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2014年福建省高一数学竞赛-参考答案


2014 年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 (考试时间:5 月 11 日上午 8:30-11:00)
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知集合 A ? ? x 值范围为( A. ? ?? , 1? 【答案】 A ) B. (?? , 1) C. ? 0 , 1? D. ? ?? , 3?
x ? 1 ? a ? , B ? ? y y

? 2 x ,x ? 2 ? ,若 A ? B ? A ,则实数 a 的取

【解答】 a ? 0 时, A ? ? ,符合要求。

? 1? a ? 0 a ? 0 时,A ? (1 ? a , 由 A ?B ? , 解得 0 ? a ? 1 。 A 知,A ? B 。 4? 。 1 ? a) ,B ? ? 0 , ? ? 1? a ? 4


1? 。 a 的取值范围为 ? ?? ,


2.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥内切球的体积为( A.
4 3 ? 27

B.

32 3 ? 27

4 C. ? 3

D.

16 ? 3

【答案】 A
1 【解答】 设圆锥底面半径为 R ,母线长为 l ,则 ? 2? l ? 2? R , l ? 2 R 。 2 1 又 S圆锥测 ? ? l 2 ? 2? 。因此, l ? 2 , R ? 1 。圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形。 2

4 3 4 3 1 3 3 ?。 所以,其内切球半径 r ? ? ,其体积 V ? ? ? ( )3 ? ?2 ? 3 3 27 3 2 3

3.函数 y ? x ? 4 ? x2 的值域为(
2 2? A. ? ? ?2 2 , ? 2 2? B. ? ? ?2 , ?


? C. ? ? ?1, 2 ? ? D. ? ?? 2 , 2 ?

【答案】

B

【解答】 由 y ? x ? 4 ? x 2 ,知 y 2 ? 2 xy ? x2 ? 4 ? x 2 , 2x2 ? 2 yx ? y 2 ? 4 ? 0 。 ∴

△ ? 4 y 2 ? 8( y 2 ? 4) ? 0 , ?2 2 ? y ? 2 2 。

2 2? 又 y ? x ? ?2 ,因此, ?2 ? y ? 2 2 。值域为 ? ? ?2 , ?。

1

4.给出下列命题: (1)设 l , m 是不同的直线, ? 是一个平面,若 l ? ? , l∥ m ,则 m ? ? 。 (2) a , b 是异面直线, P 为空间一点,过 P 总能作一个平面与 a , b 之一垂直,与另 一条平行。 (3)在正四面体 ABCD 中, AC 与平面 BCD 所成角的余弦值为
3 。 3

(4)在空间四边形 ABCD 中,各边长均为 1,若 BD ? 1 ,则 AC 的取值范围是 (0 , 3) 。 其中正确的命题的个数为( A.1 个 【答案】 C B.2 个 ) C.3 个 D.4 个

【解答】 (1)显然正确。 (2)若存在平面 ? ,使得 a ? ? , b∥ ? ,则 a ? b 。但 a , b 是未必垂直。故不正确。 (3) 作A O ? 平面 B C D 成角。
2 3 3 3 设 AB ? BC ? a ,则 CO ? ? 。故, (3)正确。 a? a , cos ?ACO ? 3 2 3 3

于O , 则 O 为正三角形 BCD 的中心,?ACO 是 AC 与平面 BCD 所

(4)取 BD 中点 O ,则 OA ? OC ? 故, (4)正确。

3 。由 O 、 A 、 C 构成三角形知, AC ? (0 , 3) 。 2

3 5.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x ? R ,均有 f ( x ? 3) ? f ( x) ,当 x ? (0 ,) 2

6? 上的零点个数为( 时, f ( x) ? ln( x2 ? x ? 1) ,则函数 f ( x) 在区间 ?0 ,
A.6 个 【答案】 D B.7 个 C.8 个 D.9 个



【解答】 由 f ( x) ? ln( x2 ? x ? 1) ? 0 知, x 2 ? x ? 1 ? 1 , x ? 0 或 x ? 1 。 ∴
3 3 0) 内 f ( x) 在区间 (0 , ) 内有唯一零点 1。结合 f ( x) 为奇函数知, f ( x) 在区间 ( ? , 2 2

有唯一零点 ?1 。
3 9 3) 内有唯一零点 2;在区间 (3 , ) 内有唯一零点 又由 f ( x ? 3) ? f ( x) 知, f ( x) 在区间 ( , 2 2 9 6) 内有唯一零点 5。 4;在区间 ( , 2 3 3 3 3 3 3 9 又由 f ( ? ) ? ? f ( ) , f (? ) ? f (? ? 3) ? f ( ) 知, f ( ) ? 0 , f ( ) ? 0 。 2 2 2 2 2 2 2
2

又 f (6) ? f (3) ? f (0) ? 0 。 ∴

6? 上的零点个数为 9。 f ( x) 在区间 ?0 ,
x2 ? 6 x ? 13 ? x2 ? 10x ? 29 。给出下列四个判断:
(2) f ( x) 的图像是轴对称图形;

6.已知函数 f ( x) ?

(1) f ( x) 的值域是 ?0 , 2? ; 其中正确的判断有( A.1 个 【答案】 B B.2 个 ) C.3 个

(3) f ( x) 的图像是中心对称图形; (4)方程 f ? f ( x)? ? 29 ? 13 有解。 D.4 个

【解答】 设 A(3 , 2) , P( x , 0) , 2) , B(5 , 则 f ( x) ?

( x ? 3)2 ? 4 ? ( x ? 5)2 ? 4 ?
PA ? PB

PA ? PB



(1) ∵ f ( x) ? ∴

(即 P 、A 、B 三点不共线) 。 ? AB ? 2 ,AB 与 x 轴不相交

等号不成立, f ( x) 的值域是 ?0 , (1)不正确。 2? 。

(2)∵ f (4 ? x) ?

(1 ? x)2 ? 4 ? (?1 ? x)2 ? 4 ?

( x ?1)2 ? 4 ? ( x ? 1)2 ? 4 ,

f (4 ? x) ?

(1 ? x)2 ? 4 ? (?1 ? x)2 ? 4 ?

( x ?1)2 ? 4 ? ( x ? 1)2 ? 4

∴ f (4 ? x) ? f (4 ? x) , f ( x) 的图像关于直线 x ? 4 对称。 (或从几何图形上看,当 Q 与 P 关于点 (4 , 0) 对称时,
PA ? PB ? QA ? QB

) 。 (2)正确。

(3)显然不正确。 (若(3)正确,则结合(2)可得 f ( x) 为周期函数,矛盾。 ) (4)∵ f (0) ? ∴
13 ? 29 ? 29 ? 13 ,又 0 ? f ( x) 的值域 ?0 , 2? ,

方程 f ? f ( x)? ? 29 ? 13 有解( x ? 4 是方程的解) 。 (4)正确。

3

二、填空题(每小题 6 分,共 36 分) 7 . 已 知 集 合
A ? ? (x , y ) ( x ? 2014) 2 ? ( y ? 2014) 2 ? 1 ?



B ? ? (x , y)

若A? B, 则实数 a 的取值范围为 x ? 2014 ? 2 y ? 2014 ? a ? ,



【答案】

( 5, ? ?)

【解答】 问题等价于圆在菱形内部(不含边界) 。 ∴ ∴
a ? 0 ,且圆心到直线 ( x ? 2014) ? 2( y ? 2014) ? a 的距离 d ?

?a 12 ? 22

? 1。

a? 5。

8.如图,在等腰直角三角形 ABC 中, CA ? CB ? 4 , D 、 E 分别为
AC 、 AB 的中点。将 △ADE 沿 DE 折起,使得折起后二面角 A ? DE ? B

为 60 ? 。则折起后四棱锥 A ? DEBC 的体积为 【答案】 ∴



2 3
B 平 面 角 , 且 的

【解答】由条件知,在四棱锥 A ? DEBC 中,ED ? DA ,DE ? DC 。
?A D 是 C 二 面 角 A? D ? E

D E ? 平面

。C A D

∴ ?ADC ? 60? ,且 面 ADC ? 面 DEBC 。 作 AF ? CD 于 F ,则 AF ? 面 DEBC 。 由 DA ? DC ? 2 知, △ADC 为正三角形, AF ? 3 。 ∴
1 2?4 ?2 ? 2 3。 四棱锥 A ? DEBC 的体积 V ? ? 3 ? 3 2 2x ?1 ) 的图像关于点 A 对称,则点 A 的坐标为 x

9.已知函数 f ( x) ? log 2 ( 【答案】
1 ( , 1) 4



1 0) ? ( , ? ?) ;值域为 (?? , 【解答】 由函数定义域为 (?? , 1) ? (1, ? ?) 。 2 1 1) 。下面给出证明: 猜测点 A 坐标为 A( , 4



1 1 ? 2x ?1 ? 2x ?1 1 1 8x ? 2 ?8 x ? 2 f ( ? x) ? f ( ? x) ? log 2 ( 2 ) ? log 2 ( 2 ) ? log 2 ( ) ? log 2 ( ) 1 1 4 4 1 ? 4 x 1 ? 4 x ?x ?x 4 4

4

? 2 ? log 2

1 ? 16 x 2 ? 2。 1 ? 16 x 2



1 1) 对称。 f ( x) 的图像关于点 A( , 4

10.△ABC 中,已知 AB ? 4 ,若 C A ? 3C B 【答案】

,则 △ABC 面积的最大值为



4 3

【解答】 以 AB 中点 O 为坐标原点, 直线 AB 为 x 轴建立直角坐标系, 则 A(?2 , 0) , B(2 , 0) 。 设 C( x , y ) 。则由 CA ? 3 CB ,知 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ? ( x ? 2)2 ? y 2 。 整理,得 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 12 。 ∴ ∴ ∴ 点 C 在以 D(4 , 0) 为圆心,半径为 2 3 的圆(除与 x 轴的交点)上运动。 点 C 到直线 AB 即 x 轴距离的最大值为 2 3 。
1 △ABC 面积的最大值为 ? 4 ? 2 3 ? 4 3 。 2

2? 均有 f ( x) ? 2 成立,则 b 的最 11.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,若对任意 x ??0 ,
大值为 【答案】 8 。

【解答】f (0) ? c ,f (1) ? a ? b ? c ,f (2) ? 4a ? 2b ? c , f (0) ? 2 , f (1) ? 2 , f (2) ? 2 。 ∴
1 3 b ? 2 f (1) ? f (2 ?) f 2 2 1 3 (? 0) ? 2? 2 ? ? ( ? 2 ) ? ?, ( ? 2) 2 2 8

? f (1) ? a ? b ? c ? 2 ? a ? ?4 ? ? 当且仅当 ? f (2) ? 4a ? 2b ? c ? ?2 ,即 ? b ? 8 时,等号成立。 ? f (0) ? c ? ?2 ? c ? ?2 ? ?



b 的最大值为 8。

12.不等式 2 x ? 8 ? 6 ? log 2 x 的解集为 【答案】



1? ??4 , ? ?? ?0 ,

? 0? x?3 【解答】不等式化为 ? ……… ①; x ? 8 ? 2 ? 6 ? log 2 x ? x?3 或? x ……… ②。 ? 2 ? 8 ? 6 ? log 2 x

由 8 ? 2x ? 6 ? log2 x ,得 2x ? log2 x ? 2 ,由于函数

f ( x) ? 2x ? log 2 x 为增函数,且 f (1) ? 2 。
所以,不等式①的解为 0 ? x ? 1 。
5

由 2x ? 8 ? 6 ? log2 x ,得 2x ? log2 x ? 14 。 设 g ( x) ? 2x , h( x) ? log2 x ? 14 。 如图,在同一坐标系内作函数 y ? g ( x) 与 y ? h( x) 的图像,它们有两个交点 A( x1 , y1 ) ,

B( x2 , y2 ) ( 0 ? x1 ? x2 ),其中 0 ? x1 ? 1, x2 ? 4 。
所以,②的解为 x ? 4 。 由①、②可知,不等式的解集为 ? 0 , 1? ??4 , ? ?? 。 三、解答题(第 13、14、15、16 题每题 16 分,第 17 题 14 分,满分 78 分) 13. (本题满分 16 分) 求二次函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 1 在区间 ?1, 2? 上的最小值 g (a) 的表达式。
1 1 【解答】 f ( x) ? a( x ? ) 2 ? 1 ? 。 a a

当 a ? 0 时, 当 a ? 0 时, 若0 ? 若1 ?

1 ? 0 , f ( x) 在区间 ?1, 2? 上的最小值为 f (2) ? 4a ? 3 。 …………… 4 分 a 1 ?0。 a

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在区间 ?1, 2? 上的最小值为 f (1) ? a ? 1 。…………… 8 分 a 1 1 1 ? 2 ,即 ? a ? 1时, f ( x) 在区间 ?1, 2? 上的最小值为 f (a ) ? 1 ? 。 a 2 a

……………………… 12 分 若
1 1 ? 2 ,即 0 ? a ? 时, f ( x) 在区间 ?1, 2? 上的最小值为 f (2) ? 4a ? 3 。 a 2



1 ? 且a? 0 ? 4a ? 3 a ? 2 , ? 1 1 ? g (a ) ? ? 1 ? ? a ?1 。 a 2 ? a ?1 ? a ?1 ? ?

……………………… 16 分

6

14. (本题满分 16 分) 已知两个同心圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 和 C2 : x2 ? y 2 ? 16 , P 圆 C2 上一点。过点 P 作圆 C1 的两 条切线,切点分别为 A 、 B 。 (1)若 P 点坐标为 (2 2 , ? 2 2) ,求四边形 OAPB 的面积。 (2)当点 P 在圆 C2 上运动时,是否存在定圆恒与直线 AB 相切?若存在,求出定圆的方 程;若不存在,请说明理由。 【解答】 (1)依题意,OA ? AP ,OB ? BP ,且 OA ?OB ? 2 , PA ? PB ? 42 ? 22 ? 2 3 。 ∴ ∴
1 S△OAP ? S△OBP ? ? 2 ? 2 3 ? 2 3 。 2

四边形 OAPB 的面积为 4 3 。

………………… 4 分

(2)设 P(m , n) ,则 m2 ? n2 ? 16 。 当 点 P 在 圆 C2 上 运 动 时 , 恒 有

PA ? PB ? 42 ? 22 ? 2 3 。
∴ 点 A 、 B 在以 P 为圆心, 2 3 为半径的圆上。 …………………… 8 分 又点 A 、 B 在圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 上。 联 立 两 圆 方 程 , 消 二 次 项 , 得 该圆方程为 ( x ? m)2 ? ( y ? n)2 ? 12 。

?2mx ? 2ny ? m2 ? n2 ? 12 ? 4 。即 mx ? ny ? 4 ? 0 。
∴ ∵ ∴ ∴ 直线 AB 方程为 mx ? ny ? 4 ? 0 。 原点 O 到直线 AB 的距离 d ? ………………… 12 分
2 2

0?0?4 m ?n

?

4 ? 1 为定值。 4

圆 x2 ? y 2 ? 1恒与直线 AB 相切。 存在定圆恒与直线 AB 相切,定圆方程为 x2 ? y 2 ? 1。 ……………… 16 分

注: 本题也可以用平面几何方法求解: 设 OP 与 AB 的交点为 D ,则 OD ? AB 。 在 △OAP 中,由 OA ? AP , OA ? 2 , OP ? 4 ,知 OD ? 1 。 ∴ ∴ 以 O 为圆心,1 为半径的圆恒于直线 AB 相切。 存在定圆恒与直线 AB 相切,定圆方程为 x2 ? y 2 ? 1。 ………………… 16 分 ………………… 8 分 ………………… 12 分

7

15. (本题满分 16 分) 如图,在 △ABC 中, AD 为 ? A 的平分线且与 BC 交 于点 D , E 为 AD 中点, F 、 G 为 BE 、 CE 上的点,且
?AFC ? ?AGB ? 90? 。

求证: ?FBG ? ?GCF 。

【解答】 如图,过点 C 作 AD 的平行线交直线 BA 于点 P , BE 于点 Q 。 则由 E 为 AD 中点知, Q 为 CP 中点。 ∵ ∴ ∴
AD 平分 ?BAC ,

………………… 4 分

?BAD ? ?P ? ?DAC ? ?ACP 。 AC ? AP , AQ ? CP 。

结合 ?AFC ? 90? 知, A 、 F 、 C 、 Q 四点共圆。 ∴ ∴ ∴ …………… 8 分
?AFQ ? ?ACQ ? ?P ? ?BAE 。 △ABE ∽△FAE 。

AB BE AE ? ? ,AE 2 ? EF ? EB 。 FA AE FE

同理, DE 2 ? EG ? EC 。 ……………………… 12 分 ∴ ∴
EF ? EB ? EG ? EC , F 、 B 、 C 、 G 四点共圆。 ?FBG ? ?GCF 。

…………………… 16 分

8

16. (本题满分 16 分) 给出 5 个互不相同的实数,若这 5 个数中任意两个数的和或积中至少有一个是有理数, 求证:这 5 个数的平方都是有理数。 【解答】 设 x 为其中的一个数,依题意,其余的 4 个数为 理数。
r 或 r ? x 的形式,其中 r 为有 x

…………………………

4分

r r r (1) 若这 4 个数中至少有 2 个为 ( r ? Q ) 的形式, 设它们为 1 , 2( r1 ? r2 且 r1 , 。 r2 ? Q ) x x x

则由条件知,

r1 r2 r r ? ? Q 与 1 ? 2 ? Q 中至少有 1 个成立。 x x x x



r1 r2 r ?r ? ? Q 时, 1 2 ? Q , x ? Q , x 2 ? Q 成立。 x x x r1 r2 rr ? ? Q 时, 1 22 ? Q , x 2 ? Q 成立。 x x x



………………………

8分

r (2)若这 4 个数中最多只有 1 个为 ( r ? Q )的形式,则至少有 3 个数为 r ? x( r ? Q ) x

的形式。设这三个数为 r1 ? x , r2 ? x , r3 ? x ( r1 , r2 , r3 互不相同,且 r1 , r2 , r3 ? Q ) 。 下面考虑这三个数的和与积。 ① 若 (r1 ? x) ? (r2 ? x) , (r2 ? x) ? (r3 ? x) , (r3 ? x) ? (r1 ? x) 中至少有两个为有理数。 不妨设 (r1 ? x) ? (r2 ? x) , (r2 ? x) ? (r3 ? x) 为有理数, 则 (r1 ? x) ? (r2 ? x) ? (r2 ? x) ? (r3 ? x) ? r1 ? 2r1 ? r3 ? 4 x ? Q 。 ∴
x ? Q , x 2 ? Q 成立。

………………………

12 分

② 若 (r1 ? x) ? (r2 ? x) , (r2 ? x) ? (r3 ? x) , (r3 ? x) ? (r1 ? x) 中最多只有 1 个为有理数,则

(r1 ? x)(r2 ? x) , (r2 ? x)(r3 ? x) , (r3 ? x)(r1 ? x) 中至少有两个为有理数。
不妨设 (r1 ? x)(r2 ? x) , (r2 ? x)(r3 ? x) 为有理数。 则 (r1 ? x)(r2 ? x) ? r1r2 ? (r1 ? r2 ) x ? x2 ? Q , (r2 ? x)(r3 ? x) ? r2r3 ? (r2 ? r3 ) x ? x2 ? Q 。 两式相减,得 r1r2 ? r2r3 ? (r1 ? r3 ) x ? Q , (r1 ? r3 ) x ? Q 。 ∴
x ? Q , x 2 ? Q 成立。

由①、②知,此时 x 2 ? Q 成立。 综上可得, x 2 ? Q 。因此,这 5 个数的平方都是有理数。 …………… 16 分

9

17. (本题满分 14 分) (1)设集合 A ? ? 1,,, 2 3 , 13 ? ,集合 B 是 A 的子集,且集合 B 中任意两数之差都不等 于 6 或 7。问集合 B 中最多有多少个元素? (2)设集合 M ? ? 1,,, 2 3 , 2014 ? ,集合 N 是 M 的子集,且集合 N 中任意两数之差都 不等于 6 或 7。问集合 N 中最多有多少个元素? 【解答】 (1)构造 A 的下列 13 个子集:? 1, 7 ? ,? 2 , 10 ? ,? 5 , 8 ? ,? 3 , 9 ? ,? 4 , 11 ? ,

12 ? , ? 7 , 13 ? , ? 1, 8 ? ,? 2 , 9 ? , ? 3, 10 ? ,? 4 , 11 ? , ? 5 , 12 ? ,? 6 , 13 ? ( A 中每一 ? 6,
个数恰好属于 2 个子集) 。 由于从 A 中任取 7 个元素,它们分别属于上述 13 个子集中的 14 个子集,由抽屉原理知 其中必有 2 个元素属于同一个子集,它们的差为 6 或 7。 因此, A 中任意 7 个元素都不能同时属于集合 B 。即 B 中最多只有 6 个元素。 ………………………… 4分 又 B ? ? 1,,,,, 集合 B ? ? 1,,,,, 2 3 4 5 6 ? 中任意两数之差都不等于 6 或 7。 2 3 4 5 6 ? 符合 要求。 ∴ 集合 B 中最多有 6 个元素。 ………………………… 7分

(2)由(1)知,任意连续 13 个正整数中最多只有 6 个数满足任意两数之差都不等于 6 或 7。 由于 2014 ? 13 ?155 ? 1 ,因此,集合 M 中最多只有 155 ? 6 ? 930 个数满足任意两数之差都 不等于 6 或 7。 …………………………… 11 分

2 ,, 3 4, 5, 6, k ? 0 ,, 1 2 ,, 3 , 154 ? 是集合 N 的子集,且 又显然集合 M ? ? 13k ? b b ? 1,

集合 M 中任意两数之差都不是 6 或 7。集合 N 中有 930 个元素。 ∴ 集合 N 中最多有 930 个元素。 ………………………… 14 分

10


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