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6第六讲 高斯函数及其应用 学生版

时间:2016-01-08


第六讲 高斯函数与整点
本讲概述
本讲我们将研究全国数学联赛二试范围内初等数论所要求的最后一个专题:高斯函数 y ? [ x] . 实际上高斯函数就是取整函数,利用这个函数可以将以前很多需要大量描述才能说清楚的问题很简洁 地描述和处理.我们想给出高斯函数的定义及若干性质: 定义一:对任意实数 x, [ x ] 是不超过 x 的最大整数,称 [ x ] 为 x

的整数部分.与它相伴随的是小数部分 函数 y ? {x}, {x} ? x ? [ x]. 由 [ x ] 、 { x} 的定义不难得到如下性质: (1) y ? [ x] 的定义域为 R,值域为 Z; y ? {x} 的定义域为 R,值域为 [0,1) (2)对任意实数 x ,都有 x ? [ x] ? {x}, 且0 ? {x} ? 1. (3)对任意实数 x ,都有 [ x] ? x ? [ x] ? 1, x ? 1 ? [ x] ? x . (4) y ? [ x] 是不减函数,即若 x1 ? x 2 则 [ x1 ] ? [ x2 ] ,其图像如图 1;

y ? {x} 是以 1 为周期的周期函数,如图 2.

图1

图2
?

(5) [ x ? n] ? n ? [ x];{x ? n} ? {x} .其中 x ? R, n ? N . (6) [ x ? y ] ? [ x] ? [ y];

{x} ? { y} ? {x ? y};

[? xi ] ? ?[ xi ], xi ? R ;
i ?1 i ?1

n

n

特别地, [

na a ] ? n[ ]. b b

(7) [ xy] ? [ x] ? [ y] ,其中 x, y ? R? ;一般有 [

? xi ] ? ?[ xi ], xi ? R? ;
i ?1 i ?1

n

n

特别地, [n x ]n ? [ x], x ? R?, n ? N ? . (8) [ ] ? [

x n

[ x] ] ,其中 x ? R?, n ? N ? . n

【证明】 (1)—(7)略. (8)令 [ ] ? m, m ? Z ,则 m ?

x n

x ? m ? 1 ,因此, nm ? x ? n(m ? 1) .由于 nm , n [ x] [ x] ? m ? 1, 故[ ] ? m. n n

n(m ? 1) ? N ,则由(3)知, nm ? [ x] ? n(m ? 1), 于是, m ?

证毕. 上面(1)-(5)都很容易理解;而(6)-(7)一般只需掌握二元形式,多元的很难用上;(8)的证 明方法是涉及高斯函数问题的一种典型方法,必须熟练掌握. 以下给出高斯函数相关的几个重要定理:
? 定理一: x ? R?, n ? N ,且 1 至 x 之间的整数中,有 [ ] 个是 n 的倍数.

x n

【证明】因 [ ] ?

x n

x x x x ? [ ] ? 1,即[ ] ? n ? x ? ([ ] ? 1) ? n ,此式说明:不大于 x 而是 n 的倍数的正整 n n n n

数只有这

[ x] 个: n x n,2n, ? , [ ] ? n. n

定理二:在 n !中,质数 p 的最高方次数是

n n n p(n!) ? [ ] ? [ 2 ] ? [ 3 ] ? ?. p p p
【证明】由于 p 是质数,因此 n! 含 p 的方次数 p ( n!) 一定是 1,2,…, n ? 1, n 各数中所含 p 的方次 数的总和.由定理一知,1,2,…,n 中有 [

n n ] 个 p 的倍数,有 [ 2 ] 个 p 2 的倍数,…,所以 p p

n n p(n!) ? [ ] ? [ 2 ] ? ?. p p
此定理说明: n!? p p( n!) ? M ,其中 M 不含 p 的因数.例如,由于 2000 2000 7(2000!) ? [ ] ? [ 2 ] +…=285+40+5=330, 7 7

M. 则 2000!=7330·M,其中 7 宮
定理三: (厄米特恒等式) x ? R, n ? N , 则[ x] ? [ x ? ] ? [ x ? ] ? ? ? [ x ?

1 n

2 n

n ?1 ] ? [nx ] n

高斯函数在格点(又叫整点)问题研究中有重要应用. 下面给出一个定理. 定理四:设函数 y ? f ( x)在[a, b] 上连续而且非负,那么和式 面区域 a ? x ? b,0 ? y ? f ( x) 内的格点个数.特别地,有 位于三角形: y ? ax ? b ? 0, c ? x ? d 内的格点个数等于 ; ?[ax ? b](且x 为整数)
a?t ?b

?[ f (t )](t为[a, b] 内的整数)表示平

c? x?d

(2)奇数 p,q 满足 ( p, q) ? 1 ,矩形域 [0,

q p ;0, ] 内的格点数等于 2 2

0? x ? q / 2

?

[

p q p ?1 q ?1 x] ? ? [ y ] ? ? . q 2 2 0? y ? p / 2 p

*注:利用上面的结果,我们可以证明关于初等数论中关于雅可比符号的二次互反律. *(3) n ? 0 ,区域: x ? 0, y ? 0, xy ? n 内的格点个数等于

2

0? x ?

?

n [ ] ? [ n ]2 . n x

这些结论通过画图即可得到. 关于格点更深入的研究(如格点多边形面积等)往往涉及到组合几何的与数论的高级知识,有兴趣的同 学可以参考闵嗣鹤的小丛书《格点与面积》 ,这些更高难度的问题一般只在冬令营及更高级别赛事中出现, 本讲不涉及.一般来说,联赛中只涉及到中等难度的格点个数计数问题,其处理手段即利用定理 4.

例题精讲
【例1】 (1)试利用定理 2 给出 34!的质因子分解形式; (2)若其展开式最后 12 位是 643, abc, def , ghi ,试确定最后 9 位数.

【例 2】 (1)证明当 n=1,2,…时 (2)证明

交错地取偶数与奇数值。 ,m=0,1,2,….

【例 3】(1) 双曲线 x ? y ? 1的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部(不含边界)整点个数为:
2 2

(2)对任意自然数 n, 连接原点与点 An (n, n ? 3) .用 f ( n) 表示线段 OAn 上除端点以外的整点个数, 试求和:

f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (2011)

【例 4】解方程: [ x ? 2 x] ? 2[ x] ? [ x] .
2 2

【例 5】求所有满足条件 4[an] ? n ? [a[an]] 的实数 a,其中 n 为任意正整数时皆成立.

【例 6】求出 ?

? 1020000 ? ? 的个位数字. 100 ?10 ? 3 ?

【例 7】当 n 遍历全体正整数时,证明 f (n) ? ? n ?

? ?

n 1? ? ? 亦遍历全体正整数,但数列 an ? 3n2 ? 2n 中 3 2?

的项除外.

【例 8】证明定理 3(厄米特恒等式) x ? R, n ? N , 则

1 2 n ?1 [ x] ? [ x ? ] ? [ x ? ] ? ? ? [ x ? ] ? [nx] n n n

【例 9】设非负整数咧

满足 .

对所有的 i,j

,i+j

证明:存在唯一实数 x,使得对一切 n=1,2, ,1997,

mn ?1

【例 10】设 m, n 为正整数,求等式

? (?1)
i ?0

[

i i ]?[ ] m n

? 0 成立的充要条件.

大显身手
练习 1.整数 ? 10 31

? 的末两位数是_______. ? ?10 ? 3 ? ?
93

练习 2.解方程: [ x] ?{x} ? 2005 x .

练习 3 对任意整数 n(n ? 2) ,证明: ?

? n(n ? 1) ? ? n ? 1? . ? ? 4n ? 2 ? ? ? ? 4 ? ?

2 ? n ? ? n ? 1? ? n ? ? ? 练习 4.证明: ? ? ? ? ? (n ? N ) .将 n 换为正实数 x,等式是否仍成立? ?2? ? 2 ? ? ?4?

练习 5. x ? R ?, n ? N , 证明 : [nx ] ?

?

[ x] [2 x] [3x] [nx ] ? ? ??? . 1 2 3 n

练习 6.设 n 是一个固定的正整数,b(n)是

关于所有正整数 k 的最小值。证明[b(n)]=[

.

练习 7.设 S(x)表示数列 有无穷多个正整数。

,证明方程

有两相异实根

,使得



* 练习 8.求最大的实数 c ,使得对任意的 n ? N ,均有 { 2} ?

c . n

练习 9.求满足下式的所有自然数 a,b:

.

练习 10.确定所有的实数对(a,b)使得 a[bn]=b[an]对一切正整数 n 成立。

练习 11.证明对每个自然数 k,存在无理数 ,使得对任一自然数 m, 练习 12.设 为方程 的最大正根。证明 被 17 整除。

练习 13.(Beatty 定理)设

为正无理数,并且

,则数列

,n=1,2,…,都是

严格递增的,并且

练习 14. 求所有正整数 m,n 使得不等式 对任意实数 都成立。