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数学史选讲简介


数学史选讲简介

一.目标 了解数学发展的脉络 了解数学在人类文明发展历史中的作用和意义 了解社会发展对数学发展的作用 了解数学家在数学发展中的不屈不挠的奋斗精神和高尚的情操 了解一些数学重大成就和重要思想产生的背景和过程 通过对数学知识产生、发展过程与学习认知过程的比较,加深对数学知识的 进一步认识: 开阔视野,拓展见识,提高兴趣 第一章 数学发展的四个时期



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数学形成时期远古—— 公元前 6 世纪 初等数学时期 公元前 6 世纪——16 世纪

变量数学时期 17 世纪——19 世纪初 现代数学时期 19 世纪初 —— 现在

数学形成时期 数的产生,记数法的出现,进制的诞生,经验几何,算术,?? “用十个记号来表示一切数,每个记号不但有绝对值,而且有位置的值,这 种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想,它今天看来如此简单, 以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了 极大的方便,才使我们的算术在一切有用的文明中列在首位;而当我们想到它 竟逃过了古代最伟大的两个人物阿基米德和阿波罗尼奥斯的天才思想的关注 时,我们更感到这成就的伟大了.” ——拉普拉斯 初等数学时期 演绎体系的形成,欧式几何.数与运算的发展.代数方程理论的建立和发展

在前人基础上,欧几里德对数学进行系统整理和理论概括,他的著作《几 何原本》是以最基本的概念、公设、公理为推理的出发点,推导出一系列定理 和结论。这就是公理化思想。欧几里德的《几何原本》是数学史上的第一座理 论丰碑,其最大的功绩在于确立了数学中的演绎范式。 变量数学时期 解析几何,非欧几何-----拓扑学;微积分(牛顿、莱布尼兹) -----分析类 的分支;概率统计.数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了数 学,有了变数,辩证法进入了数学有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的 了?? 在一切理论成就中,未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分的发现那样被看 作人类精神的最高胜利了,如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一 的功绩,那正是在这里。 ——恩 格斯 现代数学时期 形成坚实的数学基础——丰富的数学分支 计算机诞生、发展——数学的发展与繁荣 数学应用 一批新的应用数学分支 一批新的交叉数学分支 推动了其他学科(自然科学、人文社会科学)的发展 数学应用渗透到各行各业,深入了人们的日常生活 社会对数学和数学工作者的需求发生了实质性的变化 日常生活、生产、管理实践、各个学科(自然科学、人文社会科学)、技术 科学、 人才的知识结构等等。 社会就业形势向数学提出了大量的问题数学的发展促进了计算机的诞生 计算机的发展推动了数学的繁荣现代数学时期 高科技本质上是数学技术

——大卫 数学从幕后走到台前,在很多方面直接为社会创造价值。 ——姜伯驹 数学无处不在 ——王绶琯

第二章 数与符号 数的表示——记数法与进制 中国是最早采用十进制的国家,这是一个伟大的成就.在商代中期的甲骨文 中已有十进位,其中最大的数为三万.到春秋战国时代,开始出现严格的“十进位 值制筹算”记数。这种十进位制记数法是中国古代数学对人类文明的特殊贡献. 历史上曾出现各种各样的进位制,有二进制、三进制、五进制、八进制、十 二进制、十六进制、二十进制、六十进制等等. 中国、埃及、印度采用十进制, 巴比伦人采用六十进制,罗马人采用十二进制,玛雅人采用二十进制. 记数法与十进制的诞生是科学发展史上一次重大的飞跃,是人类文明史中 的最伟大的一座丰碑。 数的发展 ——正整数、正分数、无理数、负数、零、复数 中国是世界上对负数认识最早的国家.负数是在《九章算术》中首先出现的. 但欧洲人承认负数却在 16 世纪,比中国晚了一千多年。 希腊的毕达哥拉斯学派发现了“无理数” . 印度人起初用空位表示零,后记成“点”,最后发展为“圈”.直到公元 11 世 纪,包括有零号的印度数码和十进制记数法臻于成熟,特别是印度人不仅把“0” 看作是记数法中的空位,而且也把它看作可施行运算的一个特殊的数. 零号的 发明是印度对世界文明的杰出贡献. 印度数学家婆什迦罗是第一个遇到“虚数”的人。

舒开成为在其数学著作中讨论这种数的第二人.很明显,舒开已经拨响虚数 概念的琴弦,却又把弦弄断了,推迟了虚数概念的降生.欧拉给出了 i 的记号。瑞 士人阿尔冈(Jean-Robert Argand 1768—1822)给出了复数和复数的代数运算 的几何解释。我们现在用的基本上是阿尔冈的方法。在使人们接受复数方面, 高斯做出了实质性的贡献。 运算对象的拓展 ——数、字母、代数式、向量、函数、变换等等 代数结构 ——数域、群、环、域等 数学符号进化的过程经历了三个阶段:文字阶段,简写阶段和符号阶段。实 际上大多数符号的出现还不到四百年。 引进符号体系是代数学的一个根本性的进步。事实上,由于建立了完善的符号 体系,才使代数学成为一门科学。

第三章 几何学发展史

如何研究大自然中丰富多彩的“形”和人为创造的各式各样的“形”呢?人 们从观察和实验开始,从简单到复杂,从具体到抽象,从整体到局部,从局部 到整体;不断地积累几何学的知识;不断地整理零散的、孤立的知识;不断地

构建一个又一个的几何学理论体系;不断地发掘几何学与其他学科的联系和实 际应用。到今天,几何学已经是一个大的学科,其中包含绚丽多彩的各种分支。 归纳与经验的几何学 最初的一些几何概念和知识要追溯到史前时期,它们是在实践活动的进程 中产生的。大自然为人们提供了丰富多彩的几何形体。 例如,基本几何图形——球、平面、直线等; 基本几何量——长度、面积和体积等。 公元前 7 世纪,几何学从埃及传到了希腊。在希腊人手里,几何学发生了质 的变化。演绎数学就在希腊诞生。 欧几里得曾在柏拉图学院受过教育,后来移居亚历山大城从事教学活动。他 把亚里士多德的逻辑、结构、证明和推理的严密性应用到数学中。欧几里得至 少有 10 部著作,其中 5 部被相当完整地保存了下来,但是,使他名垂不朽的是 《几何原本》。欧几里得的《几何原本》(Euclid,约公元前 330-前 275)的出现 是数学史上的一个伟大的里程碑.它是古希腊数学成果、方法、思想和精神的结 晶。它是数学史上第一个逻辑结构严谨、体系宏伟的演绎系统,是数学知识系 统化的开端,对后世数学、科学的发展起了不可估量的示范作用。从它刚问世 起就受到人们的高度重视.自 1482 年第一个印刷本出版以后,至今已有一千多种 版本. 在西方世界,古希腊人已经在艺术和数学之间建立了密切的联系,因为数学 和艺术构成他们世界观的主要部分。但是,在宗教统治的中世纪,这种观点被 抛弃了。直至文艺复兴时期,重新唤起了人们对艺术和数学的渴望,唤起了人 性的觉醒,人们重新恢复了对大自然的兴趣,渴望描述真实的世界,数学成为 了反映世界和描述艺术的工具。那个时期,艺术家都是工程师和建筑师,他们 具有良好的数学基础,可以说他们本身就是数学家。画家们在发展聚焦透视体 系的过程中引入了新的几何思想,并促进了数学的一个全新方向的发展,这就 是射影几何。 射影几何的诞生必须提到这样几位人物. 首先,是数学透视学的天才阿尔贝蒂(L.B.Alberti,1404—1446),他不仅提 出了投影线、截景等概念,还阐述了截景的数学性质。

其次,就是自学成才的德沙格(G.Desargues,1591—1661),他提出了许多创 造性的思想,包括为平行线引入无穷远点,进而引出无穷远线的概念。 帕斯卡(B.Pascal,1623—1662)同样也为射影几何的诞生做出了不朽的贡 献。 射影几何集中表现了投影和截影的思想,论述了同一射影下,一个物体的不 同截景所形成的几何图形的共同性质,以及同一物体在不同射影下截景的几何 图形的共同性质。这门”诞生于艺术的科学”,今天成了最美的数学分支之一. 在 17 世纪,数学科学发生了根本性的转折,这种转折实质上是由社会生产 力的急速发展所引起的。数学根本性的转折之一是解析几何的诞生。 解析几何的创始人是笛卡儿和费马.他们都对欧氏几何的局限性表示不满: 古代的几何过于抽象,过多地依赖于图形.他们对代数也提出了批评,因为代数 过于受法则和公式的约束,缺乏直观,不是有益于发展思想的艺术.同时,他们都 认识到几何学提供了有关真实世界的知识和真理,而代数学能用来对抽象的未 知量进行推理,代数学是一门潜在的方法科学.因此,把代数学和几何学中一切 精华的东西结合起来,可以取长补短.这样一来,一门新的科学诞生了. 笛卡儿 的理论以两个思想为基础: 一个是坐标思想; 另一个是方程与曲线的思想, 即两个未知数表示的某个代数方程可以看成平 面上的一条曲线;反之,一条曲线可以用曲线上任意点(x , y)坐标之间的方 程关系来表示。

第四章

数学史上的丰碑——微积分

积分发展的历史足迹 古希腊时代伟大的数学家、力学家阿基米德,我国古代著名数学家刘徽,祖 冲之、祖暅父子等为积分思想的形成和发展做出了重要的贡献,他们的工作领 先了欧洲数学家的工作一千多年。 16,17 世纪是微积分思想发展最为活跃的时期,其杰出的代表有伽利略 (Galileo Galilei, 1564-1642,意大利天文学家、力学家、哲学家),开普

勒(Johanns Kepler,1571-1630,德国天文学家、数学家、物理学家和哲学家), 卡瓦列里等。他们的工作为牛顿、莱布尼兹创立微积分理论奠定了基础。 极限的思想——圆周率 关于圆周率的最早记录出自公元前 1650 年的兰德草卷,这是一位名叫亚米 斯的埃及抄写员的手稿。 阿基米德(Archimedes, 约公元前 287-前 212)对圆周率的计算作出新的 突破。他也利用穷竭法,但不是计算多边形的面积,而是计算多边形的周长。 他计算了两个 96 边形的周长。 祖冲之(429—500)对圆周率逼近的这个记录保持了一千年的领先地位,直到 15 世纪才为阿拉伯数学家卡西所超过。卡西在 1429 年算到了小数点后 16 位。 16 世纪荷兰的奥托重新发现密率。 正是科学和生产中面临的这些重要问题,促进了微积分的诞生与发展。 在微积分诞生和发展时期,一批伟大的数学家做出了杰出的贡献,例如,伽利 略,开普勒,卡瓦列里,费马(Pierre de Fermat1601-1665,法国数学家), 巴罗,牛顿,莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716,德国哲学家、 数学家)等等。

从世界开始到牛顿生活年代的全部数学中,牛顿的工作超过了一半。 ——莱布尼兹

自然和自然的规律沉浸在一片混沌之中,上帝说,生出牛顿,一切都变得明朗。 ——英国著名诗人波普 如果我看得更远些,那是因为我站在巨人的肩膀上。 我不知道世间把我看成什么人;但是对我自己来说,就象一个海边玩耍的小 孩有时找到一块比较平滑的卵石或格外漂亮的贝壳,感到高兴,而在我面前是 未被发现的真理的大海。 ——牛顿

作为科学的巨人,牛顿把一生都献给了科学事业。

据他的助手回忆,牛顿往往一天伏案工作 18 小时左右,仆人常常发现送到 书房的午饭和晚饭一口未动。偶尔去食堂用餐,出门便陷入思考,兜个圈子又 回到住所。惠威尔在《归纳科学史》中写道:“除了顽强的毅力和失眠的习惯, 牛顿不承认自己与常人有什么区别”。

第五章

无限

不可数无限模型: 实数

无理数

对于任何一个无限集合,都存在一个基数比它大的无限集合。

第六章 问题是数学的心脏,是数学发展的动力

名题赏析

例如:费马大定理 希尔伯特提出的23个数学问题等等

提高识别“好的数学问题”的能力 费马大定理:费马大定理是“一只下金蛋的鹅”。 哥尼斯堡七桥问题:促进了图论和拓扑学的诞生。 高次方程:促进了群论和近世代数的诞生。 中国剩余定理 哥德巴赫猜想 数学与数学教育 数学教育的内容、方法、意义是随着数学的发展与时俱进。

例如:20世纪初克莱因提出函数进入中学,到现在函数已经成为中学数学的 核心内容。算法已经成为中学数学的内容。数学建模、数学实验已经进入了大 学和中学的数学课程。


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