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巩固练习


【巩固练习】 一、选择题
1.不等式 9x2+6x+1≤0 的解集是( A. ? x | x ? ? ? C. ? 2.下列不等式中,解集是 R 的是( A.x2+4x+4>0 ) B. x2 ? 0 D.-x2+2x-1>0 ) B. ? x | ?

? ?

1? 3?

? ?
<

br />1 1? ?x? ? 3 3? 1? 3?

D. ? x | x ? ? ?

? ?

?1? C. ? ? ? 1 ? 0 ?2?
3.不等式 ax2+5x+c>0 的解集为 {x | A.a=6,c=1 B.a=-6,c=-1

x

1 1 ? x ? } ,则 a,c 的值为( 3 2
C.a=1,c=1



D.a=-1,c=-6 )

4.若 0<t<1,则不等式 ( x ? t )( x ? ) ? 0 的解集为( A. ? x | ? x ? t ? C. ? x | x ? 或 x ? t ?

1 t

? ?

1 t

? ? ? ?
1 1 ?x? } 3 2

B. ? x | x ?

? ?

1 ? 或 x ? t? t ? 1? t?


? ?

1 t

D. ? x | t ? x ? ?

? ?

5.不等式 x2-ax-b<0 的解集是{x|2<x<3},则 bx2-ax-1>0 的解集是( A. {x | 2 ? x ? 3} B. { x | C. {x | ?

1 1 ?x?? } 2 3

D. {x | ?3 ? x ? ?2} )

6. 关于 x 的不等式(1+m)x2+mx+m<x2+1 对 x∈R 恒成立,则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,0) C.(-∞,0] 二、填空题 7.如果 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的取值范围是________. B.(-∞,0)∪ ?

?3 ? , ?? ? ?4 ?
? 4 ? , ?? ? ? 3 ?

D.(-∞,0]∪ ? ?

8.如果关于 x 的方程 x2-(m-1)x+2-m=0 的两根为正实数,则 m 的取值范围是________. 9. 函数 f ( x) ?

1 ax ? 3ax ? 1
2

的定义域是 R,则实数 a 的取值范围为________. .

10.若关于 x 的不等式 ax 2 ? 6 x ? a 2 ? 0 的解集为 (1, m) ,则实数 m 等于 三、解答题 11.解下列不等式 (1)2x2+7x+3>0; (2)-x2+8x-3>0;

12. 不等式 mx2+1>mx 的解集为实数集 R,求实数 m 的取值范围. 13. 解关于 x 的不等式 m2x2+2mx-3<0(其中 m∈R).

14.已知 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 , (1)如果对一切 x∈R,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)如果对 x∈[-3,1],f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 15.解下列关于 x 的不等式 (ax ? 1)(x ? 1) ? 0 ;

【答案与解析】
1. 【答案】 D 【解析】 9x2+6x+1=(3x+1)2≤0 ∴ x ? ? ,故选 D.

1 3

2. 【答案】 C 【解析】 ∵x2+4x+4=(x+2)2≥0, ∴A 不正确; ∵

x 2 ?| x |? 0 ,∴B 不正确;
x x

?1? ?1? ∵ ? ? ? 0 ,∴ ? ? ? 1 ? 1 ? 0 (x∈R),故 C 正确; ?2? ?2?
∵-x2+2x-1>0 ∴x2-2x+1=(x-1)2<0, ∴D 不正确. 3.【答案】B 【解析】由题意可知方程 ax 2 ? 5 x ? c ? 0 的两根为 x ?

1 1 和 x ? ,由韦达定理得: 2 3

1 1 c 1 1 5 ? ? , ? ? ? ,求得 a=-6,c=-1 2 3 a 2 3 a
4. 【答案】 D 【解析】 ∵0<t<1,∴ ? 1 ,∴ t ? ∴ ( x ? t )( x ? ) ? 0 ? t ? x ? .

1 t

1 t

1 t

1 t

5.【答案】C 【解析】由题意得,方程 x2-ax-b=0 的两根为 x=2,x=3,由韦达定理得 2 ? 3 ? a , 2 ? 3 ? ?b ,求得

a ? 5 ,b=-6 ,从而解得 bx2-ax-1>0 的解集为 {x | ?

1 1 ?x?? } 2 3

6. 【答案】 C 【解析】 原不等式等价于 mx2+mx+m-1<0 对 x∈R 恒成立, 当 m=0 时,0· x2+0· x-1<0 对 x∈R 恒成立. 当 m≠0 时,由题意,得

?m ? 0 ?m ? 0 ?m ? 0 ? ?? 2 ?? 4 ?m?0. ? 2 m ? 0 或 m ? ? ? m ? 4 mm ? 1 ? 0 3 m ? 4 m ? 0 ? ? ? 3 ?
综上,m 的取值范围为(-∞,0]. 7. 【答案】 [0,4) 【解析】 由题意知 ?

?a ? 0
2 ? ? ? ? a ? 4a ? 0

,∴0<a<4.

当 a=0 时,A={x|1<0}=?,符合题意.

8. 【答案】 {m | ?1 ? 2 2 ? m ? 2} 【解析】由题意得:

?? ? 0 ? ? x1 ? x2 ? 0 ,解得 ?1 ? 2 2 ? m ? 2 ?x x ? 0 ? 1 2

9. 【答案】

? 4? 0, ? ? ? 9?

【解析】 由已知 f(x)的定义域是 R. 所以不等式 ax2+3ax+1>0 恒成立. (1)当 a=0 时,不等式等价于 1>0,显然恒成立; (2)当 a≠0 时,则有 ? 由(1)(2)知, 0 ? a ?

?a ? 0 ?a ? 0 ?a ? 0 4 ? . ?? ? ? 0 ? a ? ? ? 2 9 ?? ? 0 ?(3a) ? 4a ? 0 ?a(9a ? 4) ? 0 ?
4 . 9

即所求 a 的取值范围是 ?0, ? .

? 4? ? 9?

10.【答案】2

6 ? 1? m ? ? ? a 【解析】由题意,得 1,m 是关于 x 的方程 ax 2 ? 6 x ? a 2 ? 0 的两根,则 ? 解得 2 a ?1 ? m ? ? a ?
m ? 2 或m ? ?3 (舍去)

11. 【解析】 (1)因为 Δ=72-4× 2× 3=25>0, 所以方程 2x2+7x+3=0 有两个不等实根 x1=-3, x2 ? ? 又二次函数 y=2x2+7x+3 的图象开口向上, 所以原不等式的解集为 ? x | x ? ? 或 x ? ?3? . (2)因为 Δ=82-4× (-1)× (-3)=52>0, 所以方程-x2+8x-3=0 有两个不等实根

1 . 2

? ?

1 2

? ?

x1 ? 4 ? 13 , x2 ? 4 ? 13 .
又二次函数 y=-x2+8x-3 的图象开口向下, 所以原不等式的解集为 x | 4 ? 13 ? x ? 4 ? 13 .

?

?

12.【解析】 当 m=0 时,不等式即为 1>0,满足条件. 当 m≠0 时,若不等式的解集为 R,则应有 ? 综上,m 的取值范围是{m|0≤m<4}. 13.【解析】 当 m=0 时,原不等式可化为-3<0,其对一切 x∈R 都成立, 所以原不等式的解集为 R. 当 m≠0 时,m2>0, 由 m2x2+2mx-3<0,得(mx-1)(mx+3)<0, 即? x ?

? ?m ? 0
2 ? ?? ? (?m) ? 4m ? 0

, 解得 0<m<4.

? ?

1 ?? 3? ?? x ? ? ? 0 , m ?? m?
1 3 ?? , m m

若 m>0,则

所以原不等式的解集为 ? ? 若 m<0,则

? 3 1? , ?; ? m m?

1 3 ?? , m m

所以原不等式的解集为 ?

3? ?1 ,? ? . ?m m? ? 3 1? , ?; ? m m? 3? ?1 ,? ? . ?m m?

综上所述,当 m=0 时,原不等式的解集为 R; 当 m>0 时,原不等式的解集为 ? ? 当 m<0 时,原不等式的解集为 ?

14. 【解析】 (1)由题意得:△= [2(a ? 2)]2 ?16 ? 0 ,即 0<a<4; (2)由 x∈[-3,1],f(x)>0 得,有如下两种情况:

?2 ? a ? [?3,1] ?2 ? a ? [?3,1] ? 或? ? f ( ?3) ? 0 ? f (2 ? a) ? 0 ? f (1) ? 0 ?
综上所述: a ? ? ? , 4 ? .

? 1 ? 2

? ?

15.【解析】 当 a=0 时,原不等式即为-(x+1)>0,解得 x<-1; 当 a≠0 时,原不等式为关于 x 的一元二次不等式, 方程(ax-1)(x+1)=0 有两个实数根 x1 ? (Ⅰ)当 x1 ? x2 ,即

1 和 x2 ? ?1 . a

1 ? ?1 , ? 1 ? a ? 0 时, a

函数 f ( x) ? (ax ? 1)(x ? 1) 的图象开口向下,与 x 轴有两个交点,其简图如下:

故不等式 (ax ? 1)(x ? 1) ? 0 的解集为 ? ,?1? ; (Ⅱ)当 x1 ? x2 ,即

?1 ?a

? ?

1 ? ?1, a ? ?1 时, a

函数 f ( x) ? (ax ? 1)(x ? 1) 的图象开口向下,与 x 轴有一个交点,其简图如下:

故不等式 (ax ? 1)(x ? 1) ? 0 的解集为空集; (Ⅲ)当 x1 ? x2 ,即

1 ? ?1 , a ? ?1 或 a ? 0 , a

①若 a ? ?1 ,函数 f ( x) ? (ax ? 1)(x ? 1) 的图象开口向下,与 x 轴有两个交点,其简图如下:

故不等式 (ax ? 1)(x ? 1) ? 0 的解集为 ? ?1, ? ; ②若 a>0,数 f ( x ) ? (ax ? 1)( x ? 1) 的图象开口向上,与 x 轴有两个交点,其简图如下:

? ?

1? a?

故不等 (ax ? 1)(x ? 1) ? 0 的解集为 ( ??, ?1) 综上所述, 当 a<-1 时,不等式的解集为 ? ? 1, ? ; 当 a=-1 时,不等式的解集为空集; 当-1<a<0 时,不等式的解集为 ?

?1 ? ? , ?? ? ; ?a ?

? ?

1? a?

?1 ? ,?1? ; ?a ?

当 a=0 时,不等式的解集为 (??,?1) ; 当 a>0 时,不等式的解集为 (??,?1) ? ? ,?? ? .

?1 ?a

? ?


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