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肇庆市2015届高中毕业班第二次模拟检测数学文试题

时间:2015-02-26


2015 届文科数学寒假作业套题六
参考公式: 一组数据 x1 , x2 ,

, xn 的标准差 s ?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? n

? ( xn ? x)2 ] ,其中 x 表示这组数据的平均数.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,

满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

3 ? 4i = i A. ?4 ? 3i B. ?4 ? 3i C. ? ? ?i D. ? ? ?i 2 2.已知集合 A ? {( x, y) | x, y 为实数,且 y ? x } , B ? {( x, y) | x, y 为实数,且 x ? y ? 1} ,则 A∩B 的元素个数为
1.设 i 为虚数单位,则复数 A.无数个 B.3 C.2 D.1 3.已知向量 a ? (1, 2), b ? (1,0), c ? (4, ?3) .若 ? 为实数, (a ? ? b) ? c ,则 ? ?

1 1 B. C.1 D.2 4 2 4.若 p 是真命题, q 是假命题,则 A. p ? q 是真命题 B. p ? q 是假命题 C. ? p 是真命题 D. ? q 是真命题 5.已知等差数列{ an }, a6 ? 2 ,则此数列的前 11 项的和 S11 ?
A. A.44 B.33 6.下列函数为偶函数的是( A. y ? sin x B. y ? ln C.22 D.11 D. y ? ln

?

)

x? ?? ? x

?

C. y ? e x

x ? ??

7.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能 是 ...

? x ? 2 y ? 2, ? 8.设变量 x,y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 4, 则目标函数 z ? 3x ? y 的取值范围是 ?4 x ? y ? ?1, ?
3 A. [? ,6] 2 3 B. [? , ?1] 2
C. [ ?1, 6]

3 D. [?6, ] 2

9.已知 f1 ? x ? ? sin x ? cos x , fn?1 ? x ? 是 fn ? x ? 的导函数,即 f 2 ? x ? ? f1? ? x ? ,

f3 ? x ? ? f 2? ? x ? ,?, f n?1 ? x ? ? f n? ? x ? , n ? N * ,则 f2015 ? x ? ? A. sin x ? cos x B. ? sin x ? cos x C. sin x ? cos x D. ? sin x ? cos x 10 .集合 M 由满足:对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 时,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ? 4 | x1 ? x2 |的函数 f ( x) 组成.对于两个函数
x ,以下关系成立的是 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 2, g ( x ) ? e

A. f ( x ) ? M , g ( x ) ? M

B. f ( x) ? M , g ( x) ? M

C. f ( x ) ? M , g ( x ) ? M

D. f ( x) ? M , g ( x) ? M

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.在 ?ABC 中,若 b ? 5, ?B ? 12.若 f ? x ? ?

?

1 ,sin A ? ,则 a ? 4 3

. .

1 3 x ? ax 2 ? x 在 ? ??, ??? 不是 单调函数,则 a 的范围是 .. 3
-1-

13.已知函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? sin x , x ? R ,则 f ( x) 的最小值是 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 l 的方程为 ? cos ? ? 5 , 则点 ? 4, ? 到直线 l 的距离为

B
.

?O

A P

? ?

π? 3?

.

T

o 15. (几何证明选讲选做题)如图, PT 是圆 O 的切线, PAB 是圆 O 的割线,若 PT ? 2 , PA ? 1 , ?P ? 60 ,

则圆 O 的半径 r ?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知向量 a ?

?

? 3,sin ? 与b ? ?1, cos ? ? 互相平行,其中 ? ? (0, ) . 2

?

(1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)求 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? 的最小正周期和单调递增区间.

17. (本小题满分 12 分) 贵广高速铁路自贵阳北站起,经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站. 其中广东省 内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共 6 个站. 记者对广东省内的 6 个车站的外观进行了 满意度调查,得分情况如下: 车站 满意度得分 怀集站 广宁站 70 76 肇庆东站 72 三水南站 70 佛山西站 72 广州南站 x

已知 6 个站的平均得分为 75 分. (1)求广州南站的满意度得分 x,及这 6 个站满意度得分的标准差; (2)从广东省内前 5 个站中,随机地选 2 个站,求恰有 1 个站得分在区间(68,75)中的概率.

18. (本小题满分 14 分)
-2-

?BAC ? ?CBD ? 90? , 如图, 将一副三角板拼接, 使他们有公共边 BC, 且使这两个三角形所在的平面互相垂直, AB ? AC , ?BCD ? 30? ,BC=6.
(1)证明: 面ADC ? 面ADB ; (2)求 B 到平面 ADC 的距离.

A

C

B

D

19. (本小题满分 14 分)已知在数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , ? n ? 1? an ? nan?1 ? 1, n ? N .
?

(1)证明数列 ?an ? 是等差数列,并求 an 的通项公式; (?)设数列 ?

? 1 ? 1 ? 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ? . 6 ? an an ?1 ?

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ?

1 ? ? x ?1 ? 3 ( ? 1 ? x ? 2 ) . x 4 2
-3-

(1)若 ? ?

3 时,求函数 f ( x) 的值域; (2)若函数 f ( x) 的最小值是 1,求实数 ? 的值. 2

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ?

kx ,k?R . 1? x

(1) 讨论 f ( x) 的单调区间; (2) 当 k ? 1 时, 求 f ( x) 在 [0, ??) 上的最小值, 并证明

1 1 1 ? ? ? 2 3 4

?

1 ? ln ?1 ? n ? . n ?1

肇庆市 2015 届高中毕业班第二次统测
-4-

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 D 5 C 6 D 7 D 8 A 9 B 10
A

二、填空题 11.

5 2 3

12.

? ??, ?1? ?1, ???

13.

1? 2 2

14. 3

15. 3

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为 a 与 b 互相平行,则 sin ? ? 3 cos? , tan ? ? 3 , 又 ? ? ? 0, (3 分) (6 分)

? ?

??

? 3 1 , cos ? ? . ? ,所以 ? ? 3 ,所以 sin ? ? 2 2 2?
? ?

(2)由 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? sin ? 2 x ? 由 2 k? ?

??

? ,得最小正周期 T ? ? 3?

(8 分)

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,得 k? ?

5? ? ? x ? k? ? , k ? Z (11 分) 12 12
(12 分)

所以 f ( x) 的单调递增区间是 ? k? ?

? ?

5? ?? , k? ? ? , k ? Z 12 12 ?

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意,得

1 (70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 ? x) ? 75 ,解得 x ? 90 . 6

(2 分)

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? 6

? ( x6 ? x)2 ] ?

1 2 2 2 2 2 (5 ? 1 ? 3 ? 5 ? 3 ? 152 ) ? 7 (5 分) 6

(2)前 5 个站中随机选出的 2 个站,基本事件有 (怀集站,广宁站) , (怀集站,肇庆东站) , (怀集站,三水南站) , (怀集站,佛山西站) , (广宁站,肇庆东站) , (广宁站,三水南站) , (广宁站,佛三西站) , (肇庆东站,三水南站) , (肇庆东站, 佛山西站) , (三水南站, 佛山西站) 共 10 种, 分) 这 5 个站中,满意度得分不在区间(68,75)中的只有广宁站. 设 A 表示随机事件“从前 5 个站中,随机地选 2 个站,恰有 1 个站得分在区间(68,75)中” ,则 A 中的基本事件有 4 种, 则 P( A) ? (10 分) (8

4 2 ? 10 5
-5-

(12 分)

18. (本小题满分 14 分) (1)证明:因为 面ABC ? 面BCD, BD ? BC, 面ABC 所以 BD ? 面ABC . 又 AC ? 面ABC ,所以 BD ? AC . 又 AB ? AC ,且 BD 所以 AC ? 面ADB . (3 分) (4 分)

面BCD ? BC, BD ? 面BCD , A

AB ? B ,
(5 分)

C

B

又 AC ? 面ADC ,所以 面ADC ? 面ADB .(6 分)
0

D

(2)在 Rt ?BCD 中, BC ? 6, ?BCD ? 300 ,得 BD ? BC ? tan 30 ? 2 3 , (7 分) 在等腰 Rt ?ABC 中, BC ? 6 ,得 AB ? AC ? 3 2 . 由(1)知 BD ? 面ABC ,所以 BD ? AB , 在 Rt ?ABD 中, AB ? 3 2 , DB ? 2 3 ,得 AD ? 又 AC ? 面ADB ,设 B 到面 ADC 的距离为 h , 由 VC ? ABD ? VB? ACD , 得 ? ( ? AB ? BD) ? AC ? 解得 h ? (12 分) (8 分) (9 分) (10 分) AB2 ? DB2 ? 30 ,

1 3

1 2

1 1 ? ( ? AC ? AD) ? h , 3 2

(13 分)

6 5 6 5 ,即 B 到平面 ADC 的距离 . 5 5

(14 分)

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)方法一: 由 ? n ? 1? an ? nan?1 ? 1,得 ? n ? 2? an?1 ? ? n ?1? an?2 ? 1 , 两式相减,得 ? 2n ? 2? an?1 ? ? n ? 1?? an?2 ? an ? ,即 2an?1 ? an?2 ? an , 所以数列 ?an ? 是等差数列. 由? (2 分) (4 分) (5 分)

?a1 ? 3 ,得 a 2 ? 5 ,所以 d ? a2 ? a1 ? 2 , ?2a1 ? a2 ? 1

(6 分)

故 an ? a1 ? (n ? 1) ? d ? 2n ? 1 an ? 2n ? 1.

(8 分)

-6-

方法二: 将 (n ? 1)an ? nan?1 ? 1两边同除以 n(n ? 1) ,得

a n a n ?1 1 1 ? ? ? , (3 分) n n ?1 n n ?1
(4 分)



a n ?1 ? 1 a n ? 1 ? . n ?1 n a n ? 1 a1 ? 1 ? n 1

所以

(5 分) (6 分) (8 分)

所以 an ? 2n ? 1 因为 an?1 ? an ? 2 ,所以数列 ?an ? 是等差数列. (2)因为

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ,??????????????????(11 分)? an an?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?
1 1 1 ? ??? a1a 2 a 2 a3 a n a n?1

所以 Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 ? ? ? (n? N*) 6 4n ? 6 6

(14 分)

20. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ?

1 ? 1 1 ? x ?1 ? 3 ? ( ) 2 x ? 2? ? ( ) x ? 3 ( ? 1 ? x ? 2 ) (1 分) x 2 2 4 2
1 ? t ? 2 ). 4
(2 分) (3 分) (5 分)

设 t ? ( ) ,得 g (t ) ? t 2 ? 2?t ? 3 (
x

1 2

当? ?

3 3 2 3 1 2 时, g (t ) ? t ? 3t ? 3 ? (t ? ) ? ( ? t ? 2 ). 2 2 4 4 1 4 37 3 3 , g (t ) min ? g ( ) ? . 16 2 4

所以 g (t ) max ? g ( ) ? 所以 f ( x ) max ?

37 3 3 37 , f ( x ) min ? ,故函数 f ( x) 的值域为[ , ]. (6 分) 4 16 16 4
2 2 2

(2)由(1) g (t ) ? t ? 2?t ? 3 ? (t ? ? ) ? 3 ?? ( ①当 ? ? 令?

1 ?t ?2) 4

(7 分) (8 分) (9 分)

1 1 ? 49 时, g (t ) min ? g ( ) ? ? ? , 4 4 2 16 49 33 1 ? 1 ,得 ? ? ? ,不符合舍去; 16 8 4

?
2

?

-7-

②当

1 ? ? ? 2 时, g (t ) min ? g (? ) ? ??2 ? 3 , 4
2

(10 分) (11 分) (12 分) (13 分)

令 ? ? ? 3 ? 1 ,得 ? ?

2 ,或 ? ? ? 2 ?

1 ,不符合舍去; 4

③当 ? ? 2 时, g (t ) min ? g (2) ? ?4? ? 7 , 令 ? 4? ? 7 ? 1 ,得 ? ?

3 ? 2 ,不符合舍去. 2

综上所述,实数 ? 的值为 2 .

(14 分)

21. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ? x ? 的定义域为 ? ?1, ?? ? . (1 分)

f ?( x) ?

1 (1 ? x) ? x x ? 1 ? k ?k ? 1? x (1 ? x) 2 (1 ? x) 2

(3 分)

当 k ? 0 时 , f ' ? x ? ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上 恒 成 立 , 所 以 f ? x ? 的 单 调 递 增 区 间 是 ? ?1, ?? ? , 无 单 调 递 减 区 间 . (5 分) 当 k ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 得 x ? k ? 1 ,由 f ' ? x ? ? 0 得 x ? k ? 1 ,所以 f ? x ? 的单调递增区间是 ? k ?1, ?? ? ,单调递 减区间是 ? ?1, k ?1? , (7 分)

( 2 ) 由 ( 1 ) 知 , 当 k ? 1 时 , f ? x ? 在 [0, ??) 上 单 调 递 增 , 所 以 f ? x ? 在 [0, ??) 上 的 最 小 值 为 f ? 0? ? 0 . (9 分)

x ? ln(1 ? x) ( x ? 0 ) (10 分) 1? x 1 1 1 ? ln( n ? 1) ? ln n ( n ? N * ). (12 分) 所以 n ? ln( 1 ? ) ,即 1 1? n n 1? n 1 1 1 ? (ln 2 ? ln 1) ? (ln 3 ? ln 2) ? ? ? (ln( n ? 1) ? ln n) ? ln( n ? 1) 所以 ? ? ? ? 2 3 n ?1
所以 (14 分)

-8-


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