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四川省南充市2016届高三第一次高考适应性考试数学(理)试题(解析版)

时间:2017-07-11


2016 年四川省南充市高考数学一模试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项在,只有一项是 符合题目要求的. 1.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|(x﹣3)(x+1)<0},则 A∩B=( A.{x|﹣1<x<4} B.{x|﹣1<x<1} C.{x|1<x<3} D.{x|﹣1<x<3} )

>
2.设 i 是虚数单位,则复数 A.1+i B.1﹣i C.﹣1﹣i

=( D.﹣1+i



3.已知命题 P:?x∈R,ex﹣x﹣1>0,则¬P 是( A.?x∈R,ex﹣x﹣1<0 C.?x0∈R,e B.?x0∈R,e



﹣x0﹣1≤0

﹣x0﹣1<0

D.?x∈R,ex﹣x﹣1≤0

4.下列函数中,满足“f(xy)=f(x)+f(y)”的单调递减函数是( A.f(x)=lnx B.f(x)=﹣x3 C.f(x)=log x



D.f(x)=3﹣x

5.如图的程序图的算法思路中是一种古老而有效的算法﹣﹣辗转相除法,执行改程序框图,若输入 的 m,n 的值分别为 30,42,则输出的 m=( )

A.10

B.12

C.13

D.16
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6.为了得到函数 y= sin4x﹣ A.向右平移 C.向右平移 个单位

cos4x 的图象,可以将函数 y=sin4x 的图象( 个单位



B.向左平移

个单位 D.向左平移

个单位

7.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积等于(



A.45

B.36

C.30

D.6

8.春节前,某市一过江大桥上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的 6 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 6 秒内间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们 第一次闪亮的时刻相差不超过 3 秒的概率是( A. B. C. D. )

9.已知 F 是抛物线 y2=4x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,OA⊥OB(其中 O 为 坐标原点),则△ AOB 与△ AOF 面积之和的最小值是( A.16 B.8 C.8 D.18 )

10.函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(1)=0,当 x<0 时,xf′(x)+f(x)>0, 则使得 f(x)<0 成立的 x 的取值范围是( ) C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)

A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) D.(﹣1,0)∪(0,1)

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二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.在(3﹣x)5 的展开式中,含 x3 的项的系数是 (用数字作答)

12.已知 α∈(0,

),β∈(0,

),且 cosα= ,cos(α+β)=﹣

,则 sinβ=



13.已知实数 x,y 满足

,则 x2+y2 的最大值为



14. | 设四边形 ABCD 为平行四边形, = .

|=8, |

|=3, N 满足 若点 M,

=3



=2

, 则

?

15.设 S 为复数集 C 的非空子集.如果 (1)S 含有一个不等于 0 的数; (2)?a,b∈S,a+b,a﹣b,ab∈S; (3)?a,b∈S,且 b≠0, ∈S,那么就称 S 是一个数域. 现有如下命题: ①如果 S 是一个数域,则 0,1∈S; ②如果 S 是一个数域,那么 S 含有无限多个数; ③复数集是数域; ④S={a+b |a,b∈Q,}是数域;

⑤S={a+bi|a,b∈Z}是数域. 其中是真命题的有 (写出所有真命题的序号).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn= n(an+1),求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
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17.某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛,文学院推荐了 2 名男生,3 名女生, 理学院推荐了 4 名男生,3 名女生,文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训,由于集训后学生 水平相当,从参加集训的男生中随机抽取 3 人,女生中随机抽取 3 人组成代表队. (1)求文学院至少有一名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的 6 名学生在随机抽取 4 名参赛,记 X 表示参赛的男生人数,求 X 的 分布列与数学期望.

18.已知函数 f(x)=sinx(sinx+

cosx).

(1)求 f(x)的最小正周期和最大值; (2)在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f( )=1,a=2 ABC 面积的最大值. ,求三角形

19.如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,SD=DC=2AD,侧棱 SD⊥底面 ABCD,点 E 是 SC 的中点,点 F 在 SB 上,且 EF⊥SB. (1)求证:SA∥平面 BDE; (2)求证 SB⊥平面 DEF; (3)求二面角 C﹣SB﹣D 的余弦值.

20.已知圆 F1:(x+1)2+y2=1,圆 F2:(x﹣1)2+y2=25,动圆 P 与圆 F1 外切并且与圆 F2 内切, 动圆圆心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求曲线 C 的方程;

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(Ⅱ)若曲线 C 与 x 轴的交点为 A1,A2,点 M 是曲线 C 上异于点 A1,A2 的点,直线 A1M 与 A2M 的斜率分别为 k1,k2,求 k1k2 的值. (Ⅲ)过点(2,0)作直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,在曲线 C 上是否存在点 N,使 若存在,请求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. + = ?

21.设函数 f(x)=

+k( +lnx)(k 为常数).

(1)当 k=0 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当 k≥0 时,求函数 f(x)的单调区间; (3)若函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求 k 的取值范围.

2016 年四川省南充市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项在,只有一项是 符合题目要求的. 1.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|(x﹣3)(x+1)<0},则 A∩B=( A.{x|﹣1<x<4} B.{x|﹣1<x<1} C.{x|1<x<3} 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;方程思想;定义法;集合. 【分析】利用不等式性质和集合定义求解. 【解答】解:(1)∵集合 A={x|1<x<4}, 集合 B={x|(x﹣3)(x+1)<0}={x|﹣1<x<3}, ∴A∩B={x|1<x<3}. 故选:C. 【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集的定义的合理运用. D.{x|﹣1<x<3} )

2.设 i 是虚数单位,则复数 A.1+i B.1﹣i C.﹣1﹣i

=( D.﹣1+i



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【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题;方程思想;数系的扩充和复数. 【分析】直接利用复数的除法与乘方运算法则化简求解即可. 【解答】解:复数 故选:D. 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,基本知识的考查. = =i(1+i)=﹣1+i.

3.已知命题 P:?x∈R,ex﹣x﹣1>0,则¬P 是( A.?x∈R,ex﹣x﹣1<0 C.?x0∈R,e B.?x0∈R,e



﹣x0﹣1≤0

﹣x0﹣1<0

D.?x∈R,ex﹣x﹣1≤0

【考点】命题的否定. 【专题】计算题;规律型;简易逻辑. 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. ex﹣x﹣1>0, 【解答】 解: 因为全称命题的否定是特称命题, 所以, 命题 P: ?x∈R, 则¬P 是?x0∈R, e ﹣x0﹣1≤0.

故选:B. 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基础题.

4.下列函数中,满足“f(xy)=f(x)+f(y)”的单调递减函数是( A.f(x)=lnx B.f(x)=﹣x3 C.f(x)=log x



D.f(x)=3﹣x

【考点】抽象函数及其应用. 【专题】构造法;函数的性质及应用. 【分析】根据条件可知,对数函数符合条件,f(xy)=f(x)+f(y),再给出证明,最后根据函数 的单调性确定选项. 【解答】解:对数函数符合条件 f(xy)=f(x)+f(y),证明如下: 设 f(x)=logax,其中,x>0,a>0 且 a≠1, 则 f(xy)=logaxy=logax+logay=f(x)+f(y),
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即对数函数 f(x)=logax,符合条件 f(xy)=f(x)+f(y), 同时,f(x)单调递减,则 a∈(0,1), 综合以上分析,对数函数 f(x)= 故答案为:C. 【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用,涉及抽象函数的运算和函数模型的确定,以及对数的 运算性质,属于基础题. 符合题意,

5.如图的程序图的算法思路中是一种古老而有效的算法﹣﹣辗转相除法,执行改程序框图,若输入 的 m,n 的值分别为 30,42,则输出的 m=( )

A.10

B.12

C.13

D.16

【考点】程序框图. 【专题】计算题;图表型;试验法;算法和程序框图. 【分析】模拟程序框图的运行过程,该程序执行的是欧几里得辗转相除法,求出运算结果即可. 【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下; m=30,n=42,30÷42=0,余数是 30,r=30,不满足条件 r=0, m=42,n=30,42÷30=1,余数是 12,r=12,不满足条件 r=0, m=30,n=12,30÷12=2,余数是 6,r=6,不满足条件 r=0, m=12,n=6,12÷6=2,余数是 0,r=0,满足条件 r=0,退出循环,输出 m 的值为 12. 故选:B. 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的答 案,是基础题.

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6.为了得到函数 y= sin4x﹣ A.向右平移 C.向右平移 个单位

cos4x 的图象,可以将函数 y=sin4x 的图象( 个单位



B.向左平移

个单位 D.向左平移

个单位

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】计算题;方程思想;转化思想;三角函数的图像与性质. 【分析】化简函数为一个角的一个三角函数的形式,然后平移平移关系判断选项即可. 【解答】解:函数 y= sin4x﹣ ∵sin(4x﹣ )=sin[4(x﹣ cos4x=sin(4x﹣ )], cos4x 的图象,可以将函数 y=sin4x 的图象向右平移 个单位. ),

∴为了得到函数 y= sin4x﹣ 故选:A.

【点评】本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的图象平移,考查计算能力.

7.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积等于(



A.45

B.36

C.30

D.6

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离. 【分析】该几何体为长方体切去一个三棱锥剩下的几何体. 【解答】解:由三视图可知该几何体为长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 切去一个三棱锥 B1﹣A1BC1 剩下 的几何体. ∴V=4×3×3﹣ 故选:C. =30.

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【点评】本题考查了空间几何体的三视图与体积计算,属于基础题.

8.春节前,某市一过江大桥上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的 6 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 6 秒内间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们 第一次闪亮的时刻相差不超过 3 秒的概率是( A. B. C. D. )

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】数形结合;数形结合法;概率与统计. 【分析】作出基本事件对应的平面区域和符合条件的平面区域,求出对应的几何度量. 【解答】解:设两串彩灯分别在通电后 x 秒,y 秒第一次闪亮, 则所有的可能情况对应的平面区域为正方形 OABC, 作出直线 x﹣y=3 和直线 y﹣x=3,则两灯在第一次闪亮时刻不超过 3 秒对应的平面区域为六边形 ODEBGF, ∴P= 故选 B. = = .

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【点评】本题考查了几何概型的概率计算,作出对应的平面区域是关键.

9.已知 F 是抛物线 y2=4x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,OA⊥OB(其中 O 为 坐标原点),则△ AOB 与△ AOF 面积之和的最小值是( A.16 B.8 C.8 D.18 )

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达 定理及 ? =0,消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.

【解答】解:设直线 AB 的方程为:x=ty+m, 点 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 与 x 轴的交点为 M(m,0), x=ty+m 代入 y2=4x,可得 y2﹣4ty﹣4m=0, 根据韦达定理有 y1?y2=﹣4m, ∵OA⊥OB, ∴ ? =0,

∴x1?x2+y1?y2=0,从而( y1? y2)2+y1?y2=0, ∵点 A,B 位于 x 轴的两侧, ∴y1?y2=﹣16,故 m=4. 不妨令点 A 在 x 轴上方,则 y1>0, 又 F(1,0), ∴S△ ABO+S△ AFO= ×4×(y1﹣y2)+ ×y1= y1+ ≥8 , ,即 y1= 时,取“=”号, ,

当且仅当 y1=

∴△ABO 与△ AFO 面积之和的最小值是 8 故选:C.

【点评】求解本题时,应考虑以下几个要点:

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1、联立直线与抛物线的方程,消 x 或 y 后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消元,这是 处理此类问题的常见模式. 2、求三角形面积时,为使面积的表达式简单,常根据图形的特征选择适当的底与高. 3、利用基本不等式时,应注意“一正,二定,三相等”.

10.函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(1)=0,当 x<0 时,xf′(x)+f(x)>0, 则使得 f(x)<0 成立的 x 的取值范围是( ) C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)

A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) D.(﹣1,0)∪(0,1)

【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的单调性与导数的关系. 【专题】数形结合;构造法;转化法;导数的概念及应用. 【分析】根据题意构造函数 g(x)=xf(x),由求导公式和法则求出 g′(x),结合条件判断出 g′ (x)的符号,即可得到函数 g(x)的单调区间,根据 f(x)奇函数判断出 g(x)是偶函数,将不等式进行转化,由图象求出不等式成立时 x 的取值范围. 【解答】解:设 g(x)=xf(x),则 g′(x)=xf′(x)+f(x), ∵当 x<0 时,xf′(x)+f(x)>0, ∴则当 x<0 时,g′(x)>0, ∴函数 g(x)=xf(x)在(﹣∞,0)上为增函数, ∵函数 f(x)是奇函数,∴g(﹣x)=(﹣x)f(﹣x)=(﹣x)[﹣f(x)]=xf(x)=g(x), ∴函数 g(x)为定义域上的偶函数, 由 f(1)=0 得,g(1)=0,函数 g(x)的图象大致如右图: ∵不等式 f(x)<0? <0,







由函数的图象得,﹣1<x<0 或 x>1, ∴使得 f(x)<0 成立的 x 的取值范围是:(﹣1,0)∪(1,+∞), 故选:B.

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【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性,由函数的奇偶性、单调性解不等式,考查构造函数 法,转化思想和数形结合思想,属于综合题.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.在(3﹣x)5 的展开式中,含 x3 的项的系数是 ﹣90 (用数字作答) 【考点】二项式系数的性质. 【专题】对应思想;转化法;二项式定理. 【分析】根据二项式展开式的通项公式,确定 r 的值,即可求出含 x3 的项的系数. 【解答】解:(3﹣x)5 的展开式中,通项公式是 Tr+1= 令 r=3,得含 x3 的项的系数是 故答案为:﹣90. 【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题,是基础题目. ?32?(﹣1)3=﹣90. ?35﹣r?(﹣1)r?xr,

12.已知 α∈(0,

),β∈(0,

),且 cosα= ,cos(α+β)=﹣

,则 sinβ=



【考点】两角和与差的正弦函数. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式,以及三角函数在各个象限中的 符号,求得 sinβ=sin[(α+β)﹣α]的值. 【解答】解:∵已知 α∈(0, ∴sinα= = ),β∈(0, ),且 cosα= ,cos(α+β)=﹣ = , ,

,sin(α+β)=

则 sinβ=sin[(α+β)﹣α]=sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα = ? ﹣(﹣ )? = ,
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故答案为:



【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式,以及三角函数在各个象限中 的符号,属于基础题.

13.已知实数 x,y 满足

,则 x2+y2 的最大值为 13 .

【考点】简单线性规划的应用;简单线性规划. 【专题】计算题. 【分析】先根据条件画出可行域,z=x2+y2,再利用几何意义求最值,只需求出可行域内的点到原点 距离的最值,从而得到 z 最大值即可. 【解答】解:先根据约束条件画出可行域, 而 z=x2+y2, 表示可行域内点到原点距离 OP 的平方, 点 P 在黄色区域里运动时,点 P 跑到点 C 时 OP 最大 当在点 C(2,3)时,z 最大,最大值为 22+32=13, 故答案为:13

【点评】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.解决时,首先 要解决的问题是明白题目中目标函数的意义.

14. | 设四边形 ABCD 为平行四边形, = 9 .

|=8, |

|=3, N 满足 若点 M,

=3



=2

, 则

?

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【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】对应思想;综合法;平面向量及应用. 【分析】用 【解答】解:∵ ﹣ ∴ ? = =( , = , )?( = = )= ﹣ . = ×82﹣ ×32=9. 表示出 =3 , =2 ,代入数量积计算. ,∴ = = , = , = =﹣ =

故答案为:9. 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,是基础题.

15.设 S 为复数集 C 的非空子集.如果 (1)S 含有一个不等于 0 的数; (2)?a,b∈S,a+b,a﹣b,ab∈S; (3)?a,b∈S,且 b≠0, ∈S,那么就称 S 是一个数域. 现有如下命题: ①如果 S 是一个数域,则 0,1∈S; ②如果 S 是一个数域,那么 S 含有无限多个数; ③复数集是数域; ④S={a+b |a,b∈Q,}是数域;

⑤S={a+bi|a,b∈Z}是数域. 其中是真命题的有 ①②③④ (写出所有真命题的序号). 【考点】命题的真假判断与应用;元素与集合关系的判断;复数的基本概念. 【专题】简易逻辑;推理和证明;数系的扩充和复数. 【分析】根据已知中数域的概念,逐一分析 5 个命题的真假,综合讨论结果,可得答案. 【解答】解:由已知中(1)S 含有一个不等于 0 的数; (2)?a,b∈S,a+b,a﹣b,ab∈S; (3)?a,b∈S,且 b≠0, ∈S,那么就称 S 是一个数域.
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令 a=b≠0, 则 a﹣b=0∈S; =1∈S,故①正确;

na∈S,n∈Z,故②正确; 复数集 C 满足 3 个条件,故复数集是数域,故③正确; S={a+b |a,b∈Q,}满足 3 个条件,故 S 是数域,故④正确;

S={a+bi|a,b∈Z}不满足条件(3),故 S 不是数域,故⑤错误; 故答案为:①②③④ 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了数域的概念,正确理解数域的概念,是解答 的关键.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn= n(an+1),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】计算题;整体思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】(1)通过对 an+1=2an+1 变形可知 an+1+1=2(an+1),进而可知数列{an+1}是首项、公比均 为 2 的等比数列,计算即得结论; (2)通过(1)可知 bn=n?2n﹣1,进而利用错位相减法计算即得结论. 【解答】解:(1)∵an+1=2an+1, ∴an+1+1=2(an+1), 又∵a1=1, ∴数列{an+1}是首项、公比均为 2 的等比数列, ∴an+1=2n, ∴an=﹣1+2n; (2)由(1)可知 bn= n(an+1)= n?2n=n?2n﹣1, ∴Tn=1?20+2?2+…+n?2n﹣1, 2Tn=1?2+2?22…+(n﹣1)?2n﹣1+n?2n, 错位相减得:﹣Tn=1+2+22…+2n﹣1﹣n?2n
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=

﹣n?2n

=﹣1﹣(n﹣1)?2n, 于是 Tn=1+(n﹣1)?2n. 【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和,考查运算求解能力,考查错位相减法,对表达式的灵活 变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.

17.某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛,文学院推荐了 2 名男生,3 名女生, 理学院推荐了 4 名男生,3 名女生,文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训,由于集训后学生 水平相当,从参加集训的男生中随机抽取 3 人,女生中随机抽取 3 人组成代表队. (1)求文学院至少有一名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的 6 名学生在随机抽取 4 名参赛,记 X 表示参赛的男生人数,求 X 的 分布列与数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型随机变 量及其分布列. 【专题】应用题;方程思想;综合法;概率与统计. 【分析】(1)求出文学院至少有一名学生入选代表队的对立事件的概率,然后求解概率即可; (2)求出 X 表示参赛的男生人数的可能值,求出概率,得到 X 的分布列,然后求解数学期望. 【解答】解:(1)由题意,参加集训的男、女学生共有 6 人,参赛学生全从理学院中抽出(等价于 文学院中没有学生入选代表队)的概率为: = ,因此文学院至少有一名学生入选代表队的

概率为:1﹣

=



(Ⅱ)某场比赛前,从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛,X 表示参赛的男生人数, 则 X 的可能取值为:1,2,3, P(X=1)= X 的分布列: X P
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= ,P(X=2)=

= ,P(X=3)=

= .

1

2

3

和数学期望 EX=1× +2× +3× =2. 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列,期望的求法,考查古典概型概率的求法,考查分析问 题解决问题的能力.

18.已知函数 f(x)=sinx(sinx+

cosx).

(1)求 f(x)的最小正周期和最大值; (2)在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f( )=1,a=2 ABC 面积的最大值. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【专题】函数思想;综合法;三角函数的求值;解三角形. 【分析】(1)利用二倍角公式化简 f(x); (2)求出 A,根据余弦定理和基本不等式得出 bc 的最大值,代入面积公式即可. 【解答】解:(1)f(x)=sin2x+ ∴f(x)的最小正周期 T= (2)∵f( )=sin(A﹣ sinxcosx= ﹣ cos2x+ sin2x=sin(2x﹣ ) . ,求三角形

=π,f(x)的最大值是 . )+ =1,∴sin(A﹣ )= ,∴A= .

∵a2=b2+c2﹣2bccosA,∴12=b2+c2﹣bc,∴b2+c2=12+bc≥2bc,∴bc≤12. ∴S= = bc≤3 . .

∴三角形 ABC 面积的最大值是 3

【点评】本题考查了三角函数的恒等变换,三角函数的性质,解三角形,属于中档题.

19.如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,SD=DC=2AD,侧棱 SD⊥底面 ABCD,点 E 是 SC 的中点,点 F 在 SB 上,且 EF⊥SB. (1)求证:SA∥平面 BDE; (2)求证 SB⊥平面 DEF; (3)求二面角 C﹣SB﹣D 的余弦值.

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【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 【专题】数形结合;空间角;立体几何. 【分析】(1)连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OE.然后利用三角形中位线的性质可得 OE∥SA,再由 线面平行的判定定理证得 SA∥平面 BDE; (2)由 SD=DC,E 是 SC 的中点可得 DE⊥SC,再由面面垂直的判定和性质得到 BC⊥平面 SDC, 从而得到 BC⊥DE,进一步得到 SB⊥DE,结合已知 EF⊥SB,由线面垂直的判定得结论; (3)根据二面角的定义得到∠EFD 是二面角 C﹣SB﹣D 的平面角,根据三角形的边角关系进行求 解即可. 【解答】(1)证明:如图, 连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OE. ∵点 O、E 分别为 AC、SC 的中点, ∴OE∥SA,又 OE?平面 BDE,SA?平面 BDE, ∴SA∥平面 BDE; (2)证明:∵SD=DC,E 是 SC 的中点,∴DE⊥SC, 又 SD⊥底面 ABCD,∴平面 SDC⊥平面 ABCD, ∵底面 ABCD 是矩形,∴BC⊥平面 SDC, ∴BC⊥DE, 又 SC∩BC=C,∴DE⊥平面 SBC, 又 SB?平面 SBC,∴SB⊥DE, 又 EF⊥SB, EF∩ED=E, ∴SB⊥平面 EFD; (3)∵EF⊥SB,SB⊥平面 EFD, ∴∠EFD 是二面角 C﹣SB﹣D 的平面角,
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设 AD=1,则 SD=CD=2, 则 SC=2 ,SB= =3,BD= = = , = = ,DE= , ,

在三角形 SDB 中,SB?DF=SD?BD,即 DF= 在三角形 SBC 中,sinCSB=

,即 EF= SE=

在三角形 DEF 中,cosEFD=

=

=

=

=

, .

即二面角 C﹣SB﹣D 的余弦值是

【点评】本题综合考查空间中线线、线面的位置关系和空间中角的计算,涉及二面角的平面角,传 统方法和坐标向量法均可,考查的知识面较广,综合性较强,运算量较大.

20.已知圆 F1:(x+1)2+y2=1,圆 F2:(x﹣1)2+y2=25,动圆 P 与圆 F1 外切并且与圆 F2 内切, 动圆圆心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若曲线 C 与 x 轴的交点为 A1,A2,点 M 是曲线 C 上异于点 A1,A2 的点,直线 A1M 与 A2M 的斜率分别为 k1,k2,求 k1k2 的值. (Ⅲ)过点(2,0)作直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,在曲线 C 上是否存在点 N,使 若存在,请求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;轨迹方程. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. + = ?

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【分析】 (Ⅰ)通过设 P(x,y)、动圆 P 的比较为 r,利用圆与圆的位置关系可知|PF1|=1+r、|PF2|=5 ﹣r,进而化简可知动圆圆心 P 的轨迹是以 F1(﹣1,0)、F2(1,0)为焦点、长轴长为 6 的椭圆, 计算即得结论; (Ⅱ)通过(I)可知 A1(﹣3,0)、A2(3,0),通过设 M(x,y),利用 化简计算即得结论; + =及 k1k2=

?

0) (Ⅲ) 通过设过点 (2, 的直线 l 方程为 x=my+2, 并与曲线 C 方程联立, 利用韦达定理及 N (x1+x2, y1+y2)在曲线 C 上化简计算即得结论. 【解答】解:(Ⅰ)依题意,F1(﹣1,0),F2(1,0), 设 P(x,y),动圆 P 的比较为 r,则|PF1|=1+r,|PF2|=5﹣r, ∴|PF1|+|PF2|=6, ∴动圆圆心 P 的轨迹是以 F1(﹣1,0)、F2(1,0)为焦点,长轴长为 6 的椭圆, 则 b2=a2﹣c2=9﹣1=8, 于是曲线 C 的方程为: + =1;

(Ⅱ)由(I)可知 A1(﹣3,0),A2(3,0), 设 M(x,y),则 + =1,

于是 k1k2= =

?

=

=﹣ ; (Ⅲ)结论:在曲线 C 上存在点 N,使 理由如下: 设过点(2,0)的直线 l 方程为:x=my+2, 联立直线 l 与曲线 C 的方程,消去 x,整理得:
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+

=



(9+8m2)y2+32my﹣40=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=﹣ ∵ + = , ,y1y2=﹣ ,

∴N(x1+x2,y1+y2)在曲线 C 上, ∴ + =1,

又∵x1+x2=m(y1+y2)+4=4﹣ ∴ ? + ?

=



=1,

整理得:9+8m2=16, 解得:m=± , + = .

于是在曲线 C 上存在点 N,使

【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中 档题.

21.设函数 f(x)=

+k( +lnx)(k 为常数).

(1)当 k=0 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当 k≥0 时,求函数 f(x)的单调区间; (3)若函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求 k 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
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【专题】计算题;作图题;数形结合;导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】(1)求导 f′(x)= ,从而可得 f(1)=e,f′(1)=﹣e,从而确定切线方程;

(2)求导 f′(x)=(x﹣2)

,从而判断导数的正负以确定函数的单调性;

(3)求导 f′(x)=(x﹣2)

,从而可得 h(x)=ex+kx 在(0,2)内存在两个零点,从而化

为 y=ex 与 y=﹣kx 的图象在(0,2)内有两个交点,从而利用数形结合求解. 【解答】解:(1)当 k=0 时,f(x)= 故 f(1)=e,f′(1)=﹣e, 故曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y﹣e=﹣e(x﹣1), 即切线方程为:ex+y﹣2e=0; (2)f(x)= +k( +lnx)的定义域为(0,+∞), ,f′(x)= ,

f′(x)=

+k(﹣

+ )=(x﹣2)



∵k≥0,且 x∈(0,+∞),∴

>0,

故当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0; 故函数 f(x)的单调减区间为(0,2),单调增区间为(2,+∞); (3)由(2)知,f′(x)=(x﹣2) ,



<0 在(0,2)上恒成立,

又∵函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点, ∴h(x)=ex+kx 在(0,2)内存在两个零点, ∴y=ex 与 y=﹣kx 的图象在(0,2)内有两个交点, 作 y=ex 与 y=﹣kx 的图象如图, 相切时,设切点为(x,ex),
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=ex,

故 x=1; 故 k1=e; k2= = ,

故 e<﹣k< 故﹣



<k<﹣e.

【点评】本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用,同时考查了导数的几何意义的应用.

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