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强烈 推荐等比数列前n项和 公开课课件

时间:2013-10-12


等比数列的前n项和(第1课时)
王拴昌

学习目标
? 通过推导等比数列的前n项和公式,能准确 说出公式的内容及公式的特点,在此基础 上能初步应用公式解决与之相关的问题。 ? 通过对公式推导方法的探索,体会特殊到 一般,类比与转化等数学思想。

小故事
印度国际象棋发明者的故事

(西 萨)

人几粒麦就 什么样的 搞定. 赏赐?

第一格放1粒 麦子,以后每 个格子里放的 麦粒数都是前 一个格子里放 陛下赏小 的的2倍,直 你想得到 到第64个格子

小故事


OK

?

探讨1: 发明者西萨要求的麦粒总数是多少?

1+2+22+·+263 · ·
探讨2: 上面式子有什么特点?

是一个以1为首项,2为公比的等比数列的前64 项之和,可以记为 S64=1+2+22+·+263 · · ① 如果①式两边同乘以2得
2S64=2+22+23+·· 63+264 ·+2 ②

探讨3: 比较①、②两式,有什么关系?

S64=1+2+22+23+·+263 · · 2S64= 2+22+23+·+263+264 · ·

① ②

两式上下相对的项完全相同,把两式相减, 就可以消去相同的项,得到.

s64 = 264 - 1
思考1: 纵观全过程,①式两边为什么要 乘以2 ?

思考2:你能求出该数列的前n项和 S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ?? +2 吗?
2 3 n-1

分析:

Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ?? +2n-1
公式两边同时乘以等比数列的公比2,可得



2Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? +2 ? 2
2 3 n-1

n



两式相减可得:

Sn ? 2 ? 1
n






如果按1000颗麦粒40 7000亿吨 克计算,这里大约有_____ 麦粒;如果按人均每天吃 1000克 ______粮食计算,此棋盘上 70 的粮食可供全世界_____亿 274 人吃上_____年.

探究新知
问题
设等比数列?an ?,首项为a1,公比为q, 如何求前n和sn?

思考3 当公比q ? 1时,数列?an ? 是什么数列? 前n项和Sn怎样求?

思考4,当公比q ? 1时,有人推导出数列?an ? 前n项和公式为 a1 ? an q Sn ? , 你知道如何推导的吗? 1? q

等比数列的前n项和公式
n

? a1 ? an q ? a1 (1 ? q ) ,q ? 1, ? ,q ? 1, ? ? 2 ? Sn ? ? 1 ? q ?1? Sn ? ? 1 ? q ?na ,q ? 1. ?na ,q ? 1. ? 1 ? 1
思考:这两个公式有什么区别,分别在什 么情况下使用?

都可以用来求等比数列前n项和,在已知 a1 , q, n时用公式 ?1?,已知a1 , q, an时用公式 ? 2 ? .

例题讲解
1 例1 (1) 求等比数列 1 ,1 ,1 ,16 , ??? 前8项和. 2 4 8
1 ,1 ,1 , 1 ,? ? ?前多少项的和是 63 ? ? 2 ?、等比数列 2 4 8 16 64

1 ?3 ?、等比数列 1 ,1 ,1 ,16 ,???求第5项到第10项的和. 2 4 8

课堂练习
q a 练习1:已知等比数列?an ?中,n ? 96 , ? 2,

6 S n ? 189 ,则 n ? _________.
1 练习2、已知等比数列?an ? 中 a1 ? ?4, q ? 2 , 63 S6 ? 8

小练习:判断下列计算是否正确

5(1 ? 1 ) ?0 ?1? 5 ? 5 ? 5 ? ? ? 5 ? 1 ?1
n
n个

? 2?1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? ? ? (?2)

n?1

?

1 ? (1 ? 2 ) 1 ? ( ?2)
n

n (? 2)

? 3?1 ? 2 ? 2

2

? 2 ?? ? 2 ?
3 n

1 ? (1 ? 2 ) 1? 2
n

n+1

立方差公式

例题讲解
求 a9 .
解:
S6 63 ? ? ? 9 ? 2, S3 7
? a1 (1 ? q 3 ) , ?7? ? 1? q ?? a1 (1 ? q 6 ) ?63 ? , ? 1? q ?

a 3 ? b3 ? ? a ? b ? ? a 2 ? ab ? b 2 ?

S S 例2.已知等比数列 ?an ? 中, 3 ? 7 ,6 ? 63,
?q ? 1.
① ②
② 9 ? 1 ? q 3, 得 ①

则 q ? 2, a1 ? 1.

? a9 ? a1q8 ? 28 ? 256.

课堂练习
练习3:
已知在等比数列?an ?中,S3 ? 3, a3 ? 1,

21 6或 则S6 ? ______ . 8
立方差公式 a ? b ? ? a ? b ? ? a ? ab ? b
3 3 2 2

?

课堂小结
等比数列的计算问题,应注意
1、两个公式

?1? 等比数列通向公式: a n ? a1q ? 2 ? 等比数列的前n项和公式:
? a1 (1 ? q n ) ,q ? 1, ? Sn ? ? 1 ? q ? na ,q ? 1. ? 1

n ?1

? a1 ? an q ,q ? 1, ? Sn ? ? 1 ? q ?na ,q ? 1. ? 1

2、两个基本量a1和q.

课堂小结
3、五个量a1 , an , q, n, Sn中,知道三个量,可 以通过列方程求出其它两个量,即知三求二。

课后思考 根据下面提供的思路,你还有其他 方法去推导等比数列前n项和公式吗?
sn = a1 + a1q + a1q2 + ??? + a1qn-1 思路1: = a1 + q( a1 + a2 ? ??? + an-1 )
思路2: a2 = a3 = a4 = ? ? ? = an = q

a1

a2

a3

an-1


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