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江苏省东海高级中学2013届高三上学期期中考试数学理试题


东海高级中学 2013 届高三理科数学第一学期期中试题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线
上. ) 1.若集合 M ? {x | x2 ? x ? 0} ,函数 f ( x) ? log2 (1? | x |) 的定义域为 N ,则 M ? N ? 2. 将函数 f ( x) ? 2 cos(

? 象,则 g (x) 的解析式为 3. 已知向量 a 与 b 的夹角为 ▲ .

点, SQ ? 平面CDE ,则三角形 CDE 的面积为______▲_______. 12. 若函数 y ? ax2 ? 2ax(a ? 0) 在区间 [0,3] 上有最大值 3 ,则 a 的值是
2



.

13. 设 A 是自然数集的一个非空子集,对于 k ? A ,如果 k ? A ,且 k ? A ,那么 k 是 A 的一个“酷 元”,给定 S ? x ? N y ? lg(36 ? x ) ,设集合 M 由集合 S 中的两个元素构成,且集合 M 中的两个
2

x 3

?
6

) 的图象向左平移
▲ .

?
4

?

?

个单位,再向下平移 1 个单位,得到函数 g (x) 的图

元素都是“酷元”,那么这样的集合 M 有



.
2

14. 某同学为研究函数 f ? x ? ? 1 ? x 2 ? 1 ? ?1 ? x ? ▲ .

? 0 ? x ? 1? 的性质,

D

C P

F

?
3

, | a |? 2 ,则 a 在 b 方向上的投影为 ▲ (填序号).

构造了如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC , P 是边 BC 点 上 的 一 个 动 点 , 设 CP ? x , 则 f

4. 给出下列命题,其中正确的命题是

? x? ?


. AP PF 则 可 推 知 函 数 ? .

A

B

E

①若平面 ? 上的直线 m 与平面 ? 上的直线 n 为异面直线,直线 l 是 ? 与 ? 的交线,那么 l 至多与 m, n 中的一条相交; ②若直线 m 与 n 异面,直线 n 与 l 异面,则直线 m 与 l 异面; ③一定存在平面 ? 同时与异面直线 m,n 都平行. 5. 函数 f (x) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ' ( x) >2,则 f (x) > 2 x ? 4 的解集为_ ▲ .

g ? x ? ? 5 f ? x ? ?11的零点的个数是
二、解答题

15.(本题满分 14 分)已知集合 A ? {x | y ? 集合 C ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} . (1)求 A ? B ; (2)若 A ? C ? A ,求实数 m 的取值范围.

x 2 ? 5x ? 14} ,集合 B ? {x | y ? lg(?x 2 ? 7 x ? 12)} ,

6. 在锐角 ?ABC 中,若 A ? 2B ,则

a 的取值范围是 b



.

7. 已知向量 a , b 的夹角为 45°,且 | a |? 1, | 2a ? b |? 10 ,则 | b | =____▲______. 8. 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,给出以下四个结论: ① D1C ∥平面 A1 ABB1 ;② A1 D1 与平面 BCD1 相交;③AD⊥平 面 D1DB ;④平面 BCD1 ⊥平面 A1 ABB1 . 其中正确结论的序号是 ▲ . A A1 D B D1 B1 C1 16 . ( 本 题 满 分 14 分 ) 在 △ ABC 中 , 内 角 A,B,C 对 边 的 边 长 分 别 是 a,b,c , 且 满 足

a 2 ? b2 ? ab ? 4 , C ?
C (1) A ?

?

1 ? ax 9. 设 定 义 在 区 间 ? ?b, b ? 上 的 函 数 f ? x ? ? lg 是奇函数 1? 2x

? a, b ? R, 且a ? ?2? ,则 ab

的取值范围是



时,若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积; 2 (2)求 △ ABC 的面积等于 3 的一个充要条件.

?

3

.

.

10. 已知 O 是锐角 ?ABC 的外接圆的圆心,且 ?A ? ? ,若 ▲ . (用 ? 表示)

???? ? cos B ??? cos C ???? AB ? AC ? 2mAO ,则 m = sin C sin B

11. 正三棱锥 S ? ABC 中, BC ? 2 , SB ? 3 , D、E 分别是棱 SA、SB 上的点, Q 为边 AB 的中

17.(本题满分 15 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠BAD= 60? ,AB=2,PA= 1,PA⊥平面 ABCD,E 是 PC 的中点,F 是 AB 的中点. (1)求证:BE∥平面 PDF; (2)求证:平面 PDF⊥平面 PAB; (3)求三棱锥 P-DEF 的体积.

19. (本题满分 16 分)已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角,设 f ( A, B) ? sin 2 2 A ? cos2 2B

? 3 sin 2 A ? cos 2B ? 2 .
(1)当 f ( A, B) 取得最小值时,求 C 的大小; (2)当 C ? ? 时,记 h( A) ? f ( A, B) ,试求 h( A) 的表达式及定义域; 2 (3)在(2)的条件下,是否存在向量 p ,使得函数 h( A) 的图象按向量 p 平移后得 到函数 g ( A) ? 2cos 2 A 的图象?若存在,求出向量 p 的坐标;若不存在,请说明理由.

??

??

??

18. (本题满分 15 分)如图,在边长为 1 的正三角形 ABC 中, E , F 分别是边 AB, AC 上的点,若 ??? ? ??? ??? ? ? ???? AE ? mAB, AF ? nAC , m, n ? (0,1) .设 EF 的中点为 M , BC 的中点为 N . A ⑴若 A, M , N 三点共线,求证 m ? n ; ???? ? ⑵若 m ? n ? 1 ,求 | MN | 的最小值. F M E

? x 2 ? ax ? 1 , x ? a 20、 (本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ? x . x ?a ?4 ? 4 ? 2 , x ? a (1)若 x ? a 时, f ( x) ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若 a ? ?4 时,函数 f (x) 在实数集 R 上有最小值,求实数 a 的取值范围.

B

C N

试题答案
一、填空题
2 ; 4. ③; 5. (?1,??) ; 6. ( 2 , 3 ) ; 2 10 7. 3 2 ; 8. ①④; 9. 1, 2 ? ; 10. sin ? ; 11. ; 12. 1 或 ? 3 ; 13. 5 个; ? 4 14. 0 . 二、解答题 15. 解:(1)∵ A ? (??,?2] ? [7,??) , B ? (?4,?3) ,………………………………………………4 分 ∴ A ? B ? (?4,?3) .………………………………………………6 分 (2) ∵ A ? C ? A ∴ C ? A .………………………………………………8 分 ① C ? ? , 2m ? 1 ? m ? 1,∴ m ? 2 .……………………………………9 分 ? m?2 ? m?2 ② C ? ? ,则 ? 或? .……………………………12 分 ?2m ? 1 ? ?2 ?m ? 1 ? 7 ∴ m ? 6 .………………………………………………13 分 综上, m ? 2 或 m ? 6 …………………………14 分 16. 解: (1)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , 由 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,…………3 分 ?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 ?b ? 2a,
1. [0,1) ; 2. g ( x) ? 2 cos(

x ? ? ) ? 1 ; 3. 3 4

连结 BD,因为底面 ABCD 是菱形,∠BAD= 60? ,所以△DAB 为正三角形. 因为 F 是 AB 的中点,所以 DF⊥AB. 因为 PA,AB 是平面 PAB 内的两条相交直线,所以 DF⊥平面 PAB. 因为 DF ? 平面 PDF,所以平面 PDF⊥平面 PAB.…………………………10 分 (3)解:因为 E 是 PC 的中点,所以点 P 到平面 EFD 的距离与点 C 到平面 EFD 的距离相等,故 VP ? DEF = VC ? DEF = VE ? DFC ,又 S ?DFC =

?

1 1 1 ×2× 3 = 3 ,E 到平面 DFC 的距离 h= PA = ,所以 VE ? DFC = 2 2 2

???? ???? ? 18. 解:⑴由 A, M , N 三点共线,得 AM / / AN , ………2 分 ???? ? ???? ? ? 1 ??? ???? ? 1 ??? ??? 设 AM ? ? AN ? ? ?R ? ,即 ( AE ? AF ) ? ? ( AB ? AC ) ,………4 分 2 2 ??? ? ???? ??? ???? ? 所以 mAB ? nAC ? ? ( AB ? AC ) ,所以 m ? n . …………………………7 分 ???? ???? ???? ? ? 1 ??? ???? 1 ??? ??? ? ? ? ??? 1 ? ???? 1 ⑵因为 MN ? AN ? AM = ( AB ? AC ) ? ( AE ? AF ) ? (1 ? m) AB ? (1 ? n) AC , 2 2 2 2 ???? 1 ? ??? 1 ???? ? 又 m ? n ? 1 ,所以 MN ? (1 ? m) AB ? mAC , …………………………11 分 2 2 ???? ? ??? 2 1 ???? 2 1 ? ??? ???? ? 1 所以 | MN |2 ? (1 ? m)2 AB ? m2 AC ? (1 ? m)mAB?AC 4 4 2 1 1 1 1 1 3 = (1 ? m)2 ? m2 ? (1 ? m)m ? (m ? )2 ? 4 4 4 4 2 16 ???? ? 3 1 故当 m ? 时, | MN |min ? . …………………………15 分 4 2

3 1 1 × 3× = .……………………………………15 分 6 2 3

19. 解: (1)配方得 f (A,B) = (sin2A-

3 2 ) + (cos2B- 1 )2 +1, 2 2

1 2 3 . …………7 分 ab sin C ? 2 3 1 (2)若 △ ABC 的面积等于 3 ,则 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2 2 2 ?a ? b ? ab ? 4, ? 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 ,即 A ? B ,又 C ? , 3 ?ab ? 4, 故此时 △ ABC 为正三角形,故 c ? 2 ,即当三角形面积为 3 时, ?ABC 是边长为 2 的正三角形。 …………11 分 反之若 ?ABC 是边长为 2 的正三角形,则其面积为 3 。 故 △ ABC 的面积等于 3 的一个充要条件是: ?ABC 是边长为 2 的正三角形. ……14 分
所以 △ ABC 的面积 S ? 17. (1)证明:取 PD 的中点为 M,连结 ME,MF,因为 E 是 PC 的中点,所以 ME 是△PCD 的中位 线.所以 ME∥CD,ME= CD .又因为 F 是 AB 的中点, 且由于 ABCD 是菱形,AB∥CD, AB=CD, 所以 ME∥FB,且 ME=FB.所以四边形 MEBF 是平行四边形,所以 BE∥MF. 连结 BD,因为 BE ? 平面 PDF,MF ? 平面 PDF,所以 BE∥平面 PDF.…………5 分 (2)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,DF ? 平面 ABCD,所以 DF⊥PA.

∴ [f (A,B) ]min

? ?sin 2 A ? ? = 1, 当且仅当 ? ? cos 2 B ? ? ?

, 2 时取得最小值. 1 2

3

? ? ? ? ? 3 , ?sin 2 A ? ?A ? 6 , ?A ? 3 , ? ? 2 ?? 或? 在△ABC 中, ? ? ? cos 2 B ? 1 ?B?? ?B ? ? . ? ? ? ? 6 6 ? ? 2
2

故 C = 2? 或 ? .…………6 分
3 2

(2) C ? ? ? A+B = ? ,于是 h(A)= f ( A, B) ? sin 2 2 A ? cos2 2B ? 3sin 2 A ? cos 2B ? 2
2

? sin 2 2 A ? cos 2 2 ?

?? ? ?? ? ? A? ? 3 sin 2 A ? cos 2 ? ? A? ? 2 =cos2A- 3 sin 2A +3 ?2 ? ?2 ?
…………11 分

1 2

? =2cos(2A+ ? ) + 3. ∵A+B = ? ,∴ 0 ? A ? . 3 2 2

(3)∵函数 h(A)在区间 ? 0,

? ?

?? ?? ? ? ? 上是减函数,在区间 ? 3 , 2 ? 上是增函数;而函数 3? ? ?

g ( A) ? 2cos 2 A 在区间 ? 0,

? ?

?? ? 上是减函数. 2?
…………16 分
x a

∴函数 h(A)的图象与函数 g ( A) ? 2 cos 2 A 的图象不相同,从而不存在满足条件的 向量 p.

2 1 ? 2 a ? 2 2 a ? 2 ? a ? 时, h(t ) 在 (0,2 a ) 单调递减, h(t ) ? (h(2 a ), h(0)) ? (4 a ? 4,0) a 2 2 a 所以,此时, h(t ) 在 (0,2 ) 上无最小值; ---------------------------------------------11 分. 1 4 所以由③④可得当 x ? a 时有:当 a ? 时, f ( x ) min ? h(t ) min ? ? a ; 2 4 1 当 a ? 时,无最小值.----------------- -------------12 分. 2
④当 所以,由①②③④可得:

20. 解: (1)因为 x ? a 时, f ( x) ? 4 x ? 4 ? 2 x?a ,所以令 2 ? t ,则有 0 ? t ? 2 ,所以

t f ( x) ? 1 当 x ? a 时恒成立,可转化为 t ? 4 ? a ? 1, 2 4 1 即 a ? t ? 在 t ? (0,2 a ) 上恒成立, --------------------------------------2 分. t 2 1 1 a 令 g (t ) ? t ? , t ? (0,2 ) ,则 g ' (t ) ? 1 ? 2 ? 0 ,------------------------------3 分. t t 1 所以 g (t ) ? t ? 在 (0,2 a ) 上单调递增, -------------4 分. t 1 4 1 a a a 所以 g (t ) ? g (2 ) ? 2 ? a ,所以有: a ? 2 ? a . 2 2 2 5 ? a ? 2 a ? (2 a ) 2 ? 5 ? 2 a ? 5 -----------------------------------------5 分. 2 ? a ? log2 5 .----------------------------6 分.
2

1 4 4 时,因为 ? a ? 1 ,所以函数 f ( x ) min ? ? a ;---------------------------13 分. 2 4 4 1 a 当 0 ? a ? 时, 因为 4 ? 4 ? 0 ? 1 ,函数 f (x) 无最小值; --------------------------------14 分. 2 a2 a 当 ? 4 ? a ? 0 时, 4 ? 4 ? ?3 ? 1 ? ,函数 f (x) 无最小值.--------- ----------------15 分. 4 1 4 1 综上所述,当 a ? 时,函数 f (x) 有最小值为 ? a ;当 ? 4 ? a ? 时,函数 f (x) 无最小值. 2 2 4 1 所以函数 f (x) 在实数集 R 上有最小值时,实数 a 的取值范围为 ( ,?? ) .---------16 分. 2
当a ?

(2)当 x ? a 时, f ( x) ? x 2 ? ax ? 1 ,即 f ( x) ? ( x ? ①当

a 2 a2 ) ?1? ,----------7 分. 2 4

a ? a ? a ? 0 时,此时对称轴在区间左侧,开口向上,所以 f (x) 在 [a,??) 单调递增, 2 所以 f ( x) min ? f (a) ? 1 ;-------------------------------------------------8 分. a a ②当 ? a ? ?4 ? a ? 0 时, 此时对称轴在区间内,开口向上,所以 f (x) 在 [a, ) 单调递减, 2 2 2 a a a 在 ( ,?? ) 单调递增,所以 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? . 2 2 4 ? a2 ? 1? ,?4 ? a ? 0 .---------- -----------9 分. 所以由①②可得: 当 x ? a 时有: f ( x) min ? ? 4 ?1, a?0 ? 4 2 2 4 2 x x x ?a a 当 x ? a 时, f ( x) ? 4 ? 4 ? 2 ,令 2 ? t , t ? (0,2 ) ,则 h(t ) ? t ? a t ? (t ? a ) ? a , 2 2 4 2 1 2 2 a a 2a ③当 0 ? a ? 2 ? 2 ? 2 ? a ? 时, h(t ) 在 (0, a ) 单调递减,在 ( a ,2 ) 上单调递增 2 2 2 2 2 4 h(t ) min ? h( a ) ? ? a ;---------------------------------------10 分. 2 4


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