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2014年高考文科数学试题及答案详解(新课标2卷)

时间:2014-06-08


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)
数 学 试 题(文科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页。 满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1、 答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上,并将条 形码贴在答题卡的指定位置。

2、 选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用 0.5 毫米的黑色签字笔填 写在答题卡的对应方框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 3、 考试结束后,将答题卡收回。 参考公式: 如果 A、B 互斥,那么 P(A+B)= P(A)+P(A); 如果 A、B 相互独立,那么 P(A?B)= P(A)?P(A); 如果事件 A 在一次实验中发生的概率为 P,那么在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率: 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。. 球的表面积公式:S 错误!未找到引用源。 球的体积公式:V=错误!未找到引用源。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1. 设集合 M = {x | x 2-x < 0},N = {x | | x | < 2},则( A.M∩N = ? B.M∪N = M ) D.M∪N = R

C. M∩N = M

2. 某企业去年十二月生产了 A、B、C 三种产品共 3000 件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作 了如下统计表格: 产品类别 产品数量(件) 样本容量(件) A B 1200 120 C

由于统计员不小心,表格中 A、C 产品的有关数据已被污染看不清楚,但统计员记得 A 产品的样 本容量比 C 产品的样本容量多 10 件,根据以上信息,可得 C 产品的生产数量是( A.800 B.850 C.900 D.950 ) 3. 已知直线 l ? 平面 α,直线 m ? 平面? ,则“ ? ∥ ? ”是“ l ? m ”的( A.充要条件 C.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) )件。

? ? ? ? ? ? 2? 4. 平面向量 a 与 b 夹角为 , a ? (3,0),| b |? 2 ,则 | a ? 2b |? ( 3
·1·

A.

13

B. 37

C. 7

D.3 ( )

5. 已知数列 ?an ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,且 a2 ? 3a4 ? 6 ,则 S9 ? A.25 6. 函数 y ? tan(2 x ? 可能 是( .. A. ) B. B.27 C.50 D.54

?
3

) 的图像向右平移 a 个单位后所得的图像关于点 ( ?

?
12

, 0) 中心对称.则 a 不 .

5? 6

?
3

C.

7? 12

D.

11? 12


7. 抛物线的中心在原点,焦点与双曲线 A. y ? 20x
2

x2 y2 ? ? 1 的有焦点重合,则抛物线的方程为( 4 2 32
C. y ? 10x
2

B. y 2 ? 4 7 x

D. y 2 ? 2 7 x

8. 有 5 名毕业生站成一排照相 , 若甲乙两人之间至多有 2 人 , 且甲乙不相邻 , 则不同的站法有 ( ) A.36 种 B.12 种 C.60 种 D. 48 种

?x ? y ?1 ? 0 ? 9. 设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 则目标函数 z ? y ? 2 x 的最大值为( ?y ? 0 ?
A.0 B.1 C.



3 2

D.2

10.正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 2 , D 为 AC 1 1 中点,则直线 AA 1 与面 AB 1D 所 成角的正弦值为( )

6 A. 3
x

B.

3 3

6 C. 6

3 D. 2


11.已知方程 xe ? 2010 与 x ln x ? 2010 的根分别为 ? 和错误!未找到引用源。 ,则 ?? =( A. 2010 B. 2012 C. 20102 D. 20122

12.已知定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 4) ? f ( x) ,且在区间[0,2]上 f ( x) ? x ,若关于 x 的方程 f ( x) ? loga x 有三个不同的根,则 m 的范围为( A. ( 6, 10) B. (2, 2 2 ) C. ( 6, 2 2) ) D. (2,4)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
·2·

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 若 ( x ?

1 n ) 的展开式中第 6 项为常数项,则 n ? x2

b2+1 x2 y2 14. 若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为 60° ,则 a 的最小值是________. a b 15. 已知四面体 P-ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上,且 PO ? 面 ABC , 2 AC ? 3 AB ,若四面体 P -ABC 的体积为

3 ,则 P、C 两点间的球面距离为 2

16. 非空集合 G 关于运算 ? 满足: (1)对任意 a, b ? G ,都有 a ? b ? G ;②存在 e ? G ,使得对一 切 a ? G ,都有 a ? e ? e ? a ? a ,则称 G 关于运算 ? 为“融洽集”。 现给出下列集合和运算: ①G={非负整数}, ? 为整数的加法;②G={偶数}, ? 为整数的乘积;③G={平面向量}, ? 为 平面向量的加法;④G={二次三项式}, ? 为多项式的加法。其中 G 关于运算 ? 为“融洽集”的 是 (写出所有“融洽集”的序号)

二、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 17.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , S 是该三角形的面积, (1) 若 a ? (2sin

?

? ? ? B B cos B,sin B ? cos B) , b ? (sin B ? cos B, 2sin ) , a / / b , 2 2 2? , S ? 8 3 ,求 b 的值. 3

(1)求角 B 的度数; (2)若 a ? 8 , B ?

18. (本小题满分 12 分)某车站每天上午发出两班客车(每班客车只有一辆车) ,第一班客车在 1 1 8∶00,8∶20,8∶40 这三个时刻随机发出,且在 8∶00 发出的概率为 ,8∶20 发出的概率为 ,8∶40 4 2 1 发出的概率为 ;第二班客车在 9∶00,9∶20,9∶40 这三个时刻随机发出,且在 9∶00 发出的概率为 4 1 1 1 ,9∶20 发出的概率为 ,9∶40 发出的概率为 .两班客车发出时刻是相互独立的 ,一位旅客预计 4 2 4 8∶10 到站.求: (1)请预测旅客乘到第一班客车的概率; (2)求旅客候车时间不超过 50 分钟的概率。

·3·

19.(本小题满分 12 分)如图, ?ABC 是以 ?ABC 为直角的三角形, SA ? 平面 ABC, SA=BC=2,AB= 4. M、N、D 分别是 SC、AB、BC 的中点。 (1)求证:MN ? AB;

(2)求二面角 S—ND—A 的余弦值;

(3)求点 A 到平面 SND 的距离。

20.(本小题满分 12 分) 为其右焦点 (1)求椭圆 C 的方程。

已知椭圆 C :

1 3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 P (1, ) , F 2 2 2 a b

(2)设过点 A(4, 0) 的直线 l 与椭圆相交于 M 、 N 两点(点 M 在 A, N 两点之间) ,若 △ AMF 与

△MFN 的面积相等,试求直线 l 的方程.

21. (本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,满足 Sn

? 2n ? 2an

(1)证明:数列{ an + 2}是等比数列.并求数列{ an }的通项公式 an ; (2)若数列{ bn }满足 bn 求证: Tn

? log2 (an ? 2) ,设 Tn 是数列 {

bn } 的前 n 项和. an ? 2

?

3 . 2

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 2x ? b ( x ? R ) ,其中 a, b ? R .
4 3 2

(1)当 a ? ?

10 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; 3

(2)若函数 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围; (3)若对于任意的 a ? [?2, 2] ,不等式 f ? x ? ? 1 在 [ ?1,1] 上恒成立,求 b 的取值范围.

·4·

数学答案(文科)
(考试时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题答题卡(每小题,5 分,共 60 分)
题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 A 5 B 6 D 7 A 8 C 9 C 10 B 11 A 12 A

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
13 15 14. 2√3

15.

√3п

16.

1.3

三、解答题(74 分)
17.(12 分)(1)

……………………6 分

(2) 得

……………………7 分 ……………………8 分 ……………………10 分 ……………………12 分

18.(12 分)(1)第一班若在 8∶20 或 8∶40 发出,则旅客能乘到,其概率为

P=2+4=4

1 1 3

…………4 分 (2) 旅客候车时间不超过 50 分钟的概率

1 1 1 1 P=2+4+4 ⅹ4=13∕16. 答: 旅客候车时间不超过 50 分钟的概率为 13∕16. …………12 分
·5·

19.(12 分)(1) 作 ME

AC, 连接 NE,可证得 AB

平面 MNE,即得 MN

AB …………4 分

解法二:(向量法) B 为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图) (1) 由题意得 M(1,2,1),N(0,2,0)

…………4 分 (2) …………8 分 (3) …………12 分

20. (12 分(Ⅰ)因为

,所以



…1 分

设椭圆方程为

,又点

在椭圆上,所以
·6·

,解得

,…3 分

所以椭圆方程为

……4 分 ,5 分

(Ⅱ)易知直线 的斜率存在, 设 的方程为



消去

整理,得

,6 分

由题意知

,解得

.………7 分

设 因为

, 与

,则 的面积相等,所以

, ①, ,所以

.… ②. . ③…10 分

由①③消去



. ④ 将

代入②得

.



将④代入⑤

,整理化简得

,解得

经检验

成立.所以直线 的方程为 21. (12 分) 证明:(1)由

………12 分

得 Sn=2an-2n

当 n∈N*时,Sn=2an-2n,① 当 n=1 时,S1=2a1-2,则 a1=2,………1 分 则当 n≥2, n∈N*时,Sn-1=2an-1-2(n-1). ② ①-②,得 an=2an-2an-1-2, 即 an=2an-1+2, ∴an+2=2(an-1+2)

∴ ∴ {an+2}是以 a1+2 为首项,以 2 为公比的等比数列. ∴an+2=4· 2n 1, ∴an=2n+1-2,…………………………………6 分
·7·


(2)证明:由





③-④,得

………………11 分

所以 22.(14 分) (1)

………………12 分





时, . 当 变化时, 0 ,

.令 的变化情况如下表: 2

,解得





- ↘

0 极小值

+ ↗

0 极大值

- ↘

0 极小值

+ ↗

所以





内是增函数,在
·8·



内是减函数.…………4 分

(2) 为使 仅在

,显然 处有极值,必须

不是方程 恒成立,即有

的根. .

解此不等式,得

.这时,

是唯一极值.

因此满足条件的 的取值范围是 (3)由条件 从而 当 时, 在 及(II)可知, 恒成立. ;当 时,

. ………………8 分 .

. 与 两者中的较大者.

因此函数

上的最大值是

为使对任意的

,不等式



上恒成立,当且仅当





,在

上恒成立.所以



因此满足条件的 的取值范围是

………………14 分

·9·


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