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2015-2016年北京石景山高三上学期期末数学(理科)试题及答案


2015-2016 年北京石景山高三上学期期末理科数学试题及答案

石景山区 2015—2016 学年第一学期期末考试试卷

高三数学(理),2016.1
第一部分(选择题
共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1

.设集合 M ? {0,1, 2} , N ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ,则 M ? N =( A. {1} C. ?0,1? B. {2} D. {1, 2} )

? x ? y ? 2, ? 2.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1, , ?y ? 0 ?
则 z ? 2 x ? y 的最大值为( A. 0 C. 3 B. 2 D. 4 ) )

开始

S ? 0, i ? 1

i?4
否 i 是偶数 是





3.右面的程序框图表示算法的运行结果是( A. ?2 C. ?1 B. 2 D. 1

S ? S ?i

S ? S ?i i ? i ?1

4.已知数列 ?an ? 是等差数列, a3 ? 8 , a4 ? 4 , 则前 n 项和 Sn 中最大的是( A. S3 C. S5 或 S6 )

输出 S

结束

B. S4 或 S5 D. S6

5. “ ab ? 4 ”是直线 2 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 bx ? 2 y ? 2 ? 0 平行的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件



6.若曲线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上只有一个点到其焦点的距离为 1,则 p 的值为( A. 4 B. 3 C. 2 D. 1



7. 如图, 点 O 为正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 的中心, 点 E 为面 B?BCC ? 的中心, 点 F 为 B?C ? 的中点,则空间四边形 D?OEF 在该正方体的面上的正投影不可能 是 ... ( )

8.如图,在等腰梯形 ABCD 中, AB ?

1 CD , E , F 分别是底边 AB, CD 的中点,把四边形 2

BEFC 沿直线 EF 折起,使得面 BEFC ? 面 ADFE ,若动点 P ? 平面 ADFE ,设 PB ,PC
与平面 ADFE 所成的角分别为 ?1 , ? 2 ( ?1 , ? 2 均不为 0 ) . 若 ?1 ? ?2 , 则动点 P 的轨迹为( C A.直线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线 E A B E A B )

C

F

D

F

P

D

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在复平面内,复数

共 110 分)

2i 对应的点到原点的距离为_________. 1? i

10. ? x ?

? ?

1? (用数字作答) ? 的二项展开式中 x 项的系数为_________. x?

5

11.在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . a ? 15 , b ? 10 , A ? 60 ,
?

则 cos B ? _____________.

12.在极坐标系中,设曲线 ? ? 2 和 ? cos ? ? 1相交于点 A, B ,则 AB =___________.

13. 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若 3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不 同排法的种数是________种.(用数字作答)

14.股票交易的开盘价是这样确定的:每天开盘前,由投资者填报某种股票的意向买价或意 向卖价以及相应的意向股数, 然后由计算机根据这些数据确定适当的价格, 使得在该价位上 能够成交的股数最多. (注:当卖方意向价不高于开盘价,同时买方意向价不低于开盘价, 能够成交) 根据以下数据,这种股票的开盘价为________元,能够成交的股数为___________. 卖家意向价 (元) 2.1 意向股数 200 2.2 400 2.2 300 2.3 500 2.3 300 2.4 100 2.4 100

买家意向价 (元) 2.1 意向股数 600

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 sin 2 x, x ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期与单调增区间; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [0,

? ] 上的最大值与最小值. 4

16. (本小题共 13 分) 某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况.从全体学生中,随机抽取 12 名进行体质健康测试,测试成绩(百分制)以茎叶图形式表示如下: 成绩 5 6 7 8 9 2 5 2 6 0

8 6 8

6

7

7

8

根据学生体质健康标准,成绩不低于 76 的为优良. (Ⅰ)写出这组数据的众数和中位数; (Ⅱ)将频率视为概率.根据样本估计总体的思想,在该校学生中任选 3 人进行体质健 康测试,求至少有 1 人成绩是“优良”的概率; (Ⅲ)从抽取的 12 人中随机选取 3 人,记 ? 表示成绩“优良”的学生人数,求 ? 的分布列 及期望.

17. (本小题共 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD , E 为 PC 中点,底
? 面 ABCD 是直角梯形, AB // CD , ?ADC ? 90 , AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 .

(Ⅰ)求证: BE // 平面 PAD ; (Ⅱ)求证: BC ? 平面 PBD ; (Ⅲ)在线段 PC 上是否存在一点 Q ,使得二面角 Q ? BD ? P 为 45 ?
?

若存在,求

PQ PC

的值;若不存在,请述明理由.

P E

D

C

A

B

18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ?

a ( a ? R , e 为自然对数的底数). ex

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值; (Ⅲ)当 a ? 1 时,若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ( x) 没有公共点,求 k 的最大值.

19.(本小题共 14 分)

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的焦距为 4 ,其短轴的两个端点与长轴的一个端 a b
点构成正三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 设 F 为椭圆 C 的左焦点,M 为直线 x ? ?3 上任意一点, 过 F 作 MF 的垂线交椭圆 C 于点 P , Q .证明: OM 经过线段 PQ 的中点 N .(其中 O 为坐标原点)

20. (本小题共 13 分) 给定一个数列 ?an ? ,在这个数列里,任取 m (m ? 3, m ? N * ) 项,并且不改变它们在数 列 ?an ? 中的先后次序,得到的数列称为数列 ?an ? 的一个 m 阶子数列. 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 数列 ?an ? 的一个 3 阶子数列. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)等差数列 b1 , b2 , ... , bm 是 ?an ? 的一个 m (m ? 3, m ? N ) 阶子数列,且
*

1 * ( n ? N , a 为常数) ,等差数列 a2 , a3 , a6 是 n?a

b1 ?

1 ( k 为常数, k ? N * , k ? 2) ,求证: m ? k ? 1 ; k

(Ⅲ)等比数列 c1 , c2 , ... , cm 是 ?an ? 的一个 m (m ? 3, m ? N * ) 阶子数列, 求证: c1 ? c2 ? ...... ? cm ? 2 ?

1 2
m ?1



石景山区 2015—2016 学年第一学期期末考试

高三数学(理科)参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 B 5 B 6 C 7 D 8 C

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
题号 答案 9 10
?5

11

12

13 72

14 2.2,600

2

6 3

2 3

三、解答题共 6 小题,共 80 分.
15. (本小题共 13 分) 解: f ( x) ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 1

? 2(

3 1 π sin 2 x ? cos 2 x) ? 1 ? 2sin(2x ? ) ? 1 . 2 2 6

………………2 分 ………………4 分

(Ⅰ) f ( x) 的最小正周期为 T ? 令?

2π ? π. 2

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? , k ? Z ,解得 ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? ,

所以函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ?

?

, k? ? ], k ? Z . ………………7 分 3 6

?

(Ⅱ)因为 0 ? x ?

?
4

,所以

? ? 2? 1 ? ? 2x ? ? ,所以 ? sin(2 x ? ) ? 1 , 6 6 3 2 6
………………9 分

于是 1 ? 2sin(2 x ?

?
6

) ? 2 ,所以 0 ? f ( x) ? 1 .

当且仅当 x ? 0 时, f ( x) 取最小值 f ( x)min ? f (0) ? 0 .

………………11 分

当且仅当 2 x ?

?
6

?

?
2

,即 x ?

?
6

时最大值 f ( x) max ? f ( ) ? 1 . ………13 分

?

6

16. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)这组数据的众数为 86,中位数为 86; (Ⅱ)抽取的 12 人中成绩是“优良” 的频率为

………………2 分

3 , 4 3 , 4
………………4 分

故从该校学生中任选 1 人,成绩是“优良”的概率为

设“在该校学生中任选 3 人,至少有 1 人成绩是‘优良’的事件”为 A,
0 则 P( A) ? 1 ? C3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? 63 ; 4 64 64 (Ⅲ)由题意可得, ? 的可能取值为 0,1,2,3.
3 C3 C1C 2 1 27 ? , P(? ? 1) ? 9 3 3 ? , 3 C12 220 C12 220

? ?

3

………………6 分 ………………7 分

P(? ? 0) ?

P(? ? 2) ?

1 3 C92C3 C9 108 27 84 21 ? = P ( ? ? 3) ? ? = , , 3 3 C12 220 55 C12 220 55

………………11 分

所以 ? 的分布列为 ? 0

1
27 220

2
27 55

3
21 55

P
E? ? 0 ?

1 220

1 27 27 21 9 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? . 220 220 55 55 4

………………13 分

17. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)取 PD 的中点 F ,连结 EF , AF ,因为 E 为 PC 中点,所以 EF // CD , 且 EF ?

1 CD ? 1 ,在梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? 1 , 2

所以 EF // AB , EF ? AB ,四边形 ABEF 为平行四边形, 所以 BE // AF , 因为 BE ? 平面 PAD , AF ? 平面 PAD , 所以 BE // 平面 PAD . ???????4 分 ???????2 分

(Ⅱ)平面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,所以 PD ? 平面 ABCD , 所以 PD ? AD . ???????5 分

如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 A(1,0,0), B(1,1,0), C (0, 2,0), P(0,0,1). ???????6 分

??? ? ??? ? DB ? (1,1,0) , BC ? (?1,1,0) , ??? ? ??? ? 所以 BC ? DB ? 0 , BC ? DB ,
因为 PD ? BD ? D 所以 BC ? 平面 PBD .

?????8 分

又由 PD ? 平面 ABCD ,可得 PD ? BC ,

???????9 分 ???????10 分

??? ? (Ⅲ)平面 PBD 的法向量为 BC ? (?1,1,0) , ??? ? ??? ? ??? ? PC ? (0, 2, ?1) ,设 PQ ? ? PC , ? ? (0,1)
所以 Q(0, 2? ,1 ? ? ) , 设平面 QBD 的法向量为 n = (a, b, c) ,

?????11 分 P F D A z Q E y C

??? ? ???? DB ? (1,1,0) , DQ ? (0, 2?,1 ? ?) , ???? ??? ? 由 n ? DB ? 0 , n ? DQ ? 0 ,得

?a ? b ? 0 , ? ?2?b ? (1 ? ? )c ? 0
令b ?1 所以 n = ( ?1,1, x

B

2? ), ? ?1
2 2? 2 2 2?( ) ? ?1
2 ? 1.
?

???????12 分

??? ? n ? BC 所以 cos 45? ? ??? ? ? n BC
注意到 ? ? (0,1) ,得 ? ?

?

2 , 2

???????13 分

所以在线段 PC 上存在一点 Q ,使得二面角 Q ? BD ? P 为 45 , 此时

PQ PC

? 2 ?1

???????14 分

18.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)由 f ? x ? ? x ? 1 ?

a a ,得 f ? ? x ? ? 1 ? x . x e e

………………2 分

又曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线平行于 x 轴, 得 f ? ?1? ? 0 ,即 1 ? (Ⅱ) f ? ? x ? ? 1 ?

?

?

a ? 0 ,解得 a ? e . e

………………4 分

a , ex

①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 为 ? ??, ?? ? 上的增函数, 所以函数 f ? x ? 无极值. ②当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 e x ? a , x ? ln a . ………………6 分

x ? ? ??, ln a ? , f ? ? x ? ? 0 ; x ? ? ln a, ?? ? , f ? ? x ? ? 0 .
所以 f ? x ? 在 ? ??, ln a ? 上单调递减,在 ? ln a, ?? ? 上单调递增, 故 f ? x ? 在 x ? ln a 处取得极小值,且极小值为 f ? ln a ? ? ln a ,无极大值. 综上,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 无极小值 当 a ? 0 , f ? x ? 在 x ? ln a 处取得极小值 ln a ,无极大值. (Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ? ………………9 分

1 ex 1 , ex

令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? kx ? 1? ? ?1 ? k ? x ?

则直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ? x ? 没有公共点, 等价于方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解. 假设 k ? 1 ,此时 g ? 0 ? ? 1 ? 0 , g ? ………………10 分

1 ? 1 ? ? ? ?1 ? 1 ? 0 , ? k ?1 ? e k ?1

又函数 g ? x ? 的图象连续不断 ,由零点存在定理 , 可知 g ? x ? ? 0 在 R 上至少有一解 ,与 “方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解”矛盾,故 k ? 1 . 又 k ? 1 时, g ? x ? ? ………………12 分

1 ? 0 ,知方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解. ex
………………13 分

所以 k 的最大值为 1 . 解法二: (Ⅰ)(Ⅱ)同解法一. (Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ?

1 . ex

直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ? x ? 没有公共点, 等价于关于 x 的方程 kx ? 1 ? x ? 1 ?

1 在 R 上没有实数解,即关于 x 的方程: ex

? k ? 1? x ?

1 ex

(*) ……………10 分 ………………11 分

在 R 上没有实数解.

1 ? 0 ,在 R 上没有实数解. ex 1 ②当 k ? 1 时,方程(*)化为 ? xe x . k ?1
①当 k ? 1 时,方程(*)可化为 令 g ? x ? ? xe ,则有 g ? ? x ? ? ?1 ? x ? e .
x x

令 g ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?1 , 当 x 变化时, g ? ? x ? 的变化情况 如下表:

x

? ??, ?1?
?

?1

? ?1, ?? ?
?
?

g? ? x?
g ? x?
1 e

0
? 1 e

?

当 x ? ?1 时, g ? x ?min ? ? ,同时当 x 趋于 ?? 时, g ? x ? 趋于 ?? , 从而 g ? x ? 的取值范围为 ? ? , ?? ? .

? 1 ? e

? ?

所以当

1 1? ? ? ? ??, ? ? 时,方程(*)无实数解, 解得 k 的取值范围是 ?1 ? e,1? . k ?1 ? e?
………………13 分

综上,得 k 的最大值为 1 .

19. (本小题共 14 分) (Ⅰ)解:由已知可得 ?
2

? ?

a 2 ? b2 ? 2b
2 2



? ?2c ? 2 a ? b ? 4
2

………………2 分

解得 a ? 6 , b ? 2 , 所以椭圆 C 的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1. 6 2

………………4 分

(Ⅱ )证明:由(Ⅰ)可得, F 的坐标是 ? ?2,0 ? ,设 M 点的坐标为 ? ?3, m ? , 则直线 MF 的斜率 kMF ?

m?0 ? ?m . ?3 ? (?2)

………………5 分

当 m ? 0 时,直线 PQ 的斜率 k PQ ?

1 .直线 PQ 的方程是 x ? my ? 2 . m

当 m ? 0 时,直线 PQ 的方程是 x ? ?2 ,也符合 x ? my ? 2 的形式. 设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立, ? 6 2 ? x ? my ? 2 ?
消去 x ,得 m ? 3 y ? 4my ? 2 ? 0 ,
2 2

?

?

………………8 分

其判别式 ? ? 16m ? 8 m ? 3 ? 0 .
2 2

?

?

所以 y1 ? y2 ?

4m ?2 , y1 y2 ? 2 , 2 m ?3 m ?3
?12 . m2 ? 3
2m ? ? ?6 , 2 ?. 2 ? m ?3 m ?3?
………………10 分

x1 ? x2 ? m ? y1 ? y2 ? ? 4 ?

设 N 为 PQ 的中点,则 N 点的坐标为 ?

………………12 分

所以直线 ON 的斜率 kON ? ?

m m ,又直线 OM 的斜率 kOM ? ? , 3 3
………………14 分

所以点 N 在直线 OM 上,即 OM 经过线段 PQ 的中点 N .

20. (本小题共 13 分) 解: (1)因为 a2 , a3 , a6 成等差数列,所以 a2 ? a3 ? a3 ? a6 . 又因为 a2 ?

1 1 1 , a3 ? , a6 ? , 2?a 3? a 6?a
………………3 分

代入得

1 1 1 1 ? ? ? ,解得 a ? 0 . 2? a 3? a 3? a 6? a

(2)设等差数列 a1 , a2 ,?, am 的公差为 d . 因为 b1 ?

1 1 ,所以 b2 ? , k k ?1

从而 d ? b2 ? b1 ?

1 1 1 ? ?? . k ?1 k k (k ? 1) 1 m ?1 ? . k k (k ? 1) 1 m ?1 ? ? 0. k k (k ? 1)
………………5 分

所以 bm ? b1 ? (m ? 1)d ?

又因为 bm ? 0 ,所以

即 m ? 1 ? k ? 1 .所以 m ? k ? 2 . 又因为 m, k ? N ,所以 m ? k ? 1 .
*

………………8 分

(3)设 c1 ?

1 * ( t ? N ),等比数列 c1 , c2 , c3 ?cm 的公比为 q . t
1 c t ,所以 q ? 2 ? . t ?1 c1 t ? 1
n ?1

因为 c2 ?

从而 cn ? c1q

1 1 n ?1 ? ( ) (1 ? n ? m, n ? N * ) . t t ?1

………………9 分

所以 c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cm ? ? (

1 1 t 1 1 t 2 1 t m?1 ) ? ( ) ?? ( ) t t t ?1 t t ?1 t t ?1



t ?1 t m [1 ? ( ) ] t t ?1 t ?1 t m?1 ?( ) . t t ?1 , (m ? 3, m ? N * ) . 1 x
m ?1



设函数 f ( x) ? x ?

1 x
m ?1

当 x ? (0, ??) 时,函数 f ( x ) ? x ?

为单调增函数.

因为当 t ? N ,所以 1 ?
*

t ?1 t ?1 1 ? 2 .所以 f ( ) ? 2 ? m?1 . t t 2

即 c1 ? c2 ? ...... ? cm ? 2 ?

1 2
m ?1



………………13 分


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