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高三数学试题试卷分析


2007-2008 学年度江西省南昌市调研高三数学试题试卷分析
孙建民 孙庆宏 喻瑞明 张金生 章建荣 一、试卷的基本情况 1.试卷形式 考试评价采用闭卷考试的形式。整个试卷由选择、填空和解答三大部分组成,其中,选择题共 12 小题,60 分;填空题共 4 小题,16 分;解答题共 6 小题,50 分;全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2.试卷分布 理科

考察 内容 分值 所占比例 文科 考察 内容 分值 所占比例 3.得分情况 集合、 函数 命题 5 3% 31 21% 21 14% 19 13% 10 7% 21 14% 数列 向量、三角 不等式 空间几何 二项式定理、概率 21 14% 19 13% 排列、组合、 导数 集合、 函数 命题 5 3% 25 17% 17 11% 17 11% 19 13% 21 14% 数列 向量、三角 不等式 空间几何 二项式定理、概率 25 17% 极限 10 7% 排列、组合、 导数、 朱迪非 程韶洪 陈伟刚

三、卷面情况分析 1.客观题学生答题情况

2.主观题学生答题情况 13.(理科)本题主要考察数列的极限,在求极限时需要对所给的式子进行变形。得分情况一般。有的学生 对基本的极限观念不清,直接将两个无穷大量相减,得到答案是 0;有的将 x=0 代入所求式,得到答案是

1 。 2
13.(文科)本题主要考察多面体的有关计算。学生缺乏一定的空间想象力,计算能力较差。有的学生 在求体积时,公式记错,少乘以

1 ;更多的学生不知道运用等积法进行转化,达到简化计算的目的。 2

14.(理科) (文科)本题主要考察排列组合的基本知识。本题如果使用直接法,则需要学生有较好的分 类讨论的能力。本题易采用排异法。但是,有的学生在考虑 2,3 与另一个数的排列时,只考虑了第三个 数的排列,而忽略了 2,3 的排法,因而得到答案是 57。有的学生分类不清,有重复,得到的答案为 63。 由于不少学生在审题时,产生歧义,认为选出的三个数中含有 2 和 3,因此得到答案是 9。本题将“若三 个数字中有 2 和 3”改为:“若三个数字中有 2 和 3 时”,可能学生产生歧义的可能性会小一些。 15.(理科)本题主要考察二项式定理和三角函数的有关知识。学生在考试时的主要问题是:漏解较多;公 式记错;特殊的三角函数值记错;审题不清,将求值变成求角。 15.(文科)本题主要考察抽象函数的有关知识,得分率较其他题目要高。但学生不知道运用题设条件得 到 f (2n) ? f 2 (n), f (2n) ? f (2n ? 1) ? f (1) ? 3 f (2n ? 1) , 得出 ×6=30. 16.(理科)本题主要考察函数性质、对数知识、分类讨论及换元法。由于涉及的知识点较多,学生错误率

f 2 (n) ? f (2n) f (2n) 原式=5 ?2 ? 2?3 ? 6 , f (2n ? 1) f (2n ? 1)

高。不少学生在求出 f(x)d 的反函数后不知如何下手。有的学生将 g(x)看成关于 log a x 的函数后,不 注意求出新元的取值范围,误将 x 的范围当成 log a x 的范围,因而得出错误的结果 ?

?3 4 ? ,1 ? ;有的漏掉 ? ? 2 ?

a?

1 的解。从学生的答题结果来看,试题有一些难度。在后阶段的复习中,要注意帮助学生克服学习中 2

的不良习惯、错误的思维定势,重视基础知识、基本技能的复习和训练,加强数学思想方法的教学,提高 复习质量。

16.(文科)本题主要考察等差数列的性质、不等式性质、及归纳转化的数学思想,对学生的能力要求很 高。由于涉及的知识点较多,技巧性强,学生得分率很低。不少学生不知如何找到解题的切入点,试题需 要学生能判断出 S2 n ?1 ? Sn 是关于 n 的减函数,这对大多数学生都感到困难。 从学生的答题结果来看,试题有一些难度。在后阶段的复习中,要注意帮助学生克服学习中的不良习惯、 错误的思维定势,对文科学生要特别重视基础知识、基本技能的复习和训练,加强数学思想方法的教学, 提高复习质量。 第 17 题.(理科)本题考查三角函数二倍角、两角和差公式,正弦函数图像的性质及在给定区间求最值的问 题,满分 12 分,难度系数 0.65,实际平均得分 7.2 分.总体上掌握得较好,说明经过第一轮对三角 函数部分内容的复习起到了一定的效果,达到了预期的目标. 主要存在的问题 ① 二倍角和辅助角公式不熟 ② 有相当一部分考生对 ? 的理解的不够透彻 ③ 给定区间求函数的最值找不到最小值点 ④ 对称轴与对称中心混淆 第 17 题.(文科)本题是平面向量和三角函数的综合应用, 考查三角函数二倍角和辅助角公式,在给定区 间已知函数值求角的问题,满分 12 分,难度系数 0.65,实际平均得分 7.5 分.总体上掌握得较好,说明经过第 一轮对三角函数部分内容的复习起到了一定的效果,达到了预期的目标. 主要存在的问题 ① 二倍角和辅助角公式记错 ② 周期公式记错 ③ 第二问给定区间已知函数值求角中普遍漏解 第 18 题. (理科)本题考查了互斥事件、相互独立事件的概率与随机变量的分布列、数学期望等知识。

在问题(1)中,P2 的含义是指到达第 2 个台阶这一事件的概率,据题意可以看作一步到达和分两步到达 的并事件,故 P2 ?

1 2 2 7 ? ? ? 3 3 3 9 2 3 1 2 3 3 1 3 2 3

在问题(2)中,该人走 5 步,共上的台阶数ξ 取值为 5、6、7、8、9、10,即所走 5 步中,其中 1 步上 2
0 1 2 个台阶的步数分别为 0、1、2、3、4、5,由此可知对应的概率分别为 C 5 ( ) 5 、C 5 ( )( ) 4 、C5 ( ) 2 ( ) 3 、

2 1 2 3 1 5 1 C5 ( ) 3 ( ) 2 、 C54 ( ) 4 ( ) 、 C 5 ( ) 5 不难算出ξ 的期望。在分析考生试卷时,有少数考生把此题的变量 3 3 3 3 3
ξ 看成满足二项分布,导致失分;也有个别考生先求每步上台阶数的期望,再求 5 步所上台阶数的期望。 第 18 题.(文科)本题既考查了学生用互斥事件的概率加法公式计算事件的概率,也考查了用独立事件 的概率乘法公式计算概率。 在问题(1)中,P2 的含义是指到达第 2 个台阶这一事件的概率,据题意可以看作一步到达和分两步到达 的并事件,故 P2 ?

1 2 2 7 ? ? ? 3 3 3 9 2 3 1 3

在问题(2)中,走 4 步到达第 6 个台阶,即为 4 步中,有两步是每步走 2 个台阶,有两步是每步走一个

8 。 27 1 1 2 2 从试卷情况看,问题(1)得分较好;问题(2)中,不少考生解答为 P2 ? ? ? ? 忽略了在 4 步走 3 3 3 3
台阶。每步走 1 个台阶和每步走 2 个台阶是相互独立的, P ? C 4 ( ) ( ) ?
2 2 2

时,每步走 1 个台阶与 2 个台阶之间的排列、组合问题,导致错误。 第 19 题.本小题主要考查空间线面关系和正棱锥等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力。第 (1)问通过探究线面垂直关系推出线线垂直,常用方法有过 E 作 AC 垂线和过 E 作 AD 垂线构造垂面等两 种方法;第(2)问常用方法为构造三棱锥体积等积求点到面的距离;第(3)问常用方法有作平面角构造 三角形求角、射影面积法和利用第(2)问结论求出 C 点到面 PAB 的距离求出平面角的正弦值然后求出平 面角等三种方法。本题学生做题情况:大概有四分之一的学生因第(1)问的错误导致后两问出错。 第 20 题.主要考查函数、导数、方程、不等式的基本知识,传统但不陌生,题目所考察的知识点是学生非 常熟悉的三次函数求导问题、函数性质、二次方程的根的分布问题,考查综合运用函数与方程、分类讨论、 数形结合、等价转化与化归等思想方法分析问题及推理论证的能力.要求考生具有一定的数学基础才能做 好此题。文理科试题区分度都较比较好,把各层次的考生区分了开来。

2 3 9 x ? 3ax ? 等错误;由于还 3 2 1 没复习解析几何,部分考生在切线与直线 x ? 2 y ? b ? 0 垂直时竟得出 f ?(1) ? (斜率相等)的错误;第 2
考生主要错误:文科生在化简求导时没掌握好乘法分配律得出 f ( x) ? (2) 问在研究二次函数性质时的没有思路, 计算错误等。 理科生不理解三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d
3 2

1 1 图象关于原点对称 ? f ( x) 为奇函数 ? 则 b ? 0, d ? 0 ;单调增区间写成 (??, ? ) ? ( , ??) 解答不规 2 2
范;没掌握好二次方程的根的分布问题的处理方法;计算错误等。

文科题中 “若过函数 f ( x) 图象上一点 P(1, t ) 的切线与直线 x ? 2 y ? b ? 0 垂直”叙述不严谨,对考 生理解题意客观上造成了障碍 ,阅卷中发现好一点的考生分别考虑了 P 为切点和 P 不是切点两种情形, 若将题面叙述方式改为: “若以函数 f ( x) 图象上一点 P(1, t ) 为切点的切线与直线 x ? 2 y ? b ? 0 垂直” 题 意将可以使学生准确理解。 第 21 题.(理科)此题主要考查数列的基本性质与数列的递推及错位相减求和.对文科而言难度稍难.在改卷 中学生主要错误出现在以下几点: (1)求 an 时到了? Sn ?1 ?

1 1 1 1 这一步,没有转化为? an ?1 ? an ? ? (2Sn ? an ) ? 2 3 , 2 3

(2)不知道如何利用递推公式求 an (3)写出等式后不知道利用错位相减求和 Tn ?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? n 或计算错了. 2 2 2 2
2 2

(4)很多同学不知道如何处理这个式子(n+1)bn+1 -nbn + bn+1bn=0,不知因式分解,而有些同学用退一步相减 的方法走向了死路,还有的只好有猜测的方法,最后用数学归纳法. 第 21 题.(文科)此题主要考查数列的基本性质与数列的递推及错位相减求和.对文科而言难度稍难.在 改卷中学生主要错误出现在以下几点: (1)到了? Sn ?1 ?

1 1 1 1 这一步,没有转化为? an ?1 ? an ? ? (2Sn ? an ) ? 2 3 , 2 3

(2)不知道如何利用递推公式求 an (3)写出等式后不知道利用错位相减求和 Tn ?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? n 或计算错了. 2 2 2 2

第 22 题.本题考查了函数值域的求法,二次函数的知识,考查了分类讨论、换元、数形结合、函数等数学 思想,考查了学生综合应用知识的能力。 本题学生得分较低,主要原因有:前面运算量比较大,这题没有时间做;不会应用换元等数学思想方 法,从而不能将较陌生的问题转化为自己熟悉的问题,大多数同学没有想到设 1 ? x ? 1 ? x ? t 从而将 第二问转化成求二次函数的值域问题;分类讨论的分类标准不明确;最近复习立体几何、概率等知识,对 函数题比较陌生了;综合应用数学知识能力较差。 对今后教学的启示:重视数学思想方法的教学,对数学思想方法要做专题总结,同时要在习题讲解过 程中,把题目中隐含的数学思想方法揭示出来;加强综合练习,提高同学综合应用数学知识的能力,平时 练习多在知识交汇上命题;加强应考指导,让学生考试中能合理安排时间,这个题目对大多数同学来说, 做完有困难,但能用比较少的时间得一部分分数,可惜很多同学没有留一点时间做这个题。

总体上看,整份试卷的阅读量、运算量和思维量都比较大。象理科选择题的第 11 小题要学生至少迈 过 3 个门槛才有可能得到正确的答案;填空题的第 13、15、16 小题对学生理解数学概念、符号和运算的 综合要求都比较高;解答题中第 18 小题的题意理解,第 19 小题几何的第 1 小问都给学生造成了一定的困 难,尤其是第 22 小题的第(1)问给学生在阅读、运算和思维等方面都提出了相当高的要求,这个问题不 能解决直接影响了学生后续的解题,致使相当一部分学生的解题速度明显受到影响,文科不少学生根本没 有时间或没有信心去面对第 20、21 小题。由于学生尚未结束一轮复习,缺乏应有的综合训练,这样的试 卷就显得稍微偏难了点,区分度也不是十分好。 三、教学建议 1.继续加强对大纲、教材、及考纲的研究,准确把握教学要求,既到位但又不越位。 2.加强学生对审题重要性的认识。认真审题、弄清题意是正确解题的前提和必要条件。这次测试就 充分暴露了学生在审题方面存在的问题。所以提高学生数学素养和数学教学质量就必须着重提高学生的审 题能力。 3.着力提高学生的阅读理解能力、运算能力、转化能力。在作业、练习、考试等训练过程中,要有 意识地对学生进行上述几方面的训练,并培养学生自觉反思的习惯。对作业和练习中出现的错误,要先让 学生自己寻找错误原因,自行订正,强化纠错,以提高作业和练习讲评的实效。 4.加强数学语言和规范性要求。数学语言是数学思维和数学交流的工具。这些基本的数学语言,对 培养学生的“数感”、算理、推理能力等方面非常重要,也是学会用数学的眼光看问题的基本要求。教师 在教学过程中,不仅要培养学生能够进行各种数学语言的转化,而且还要培养学生会用数学语言准确、简 洁地表达自己的观点和思想。 5.数学思想方法的掌握非常重要。数学基础知识和基本技能所反映出来的数学思想方法是数学知识 的精髓,在课堂教学中,数学思想方法的教学应渗透在教学全过程中,使学生不仅学好概念、定理、法则 等内容,而且能领悟其中的数学思想方法,并通过不断积累,逐渐内化为自己的经验。 6. 教学中要鼓励与提倡解决问题策略的多样化, 尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平. 问 题情境的设计,教学过程的展开,练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与,提出各自解决问题 的策略,并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略,丰富数学活动的经验,提高思维水平。 7.弱势群体的教育需引起每个老师的高度重视。对学有困难的学生,教师要给予及时的关照与帮助, 要鼓励他们主动参与数学学习活动,尝试着用自己的方式去解决问题,发表自己的看法;教师要及时地肯 定他们的点滴进步,对出现的错误要耐心地引导他们分析其产生的原因,并鼓励他们自己去改正,从而增 强学习数学的兴趣和信心。


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