? c, 从而c ? 2a ? 3. 又曲线 y ? f ( x) 在(-1,f (-1))处的切线垂直于 y 轴,故 f ?(?1) ? 0, 即 ?2a ? b ? 0 ,因此

b ? 2a

9 , 4 3 9 3 3 故当 a ? ? 时, bc 取得最小值- .此时有 b ? ? , c ? . 4 4 2 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 ?x ?x 从而 f ( x) ? ? x ? x ? , f ?( x) ? ? x ? , g ( x) ? ? f ( x)c ? ( x ? x ? )e , 4 2 2 2 2 4 2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bc ? 2a (2a ? 3) ? 4(a ? ) ?
2

3 4

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所以 g ?( x) ? ( f ( x) ? f ?( x)e

?x

3 ? ? ( x 2 ? 4)e ? x . 令 g ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 2. 4

当 x ? (??, ?2)时, g ?( x) ? 0, 故g ( x)在x ? (??, ?2)上为减函数; 当 x ? (?2, 2)时,g ?( x) ? 0, 故g ( x)在x ? (2, ??)上为减函数. 当 x ? (2, ??)时,g ?( x) ? 0,故g ( x)在x ? (2, ??)上为减函数. 由此可见, 函数 g ( x) 的单调递减区间为(-∞, -2) 和(2,+∞) ;单调递增区间为(-2,2) . 【高考考点】本题主要考查导数的概念和计算、利用导数研究函数的单调性、利用单调性求 最值以及不等式的性质。 【易错提醒】不能求 bc ? 2a (2a ? 3) ? 4(a ? ) ?
2

3 4

9 , 的最小值 4

【备考提示】应用导数研究函数的性质,自 2003 年新教材使用以来,是常考不衰的考点。 33. (重庆卷文 19)设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 9x ?1(a ? 0). 若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线 与直线 12x+y=6 平行,求: (Ⅰ)a 的值; (Ⅱ)函数 f(x)的单调区间. 【解析】 本小题主要考查导数的几何意义, 及运用导数求函数的单调区间、 一元二次不等式的解 法等基础知识。 (Ⅰ)因 f ( x) ? x ? ax ? 9 x ? 1
2 2

所以 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 9
2

a a2 ? 3( x ? )2 ? 9 ? . 3 3
即当 x ? ? 时,f ?( x)取得最小值 ? 9 ?

a 3

a2 . 3

因斜率最小的切线与 12 x ? y ? 6 平行,即该切线的斜率为-12, 所以 ?9 ?

a2 ? ?12,即a 2 ? 9. 3

解得 a ? ?3,由题设a ? 0, 所以a ? ?3. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? ?3,因此f ( x) ? x ? 3x ? 9x ? 1,
3 2

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f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 3( x ? 1) 令f ?( x) ? 0, 解得:x1 ? ?1, x2 ? 3. 当x ? (??, ?1)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(??, 1)上为增函数; ? 当x ? (?1,3)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在( ? 1,)上为减函数; 3 当x ?(3,+?)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(3, ?)上为增函数. ? 由此可见,函数f ( x)的单调递增区间为(??, ?1)和(3, ?); ? 单调递减区间为( ? 1, . 3) 2x ?1 34. (四川延考理 22)设函数 f ( x ) ? 2 。 x ?2
(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间和极值; (Ⅱ)若对一切 x ? R , ?3 ? af ( x) ? b ? 3 ,求 a ? b 的最大值。 【解析】 (Ⅰ) f ( x) ?
'

2 x ? 1 ?2( x ? 2)( x ? 1) ? , x2 ? 2 ( x 2 ? 2)2

当 x ? (?2,1) 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? (??, ?2) ? (1, ??) 时, f ' ( x) ? 0 ; 故 f ( x ) 在 (?2,1) 单调增加,在 (??, ?2) ? (1, ??) 单调减少。

1 f ( x) 的极小值 f ( ?2) ? ? ,极大值 f (1) ? 1 2
(Ⅱ)由 ( f ( x) ? )( f (1) ? 1) ?

1 2

?( x ? 2)2 ( x ? 1) 2 知 2( x 2 ? 2) 2
?

1 ? f ( x) ? 1 2 1 由此及(Ⅰ)知 f ( x ) 的最小值为 ? ,最大值为 1 2
即 因此对一切 x ? R , ?3 ? af ( x) ? b ? 3 的充要条件是,

1 ( f ( x) ? )( f (1) ? 1) ? 0 2

1 ? ??3 ? ? a ? b ? 3 2 ? ??3 ? a ? b ? 3 ?
即 a , b 满足约束条件
?a ? b ? ?3 ?a ? b ? 3 ? ? 1 , ?? a ? b ? ?3 ? 2 ? 1 ?? a ? b ? 3 ? 2
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由线性规划得, a ? b 的最大值为 5.

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35. (四川延考文 22)设函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? 2 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间和极值; (Ⅱ)若当 x ? [?1, 2] 时, ?3 ? af ( x) ? 3 ,求 a ? b 的最大值. 【解析】 (Ⅰ) f '( x) ? 3x2 ? 2 x ?1 ? (3x ? 1)( x ?1) . 于是,当 x ? ( ? ,1) 时, f '( x) ? 0 ;

1 3

1 x ? (??, ? ) ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 . 3 1 1 故 f ( x ) 在 ( ? ,1) 单调减少,在 (??, ? ) , (1, ??) 单调增加. 3 3 1 1 59 当 x ? ? 时, f ( x ) 取得极大值 f ( ? ) ? ; 3 3 27
当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极小值 f (1) ? 1 . (Ⅱ)根据(Ⅰ)及 f (?1) ? 1 , f (2) ? 4 , f ( x ) 在 [?1, 2] 的最大值为 4,最小值为 1. 因此,当 x ? [?1, 2] 时, ?3 ? af ( x) ? b ? 3 的充要条件是 ? 即 a , b 满足约束条件

??3 ? a ? b ? 3 , ??3 ? 4a ? b ? 3

? a ? b ? ?3 ?a ? b ? 3 ? , ? 4 a ? b ? ?3 ? ? 4a ? b ? 3 ?
由线性规划得, a ? b 的最大值为 7.

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