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广东省实验中学08-09学年高一上学期模块考(数学)

时间:2012-12-23


一 、 选 择 题 : 1 . 下 列 各 式 : ① ?{0,1, 2} ; ②? ? {0,1, 2} ; ③ ?{0,1, 2004} ; 1 {1}

广东实验中学 2008—2009 学年高一级模块 1 考试

{0,1, 2} ? {0,1, 2} ; ④
⑤ {0,1, 2} ? {2,0,1} ,其中错误的个数是(

个 2.若 lg2=a,lg3=b,则 log2 3 =( )A. a ? b B. b ? a
1

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4

C.

a b

D.

b a

3.下列幂函数中过点 (0,0) , (1,1) 的偶函数是(
1

)A. y ? x 2 B. y ? x 4 C. y ? x ?2

D. y ? x 3 4.设 f ( x) ? ( ) ? x ? 1, 用二分法求方程 ( ) ? x ? 1 ? 0 在 (1, 3) 内近似解的过程中,
x x

1 2

1 2

f (1) ? 0, f (1.5) ? 0, f (2) ? 0, f (3) ? 0, 则方程的根落在区间 (
A. (1, 1.5) B. (1.5, 2) C. ( 2, 3)

) D.无法确定 ) D.2 ) D. b < c < a

5.如果二次函数 f ( x) ? 3x 2 ? bx ? 1满足 f (? A.-1
2

1 1 ? x) ? f ( x ? ) ,则 b 的值为( 3 3
C.-2

B.1
0.3

6.三个数 a ? 0.3 , b ? log2 0.3 , c ? 2 A.a < c < b B.a < b < c

之间的大小关系是( C. b < a < c

7 . 如 图 所 示 曲 线 是 对 数 函 数 y ? loga x 的 图 象 , 已 知 a 的 取 值 为

4 3 1 3 , , , ,则相应图象 C1 , C2 , C3 , C4 中的 a 的值依次为( ) 3 5 10 4 3 1 4 1 3 4 3 1 4 1 3 A. 3 , , , B. 3 , , , C. , 3 , , D. , 3 , , 3 5 10 3 10 5 3 5 10 3 10 5
8.已知映射 f : A ? B ,其中,集合 A ? ?? 3,?2,?1,1,2,3,4? 集合 B 中的 , 元素都是 A 中元素在映射 f 下的象, 且对任意的 a ? A, 在 B 中和它对应的元素是|a|, 则集合 B 中元素的个数是( D.7 9.已知函数 f ( x) ? ? 1 D.-9 10.奇函数 f (x) 在区间 ?? b,?a? 上单调递减,且 f ( x) ? 0 (0 ? a ? b) ,那么 f (x) 在区 ) A.4 B.5 C.6

?log 2 x ( x ? 0) ?3
x

( x ? 0)

,则 f ? f ? ?? =(

? ? 1 ?? ? ? 4 ??

)A.9

1 B. 9 C.-9

间 ?a, b? 上( A.单调递减 二、填空题:

) B.单调递增
2

C.先增后减

D.先减后增

11 . 已 知 不 等 式 x ? px ? 6 ? 0 的 解 集 为 {x |? 3 x ? ? .12 . 已 知 f ( x ? 1) ? x 2 ? 2x , 则 f (x) = .

2, 则 }

p?

13 . 函 数

f ( x) ?

3x ? 1 的值域为___ 3x ? 1

____. . 15.函数

14.函数 f ( x) ? ax?1 ? 3 的图象一定过定点 P,则 P 点的坐标是

y ? log1 ( x 2 ? x ? 12) 的单调增区间是_________.
2

32 log5 3 ? 1 ? ?5 ?? ? 三、解答题:15 计算: ? 5 log9 4 ? log3 9 ? 64 ?

?

2 3

16 已知集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7?, ? ?x | 2 ? x ? 10?, ? ?x | 5 ? a ? x ? a?.(1)求 A ? B , B C

?C R A? ? B ;(2)

若 C ? ? A ? B ?,求 a 的取值范围.

17 已知函数 f ( x) ? x ?
m

4 ,且 f (4) ? 3 (1) 求 m 的值;(2) 证明 f (x) 的奇偶性;(3) 判 x

断 f (x) 在 (0,??) 上的单调性,并给予证明;

18 设 f (x) 是 定 义 在 (0,??) 上 的 函 数 , 对 定 义 域 内 的 任 意 x , y 都 满 足

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,且 x ? 1 时, f ( x) ? 0 .(1) 写出一个符合要求的函数,并猜想 f (x) 在 (0,??) 上的单调性;(2)若 f (2) ? 1 ,解不等式 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 ;

19 函数 y ? lg(3 ? 4 x ? x 2 ) 的定义域为 M,函数 f ( x) ? 4 x ? 2 x ?1( x ? M ).(1)求 M;(2) 求函数 f (x) 的值域;(3)当 x ? M 时,若关于 x 的方程 4 x ? 2 x?1 ? b(b ? R) 有实数根,求 b 的取值范围,并讨论实数根的个数.

广东实验中学 2008—2009 学年高一级模块 1 考试

数学参考答案 第一部分 基础检测(共 100 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 1 2 3 4 5 6 题号 A D B A D C 答案 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. 1;12. x ? 4 x ? 3 ; 13. (?1,1) ;14. (1,4) . 三、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.
2

7 C

8 A

9 B

10 B

32 log5 3 ? 1 ? ?5 ?? ? 15(8 分). 计算: ? 5 log9 4 ? log3 9 ? 64 ?
原式 ? ?5 log3 2 ? log3 2 ? log3 3
5

?

2 3

?

2

? ? 3 ? 64

2 3

……………………4 分 ……………………7 分 ……………………8 分

? ?5 log3 2 ? 5 log3 2 ? 2 log3 3 ? 3 ? 16 ? ?2 ? 3 ? 16 ? ?21
(1)求 A ? B , ?C R A? ? B ;

16(10 分). 已知集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7?, B ? ?x | 2 ? x ? 10?, C ? ?x | 5 ? a ? x ? a?. (2)若 C ? ? A ? B ?,求 a 的取值范围. 解 : A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10? ,



1

? C R A ? ?x | x ? 3或x ? 7? ? ?CR A? ? B ? ?x | 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10? (2)由(1)知 A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10? ,

) ……………………2 分 ,

……………………4 分

① C ? ? 时, 当 满足 C ? ? A ? B ?, 此时 5 ? a ? a , a ? 得 6分

5 ; 2

……………………

?5 ? a ? a 5 ? ② C ? ? 时, C ? ? A ? B ?, ?5 ? a ? 2 , 当 要 则 解得 ? a ? 3 ; 2 ?a ? 10 ?
9分 由 ① ② 得

……………………

a?3
17(12 分). 已知函数 f ( x) ? x ?
m

, ……………………10 分

4 ,且 f (4) ? 3 x

(1) 求 m 的值; (2) 证明 f (x) 的奇偶性; (3) 判断 f (x) 在 (0,??) 上的单调性,并给予证明;

? 解:1) f (4) ? 3 , 4 ? ( ?
m

4 ? ? 3 , m ? 1. 4

……………………

2分 ( 2 ) 因 为 f ( x) ? x ? 间. 又

4 , 定 义 域 为 ?x | x ? 0? , 关 于 原 点 成 对 称 区 x

……………………3 分

f (? x) ? ? x ?
…5 分 所 数. ( 则

4 4 ? ?( x ? ) ? ? f ( x ) , ?x x
以 3 )

………………… 是 设 奇 ……………………6 分 函 ,

f (x)

x1 ? x2 ? 0
……………………7 分

4 4 4 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? ? ( x2 ? ) ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) x1 x2 x1 x2
………9 分 因 为

……………

x1 ? x2 ? 0







x1 ? x2 ? 0



4 ? 0, x1 x 2 所 以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1?
数.

……………………11 分 在

, 因 此 f (x) ……………………12 分

(0,??)













第二部分 能力检测(共 50 分)
四、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 18. ?? ?,?3? ;19. ①. 五、解答题:本大题共 3 小题,共 40 分.

20 ( 12 分 ) . 设 f (x) 是 定 义 在 (0,??) 上 的 函 数 , 对 定 义 域 内 的 任 意 x , y 都 满 足

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,且 x ? 1 时, f ( x) ? 0 .

(1) 写出一个符合要求的函数,并猜想 f (x) 在 (0,??) 上的单调性; (2) 若 f (2) ? 1 ,解不等式 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 ; 解 : ( y ? loga x (a ? 1, x ? 0) , 分 在 f (x) (0,??) 增. (2)任取 x1 , x2 ? (0,??) ,且 x 2 ? x1 上 单 ……………………3 分 调 递 1 ) ……………………2

由 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,得 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,令 xy ? x1 , x ? x2 ,则 y ?

x1 , x2

? x1 ? x2 ? 0,?
? f ( x1 ) ? f ( x2 )
增. 由

x1 ? 1,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x2
, 故

f (x)

?x ? f ? 1 ? ? 0, ?x ? ? 2? (0,??) 在



单 ,



递 得 即

……………………6 分

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) x? y?2 , 令 f (4) ? f (2) ? f (2) ? 2 f (2) ? 2 ……………………7 分 ? f ( x) ? f ( x ? 3) ? f (4) , ……………………8 分 f ?x( x ? 3)? ? f (4) , 由 f (x) 在 (0,??) 上单调递增,得
? x( x ? 3) ? 4 ? , ?x ? 0 ?x ? 3 ? 0 ?
… … … … … … … … 10 分

解得

?? 1 ? x ? 4 , ……………………11 分 ? ?x ? 3


?x | 3 ? x ? 4?.











解 集 ……………………12 分



21(14 分). 函数 y ? lg(3 ? 4 x ? x 2 ) 的定义域为 M,函数 f ( x) ? 4 x ? 2 x ?1 ( x ? M ). (1) 求 M; (2) 求函数 f (x) 的值域; (3) 当 x ? M 时,若关于 x 的方程 4 ? 2 论实数根的个数.
x x ?1

? b(b ? R) 有实数根,求 b 的取值范围,并讨

2 解: (1) x ? 4 x ? 3 ? 0 , ( x ? 1)(x ? 3) ? 0 , x ? 1或x ? 3 ,

? M ? ?x | x ? 1或x ? 3?
2 ) 设

………

……………2 分 (

? t ? (0,2) ? (8,??)

t ? 2x

x ? 1或x ? 3 , ? ……………………3 分

, ………

f ( x) ? g (t ) ? t 2 ? 2t ? (t ? 1) 2 ? 1 ,
……………4 分 当 t ? (0,1) 时 g (t ) 递减,当 t ? (1,2) 时 g (t ) 递增, g (1) ? ?1, g (0) ? g (2) ? 0 , 所

g (t ) ? ?? 1,0? ;



t ? (0,2)

时 ……………………6 分



当 故

t ? (8,??) g (t ) ? (48,??)



g (t )

递 的



, 值

g (8) ? 48






以 为

……………………7 分 ……………………8 分 (

f (x) ?? 1,0? ? (48,??)
x x ?1

(3) b ? 4 ? 2

,即 b ? f (x) ,方程有实根

? 函 数 y1 ? b 与 函 数 y 2 ? f ( x) 点. ……………………10 分 由(2)知 f (x) ? ?? 1,0? ? (48,??) ,

x?M













b? 所 以 当 ?? 1,0? ? (48,??) 时 , 方 程 有 实 根. ……………………12 分 下面讨论实根个数: ① 当 b ? ?1 或 当 b ? (48,??) 时 , 方 程 只 有 一 个 实 根 ……………………13 分 ② 当 b? (?1,0) 时 , 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 根 ……………………14 分 ③ 当 b ? (??,?1) ? [0,48] 时,方程没有实数根



数 数

22 (14 分) .定义: 若函数 f (x) 对于其定义域内的某一数 x0 , f ( x0 ) ? x0 , 有 则称 x0 是 f (x) 的一个不动点. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1(a ? 0) . (1)当 a ? 1 , b ? ?2 时,求函数 f (x) 的不动点; (2)若对任意的实数 b,函数 f (x) 恒有两个不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y ? f (x) 图象上两个点 A、B 的横坐标是函数 f (x) 的不动点,且 A、 B 的中点 C 在函数 g ( x ) ? ? x ?

a 的图象上,求 b 的最小值. 5a ? 4 a ? 1
2

(参考公式: A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 的中点坐标为 ?
2

? x1 ? x2 y1 ? y 2 ? , ?) 2 ? ? 2
…………………… 求 的 不 动 点 为

解: f ( x) ? x 2 ? x ? 3 , x ? x ? 3 ? x , (1) 由 1分 解 得 x ? 3 或 x ? ?1 , 所 以 所 3. ……………………3 分
2

?1



2 (2)令 ax ? (b ? 1) x ? b ? 1 ? x ,则 ax ? bx ? b ? 1 ? 0 ①

由题意, 方程① 恒有两个不等实根, 所以 ? ? b ? 4a(b ? 1) ? 0 , 5分
2

…………………… 成 故 ……………………

即 立, 则

b 2 ? 4ab ? 4a ? 0 ?? ? 16a 2 ? 16a ? 0

恒 ……………………6 分 , ……………………8 分

0 ? a ?1

(3)设 A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2), g ( x ) ? ? x ? 9分 又 AB 的中点在该直线上,所以

a , 5a ? 4 a ? 1
2

x1 ? x2 x ? x2 a ?? 1 ? 2 , 2 2 5a ? 4a ? 1

x ∴ 1 ? x2 ?
…10 分

a , 5a ? 4a ? 1
2

…………………

而 x1、x2 应是方程① 的两个根,所以 x1 ? x 2 ? ?

a2 1 b ∴ ?? 2 ==2 1 5a ? 4a ? 1 ? 1 ? 2 ?1? ? ? ? 4? ? ? 5 ( a ? 2) ? 1 ?a? ?a?
…12 分 ∴ a= 当 14 分

b b a ,即 ? ? , 2 a a 5a ? 4 a ? 1 1

…………………

1 ∈ (0,1)时,bmin= ? 1 2

……………………


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