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椭圆及其标准方程


什么叫圆锥曲线?

复习回顾:
圆的定义: 到定点的距离等于定长 的点的轨迹的集合。 圆心为 ? a, b ? 半径为 r 的圆的标准方程:

? x ? a?

2

? ? y ? b? ? r
2

2

2.2.1 椭圆及其标准方



椭圆的定义:
平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常 数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距 离( |F1F2| )叫做椭圆的焦距。

记绳长为2a,两定点之间距离 |F1F2| =2c

几点说明:
1.椭圆上任意一点P满足: PF1 ? PF2 ? 2a ,即该定义既可 以用作判定,也可以当做椭圆的性质。

2.要求 2a ? 2c
以F1、 F2为端点的线段 当2a ? 2c 时,轨迹是___________________ ;

当2a ? 2c 时,___________________ ; 无轨迹

探究:如何建立椭圆的方程?
建式 系 列 化 设 简 点

椭圆上的点满足 PF1 ? PF2
y

? 2a

P(2x , y 2 则: ? x + c ?2 + y 2 + ? x - c ? + y ) = 2a

?a

2

?c

2

?x

2

? a y ? a ?a ? c
2

-c , 0 ? O F1?2 2

? F2 2? c , 02

?

x

设 P( x,y )是椭圆上任意一点
2 2 2 2

设 a 2 - c 2 = b2 ? b > 0 ? 得

b2 x2 ? a2 y 2 ? a2b2

设F1 F F1(-c,0)、 F2(c,0) F1F2 以 F1c 、 F2 所在直线为 x 轴,线段 x=2 y,则有 即: + = 1 ? a > b > 0? a b 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系.

我们知道了焦点在x轴的椭圆的标准方程,如果焦点在y 轴,方程是怎样的呢?
y
M F 1

y

F2

M

o

F2 x

o
F1

x

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

y2 x2 ? ? 1 ?a ? b ? 0? a 2 b2

方程特点: (1)方程的左边是两项平方和的形式,等号的右边是1; (2)在椭圆两种标准方程中,总有a>b>0且满足 a 2 - c 2 = b2 ? b > 0?

问:你能在椭圆中找出表示 a, b, c 的线段吗?
(3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上;

小结:
标准方程
x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b

? a ? b ? 0?
y P

y 2 x2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b
y F2

不 同 点




F1

P

O

F2

x

O

F1

x

焦点坐标 相 同 点 定 义

F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0?

F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2

a、b、c 的关系
焦点位置的判断

分母哪个大,焦点就在哪个轴上

练习:判断下列方程是否是椭圆的标准方程,若 是,则判定其焦点在何轴?并指明 a 、 b ,写出焦
点坐标.
2 2 x y (1) ? ?1 9 4

x2 y 2 (2) ? ?1 9 16
(4) 3x
2

(3) 5x (5) x
2

2

? 4 y ? 20
2

? 3y ? 1
2

? y2 ? 1

(6)4 x 2

? y2 ? 1

例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)a =4,b ? 1,焦点在 x 轴上; a =4,b ? 1,焦点在坐标轴上; (2)

例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0), 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。

(2)两焦点的坐标分别是(-2,0)、(2,0), 5 3 且椭圆经过点P ( , ? )。 2 2

探究:
方程 ,分别求方程满足下列 条件的m的取值范围:
x2 y2 + =1 25 ? m 16 ? m

(1)表示一个圆;
(2)表示一个椭圆;

(3)表示焦点在x轴上的椭圆。


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