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2010年陕西省西安市高新第三中学入学摸底数学试卷[1]


2010 年陕西省西安市高新第三中学入学摸底数学 试卷

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一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 2 3 4 1、 (2007?南通) (m ) ?m 等于( ) 9 10 B、m A、m 12 14 C、m D

、m 2、在 RR△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,若 A、4 B、2 C、 D、
2

,则∵A 的正切值是(



3、 (2005?嘉兴)已知关于 x 的一元二次方程 x ﹣2x+α=0 有实根,则实数 α 的取值范围是( A、α≤1 B、α<1 C、α≤﹣1 D、α≥1 4、如图,已知∵BDB 与∵B 互补,∵1=301,∵2=551,则∵DBC 的度数是( )



A、851 B、1051 C、951 D、1251 5、函数 y=2x+4 的图象向右平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位,所得的直线与两坐标轴围成的几何图形的面积是 ( ) A、0 B、16 C、8 D、4 6、关于 x 的方程(x﹣1) (x﹣2)=k 的根的情况是( ) A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、是否有实根由 k 的取值确定 D、没有实数根 7、当 时, 的值( )

A、 B、 C、 D、 8、如图,已知扇形 AOB 的半径为 12,OA⊥OB,C 为 OB 上一点,以 OA 为直径的半圆 O1;和以 BC 为直径的半圆 O2 相切于点 D,则图中阴影部分的面积是( )

A、6π B、10π C、12π D、20π 2 2 9、二次函数 y=﹣x +2(m﹣1)x+2m﹣m 的图象关于 y 轴对称,顶点 A 和它与 x 轴的两个交点 B、C 所构成的△ABC 的面积为( ) A、1 B、2 C、 D、

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10、甲、乙两人分别从相距 25 千米的 A、B 两地同时相向而行.甲步行,每小时行 5 千米,乙骑自行车,每小时行 15 千米,乙到达 A 地后立即原路返回,追上甲为止,他们所行时间 x(小时) ,与离 A 地的距离 y(千米)的函数图 象大致是( )

A、

B、

C、

D、

二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 3 2 11、分解因式 x +x ﹣2x﹣2= _________ . 12、若一次函数 y=2x﹣b 和反比例函数 标为 _________ . 13、相交两圆的半径分别为 ,圆心距为 d,则 d 可取的整数为 _________ . 14、某宾馆要在大厅内主楼梯上铺设地毯,已知主楼梯宽 3 米,其剖面如图所示,计算一下,仅此楼梯需地毯 2 _________ 米 . 的图象有两个交点,且其中一个交点的横坐标为 3,另一个交点的坐

15、如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∵BC,两对角线相交于点 O,∵BOC=1201,梯形的高为 h,则梯形的中位线长为 _________ .

三、解答题(共 4 小题,满分 60 分) 16、如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD=8,∵A=601,∵D=1501,已知四边形的周长为 32,求四边形 ABCD 的面积.

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17、某商店将进价为 100 元的某商品按 120 元的价格出售,可卖出 300 个;若商店在 120 元的基础上每涨价 1 元, 就要少卖 10 个,而每降价 1 元,就可多卖 30 个. (1)求所获利润 y (元)与售价 x(元)之间的函数关系式; (2)为获利最大,商店应将价格定为多少元? (3)为了让利顾客,在利润相同的情况下,请为商店选择正确的出售方式,并求出此时的售价. 18、如图,已知 △ABC 是边长为 4 的等边三角形,AB 在轴上,点 C 在第一象限,AC 与 y 轴交于点 D,点

A 的坐标为(﹣1,0) . (1)求 B、C、D 三点的坐标; 2 (2)抛物线 y=ax +bx+c 经过 B、C、D 三点,求它的解析式; (3)过点 D 作 DD∵AB 交 BC 于 B,若 BD= ,判断点 D 是否在(2)中的抛物线上,说明理由. 19、选做题:下表所示为装运甲乙丙三种蔬菜到 A 地销售的重量及利润,某公司计划装运甲乙丙三种蔬菜到 A 地销 售(每辆汽车按规定满载,而且每辆汽车只能装一种蔬菜) ,公司计划用 24 辆汽车装运甲乙丙三种蔬菜 43 吨到 A 地销售(每类蔬菜不少于一车) ,如何安排装运,可使公司获得最大利润 W,最大利润是多少? 蔬 菜 种 类 甲类 2 5 乙类 1 7 丙类 1.5 4 每辆汽车能装的吨数 每吨蔬菜可获利润(千元)

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答案与评分标准 一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 2 3 4 1、 (2007?南通) (m ) ?m 等于( ) 9 10 A、m B、m 12 14 C、m D、m 考点:幂的乘方与积的乘方;同底数幂的乘法。 分析:根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可. 2 3 4 6 4 10 解答:解: (m ) ?m =m ?m =m . 故选 B. 点评:本题主要考查了幂的有关运算:幂的乘方法则:底数不变指数相乘.同底数幂的乘法法则:底数不变指数相 加. 2、在 RR△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,若 A、4 B、2 C、 D、 ,则∵A 的正切值是( )

考点:锐角三角函数的定义;射影定理。 专题:计算题。 分析:先根据题意画出图形,再根据射影定理求出 BD 的长,由勾股定理求出 AC 的长,再根据锐角三角函数的定义 即可求出∵A 的正切值. 解答:解:如图所示,RR△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,AD=2,BC=4 , ∵△ABC 是直角三角形,∴CD⊥AB 于 D, 2 2 ∴BC =BD(AD+BD) ,即(4 ) =BD(2+BD) ,解得 BD=8, ∴AB=AD+BC=2+8=10, ∵△ABC 是直角三角形, ∴由勾股定理得,AC= ∴Rat∵A= 故选 B. = =2. = =2 ,

点评:本题考查的是锐角三角函数的定义、射影定理及勾股定理,熟记这三个知识点是解答此题的关键. 3、 (2005?嘉兴)已知关于 x 的一元二次方程 x ﹣2x+α=0 有实根,则实数 α 的取值范围是( A、α≤1 B、α<1 C、α≤﹣1 D、α≥1 考点:根的判别式。 分析:在与一元二次方程有关的求值问题中,必须满足下列条件: (1)二次项系数不为零;
2 2



(2)在有实数根下必须满足△=b ﹣4ac≥0. 2 解答:解:因为关于 x 的一元二次方程 x ﹣2x+α=0 有实根, 2 所以△=b ﹣4ac=4﹣4a≥0, 解之得 a≤1. 故选 A 点评:本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.
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4、如图,已知∵BDB 与∵B 互补,∵1=301,∵2=551,则∵DBC 的度数是(



A、851 B、1051 C、951 D、1251 考点:平行线的判定与性质;余角和补角。 专题:计算题。 分析:根据平行线的判定与性质即可得出 DB∵BC,再根据余角与补角即可求解; 解答:解:∵∵BDB 与∵B 互补, ∴DB∵BC, ∴∵BCB+∵CBD=1801, ∵∵1=301,∵2=551, ∴∵DBC=1801﹣301﹣551=951. 故选 C. 点评:本题考查了平行线的判定与性质及余角与补角,属于基础题,关键是正确利用平行线的判定与性质. 5、函数 y=2x+4 的图象向右平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位,所得的直线与两坐标轴围成的几何图形的面积是 ( ) A、0 B、16 C、8 D、4 考点:一次函数图象与几何变换。 分析:先根据横坐标左加右减得到一个解析式,再根据纵坐标上加下减可得到最终的解析式,然后可根据坐标和线 段的关系求出面积. 解答:解:y=2x+4 的图象向右平移 1 个单位得到:y=2(x﹣1)+4=2x+2, 再向上平移 2 个单位得到:y=2x+2+2=2x+4, ∴与 x 轴交点坐标为(﹣2,0) ,与 y 轴交点为(0,4) , 故面积= ×2×4=4. 故选 D. 点评:本题考查一次函数的图象与几何变换,难度不大,关键要注意平移法则. 6、关于 x 的方程(x﹣1) (x﹣2)=k 的根的情况是( ) A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、是否有实根由 k 的取值确定 D、没有实数根 考点:根的判别式。 专题:计算题。 2 2 2 分析:先把方程化为一般形式:x ﹣3x+2﹣k=0,得到 a=1,b=﹣3,c=2﹣k,再计算△=b ﹣4ac=(﹣3) ﹣4×1×(2 ﹣k)=1+4k,由计算结果知道△的值由 k 确定,由此可确定选项. 2 解答:解:方程化为一般形式:x ﹣3x+2﹣k=0, ∵a=1,b=﹣3,c=2﹣k, ∴△=b ﹣4ac=(﹣3) ﹣4×1×(2﹣k)=1+4k, 所以△的值由 k 确定,由此原方程根的情况由 k 确定. 故选 C. 2 2 点评:本题考查了一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0,a,b,c 为常数)根的判别式△=b ﹣4ac.当△>0,方程有两 个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
2 2

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7、当

时,

的值(



B、 A、 C、 D、 考点:二次根式的化简求值。 专题:计算题。 分析:由二次根式的性质,将 x 的值代入原式化简即可. 解答:解: ∴原式= , ﹣

. = 故选 D. 点评:此题考查了二次根式的化简求值,注意符号问题,要细心. 8、如图,已知扇形 AOB 的半径为 12,OA⊥OB,C 为 OB 上一点,以 OA 为直径的半圆 O1;和以 BC 为直径的半圆 O2 相切于点 D,则图中阴影部分的面积是( )

A、6π B、10π C、12π D、20π 考点:相切两圆的性质;扇形面积的计算。 专题:计算题。 分析:要求阴影的面积,扇面 AOB 减去两半圆面积就是,半圆 O1 半径已知是 6,只要求得半圆 O2 的半径即可,连 接 O1O2,因为 OA⊥OB,所以由勾股定理 OO1 +OO2 =O1O2 可得 r=4,所以阴影面积= π12 ﹣ π6 ﹣ π4 =10π. 解答:解:如图所示
2 2 2 2 2 2

连接 O1O2,设 BC=2r,AO=2R, ∵半圆 O1,半圆 O2 相切, ∴O1O2 过 D 点,O1O2=6+r, ∵OA⊥OB, ∴OO1 +OO2 =O1O2 , 2 2 2 ∴R +(12﹣r) =(6+r) , ∴r=4, 所以阴影面积= π×12 ﹣ π×6 ﹣ π×4 =10π.
2 2 2 2 2 2

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点评:本题考查了相切圆的性质,扇面面积的计算,以及勾股定理的运用,同学们应熟练掌握. 2 2 9、二次函数 y=﹣x +2(m﹣1)x+2m﹣m 的图象关于 y 轴对称,顶点 A 和它与 x 轴的两个交点 B、C 所构成的△ABC 的面积为( ) A、1 B、2 C、 D、

考点:抛物线与 x 轴的交点;二次函数的性质。 专题:计算题;函数思想;方程思想。 2 2 分析:由于二次函数 y=﹣x +2(m﹣1)x+2m﹣m 的图象关于 y 轴对称,由此得到 2(m﹣1)=0,解方程即可求出 m,然后利用顶点公式和 x 轴的两个交点坐标特点即可求出 A、B、C 的坐标,接着根据坐标求出面积. 2 2 解答:解:∵二次函数 y=﹣x +2(m﹣1)x+2m﹣m 的图象关于 y 轴对称, ∴2(m﹣1)=0, ∴m=1, 2 ∴y=﹣x +1, ∴顶点 A 坐标为(0,1) , 与 x 轴的两个交点 B、C 坐标为(1,0) (﹣1,0) , ∴△ABC 的面积为 ×2×1=1. 故选 A. 点评:此题主要考查了二次函数的性质及于 x 轴交点坐标特点,解题关键是各类函数图象的图象特征需注意在做题 过程中加以理解应用. 10、甲、乙两人分别从相距 25 千米的 A、B 两地同时相向而行.甲步行,每小时行 5 千米,乙骑自行车,每小时行 15 千米,乙到达 A 地后立即原路返回,追上甲为止,他们所行时间 x(小时) ,与离 A 地的距离 y(千米)的函数图 象大致是( )

A、

B、

C、 考点:函数的图象。 专题:数形结合。

D、

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分析:根据有实际意义的函数图象都在第一象限可排除 2 个选项,在剩余选项里找到有 2 次相遇的函数图象即可. 解答:解:∵时间和路程不会是负数,所以可排除 B、D; 易得甲和乙有 2 次相遇,那么表示甲和乙的函数图象将有 2 个交点, 故选 A. 点评:本题考查利用函数的图象解决实际问题;正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解决本题的关键;用到的 知识点为:有实际意义的函数图象均在第一象限内. 二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 11、分解因式 x +x ﹣2x﹣2= 考点:实数范围内分解因式;因式分解-分组分解法。 专题:计算题。 分析:当被分解的式子是四项时,应考虑运用分组分解法进行分解.x +x 可提公因式,分为一组;﹣2x﹣2 可提公 因式,分为一组. 3 2 解答:解:x +x ﹣2x﹣2 2 =x (x+1)﹣2(x+1) 2 =(x+1) ﹣2) (x = . . 故答案为: 点评:本题考查分组分解法分解因式,先把多项式的四项按系数进行分组,然后提取公因式,运用平方差公式进行 分解,分解因式要彻底,直到不能再分解为止. 12、若一次函数 y=2x﹣b 和反比例函数 的图象有两个交点,且其中一个交点的横坐标为 3,另一个交点的坐
3 2 3 2



标为 (﹣1,﹣6) . 考点:反比例函数与一次函数的交点问题。 专题:数形结合。 分析:把 x=3 代入解析式,组成方程组,即可求出纵坐标和 b 的值. 解答:解:把 x=3 代入一次函数 y=2x﹣b 和反比例函数 得,



①﹣②得,6﹣b﹣

=0,

解得 b=4, 将 b=4 代入①得 y=2, 于是一次函数解析式为 y=2x﹣4, 反比例函数解析式为 y= ,

将 y=2x﹣4 和 y= 组成方程组得



解得





所以交点的坐标为(﹣1,﹣6)(3,2) , . 故答案为: (﹣1,﹣6) . 点评:此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,要明确,方程组的解就是组成方程组的两个函数图象的交点 坐标.
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13、相交两圆的半径分别为 ,圆心距为 d,则 d 可取的整数为 5 . 考点:圆与圆的位置关系。 专题:计算题。 分析:由两圆相交可得圆心距小于两圆半径之和,大于两圆半径之差,据此求解. 解答:解:∵两圆相交, )﹣( )<d<( )+( ) , ∴( 即 2 <d<2 , ∴d 可取的整数为 5. 故答案为 5. 点评:本题主要是考查圆与圆的位置关系与数量关系间的联系.此类题为中考热点,需重点掌握. 14、某宾馆要在大厅内主楼梯上铺设地毯,已知主楼梯宽 3 米, 其剖面如图所示, 计算一下, 仅此楼梯需地毯 10.8 2 米 .

考点:平移的性质。 专题:应用题。 分析:地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高,再由主楼梯宽 3 米可得出地毯的面积. 解答:解:由题意得:地摊的长为:1.2+2.4=3.6m, 2 ∴地摊的面积=3.6×3=10.8 米 . 故答案为:10.8. 点评:本题考查平移性质的实际运用,难度不大,注意先求出地毯的长度. 15、如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∵BC,两对角线相交于点 O,∵BOC=1201,梯形的高为 h,则梯形的中位线长为 h .

考点:梯形中位线定理。 专题:计算题。 分析:题中仅知∵BOC=1201,可设梯形 ABCD 的上下底分别为 a,b,高为:h,根据梯形中位线定理即可解答. 解答:解:如图作辅助线,OB⊥AD,OD⊥BC,设梯形 ABCD 的上下底分别为 a,b,高为:h,则 h=h1+h2, ∵∵BOC=1201,梯形 ABCD 为等腰梯形, 可得:∵BAO=301,∵OBC=301, 在△BAO 中,Rat301= = ,可得:h1= a,①

在△OBD 中,Rat301=

=

,可得:h2=

,②

①②两式相加得:h= ∴中位线= h,



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点评:本题考查了梯形的中位线定理,难度适中,关键作出辅助线灵活运用梯形中位线定理. 三、解答题(共 4 小题,满分 60 分) 16、如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD=8,∵A=601,∵D=1501,已知四边形的周长为 32,求四边形 ABCD 的面积.

考点:解直角三角形;勾股定理。 专题:计算题。 分析:连接 BD,易证△ABD 是等边三角形,△BCD 是直角三角形,因而只要求出 CD 与 BD 的长就可以求出结果. 解答:解:连接 BD, ∵AB=AD=8,∵A=601, 则△ABD 是等边三角形,边长是 8, 因而△ABD 的面积是 =16 ,

∵∵ADC=1501 ∴∵CDB=1501﹣601=901, 则△BCD 是直角三角形, 又∵四边形的周长为 32∴CD+BC=32﹣8﹣8=16, 设 CD=x,则 BC=16﹣X, 2 2= 2 根据勾股定理得到 8 +x (16﹣x) 解得, x=6∴BC=10, ∴△BCD 的面积是 ×6×8=24, S 四边形 ABCD=S△ABD+S△BDC=16 +24.

点评:求不规则图形的面积可以转化为求一些规则图形的面积的和或差的问题. 17、某商店将进价为 100 元的某商品按 120 元的价格出售,可卖出 300 个;若商店在 120 元的基础上每涨价 1 元, 就要少卖 10 个,而每降价 1 元,就可多卖 30 个. (1)求所获利润 y (元)与售价 x(元)之间的函数关系式; (2)为获利最大,商店应将价格定为多少元? (3)为了让利顾客,在利润相同的情况下,请为商店选择正确的出售方式,并求出此时的售价. 考点:二次函数的应用。 分析: (1)以 120 元为基础,当涨价时,大于 120 元,当降价时,小于 120 元,利用每个商品的利润×卖出数量=总 利润分别写出函数关系式; (2)利用配方法求得两个函数解析式的最大值,比较得出答案;
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(3)两个函数联立方程,求得方程的解即可解答. 解答:解: (1)当 x>120 时, y1=﹣10x +2500x﹣150000; 2 当 100<x<120 时,y2=﹣30x +6900x﹣390000; (2)y1=﹣10x +2500x﹣150000=﹣10(x﹣125) +6250; 2 2 y2=﹣30x +6900x﹣390000=﹣30(x﹣115) +6750; 6750>6250, 所以当售价定为 115 元获得最大为 6750 元; (3)由 y1=y2, 2 2 得﹣10x +2500x﹣150000=﹣30x +6900x﹣390000, 解得 x1=120,x2=100(不合题意,舍去) ; 答:此时的售价为 120 元. 点评:此题考查利用商品的利润×卖出数量=总利润列出函数解析式,配方法求最大值以及一元二次方程的应用. 18、如图,已知 △ABC 是边长为 4 的等边三角形,AB 在轴上,点 C 在第一象限,AC 与 y 轴交于点 D,点
2 2 2

A 的坐标为(﹣1,0) . (1)求 B、C、D 三点的坐标; 2 (2)抛物线 y=ax +bx+c 经过 B、C、D 三点,求它的解析式; (3)过点 D 作 DD∵AB 交 BC 于 B,若 BD= ,判断点 D 是否在(2)中的抛物线上,说明理由. 考点:待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征;等边三角形的性质。 专题:综合题;待定系数法。 分析: (1)理由等边三角形的性质可得 B(3,0) ,C(1,2 ) ,D(0, ) ; 2 (2)设 y=ax +bx+c,然后把 B(3,0) ,C(1,2 ) ,D(0, )代入解析式得到关于 a,b,c 的三元一次方程, 解方程即可. (3)由 DD∵AB,而 D 点为 AC 的中点,得到 DB 为△ABC 的中位线,得 DB=2,则 DD= ,则 D( , 点的坐标代入(2)的解析式,满足解析式说明 D 在(2)中的抛物线上. 解答:解: (1)∵∵A=601,OA=1,OD= OA= ,所以有 D(0, ) ; 由△ABC 是边长为 4 的等边三角形,所以 C(1,2 ) ,B(3,0) . 所以 B(3,0) ,C(1,2 ) ,D(0, ) ; (2)设 y=ax +bx+c, 把 B(3,0) ,C(1,2 9a+3b+c=0①, a+b+c=2 ②, c= ③,
2

) ,然后把 D

) ,D(0,

)分别代入解析式得,

解由①②③组成的方程组得,a=﹣

,b=

,c=



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所以抛物线的解析式为:y=﹣

x+

2

x+



(3)点 D 在(2)中的抛物线上.理由如下: ∵DD∵AB,而 D 点为 AC 的中点, ∴DB 为△ABC 的中位线, ∴DB=2,则 DD= , ∴D( , ) . x+
2

令 x= ,则 y=﹣

x+

=



所以点 D 在(2)中的抛物线上. 2 点评:本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式.设二次函数的解析式为 y=ax +bx+c,通过解方程组确定 a, b,c 的值.也考查了等边三角形的性质和中位线的性质. 19、选做题:下表所示为装运甲乙丙三种蔬菜到 A 地销售的重量及利润,某公司计划装运甲乙丙三种蔬菜到 A 地销 售(每辆汽车按规定满载,而且每辆汽车只能装一种蔬菜) ,公司计划用 24 辆汽车装运甲乙丙三种蔬菜 43 吨到 A 地销售(每类蔬菜不少于一车) ,如何安排装运,可使公司获得最大利润 W,最大利润是多少? 蔬 菜 种 类 甲类 2 5 乙类 1 7 丙类 1.5 4 每辆汽车能装的吨数 每吨蔬菜可获利润(千元)

考点:一次函数的应用;三元一次方程组的应用。 分析:设装运甲,乙,丙三种蔬菜的汽车分别为 x 辆,y 辆,z 辆,根据题意可列方程组 示出 x,表示出利润和 z 的函数式可求最大利润. 解答:解:设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为 x 辆、y 辆、z 辆,依题意得 , (x、y、z 为正整数) ,用 z 表

解得

,①

利润: 由①可知为 z 正整数,且 x 与 y 也为正整数, 所以当 z=2 时,x=19﹣1=18,y=5﹣1=4, W 最大=225﹣ z 最小=225﹣ ×2=220 千元.



故装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为 18 辆、4 辆、2 辆时,可使公司获得最大利润 W,最大利润是 220 千元. 点评:本题关键是列出三元一次方程组后,用其中一个来表示另外两个,从而得到函数关系式求解.

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参与本试卷答题和审题的老师有: leikut;zhjh;hatxue;fzf;xiaoliu007;gsls;HLitg;latyuemetg;73zzx;lyj;HJJ;CJX;workholic;ZJX;lf2-9;算 术;Liuzhx;latchotg。 (排名不分先后) 菁优网 2012 年 1 月 17 日

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