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山东省2014届高考数学一轮复习 试题选编7 函数的综合问题 理 新人教A版


山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编 7:函数的综合问题
一、选择题 1 . (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)某学校要召开学生代表大会,规定根据班级人数 每 10 人给一个代表名额,当班级人数除以 10 的余数大于 6 时,再增加一名代表名额.那么各班代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y ? [ x] ([x]表示不

大于*的最大整数)可表示为 ( ) A. y ? [

x ] 10

B. y ? [

x?3 ] 10

C. y ? [

x?4 ] 10

D. y ? [

x?5 ] 10

【答案】B 法一:特殊取值法,若 x=56,y=5,排除 法二:设 x ? 10m ? ? (0 ? ? ? 9) , 0 ? ? ? 6时, ?

C.D,若 x=57,y=6,排除 A,所以选 B

? ? 3? ? x ? 3? ? ?x? ? ? ?m ? 10 ? ? m ? ?10 ?, ? 10 ? ? ? ? ? x ? 3? ? ? ? 3? x? ? ? 当6 ? ? ? 9时, ? ? ? ?m ? 10 ? ? m ? 1 ? ?10 ? ? 1 ,所以选 B ? 10 ? ? ? ? ? ? 2 x3 ?1 ? ? x ? 1 , x ? ? 2 ,1? , ? ? ? 2 . (山东省寿光市 2013 届高三 10 月阶段性检测数学 (理) 试题)已知函数 f ( x ) ? ? ? ? 1 x ? 1 , x ? ?0, 1 ? . ? 2? ? 3 6 ? ? ? π 函数 g ( x ) ? a sin( x ) ? 2a ? 2( a ? 0) ,若存在 x1 , x2 ? ?0,1? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取 6
值范围是 A. ( B. ? 0, )

?1 4? ?2 , 3? ? ?

? ?

1? ? 2?

C.

?2 4? ? 3 , 3? ? ?

D.

?1 ? ? 2 ,1? ? ?

【答案】B 3 . (山东省德州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)若对于定义在 R 上的函数 f(x),存在常数 t (t ? R) ,使得 f(x+t)+tf(x)=0 对任意实数 x 均成立,则称 f(x )是阶回旋函数,则下面命题正确的是 ( ) A.f(x)=2 是 ?
x 2

1 阶回旋函数 2

B.f(x)=sin( ? x)是 1 阶回旋函数

C.f (x)=x 是 1 阶回旋函数 D.f(x)=logax 是 0 阶回旋函数 【答案】B 4 . (山东省 2013 届高三高考模拟卷(一)理科数学)已知 a, b, c 为互不相等的三个正实数,函数 f (x) 可能 满足如下性质: ① f ( x ? a) 为 奇 函 数 ;② f ( x ? a) 为 奇 函 数 ;③ f ( x ? b) 为 偶 函 数 ;④ f ( x ? b) 为 偶 函 数;⑤ f ( x ? c) ? f (c ? x) .类比函数 y ? 2013sin x 的对称中心、对称轴与周期的关系,某同学得到了 如下结论: (i)若满足①②,则 f (x) 的一个周期为 4a ;(ii)若满足①③;则 f (x) 的一个周期为 4 | a ? b | ;(iii)若 满足③④,则 f (x) 的一个周期为 3 | a ? b | ;(iv)若满足②⑤;则 f (x) 的一个周期为 4 | a ? c | . 其中正确结论的个数为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B【解析】由 y ? 2013sin x 的图象知,两相邻对称中心的距离为 对称中心与距其最近的对称轴的距离为 )

T T 两相邻对称轴的距离为 , 2 2

T , 若 满 足 ①②, 则 f (x) 的 两 个 相 邻 对 称 中 心 分 别 为 4

T ? a ? ( ? a ) ? 2a ,即 T ? 4a ;若满足①③,则 f (x) 的对称轴为 x ? b ,与对称 2 T 轴相邻的对称中心为 (a.0) ,有 ?| a ? b | ,即 T ? 4 | a ? b | ;若满足③④,则 f (x) 的两个相邻的对称轴 4

(a,0) , (?a,0) ,从而有

1

T ? b ? ( ?b) ? 2b ,即 T ? 4b ;若满足②⑤,则 f (x) 的对称中心为 (?a,0) , 2 T 与其相邻的对称轴为 x ? c ,从而有 ? c ? ( ? a ) ? a ? c ,即 T ? 4 | a ? c | .故只有(iii)(iv)错误. 4 5 . (山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 1 的定义域为 [a, b](a ? b) ,值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积
为 x ? ?b 和 x ? b ,从而有 是 ( ) A.8 B.6 C.4 D.2 【答案】C 由 f ( x) ? x 2 ? 1 ? 5 ,得 x 2 ? 4 ,即 x ? ?2 .故根据题意得 a,b 的取值范围为: ?2 ? a ? 0 且 b ? 2 或者

0 ? b ? 2 且 a ? ?2 ,所以点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为 2 的正方形面积为 4,

选 C. 6 . (山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)已知函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称, 且 当 成 立 若 x ? ( ? ?, 0 ) ,f ( ) x f '( ? 0 x ? x )

1 1 ) ) · f (1og 1 ) ,则 a,b,c 的大小关系是 ( 4 4 2 2 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. a ? c ? b 【答案】B 因为函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称,所以 y ? f ( x) 关于 y 轴对称,所以函数 y ? xf ( x) 为 奇 函 数 . 因 为 [ xf ( x)]' ? f ( x )? xf '( x ) , 所 以 当 x ? (??, 0) 时, [ xf ( x)]' ? f ( x) ? xf '( x) ? 0 ,函数 y ? xf ( x) 单调递减,当 x ? (0, ??) 时,函数 y ? xf ( x) 单调递减. 1 1 0.2 因为 1 ? 2 ? 2 , 0 ? ln 2 ? 1 , log 1 ? 2 ,所以 0 ? ln 2 ? 20.2 ? log 1 ,所以 b ? a ? c ,选 B. 2 4 2 4
a=(2 )· f (2 ), b ? (1n 2) · f (1n 2), c ? (1og 1
0.2

0.2

7 . (2012 年山东理)(12)设函数 f (x)= ,g(x )=ax +bx 有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是 A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 B.当 a<0 时, x1+x2>0, y1+y2<0 C.当 a>0 时,x1+x2<0 , y1+y2<0 D.当 a>0 时,x1+x2>0, y1+y2>0 【答案】解析:令

2

若 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像 ( )

1 ? ax 2 ? bx ,则 1 ? ax3 ? bx2 ( x ? 0) ,设 F ( x) ? ax3 ? bx2 , F ?( x) ? 3ax2 ? 2bx x 2b 2 令 F ?( x) ? 3ax ? 2bx ? 0 ,则 x ? ? ,要使 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点 3a ? 2b 2b 2b ) ? a (? ) 3 ? b(? ) 2 ? 1 , 整 理 得 4b 3 ? 27a 2 , 于 是 可 取 a ? ?2, b ? 3 来 研 究 , 当 只需 F( 3a 3a 3a 1 a ? 2, b ? 3 时 , 2 x 3 ? 3x 2 ? 1 , 解 得 x1 ? ?1, x 2 ? , 此 时 y1 ? ?1, y 2 ? 2 , 此 时 2 1 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 ; 当 a ? ?2, b ? 3 时 , ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 1 , 解 得 x1 ? 1, x 2 ? ? , 此 时 2 B. y1 ? 1, y2 ? ?2 ,此时 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 .答案应选
2

另解:令 f ( x) ? g ( x) 可得 设 y? ?

1 ? ax ? b . x2

1 , y ?? ? ax ? b x2 不妨设 x1 ? x 2 ,结合图形可知, 当 a ? 0 时如右图,此时 x1 ? x2 ,
即 ? x1 ? x2 ? 0 ,此时 x1 ? x2 ? 0 , y 2 ?

1 1 ? ? ? ? y1 ,即 y1 ? y2 ? 0 ;同理可由图形经过推理可 x2 x1
B.

得当 a ? 0 时 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 .答案应选

8 . (山东省 2013 届高三高考模拟卷(一)理科数学)我们定义若函数 f (x) 为 D 上的凹函数须满足以下两 条规则:(1)函数在区间 D 上的任何取值有意义;(2)对于区间 D 上的任意 n 个值 x1 , x2 ,?, xn ,总满足

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) ? nf (
的是

x1 ? x2 ? ? ? xn ? ) ,那么下列四个图象中在 [0, ] 上满足凹函数定义 2 n

【答案】A【解析】要判断是不是凹函数,需要先明确凹函数的定义,由定义的第一点可以排除 D,在 ( ) A. 然选项 B.C 这三个选项中可以考虑特值法,取 x1 ? 0 , x 2 ? B.C 不满足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f (

?
2

,则显 )

x1 ? x2 ) ,故选 ( 2

A. 9 .山东省夏津一中 2013 届高三 4 月月考数学 ( (理) 试题) 函数 y=f(x),x∈D,若存在常数 C,对任意的 xl∈D, 仔在唯一的 x2∈D,使得
3

f ( x1 ) f ( x2 ) ? C ,则称函数 f(x)在 D 上的几何平均数为
3

C . 已 知

f(x)=x ,x∈[1,2],则函数 f(x)=x 在[1,2]上的几何平均数为 (



A. 2 B.2 C.4 D.2 2 【答案】D 10. (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)对于函数 f ( x) ,如果存在锐角 ? 使得 f ( x) 的图 象绕坐标原点逆时针旋转角 ? ,所得曲线仍是一函数,则称函数 f ( x) 具备角 ? 的旋转性,下列函数具有 角

?
4

的旋转性的是

( B. y ? ln x C. y ? ( ) x



A. y ?

x

1 2

D. y ? x 2

【答案】C

设直线 y ? x ? b ,要使 f ( x) 的图像绕坐标原点逆时针旋转角

?
4

,所得曲线仍是一函数,则

函数 y ? x ? b 与 f ( x) 不能有两个交点.由图象可知选 C. 11. (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满 足 以 下 三 个 条 件 :① 对 于 任 意 的 x ? R , 都 有 f ( x ? 4) ? f ( x ) ;② 对 于 任 意 的

x1 , x2 ? R, 且0 ? x1 ? x2 ? 2, 都有f ( x1 ) ? f ( x2 ); ③函数 y ? f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称,则下列结
论中正确的是 A. f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) ( B. f (7) ? f (4.5) ? f (6.5)
3



C. f (7) ? f (6.5) ? f (4.5) D. f (4.5) ? f (6.5) ? f (7) 【答案】A 【解析】由 f ( x ? 4) ? f ( x) 知函数的周期是 4,由②知,函数在 [0, 2] 上单调递增,函数 y ? f ( x ? 2) 的 图象关于 y 轴对称,即函数函数 y ? f ( x) 的图象关于 x ? 2 对称,即函数在 [2, 4] 上单调递减.所以 f (4.5) ? f (0.5) , f (6.5) ? f (2.5) ? f (1.5) , f (7) ? f (3) ? f (1) , 由 f (0.5) ? f (1) ? f (1.5) 可 知 ( ) f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) ,选 A.

12.(山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足

f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且 x ??0, 2? 时 , f ( x) ? log2 ( x ? 1) , 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 位 同 学 有 下 列 结 论 :
甲 : f ? 3? ? 1 ; 乙 : 函 数 f ( x ) 在 ? ?6, ?2? 上 是 减 函 数 ; 丙 : 函 数 f ( x ) 关 于 直 线 x ? 4 对 称 ; 丁 : 若

m?? 0,1? ,则关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 0 在 ? ?8,8? 上所有根之和为 ?8 ,其中正确的是
A.甲、乙、丁 B.乙、丙 C.甲、乙、丙 D.甲、丙





二、填空题:本大题共 4 小题 ,每小题 4 分,共 16 分. 【答案】A 13. (山东省夏津一中 2013 届高三 4 月月考数学(理)试题)函数 y = 1n|x-1|的图像与函数 y=-2 cos ( ) ? x(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于 A.8 B.6 C.4 D.2 【答案】B 14. (山东省文登市 2013 届高三 3 月二轮模拟考试数学(理) )对于正实数 ? ,记 M ? 为满足下述条件的函 数 f ( x) 构成的集合: ?x1 , x2 ? R 且 x2 ? x1 ,有 ?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) .下列结论中 正确的是 A.若 f ( x) ? M ?1 , g ( x) ? M ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M ?1 ?? 2 B.若 f ( x) ? M ?1 , g ( x) ? M ? 2 且 ?1 ? ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M ?1 ?? 2 C.若 f ( x) ? M ?1 , g ( x) ? M ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M ?1 ?? 2 D.若 f ( x) ? M ?1 , g ( x) ? M ? 2 且 g ( x) ? 0 ,则 ( )

f ( x) ? M ?1 g ( x) ?2

【答案】A 15. (2013 年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学)已知集合 M={ ( x, y )| y ? f ( x ) },若对于任意

( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列
四个集合:

1 };②M={ ( x, y )| y ? sin x ? 1 }; x ③M={ ( x, y )| y ? log 2 x };④ M ? {( x, y ) y ? e x ? 2} .其中是“垂直对点集”的序号是 (
①M={ ( x, y )| y ? A.①② 【答案】 B.②③ 【答案】D① y ? C.①④ D.②④



1 是以 x, y 轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为 90°,在同一支上,任意 x

(x1,y1)∈M,不存在(x2,y2)∈M,满足“垂直对点集”的定义;对任意(x1,y1)∈M,在另一支上也不存在 (x2,y2)∈M, 使 得 x1x2+y1y2=0 成 立 , 所 以 不 满 足 “ 垂 直 对 点 集 ” 的 定 义 , 不 是 “ 垂 直 对 点 集 ”.② M ? {( x, y ) y ? y ? sin x ? 1} , 如 图 在 曲 线 上 , 两 点 构 成 的 直 角 始 存 在 , 所 以

4

M ? {( x, y ) y ? y ? sin x ? 1} 是“垂直对点集”.
对于③ M ? {( x, y ) y ? log 2 x} ,如图在曲线上两点构成的直角始存在,例如取 M (0, ?1) ,N (log 2 2, 0) , 满足“垂直对点集”的定义,所以正确.

对于④ M ? {( x, y ) y ? e x ? 2} ,如图取点(1,0),曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相

垂直,所以不是“垂直对点集”. ,故选 D. 二、填空题 16. (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学) 已知 f ( x) 为 R 上的偶函数,对任意 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 且当 x1 , x2 ? ? 0,3? , x1 ? x2 时,有 题: ① f (3) ? 0

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,给出四个命 x1 ? x2

② 直线 x ? ?6 是函数 y ? f ( x) 的图像的一条对称轴 ④ 函数 y ? f ( x) 在 ? ?9, ?9? 上有四个零点

③ 函数 y ? f ( x) 在 ? ?9, ?6? 上为增函数

其中所有正确命题的序号为______________ 【答案】①②④ 【 解 析 】 令 x ? ?3 , 得 f (?3 ? 6) ? f (?3) ? f (3) ? f (3) , 即 f (3) ? 0 , 所 以 ① 正 确 . 因 为 f ( x ? 6) ? f ( x ) ? f (3) ,所以 f (? x ? 6) ? f (? x) ? f (3) ? f ( x) ? f (3) ,即 f (? x ? 6) ? f ( x ? 6) ,所 以 直 线 x ? 6 是 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 的 一 条 对 称 轴 , 因 为 函 数 为 偶 函 数 , 所 以 x ? ?6 也 是 函 数

y ? f ( x) 的图像的一条对称轴所以②正确.由

又 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) ? f ( x) ,所以函数的周期为 6,所以函数在 [6,9] 上递增,所以在 ? ?9, ?6? 上 为减函数,所以③错误.因为函数的周期为 6,所以 f (?9) ? f (?3) ? f (3) ? f (9) ? 0 ,故函数 y ? f ( x) 在 ? ?9, ?9? 上有四个零点,所以④正确,所以正确的命题为①②④ 17. (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理(A) )若函数 f (x) 满足 ?m ? R, m ? 0 ,对定义域内 的任意 x, f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 恒成立,则称 f (x) 为 m 函数,现给出下列函数:
5

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 可知函数 f ( x) 在区间 [0,3] 上递增, x1 ? x2

①y?

1 ; x

② y ? 2x ;

③ y ? sin x ;

④ y ? 1nx

其中为 m 函数的序号是.(把你认为所有正确的序号都填上) 【答案】②③

1 1 m 1 1 1 1 1 ,则由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 得 ? ? ? , ? ? ,即 x ? m x x ( x ? m) m x x?m x m 2 2 所 以 m ? x( x ? m) ? x ? mx , 显 然 不 恒 成 立 .② 若 y ? 2 x , 由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 得 由 2( x ? m) ? 2 x ? 2m 恒 成 立 , 所 以 ② 为 m 函 数 .③ 若 y ? sin x , 由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 得 sin( x ? m) ? sin x ? sin m ,当 m ? 2? 时,有 sin( x ? 2? ) ? sin x , sin m ? sin 2? ? 0 ,此时成立,所以 ③ 为 m 函 数 .④ 若 y ? 1nx , 由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 得 由 ln( x ? m) ? ln x ? ln m ? ln mx , 即 x ? m ? mx , 即 (1 ? m) x ? m ? 0 , 要 使 (1 ? m) x ? m ? 0 恒 成 立 , 则 有 1 ? m ? 0 , 即 m ? 1 . 但 此 时 (1 ? m) x ? m ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 ,所以不存在 m ,所以④不是 m 函数.所以为 m 函数的序号为②③. 18. (2009 高考(山东理))已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增
【解析】 ①若 y ? 函 数 , 若 方 程 f(x)=m(m>0) 在 区 间 ?? 8,8? 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x2 , x3 , x4 , 则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.
【答案】 【解析】 :因为定义在 R 上的奇函数, 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 4) ? f (? x) ,所以, 由

f (x) 为 奇 函 数 , 所 以 函 数 图 象 关 于 直 线 x ? 2 对 称 且 f ( 0 ) 0 由 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 知 ? , f ( x ? 8) ? f ( x) ,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为 f (x) 在区间[0,2]上是增函数,所以 f (x)
在 区 间 [-2,0] 上 也 是增函 数 . 如 图 所 示 , 那么 方程 f(x)=m(m>0) 在 区间 ?? 8,8? 上 有 四 个 不 同 的根 y x1 , x2 , x3 , x4 , 不 妨 设 x1 ? x2 ? x3 ? 由4 对 称 性 知 x1 ? x2 ? ?12 x3 ? x4 ? 4 所 以 x

x1 ? x2 ? x3 ? x41? 2 ? 4 ? 8? ?
答案:-8 使得函数 f ( x ) 满足: -8 -6 -4 -2 0 2

f(x)=m (m>0) 4 6 8 x

19. 山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 ) ( 函数 f (x) 的定义域为 D,若存在闭区间[a,b] ? D, (1) f ( x ) 在[a,b]内是单调函数;(2) f ( x ) 在[a,b]上的值域为[2a,2b],则称区间[a,b]为 y= f ( x ) 的 “和谐区间”.下列函数中存在“和谐区间”的是_______ (只需填符合题意的函数序号) ① f ( x ) ? x ( x ? 0 ) ;② f ( x ) ? e ( x ? R ) ;
2 x

③ f(x)?

1 4x ( x ? 0 ) ;④ f ( x ) ? 2 ( x ? 0 ) . x x ?1
2

【答案】①③④ 【 解 析 】 ① 若 f ( x) ? x , 则 由 题 意 知 ?

? a 2 ? 2a ? f ( a ) ? 2a ?a ? 0 ? ,即 ? 2 ,解得 ? 时 , 满 足 条 件 .② 若 ?b ? 2b ? f (b) ? 2b ?b ? 2 ?

?e a ? 2a ? f ( a ) ? 2a ? x ,即 ? b ,即 a , b 是方程 e ? 2 x 的两个根,由图象可知方程 f ( x) ? ex ,则由题意知 ? ?e ? 2b ? f (b) ? 2b ? ?1 ? a ? 2b f (a) ? 2b ? 1 ? x e ? 2 x 无解时,所以不满足条件.③若 f ( x) ? ,则由题意知 ? ,即 ? ,所以只要 x ? f (b) ? 2a ? 1 ? 2a ?b ? 2 1 4x 4 ? 4x ab ? 即 可 , 所 以 满 足 条 件 .④ 若 f ( x) ? 2 , 因 为 f '( x) ? 2 ,则由题意知当 0 ? x ? 1 2 x ?1 ( x ? 1)2
6

时 , f '( x) ? 0 , 函 数 递 增 , 当 x ? 1 时 , f '( x) ? 0 , 函 数 递 减 . 当 0 ? x ? 1 时 由 ?

? f ( a ) ? 2a 得 ? f ( b) ? 2b

? 4a ? a 2 ? 1 ? 2a 4x ? ? 2 x ,解得 x ? 0 或 x ? 1 ,所以当 a ? 0, b ? 1 时,满足条件,即区间为 [0,1] .所 ,由 2 ? x ?1 ? 4b ? 2b ? b2 ? 1 ?
以存在“和谐区间”的是①③④. 20. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试数学试题(理科))函数 f ( x) 的定义域为 A,若 x1 , x2 ? A 且
f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x2 ,则称 f ( x) 为单函数.例如:函数 f ( x) ? 2 x ? 1( x ? R ) 是单函数.给出下列

命题: ①函数 f ( x) ? x ( x ? R ) 是单函数;
2

②指数函数 f ( x) ? 2 ( x ? R ) 是单函数;
x

③若 f ( x) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数, 其中的真命题是 ______________.(写出所有真命题的序号) 【答案】②③④ 【解析】当 x1 ? 2, x2 ? ?2 时, f ( x1 ) ? 4 ? f ( x2 ), 故①错; f ( x) ? 2 x 为单调增函数, 故②正确;而③④显然正确 21 . 山 东 济 南 外 国 语 学 校 2012—2013 学 年 度 第 一 学 期 高 三 质 量 检 测 数 学 试 题 ( 理 科 ) 具 有 性 ( ) 质: f ( ) ? ? f ( x ) 的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数: ① y ? x?

1 x

1 1 ;② y ? x? ; x x

? ? x, (0 ? x ? 1) ? ③ y ? ?0, ( x ? 1) 中满足“倒负”变换的函数是________________. ? 1 ?? ( x ? 1) ? x 1 1 1 【答案】①③ 【解析】当 y ? x ? 时, f ( ) ? ? x ? ? f ( x) ,所以①满足“倒负”变换的函数.当 x x x ? ? x, (0 ? x ? 1) ? 1 1 1 y ? x ? 时, f ( ) ? ? x ? f ( x) ,所以②不满足“倒负”变换的函数.当 y ? ?0, ( x ? 1) 时,当 x x x ? 1 ?? ( x ? 1) ? x 1 1 1 1 x ? 1 时, 0 ? ? 1 , f ( ) ? ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, x ? 1 , f ( ) ? ? x ? ? f ( x) ,所以③满足“倒 x x x x
22. (山东省日照市 2013 届高三 12 月份阶段训练数学(理)试题)定义在 R 上的函数 y ? f ? x ? ,若对任意不 等实数 x1 , x2 满足 负”变换的函数,所以满足条件的函数是①③.

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,且对于任意的 x, y ? R ,不等式 f ? x 2 ? 2 x ? ? f ? 2 y ? y 2 ? ? 0 x1 ? x2
7

成 立 . 又 函 数 y ? f ? x ? 1? 的 图 象 关 于 点 ?1, 0 ? 对 称 , 则 当 1 ? x ? 4 时 , _______________.

y 的取值范围为 x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 若对任意不等实数 x1 , x2 满足 ,1] 【解析】 ? 0 ,可知函数 y ? f ( x) 为 R 上 2 x1 ? x2 递减函数.由函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (1, 0) 对称,可知函数 y ? f ( x) 的图象关于点 (0, 0) 对称,
【答案】 ? [ 所 以 函 数

y ? f ( x)









.



, 所 即 f ( x 2 ? 2 x) ? ? f (2 y ? y 2 ) ? f ( y 2 ? 2 y ) ?( x ? y )( x ? y ? 2) ? 0 y 表示的平面区域如图所示, 表示区域中的点与原点连 ( x ? y )( x ? y ? 2) ? 0. ? x ?1 ? x ? 4 1 1 y 线的斜率,又 kOA ? ? ,所以 的取值范围为 [? ,1] .如图 2 2 x

f ( x 2 ? 2 x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 , 以 , x 2 ? 2 x ? ?2 y +y 2



23. (山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ,若存在常 数 m ? 0 , 对 任 意 x ? R , 有 f ( x) ? m x , 则 称 函 数 f ( x ) 为 F ? 函 数 . 给 出 下 列 函
2 数:① f ( x) ? x ;② f ( x) ?

x x ;③ f ( x) ? 2 ;④ f ( x) ? sin 2 x . x ?1
2

其中是 F ? 函数的序号为

24. (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)已知函数 f ? x ? 在实数集 R 上具 有 下 列 性 质 :① 直 线 x ? 1 是 函 数 f ? x ? 的 一 条 对 称 轴 ;② f ? x ? 2? ? ? f ? x ? ;③ 当 1 ? x1 ? x2 ? 3 时, f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ? x2 ? x1 ? ? 0, 则 f ? 2012? 、 f ? 2013? 从大到小的顺序为_______. 【答案】 f (2013) ? f (2012) ? f (2011)

_________________. 【答案】②④

?

?

由 f ? x ? 2? ? ? f ? x ? 得 f ? x ? 4? ? f ? x ? ,所以周期是 4

所以 f (2011) ? f (3) , f ? 2012? ? f (0) , f (2013) ? f (1) .因为直线 x ? 1 是函数 f ? x ? 的一条对称轴, 所以 f ? 2012? ? f (0)? f (2) ..由 f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ? x2 ? x1 ? ? 0 ,可知当 1 ? x1 ? x2 ? 3 时,函数单 调递减.所以 f (2013) ? f (2012) ? f (2011) . 25. (山东省莱芜市莱芜二中 2013 届高三 4 月模拟考试数学(理)试题)如图,已知边长为 8 米的正方形钢 板有一个角锈蚀,其中 AE ? 4 米, CD ? 6 米. 为了合理利用这块钢板,将在五边形 ABCDE 内截取一个 矩形块 BNPM ,使点 P 在边 DE 上. 则矩形 BNPM 面积的最大值为_________平方米 .
A M E P F D

?

?

B

N

C

【答案】48 三、解答题 26. (2009 高考(山东理))两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点

C 建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为城
8

A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响 度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数 为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. (1)将 y 表示成 x 的函数; (11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 的

B 的总影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由。 【答案】解:(1)如图,由题意知 AC⊥BC, BC ? 400 ? x , y ?
2 2

4 k ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2
C x A , B

其中当 x ? 10 2 时,y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 y ? 设

4 9 ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2
, 则

m ? x2 , n ? 400 ? x2
4 m 9 ?( n m? 4 ? ) 4m

m ? n ? 400

y?

4 9 ? m n

,





y?

n 9 ? 0 n0

1n m 4 [ ?1 3 ?( 4 0 0 m

9 41 9 m n ? 且 仅 当 ]? ? ( 即? 1 当 ) n 4 m 0 n0

1 3 ?

? n ? 240 时取”=”. ? ?m ? 160
下面证明函数 y ?

4 9 ? 在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. m 400 ? m

设 0<m1<m2<160,则 y1 ? y2 ?

4 9 4 9 ? ?( ? ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m2

?(

4(m2 ? m1 ) 9(m1 ? m2 ) 4 4 9 9 ? )?( ? )? ? m1 m2 400 ? m1 400 ? m2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) 4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 4 9 , ? ] ? (m2 ? m1 ) m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

? (m2 ? m1 )[

因为 0<m1<m2<160,所以 4 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) >4×240×240 9 m1m2<9×160×160 所以

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ? 0, m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

所以 (m2 ? m1 ) 函数.

4 9 4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ? 0 即 y1 ? y2 函数 y ? ? 在(0,160)上为减 m 400 ? m m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

同 理 , 函 数

y?

4 9 ? 在 (160,400) 上 为 增 函 数 , 设 m 400 ? m

160<m1<m2<400, 则

9

y1 ? y2 ?

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 4 9 4 9 ? ?( ? ) ? (m2 ? m1 ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

因为 1600<m1<m2<400,所以 4 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) <4×240×240, 9 m1m2>9×160×160 所以

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ?0, m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )
4 9 4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 在(160,400)上为 ? 0 即 y1 ? y2 函数 y ? ? m 400 ? m m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

所以 (m2 ? m1 ) 增函数.

所以当 m=160 即 x ? 4 10 时取”=”,函数 y 有最小值, 所以弧 上存在一点,当 x ? 4 10 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小.

27. (山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试数学 (理) 试题) 已知函数 f ( x ) ? (Ⅰ)求实数 a 的 值; (Ⅱ )记集合 E ? {y y ? f ( x), x ?{?1,1,2}}, ? ? lg 2 ? lg 2 lg 5 ? lg 5 ?
2

( x ? 1)( x ? a ) 为偶函数. x2

1 ,判断 ? 与 E 的关系; 4

(Ⅲ)当 x? [ 【答案】

1 1 , ] ?m ? 0, n ? 0? 时,若函数 f ( x) 的值域为 [2 ? 3m,2 ? 3n] ,求 m, n 的值. m n

解: (Ⅰ)? f (x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (? x)

?

? 2(a ? 1) x ? 0,? x ?R 且 x ? 0 ,? a ? ?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: f ( x) ?

( x ? 1)( x ? a) (? x ? 1)( ? x ? a) ? x2 x2

x2 ?1 x2
3 4

当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x) ?

? 3? ? E ? ?0, ? , ? 4?

10

11


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