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2013届高三数学一轮复习必备精品第10讲:空间中的平行关系

时间:2013-09-13


2009~2010 学年度高三数学(人教版 A 版)第一轮复习资料

第 10 讲
一.【课标要求】

空间中的平行关系

1.平面的基本性质与推论 借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间 线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理: ◆公理 1:如果一条

直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内; ◆公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面; ◆公理 3: 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线; ◆公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行; ◆定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 2.空间中的平行关系 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证, 认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认,归纳出以 下判定定理: ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行; ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; 通过直观感知、操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明: ◆一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行; ◆两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行; ◆垂直于同一个平面的两条直线平行 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题

二.【命题走向】
立体几何在高考中占据重要的地位,通过近几年的高考情况分析,考察的重点及难点稳 定,高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。在 难度上也始终以中等偏难为主,在新课标教材中将立体几何要求进行了降低,重点在对图形 及几何体的认识上,实现平面到空间的转化,示知识深化和拓展的重点,因而在这部分知识 点上命题,将是重中之重。 预测 2019 年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系: (1)考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题; (2)在考题上的特点为:热点问题为平面的基本性质,考察线线、线面和面面关系的论 证,此类题目将以客观题和解答题的第一步为主

三.【要点精讲】
1.平面概述 (1)平面的两个特征:①无限延展 ②平的(没有厚度) (2)平面的画法:通常画平行四边形来表示平面 (3)平面的表示:用一个小写的希腊字母 ? 、 ? 、 ? 等表示,如平面 ? 、平面 ? ;用表 示平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面 AC。 2.三公理三推论: 公理 1:若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内: A ? l ,B ? l ,A ?? ,B ?? ? l ? ? 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集 合是一条过这个公共点的直线。

10-1

公理 3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。 推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面 3.空间直线: (1)空间两条直线的位置关系: 相交直线——有且仅有一个公共点; 平行直线——在同一平面内,没有公共点; 异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直 线。 异面直线的画法常用的有下列三种:
b ? b a ? a ? ? a b

(2)平行直线: 在平面几何中,平行于同一条直线的两条直线互相平行,这个结论在空间也是成立的。 即公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 (3)异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线 是异面直线。推理模式: A ?? , B ?? , a ? ? , B ? a ? AB 与 a 是异面直线。 4.直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内(无数个公共点); (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点); (3)直线和平面平行(没有公共点)——用两分法进行两次分类。 它们的图形分别可表示为如下,符号分别可表示为 a ? ? , a ? ? ? A , a // ? 。
a
a

a
?

?

A
?

线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么 这条直线和这个平面平行。推理模式: a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? .
a a b P ? ? b P

线面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行 ? a
10-2

b ?

推理模式: a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b ? a // b .

5.两个平面的位置关系有两种:两平面相交(有一条公共直线)、两平面平行(没有公 共点) (1)两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面,那 么这两个平面平行。
a?? ? ? 定理的模式: b ? ? ? ? a ? b ? P ? ? ? // ? a // ? ? ? b // ? ? ?

? ?

a

b

c

推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内 的两条相交直线,那么这两个平面互相平行。
推论模式: a ? b ? P, a ? ? , b ? ? , a? ? b? ? P?, a? ? ? , b? ? ? , a // a?, b // b? ? ? // ? (2)两个平面平行的性质(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于 另一个平面;(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

四.【典例解析】
题型 1:共线、共点和共面问题 例 1.(1)如图所示,平面 ABD ? 平面 BCD =直线 BD ,M 、N 、P 、Q 分别为线 段 AB 、BC 、CD 、DA 上的点,四边形 MNPQ 是以 PN 、QM 为腰的梯形。 试证明三直线 BD 、MQ 、NP 共点。

证明:∵ 四边形 MNPQ 是梯形,且 MQ 、NP 是腰, ∴直线 MQ 、NP 必相交于某一点 O 。 ∵ O ? 直线 MQ ;直线 MQ ? 平面 ABD ,
10-3

∴ O ? 平面 ABD。 同理,O ? 平面 BCD ,又两平面 ABD 、BCD 的交线为 BD , 故由公理二知,O ? 直线 BD ,从而三直线 BD 、MQ 、NP 共点。 点评:由已知条件,直线 MQ 、NP 必相交于一点 O ,因此,问题转化为求证点 O 在 直线 BD 上, 由公理二, 就是要寻找两个平面, 使直线 BD 是这两个平面的交线, 同时点 O 是 这两个平面的公共点即可.“三点共线”及“三线共点”的问题都可以转化为证明“点在直 线上”的问题。 (2)如图所示,在四边形 ABCD 中,已知 AB∥CD,直线 AB,BC,AD,DC 分别与平 面α相交于点 E,G,H,F.求证:E,F,G,H 四点必定共线 证明:∵AB∥CD, ∴AB,CD 确定一个平面β. 又∵AB ? α=E,AB ? β,∴E∈α,E∈β, 即 E 为平面α与β的一个公共点。 同理可证 F,G,H 均为平面α与β的公共点. ∵两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线, ∴E,F,G,H 四点必定共线。 点评:在立体几何的问题中,证明若干点共线时,常运用公理 2,即先证明这些点都是某 二平面的公共点,而后得出这些点都在二平面的交线上的结论。 例 2.已知:a,b,c,d 是不共点且两两相交的四条直线,求证:a,b,c,d 共面。 证明:1o 若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设 a,b,c 相交于一点 A, 但 A?d,如图 1 所示: ∴直线 d 和 A 确定一个平面α。 又设直线 d 与 a,b,c 分别相交于 E,F,G, 则 A,E,F,G∈α。 ∵A,E∈α,A,E∈a,∴a ? α。 同理可证 b ? α,c ? α。 ∴a,b,c,d 在同一平面α内。 2 当四条直线中任何三条都不共点时, 如图 2 所示: ∵这四条直线两两相交,则设相交直线 a,b 确定一个平面α。 设直线 c 与 a,b 分别交于点 H,K,则 H,K∈α。
o

A B C H α E F D

G

A a E d F b G c

α

图1 α H a 图2 K b d c

10-4

又 H,K∈c,∴c ? α。 同理可证 d ? α。 ∴a,b,c,d 四条直线在同一平面α内. 点评:证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是:首先根据公理 3 或推论,由题给条 件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再根据公理 1 证明其余的线(或点)均在这个平面内。 本题最容易忽视“三线共点”这一种情况。因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句 话的含义。 题型 2:异面直线的判定与应用 例 3.已知:如图所示,? ? ? =a ,b ? ? ,a ? b =A ,c ? ? ,c ∥a 。求证直 线 b 、c 为异面直线

证法一:假设 b 、c 共面于? .由 A ? a ,a ∥c 知,A ? c ,而 a ? b =A,? ? ? = a , ∴ A ? ? ,A ? ?。 又 c ? ? ,∴ ? 、? 都经过直线 c 及其外的一点 A, ∴

? 与? 重合,于是 a ? ? ,又 b ? ?。

又? 、? 都经过两相交直线 a 、b ,从而??、? 重合。 ∴ ∴

? 、? 、? 为同一平面,这与? ? ? =a 矛盾
b 、c 为异面直线.

证法二:假设 b 、c 共面,则 b ,c 相交或平行。 (1)若 b ∥c ,又 a ∥c ,则由公理 4 知 a ∥b ,这与 a ? b =A 矛盾。 (2) b ? c =P , 若 已知 b ? ? , ? ? , P 是? 、 的公共点, c 则 ? 由公理 2, ? a , P 又 b ? c =P ,即 P ? c ,故 a ? c =P ,这与 a ∥c 矛盾 综合(1)、(2)可知,b 、c 为异面直线。 证法三:∵ ? ? ? =a ,a ? b =A ,∴ A ? a 。 ∵ a ∥c ,∴ A ? c ,

在直线 b 上任取一点 P(P 异于 A),则 P ? ?(否则 b ? ? ,又 a ? ? ,则? 、? 都
10-5

经过两相交直线 a 、b ,则? 、? 重合,与? ? ? =a 矛盾)。 又 c ? ? ,于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异 面直线”知,b 、c 为异面直线。 点评:证明两直线为异面直线的思路主要有两条:一是利用反证法;二是利用结论“过 平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线.。异面直线又有 两条途径:其一是直接假设 b 、c 共面而产生矛盾;其二是假设 b 、c 平行与相交;分别产 生矛盾。判定直线异面,若为解答题,则用得最多的是证法一、二的思路;若为选择或填空 题,则往往都是用证法三的思路。用反证法证题,一般可归纳为四个步骤:(1)否定结论; (2)进行推理;(3)导出矛盾;(4)肯定结论. 宜用反证法证明的命题往往是(1)基本定理或某一知识系统的初始阶段的命题(如立体 几何中的线面、面面平行的判定定量的证明等);(2)肯定或否定型的命题(如结论中出现 “必有”、“必不存在”等一类命题);(3)唯一型的命题(如“图形唯一”、“方程解唯 一”等一类命题);(4)正面情况较为繁多,而结论的反面却只有一两种情况的一类命题; (5)结论中出现“至多”、“不多于”等一类命题。 例 4.(1)已知异面直线 a,b 所成的角为 70 0 ,则过空间一定点 O,与两条异面直线 a,b 都成 60 0 角的直线有( )条

是 60 ,则 ? 的取值可能是(
0

A.1 B.2 C.3 D.4 (2)异面直线 a,b 所成的角为 ? ,空间中有一定点 O,过点 O 有 3 条直线与 a,b 所成角都 ) C.60
0

A.30

0

B.50

0

D.90

0

解析:(1)过空间一点 O 分别作 a ? ∥a, b ? ∥b。 将两对对顶角的平分线绕 O 点分别在竖直平面内转动,总能得到与 a ?, b ? 都成 60 0 角的 直线。故过点 O 与 a,b 都成 60 角的直线有 4 条,从而选 D。 (2)过点 O 分别作 a ? ∥a、b ? ∥b,则过点 O 有三条直线与 a,b 所成角都为 60 ,等价于
0 0

过点 O 有三条直线与 a ?, b? 所成角都为 60 0 , 其中一条正是 ? 角的平分线。 从而可得选项为 C。 点评:该题以学生对异面直线所成的角会适当转化,较好的考察了空间想象能力 题型 3:线线平行的判定与性质 例 5.(2009 江苏卷)设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线,则 ? 平行于 ? ; (2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)设 ? 和 ? 相交于直线 l ,若 ? 内有一条直线垂直于 l ,则 ? 和 ? 垂直; (4)直线 l 与 ? 垂直的充分必要条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直。 上面命题中,真命题的序号 ... (写出所有真命题的序号).

【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。

10-6

真命题的序号是(1)(2) ... 例 6.两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB,M∈AC,N∈FB,且 AM=FN, 求证:MN∥平面 BCE。 证法一:作 MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q 为垂足,则 MP∥AB,NQ∥AB。 ∴MP∥NQ,又 AM=NF,AC=BF, C D ∴MC=NB,∠MCP=∠NBQ=45° M ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ P ∴MP=NQ,故四边形 MPQN 为平行四边形 ∴MN∥PQ A B N Q ∵PQ ? 平面 BCE,MN 在平面 BCE 外, F E ∴MN∥平面 BCE。 证法二:如图过 M 作 MH⊥AB 于 H,则 MH∥BC, ∴

AM AH ? AC AB FN AH ? BF AB

D M

C

连结 NH,由 BF=AC,FN=AM,得

∴ NH//AF//BE 由 MH//BC, NH//BE 得:平面 MNH//平面 BCE
F

A N

H E

B

∴MN∥平面 BCE 。 题型 4:线面平行的判定与性质 例 7.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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wxckt@126.com

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如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 、 F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。 A1 (1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。 E1 E 解法一:(1)在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,取 A1B1 的中点 F1A , 连接 A1D,C1F1,CF1,因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD, // 所以 CD=A1F1,A1F1CD 为平行四边形,所以 CF1//A1D, 又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点,所以 EE1//A1D, 所以 CF1//EE1,又因为 EE1 ? 平面 FCC 1 , CF1 ? 平面 FCC 1 , 所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 . A1 D1 F1 P O F B F C1 B1 B D C D1 C1 B1

E1 E A

D

C

10-7

(2)因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取 CF 的中点 O,则 OB⊥CF,又因为直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC1⊥平面 ABCD,所以 CC1⊥BO, 所以 OB⊥平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OP⊥C1F,垂足为 P,连接 BP,则∠OPB 为二面角 B-FC 1 -C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中, OB ? 3 ,在 Rt△CC1F 中, △OPF∽△CC1F, ∵

1 2 OP OF ?2 ? ∴ OP ? , ? 2 2 2 CC1 C1 F 2 ?2

2 1 14 OP 7 2 2 ?3 ? 在 Rt△OPF 中, BP ? OP ? OB ? , cos ?OPB ? ,所以二 ? 2 ? 2 2 BP 7 14 2
面角 B-FC 1 -C 的余弦值为

7 . 7
D1

z C1 B1

解法二:(1)因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点, 所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为 ABCD 为 A1 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取 AF 的中点 M, 连接 DM,则 DM⊥AB,所以 DM⊥CD, 以 DM 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系, E1 ,则 D(0,0,0),A( 3 ,-1,0),F( 3 ,1,0),C(0,2,0), A x ,0 ) ,E1 (

D E M F ) ,

C B 所 以

y

C1



0,2,2



,E



3 2

,

?

1 2

3

,-1,1

???? ? ???? ? ???? ??? ? 3 1 EE1 ? ( , ? ,1) , CF ? ( 3, ?1, 0) , CC1 ? (0, 0, 2) FC1 ? (? 3,1, 2) 设平面 CC1F 的法向 2 2 ? ??? ? ? ? ? n ? CF ? 0 ? 3x ? y ? 0 ? ? z 量 为 n ? ( x, y, 则 ) ? ? ???? 所 以 ? 取 n ? (1, 3, 0) , 则 ? ? z?0 ? ?n ? CC1 ? 0 ? ? ???? ? ???? 3 1 n ? EE1 ? ?1 ? ? 3 ? 1? 0 ? 0 ,所以 n ? EE1 ,所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 . 2 2 ?? ??? ? ?? ??? ? ? n1 ? FB ? 0 ? ( 2 ) FB ? (0, 2, 0) , 设 平 面 BFC1 的 法 向 量 为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则 ? ?? ???? 所以 ? ?n1 ? FC1 ? 0 ?

?? ? ?? y1 ? 0 ? ? ,取 n1 ? (2, 0, 3) ,则 n ? n1 ? 2 ?1 ? 3 ? 0 ? 0 ? 3 ? 2 , ? ? ? 3 x1 ? y1 ?2 z1 ?0 ?
? ?? | n |? 1 ? ( 3) 2 ? 2 , | n1 |? 2 2 ? 0 ? ( 3) 2 ? 7 ,

10-8

? ?? ? ?? n ? n1 2 7 ? 所 以 cos? n, n1 ? ? ? ??? ? ,由 图可知二 面角 B-FC 1 -C 为锐 角, 所以二面角 7 | n || n1 | 2 ? 7
B-FC 1 -C 的余弦值为

7 . 7

【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想 象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力. 例 8.(2008 四川 19,理 21) (本小题满分 12 分) 如 图 , 平 面 ABEF ? 平 面 A B C D 四 边 形 ABEF 与 ABCD 都 是 直 角 梯 形 , ,

?BAD ? ?FAB ? 90? , BC ∥ 1 AD , BE ∥ 1 AF .
2

2

(Ⅰ)证明: C 、 D 、 F 、 E 四点共面; (Ⅱ)设 AB ? BC ? BE ,求二面角 A ? ED ? B 的大小.

解析:不是会不会的问题,而是熟不熟的问题,答题时间是最大问题. (Ⅰ)∵面 ABEF ? 面 ABCD , AF ? AB ? 90? ∴ AF ? 面 ABCD . ∴以

F

A 为原点,以 AB , AD , AF 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,

建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz . 不妨设 AB ? a , AD ? 2b , AF ? 2c ,则 A(0, 0, 0) , B(a,0,0) , C (a, b,0) , D(0, 2b, 0) ,

E A B C D

E (a,0, c) , F (0, 0, 2c) . ???? ∴ DF ? (0, ?2b, 2c) ,
??? ? CE ? (0, ?b, c) , ???? ??? ? ∴ DF ? 2CE ,

∴ DF // CE , ∵ E ? DF ,∴ DF // CE ,∴C、D、E、F 四点共面. (Ⅱ)设 AB ? 1,则 BC ? BE ? 1 , ∴ B(1, 0, 0) , D(0, 2,0) , E (1, 0,1) . ?? 设平面 AED 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

???? ??? ?

?? ? AE 由 ?n1 ? ???? ? 0 ,得 ? x1 ? z1 ? 0 , n1 ? (1, 0, ?1) ? ?? ? ? 2 y1 ? 0 ?n1 ? AD ? 0 ? ?? ? 设平面 BED 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 )

?? ??? ?

10-9

?? ??? ? ? ?? ? ? 由 ?n2 ? BE ? 0 ,得 ? z2 ? 0 , n2 ? (2,1, 0) ?? ??? ? ? ? ? ? x2 ? 2 y2 ? 0 ?n1 ? BD ? 0 ? ?? ?? ? ?? ?? ? n cos ? n1 , n2 ? ? ??1 ? n2? ? 2 ? 10 ?? 5 2? 5 n ?n
1 2

由图知,二面角 A ? ED ? B 为锐角, ∴其大小为 arccos 10 . 5
点评:证共面就是证平行,求二面角转为求法向量夹角,时间问题是本题的困惑处.心浮气燥会在计算、书写、时间上丢分.因建 系容易,提倡用向量法.本时耗时要超过 17 题与 18 题用时之和.

题型 5:面面平行的判定与性质 例 9.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a。证明:平面 ACD1 ∥平面 A1C1B 。 证明:如图,∵ A1BCD1 是矩形,A1B ∥D1C 。 又 D1C ? 平面 D1CA ,A1B ? 平面 D1CA , ∴ A1B ∥平面 D1CA。 同理 A1C1 ∥平面 D1CA ,又 A1C1 ? A1B =A1 ,∴ 平面 D1CA ∥平面 BA1C1 . 点评:证明面面平行,关键在于证明 A1C1 与 A1B 两相交直线分别与平面 ACD1 平行。 例 10.P 是△ ABC 所在平面外一点,A′、B′、C′分别是△ PBC、△ PCA、△ PAB 的重心。 (1)求证:平面 A′B′C′∥平面 ABC; (2)S△ A′B′C′∶S△ ABC 的值。 解析:(1)取 AB、BC 的中点 M、N,

PC ? PA? 2 ? ? PN 3 则 PM
∴A′C′∥MN? A′C′ 平面 ABC。 ∥ 同理 A′B′∥面 ABC, ∴△A′B′C′∥面 ABC.

A?C ? PA? 2 2 2 1 1 ? ? 2 PN 3 ? A′C′= 3 MN= 3 · AC= 3 AC (2) MN A?C ? 1 ? AC 3 , A?B? 1 B?C ? ? ? 3 BC 同理 AC S ?A?B?C? A?C ? 2 1 ?( ) ? AC 9 ∴ S ?ABC

五.【思维总结】
在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系) 的基础上,研究有关平行的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用;在有 关问题的解决过程中,进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能,并探索立体几何中 论证问题的规律;在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化

10-10

归和转化的数学思想的应用. 1.用类比的思想去认识面的垂直与平行关系,注意垂直与平行间的联系。 2.注意立体几何问题向平面几何问题的转化,即立几问题平面化 3.注意下面的转化关系:

4.直线和平面相互平行 证明方法: 1 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行; 2 证明这条直线的方向量和 ○ ○ 这个平面内的一个向量相互平行;○证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。 3 5.证明两平面平行的方法: (1)利用定义证明。利用反证法,假设两平面不平行,则它们必相交,再导出矛盾。 (2)判定定理:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行, 这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是:a∩b,a α ,b α ,a∥β ,b ∥β ,则α ∥β 。 (3)垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是:a⊥α ,a⊥β 则α ∥β 。 (4)平行于同一个平面的两个平面平行。 ? // ? ,? // ? ? ? // ? 两个平面平行的性质有五条: (1)两个平面平行,其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面,这个定理可简记 为:“面面平行,则线面平行”。用符号表示是:α ∥β ,a α ,则 a∥β 。 (2)如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行,这个定理可简记 为:“面面平行,则线线平行”。用符号表示是:α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b,则 a∥b。 (3)一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于 证线面垂直。用符号表示是:α ∥β ,a⊥α ,则 a⊥β 。 (4)夹在两个平行平面间的平行线段相等 (5)过平面外一点只有一个平面与已知平面平行

10-11