nbhkdz.com冰点文库

第一章 集合与常用逻辑用语


第 1 页

共 37 页

第一章? ? 集合与常用逻辑用语
第一节 集__合

?

1.集合的含义与表示方法 (1)集合的含义: 研究对象叫做元素, 一些元素组成的总体叫做集合. 集合中元素的性质: 确定性、无序性、互异性. (2)元素与集合的关系:①属于,记为∈;②不属于,记为?.

(3)集合的表示方法:列举法、描述法和图示法. (4)常用数集的记号:自然数集 N,正整数集 N*或 N+,整数集 Z,有理数集 Q,实数集 R. 2.集合间的基本关系 表示 关系 子集 文字语言 集合 A 的元素都是集合 B 的 元素 集合 A 是集合 B 的子集, 且 真子集 集合 B 中至少有一个元素不 属于 A 相等 集合 A,B 的元素完全相同 不含任何元素的集合.空集 是任何集合 A 的子集 A?B, B?A ?x,x??,??A A?B,且?x0∈B,x0?A A?B 或 B?A 符号语言 x∈A? x∈B 记法

A?B 或 B?A

基本 关系

A=B

空集

?

3.集合的基本运算 表示 文字语言 运算 属于集合 A 且属 交集 于集合 B 的元素 组成的集合 {x|x∈A, 且 x∈B} A∩B 符号语言 图形语言 记法

第 2 页

共 37 页

属于集合 A 或属 并集 于集合 B 的元素 组成的集合 全集 U 中不属于 补集 集合 A 的元素组 成的集合 4.集合问题中的几个基本结论 (1)集合 A 是其本身的子集,即 A?A; (2)子集关系的传递性,即 A?B,B?C?A?C; (3)A∪A=A∩A=A,A∪?=A,A∩?=?,?UU=?,?U?=U. {x|x∈U,x?A} ? UA {x|x∈A, 或 x∈B} A∪B

[小题体验]
1.(2015· 山东高考)已知集合 A={x|x2-4x+3<0};B={x|2<x<4},则 A∩B=( A.(1,3) C.(2,3) B.(1,4) D.(2,4) )

解析:选 C 由已知可得集合 A={x|1<x<3},又因为 B={x|2<x<4},所以 A∩B=(2,3). 2.已知集合 P={x|x<2},Q={x|x2<2},则( A.P?Q C.P??RQ )

B.P?Q D.Q??RP

解析:选 B 解 x2<2,得- 2<x< 2,∴P?Q. 3.(教材习题改编)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则 A∩(?UB) =________. 答案:{2,4} 4.(教材习题改编)集合{a,b}的所有子集为________. 答案:{a},{b},{a,b},?

1.认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两 个先决条件. 2.要注意区分元素与集合的从属关系;以及集合与集合的包含关系. 3.易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身. 4.运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心.

5.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为 不满足“互异性”而导致解题错误.

第 3 页

共 37 页

[小题纠偏]
1 ? ? 1. 已知全集为 R, 集合 A={x|x2+5x-6≥0}, B=?x| x≤2或x>8?, 则 A∩(?RB)等于(
? ?

)

A.[6,8) C.[3,8)

B.[3,8] D.[1,8]

1 ? 解析:选 D 依题意得 A={x|(x+6)(x-1)≥0}=(-∞,-6]∪[1,+∞),?RB=? ?2,8?, 因此 A∩(?RB)=[1,8]. 2.集合 A={x|x=-y2+6,x∈N,y∈N}的真子集的个数为( A.9 C.7 B.8 D.6 )

解析:选 C 当 y=0 时,x=6;当 y=1 时,x=5;当 y=2 时,x=2;当 y≥3 时,x? N,故集合 A={2,5,6},共含有 3 个元素,故其真子集的个数为 23-1=7. 3.已知集合 A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数 x 的值为________. 解析:∵-4∈A,∴x2-5x=-4, ∴x=1 或 x=4. 答案:1 或 4

考点一

集合的基本概念

?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透]
1.(易错题)已知集合 A={1,2,4},则集合 B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为( A.3 C.8 B.6 D.9 )

解析:选 D 集合 B 中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4), 共 9 个. b ? ? 2.设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0,a,b?,则 b-a=(
? ?

)

A.1 C.2
?

B.-1 D.-2
?

b ? ? b 解析:选 C 因为{1,a+b,a}=?0,a,b?,a≠0,所以 a+b=0,则a=-1,所以 a =-1,b=1.所以 b-a=2.

第 4 页

共 37 页

3.已知集合 A={x|ax2-3x+2=0},若 A=?,则实数 a 的取值范围为________. 解析:∵A=?,∴方程 ax2-3x+2=0 无实根, 2 当 a=0 时,x= 不合题意, 3 9 当 a≠0 时,Δ=9-8a<0,∴a> . 8 9 ? 答案:? ?8,+∞? 4.(易错题)已知集合 A={m+2,2m2+m},若 3∈A,则 m 的值为________. 3 解析:由题意得 m+2=3 或 2m2+m=3,则 m=1 或 m=- ,当 m=1 时,m+2=3 2 3 1 且 2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当 m=- 时,m+2= ,而 2m2 2 2 3 +m=3,故 m=- . 2 3 答案:- 2

[谨记通法]
与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集.如“题组练透”第 1 题. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数, 但要注意检验集合是否满足 元素的互异性.如“题组练透”第 4 题易忽视.

考点二

集合间的基本关系

?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领]
1.已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C ?B 的集合 C 的个数为( A.1 C.3 由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2, ∴A={1,2}. 由题意知 B={1,2,3,4},∴满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. 2.已知集合 A={x|y= 1-x2,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则( A.A?B C.A?B B.B?A D.B=A ) ) B.2 D.4

解析:选 D 用列举法表示集合 A,B,根据集合关系求出集合 C 的个数.

解析:选 B 由题意知 A={x|y= 1-x2,x∈R},所以 A={x|-1≤x≤1}.所以 B={x|x =m2,m∈A}={x|0≤x≤1},所以 B?A,故选 B.

第 5 页

共 37 页

[由题悟法]
集合间基本关系的两种判定方法和一个关键

[即时应用]
1.已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:选 A 因为 A={1,a},B={1,2,3},若 a=3,则 A={1,3},所以 A?B;若 A? B,则 a=2 或 a=3,所以 A?B?/a=3,所以“a=3”是“A?B”的充分不必要条件. 2.已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B?A,则实数 m 的取值 范围是________. 解析:当 B=?时,有 m+1≥2m-1, 则 m≤2. 当 B≠?时,若 B?A,如图.

m+1≥-2, ? ? 则?2m-1≤7, ? ?m+1<2m-1,

解得 2<m≤4.

综上,m 的取值范围为(-∞,4]. 答案:(-∞,4]

考点三

集合的基本运算

?常考常新型考点——多角探明?

[命题分析]
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合的理解及不等 式的有关知识;有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生的灵活处理问题的能 力. 常见的命题角度有: (1)求交集或并集; (2)交、并、补的混合运算; (3)新定义集合问题.

第 6 页

共 37 页

[题点全练]
角度一:求交集或并集 1.(2016· 兰州诊断)已知集合 A={x||x|<1},B={x|2x>1},则 A∩B=________,A∪B= ________. 解析:由|x|<1,得-1<x<1,所以 A={x|-1<x<1}. 又由 2x>1,解得 x>0,所以 B={x|x>0}. 所以 A∩B={x|0<x<1},A∪B={x|x>-1}. 答案:{x|0<x<1} {x|x>-1} 角度二:交、并、补的混合运算 2. (2015· 天津高考)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 集合 A={2,3,5,6}, 集合 B={1,3,4,6,7}, 则集合 A∩?UB=( A.{2,5} C.{2,5,6} ) B.{3,6} D.{2,3,5,6,8}

解析:选 A 由题意得?UB={2,5,8},∴A∩?UB={2,3,5,6}∩{2,5,8}={2,5}. 3.(2016· 南昌调研)设全集 U=R,A={x|x2-2x≤0},B={y|y=cos x,x∈R},则图中阴影部分表示的区间是( A.[0,1] B.[-1,2] C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,-1]∪[2,+∞) 解析:选 C 因为 A={x|0≤x≤2}=[0,2],B={y|-1≤y≤1}=[-1,1],所以 A∪B=[- 1,2],所以?R(A∪B)=(-∞,-1)∪(2,+∞). 4.设集合 A={x|x2-x-6<0},B={x|x-a≥0}. (1)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a,使得 A∩B={x|0≤x<3}?若存在,求出 a 的值及对应的 A∪B;若 不存在,说明理由. 解:A={x|-2<x<3},B={x|x≥a}. (1)如图,若 A∩B=?,则 a≥3, 所以 a 的取值范围是[3,+∞). )

(2)如图,由 A∩B={x|0≤x<3}得 a=0, A∪B={x|x>-2}.

第 7 页

共 37 页

角度三:新定义集合问题 1 ? ? 1 5.若 x∈A,则x∈A,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M=?-1,0,2,2,3?的所有非
? ?

空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( A.1 C.7

) B.3 D.31

1 解析:选 B 具有伙伴关系的元素组是-1; ,2, 2 所以具有伙伴关系的集合有 3 个: 1 ? ?1 ? ? {-1},?2,2?,?-1,2,2?.
? ? ? ?

6.(2015· 辽宁期末)对于集合 M,N,定义 M-N={x|x∈M,且 x?N},M⊕N=(M-N) 9 ? ? ∪(N-M),设 A=?x| x≥-4,x∈R?,B={x|x<0,x∈R},则 A⊕B=(
? ?

)

9 ? A.? ?-4,0? 9 ? B.? ?-4,0? 9? C.? ?-∞,-4?∪[0,+∞) 9? D.? ?-∞,-4?∪(0,+∞) 9 ? ? 解析:选 C 依题意得 A-B={x|x≥0,x∈R},B-A=?x| x<-4,x∈R?,故 A⊕B=
? ?

?-∞,-9?∪[0,+∞). 4? ?

[方法归纳]
解集合运算问题 4 个注意点

第 8 页

共 37 页

?一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.设集合 M={x|x+1>0},N={x|x-2<0},则 M∩N=( A.(-1,+∞) C.(-1,2) B.[-1,2) D.[-1,2] )

解析:选 C 因为 M={x|x+1>0}={x|x>-1},N={x|x-2<0}={x|x<2},所以 M∩N= (-1,2). 2.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={1,3,5,6},则?UA=( A.{1,3,5,6} C.{2,4,7} B.{2,3,7} D.{2,5,7} )

解析:选 C 由补集的定义,得?UA={2,4,7}. 3.已知集合 A={y|y=|x|-1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( A.-3∈A C.A∩B=B B.3?B D.A∪B=B )

解析:选 C 化简 A={y|y≥-1},因此 A∩B={x|x≥2}=B. 4.(2015· 陕西高考)设集合 M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则 M∪N=( A.[0,1] C.[0,1)
2

)

B.(0,1] D.(-∞,1]

解析:选 A M={x|x =x}={0,1},N={x|lg x≤0}={x|0<x≤1},M∪N=[0,1]. 5.(2016· 吉林实验中学)已知集合 A={x|-1≤x≤1},B={x|x2-2x<0},则 A∪(?RB)= ( ) A.[-1,0] C.[0,1] B.[1,2] D.(-∞,1]∪[2,+∞)

解析:选 D ∵A={x|-1≤x≤1},B={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},∴A∪(?RB)=(-∞, 1]∪[2,+∞). ?二保高考,全练题型做到高考达标 3 ? ? 1.已知集合 A=?x| x∈Z,且2-x∈Z?,则集合 A 中的元素个数为(
? ?

)

A.2 C.4 解析: 选C ∵

B.3 D.5 3 ∈Z, ∴2-x 的取值有-3, -1,1,3, 又∵x∈Z, ∴x 值分别为 5,3,1, 2-x

-1,故集合 A 中的元素个数为 4.

第 9 页

共 37 页

2.(2016· 西安质检)已知集合 M={1,2,3,4},则集合 P={x|x∈M,且 2x?M}的子集的个 数为( A.8 C.3 ) B.4 D.2

解析:选 B 由题意,得 P={3,4},所以集合 P 的子集有 22=4 个,故选 B. 3.已知 A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},若 A∩B=B,则实数 a 的值为( A.0 或 1 或 2 C.0 B.1 或 2 D.0 或 1 )

解析:选 A 由题意 A={1,2},当 B≠?时, ∵B?A,∴B={1}或{2}, 当 B={1}时,a· 1-2=0,解得 a=2; 当 B={2}时,a· 2-2=0,解得 a=1. 当 B=?时,a=0.故 a 的值为 0 或 1 或 2. 4.已知 m∈A,n∈B,且集合 A={x|x=2a,a∈Z},B={x|x=2b+1,b∈Z},C={x|x =4c+1,c∈Z},则有( A.m+n∈A B.m+n∈B C.m+n∈C D.m+n 不属于 A,B,C 中任意一个集合 解析:选 B ∵m∈A,∴设 m=2a1,a1∈Z,又 n∈B, ∴设 n=2b1+1,b1∈Z,∴m+n=2(a1+b1)+1, 而 a1+b1∈Z,∴m+n∈B. 5.设全集 U=R,A={x|2x(x 影部分表示的集合为( A.{x|x≥1} B.{x|x≤1} C.{x|0<x≤1} D.{x|1≤x<2} 解析:选 D 由 2x(x
-2) -2)

)

<1},B={x|y=ln(1-x)},则右图中阴

)

<1 得 x(x-2)<0,解得 0<x<2,由 1-x>0,得 x<1.图中阴影部分

表示的集合为 A∩?UB.因为?UB=[1,+∞),画出数轴,如图所示,所以 A∩?UB=[1,2).

6.已知 A={0,m,2},B={x|x3-4x=0},若 A=B,则 m=________. 解析:由题知 B={0,-2,2},A={0,m,2},若 A=B,则 m=-2. 答案:-2

第 10 页

共 37 页

7. 设全集为 R, 集合 A={x|x2-9<0}, B={x|-1<x≤5}, 则 A∩(?RB)=______________. 解析:由题意知,A={x|x2-9<0}={x|-3<x<3}, ∵B={x|-1<x≤5},∴?RB={x|x≤-1 或 x>5}. ∴A∩(?RB)={x|-3<x<3}∩{x|x≤-1 或 x>5}={x|-3<x≤-1}. 答案:{x|-3<x≤-1} 8. 已知集合 A={x|4≤2x≤16}, B=[a, b], 若 A?B, 则实数 a-b 的取值范围是________. 解析:集合 A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],因为 A?B,所以 a≤2,b≥4,所以 a-b≤2-4=-2,即实数 a-b 的取值范围是(-∞,-2]. 答案:(-∞,-2] 9.(2016· 贵阳监测)已知全集 U={a1,a2,a3,a4},集合 A 是集合 U 的恰有两个元素的 子集,且满足下列三个条件:①若 a1∈A,则 a2∈A;②若 a3?A,则 a2?A;③若 a3∈A,则 a4?A.则集合 A=________.(用列举法表示) 解析:若 a1∈A,则 a2∈A,则由若 a3?A,则 a2?A 可知,a3∈A,假设不成立;若 a4∈ A,则 a3?A,则 a2?A,a1?A,假设不成立,故集合 A={a2,a3}. 答案:{a2,a3} 10.已知集合 A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围. 解:由已知得 A={x|-1≤x≤3}, B={x|m-2≤x≤m+2}. (1)因为 A∩B=[0,3],
? ?m-2=0, 所以? 所以 m=2. ?m+2≥3. ?

(2)?RB={x|x<m-2 或 x>m+2}, 因为 A??RB, 所以 m-2>3 或 m+2<-1, 即 m>5 或 m<-3. 因此实数 m 的取值范围是(-∞,-3)∪(5,+∞). ?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.已知集合 A={x|x2-2 015x+2 014<0},B={x|log2x<m},若 A?B,则整数 m 的最 小值是( A.0 C.11
2

) B.1 D.12

解析:选 C 由 x -2 015x+2 014<0,解得 1<x<2 014,故 A={x|1<x<2 014}. 由 log2x<m, 解得 0<x<2m, 故 B={x|0<x<2m}. 由 A?B, 可得 2m≥2 014, 因为 210=1 024,211 =2 048,所以整数 m 的最小值为 11.

第 11 页

共 37 页

2.已知数集 A={a1,a2,?,an}(1≤a1<a2<?<an,n≥2)具有性质 P:对任意的 i, aj j(1≤i≤j≤n),aiaj 与a 两数中至少有一个属于 A,则称集合 A 为“权集”,则(
i

)

A.{1,3,4}为“权集” B.{1,2,3,6}为“权集” C.“权集”中元素可以有 0 D.“权集”中一定有元素 1 4 解析: 选 B 由于 3×4 与 均不属于数集{1,3,4}, 故 A 不正确; 由于 1×2,1×3,1×6,2×3, 3 aj 6 6 1 2 3 6 , , , , , 都属于数集{1,2,3,6},故 B 正确;由“权集”的定义可知 需有意义,故 ai 2 3 1 2 3 6 不能有 0,同时不一定有 1,C,D 错误. 3.已知集合 A={x|1<x<3},集合 B={x|2m<x<1-m}. (1)当 m=-1 时,求 A∪B; (2)若 A?B,求实数 m 的取值范围; (3)若 A∩B=?,求实数 m 的取值范围. 解:(1)当 m=-1 时,B={x|-2<x<2}, 则 A∪B={x|-2<x<3}. 1-m>2m, ? ? (2)由 A?B 知?2m≤1, ? ?1-m≥3,

解得 m≤-2,

即实数 m 的取值范围为(-∞,-2]. (3)由 A∩B=?,得 1 ①若 2m≥1-m,即 m≥ 时,B=?,符合题意; 3 1 ? ?m<3, 1 ②若 2m<1-m,即 m< 时,需? 3 ?1-m≤1 ? 1 1 得 0≤m< 或?,即 0≤m< . 3 3 综上知 m≥0,即实数 m 的取值范围为[0,+∞). 1 ? ?m<3, 或? ?2m≥3, ?

第 12 页

共 37 页

第二节

命题及其关系、充分条件与必要条件

1.命题 概念 特点 分类 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系: 使用语言、符号或者式子表达的,可以判断真假的陈述句 (1)能判断真假;(2)陈述句 真命题、假命题

(2)四种命题中真假性的等价关系:原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于逆命 题.在四种形式的命题中真命题的个数只能是 0,2,4. 3.充要条件 若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要 条件 p 是 q 的充分不必要条件 p 是 q 的必要不充分条件 p 是 q 的充要条件 p 是 q 的既不充分也不必要 条件 p q且q p p?q 且 q p p p 成立的对象的集合为 A, q 成立的对象的集 合为 B A 是 B 的真子集 B 是 A 的真子集 A=B A,B 互不包含 集合与 充要条件

q 且 q?p p?q

[小题体验]
1.下列命题是真命题的为( 1 1 A.若x=y ,则 x=y C.若 x=y,则 x= y ) B.若 x2=1,则 x=1 D.若 x<y,则 x2<y2

1 1 解析:选 A 由 = 易得 x=y;由 x2=1,得 x=± 1; x y 若 x=y<0,则 x与 y均无意义; 若 x=-2,y=1,虽然 x<y,但 x2>y2. 所以真命题为 A.

第 13 页

共 37 页

2.已知集合 A={1,m2+1},B={2,4},则“m= 3”是“A∩B={4}”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析:选 A A∩B={4}?m2+1=4?m=± 3,故“m= 3”是“A∩B={4}”的充分 不必要条件. 3.(教材习题改编)已知命题:若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实数根.则其逆否命题 为________________________________________________________________________. 答案:若方程 x2+x-m=0 无实根,则 m≤0

1.易混淆否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是 只否定命题的结论. 2.易忽视 A 是 B 的充分不必要条件(A?B 且 B?/A)与 A 的充分不必要条件是 B(B?A 且 A?/B)两者的不同.

[小题纠偏]
1.(2015· 湖南高考)设 x∈R,则“x>1”是“x3>1”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 C ∵x>1,∴x3>1,又 x3-1>0,即(x-1)(x2+x+1)>0,解得 x>1,∴“x>1” 是“x3>1”的充要条件. 2. “在△ABC 中, 若∠C=90° , 则∠A, ∠B 都是锐角”的否命题为: ________________. 解析:原命题的条件:在△ABC 中,∠C=90° , 结论:∠A,∠B 都是锐角.否命题是否定条件和结论. 即“在△ABC 中,若∠C≠90° ,则∠A,∠B 不都是锐角”. 答案:在△ABC 中,若∠C≠90° ,则∠A,∠B 不都是锐角

考点一

命题及其相互关系

?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透]
1.命题“若 a2>b2,则 a>b”的否命题是( A.若 a2>b2,则 a≤b C.若 a≤b,则 a2>b2 ) B.若 a2≤b2,则 a≤b D.若 a≤b,则 a2≤b2

解析:选 B 根据命题的四种形式可知,命题“若 p,则 q”的否命题是“若綈 p,则綈

第 14 页

共 37 页

q”.该题中,p 为 a2>b2,q 为 a>b,故綈 p 为 a2≤b2,綈 q 为 a≤b.所以原命题的否命题为: 若 a2≤b2,则 a≤b. 2.命题“若 x2+3x-4=0,则 x=4”的逆否命题及其真假性为( A.“若 x=4,则 x2+3x-4=0”为真命题 B.“若 x≠4,则 x2+3x-4≠0”为真命题 C.“若 x≠4,则 x2+3x-4≠0”为假命题 D.“若 x=4,则 x2+3x-4=0”为假命题 解析:选 C 根据逆否命题的定义可以排除 A,D,因为 x2+3x-4=0,所以 x=4 或 -1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题. 3.(易错题)给出以下四个命题: ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q≤-1,则 x2+x+q=0 有实根”的逆否命题; ④若 ab 是正整数,则 a,b 都是正整数. 其中真命题是________.(写出所有真命题的序号) 解析:①命题“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题为“若 x,y 互为相反数, 则 x+y=0”,显然①为真命题;②不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题;③ 原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故③为真命题;④若 ab 是正整数,但 a,b 不一定 都是正整数,例如 a=-1,b=-3,故④为假命题. 答案:①③ )

[谨记通法]
1.写一个命题的其他三种命题时的 2 个注意点 (1)对于不是“若 p,则 q”形式的命题,需先改写; (2)若命题有大前提, 写其他三种命题时需保留大前提. 如“题组练透”第 3 题②易忽视. 2.命题真假的 2 种判断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断. (2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断.

考点二

充分必要条件的判定

?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领]

第 15 页

共 37 页

1.(2015· 北京高考)设 a,b 是非零向量,“a· b=|a||b|”是“a∥b”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析: 选 A a· b=|a||b|cos 〈a, b〉 . 而当 a∥b 时, 〈a, b〉 还可能是 π, 此时 a· b=-|a||b|, 故“a· b=|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件. 2.(2015· 天津高考)设 x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:选 A |x-2|<1?1<x<3,x2+x-2>0?x>1 或 x<-2. 由于{x|1<x<3}是{x|x>1 或 x<-2}的真子集, 所以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分而不必要条件. 3.已知条件 p:x+y≠-2,条件 q:x,y 不都是-1,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:选 A 因为 p:x+y≠-2,q:x≠-1,或 y≠-1, 所以綈 p:x+y=-2,綈 q:x=-1,且 y=-1, 因为綈 q?綈 p 但綈 p?/綈 q,所以綈 q 是綈 p 的充分不必要条件,即 p 是 q 的充分不 必要条件.

[由题悟法]
充要条件的 3 种判断方法 (1)定义法:根据 p?q,q?p 进行判断; (2)集合法:根据 p,q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断; (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题 进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1 或 y≠1”的某 种条件,即可转化为判断“x=1 且 y=1”是“xy=1”的某种条件.

[即时应用]
1.若 p:|x|=x,q:x2+x≥0.则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 A 设 p:{x||x|=x}={x|x≥0}=A,

第 16 页

共 37 页

q:{x|x2+x≥0}={x|x≥0 或 x≤-1}=B, ∵A?B, ∴p 是 q 的充分不必要条件. 2.设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC,BD,则“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥ BD”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 A.充分不必要条件 C.充分必要条件

解析:选 A 当四边形 ABCD 为菱形时,必有对角线互相垂直,即 AC⊥BD;当四边形 ABCD 中 AC⊥BD 时,四边形 ABCD 不一定是菱形,还需要 AC 与 BD 互相平分.综上知, “四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.

考点三

充分必要条件的应用
[典型母题]

?题点多变型考点——纵引横联?

已知 P={x|x2-8x-20≤0},非空集合 S={x|1-m≤x≤1+m}.若 x∈P 是 x∈S 的必要条件,求 m 的取值范围. [解] 由 x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}, 由 x∈P 是 x∈S 的必要条件,知 S?P. 则{1-m≤1+m,?1-m≥-2,?1+m≤10, ∴0≤m≤3. 所以当 0≤m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件, 即所求 m 的取值范围是[0,3].

[类题通法]
根据充要条件求参数的值或取值范围的关键: 先合理转化条件,常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问 题等, 得到关于参数的方程或不等式(组), 再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范 围.

[越变越明]
[变式 1] 母题条件不变,问是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件. 解:若 x∈P 是 x∈S 的充要条件,则 P=S,
?1-m=-2, ?m=3, ? ? ∴? ∴? ?1+m=10, ? ? ?m=9,

第 17 页

共 37 页

即不存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件. [变式 2] 母题条件不变,若綈 P 是綈 S 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 解:由母题知 P={x|-2≤x≤10}, ∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件, ∴P?S 且 S?/P. ∴[-2,10]?[1-m,1+m].
?1-m≤-2, ?1-m<-2, ? ? ∴? 或? ? ? ?1+m>10 ?1+m≥10.

∴m≥9,即 m 的取值范围是[9,+∞).

[破译玄机] 本题运用等价法求解,也可先求綈 P,綈 S,再利用集合法列出不等式,求出 m 的范围. [变式 3] 若 P,S 分别变为:p:(x-m)2>3(x-m),s:x2+3x-4<0.若 x∈p 是 x∈s 的 必要不充分条件,求 m 的取值范围. 解: 记 P={x|(x-m)2>3(x-m)}={x|(x-m)(x-m-3)>0}={x|x<m 或 x>m+3},S={x|x2 +3x-4<0}={x|(x+4)(x-1)<0}={x|-4<x<1}, p 是 s 成立的必要不充分条件, 即等价于 S?P. 所以 m+3≤-4 或 m≥1,解得 m≤-7 或 m≥1. 即 m 的取值范围为(-∞,-7]∪[1,+∞).

?一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.“(2x-1)x=0”是“x=0”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 解析:选 B 若(2x-1)x=0,则 x= 或 x=0,即不一定是 x=0;若 x=0,则一定能推 2 出(2x-1)x=0.故“(2x-1)x=0”是“x=0”的必要不充分条件. π 2.命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是( 4 π A.若 α≠ ,则 tan α≠1 4 π B.若 α= ,则 tan α≠1 4 )

第 18 页

共 37 页

C.若 tan α≠1,则 α≠ D.若 tan α≠1,则 α=

π 4 π 4

π π 解析:选 C 命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是“若 tan α≠1,则 α≠ ”. 4 4 3.原命题 p:“设 a,b,c∈R,若 a>b,则 ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否 命题中,真命题的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.4

解析:选 C 当 c=0 时,ac2=bc2,所以原命题是错误的;由于原命题与逆否命题的真 假一致,所以逆否命题也是错误的;逆命题为“设 a,b,c∈R,若 ac2>bc2,则 a>b”,它 是正确的;由于否命题与逆命题的真假一致,所以逆命题与否命题都为真命题.综上所述, 真命题有 2 个. 4.(2015· 南宁二模)已知 p:|x|<2;q:x2-x-2<0,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 B 由 x2-x-2<0,得(x-2)(x+1)<0,解得-1<x<2;由|x|<2 得-2<x<2.注意 到由-2<x<2 不能得知-1<x<2,即由 p 不能得知 q;反过来,由-1<x<2 可知-2<x<2,即 由 q 可得知 p.因此,p 是 q 的必要不充分条件. 5.已知集合 A,B,全集 U,给出下列四个命题: ①若 A?B,则 A∪B=B; ②若 A∪B=B,则 A∩B=B; ③若 a∈(A∩?UB),则 a∈A; ④若 a∈?U(A∩B),则 a∈(A∪B) 其中真命题的个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4 )

解析:选 B ①正确;②不正确,由 A∪B=B 可得 A?B,所以 A∩B=A;③正确;④ 不正确.

?二保高考,全练题型做到高考达标

第 19 页

共 37 页

1.已知复数 z= 四象限”的( )

a+3i (a∈R,i 为虚数单位),则“a>0”是“z 在复平面内对应的点位于第 i

A.充分不必要条件 C.充要条件 解析:选 C z=

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a+3i =-(a+3i)i=3-ai,若 z 位于第四象限,则 a>0,反之也成立, i

所以“a>0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件. 2.命题“a,b∈R,若 a2+b2=0,则 a=b=0”的逆否命题是( A.a,b∈R,若 a≠b≠0,则 a2+b2=0 B.a,b∈R,若 a=b≠0,则 a2+b2≠0 C.a,b∈R,若 a≠0 且 b≠0,则 a2+b2≠0 D.a,b∈R,若 a≠0 或 b≠0,则 a2+b2≠0 解析:选 D a=b=0 的否定为 a≠0 或 b≠0;a2+b2=0 的否定为 a2+b2≠0. 3.如果 x,y 是实数,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ) )

解析:选 C 设集合 A={(x,y)|x≠y},B={(x,y)|cos x≠cos y},则 A 的补集 C={(x, y)|x=y},B 的补集 D={(x,y)|cos x=cos y},显然 C?D,所以 B?A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件. 4.(2015· 南昌调研)下列说法正确的是(
2

)

A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题是“若 x2=1,则 x≠1” B.“x=-1”是“x2-x-2=0”的必要不充分条件 C.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题是真命题 π D.“tan x=1”是“x= ”的充分不必要条件 4 解析:选 C 由原命题与否命题的关系知,原命题的否命题是“若 x2≠1,则 x≠1”, 即 A 不正确;因为 x2-x-2=0,所以 x=-1 或 x=2,所以由“x=-1”能推出“x2-x- 2=0”,反之,由“x2-x-2=0”推不出“x=-1”,所以“x=-1”是“x2-x-2=0” 的充分不必要条件,即 B 不正确;因为由 x=y 能推得 sin x=sin y,即原命题是真命题,所 π π 以它的逆否命题是真命题,故 C 正确;由 x= 能推得 tan x=1,但由 tan x=1 推不出 x= , 4 4 π 所以“tan x=1”是“x= ”的必要不充分条件,即 D 不正确. 4 5.(2016· 烟台一模)若条件 p:|x|≤2,条件 q:x≤a,且 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是( )

第 20 页

共 37 页

A.a≥2 C.a≥-2

B.a≤2 D.a≤-2

解析:选 A 因为|x|≤2,则 p:-2≤x≤2,q:x≤a,由于 p 是 q 的充分不必要条件, 则 p 对应的集合是 q 对应的集合的真子集,所以 a≥2. 6.在命题“若 m>-n,则 m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是 ________. 解析:若 m=2,n=3,则 2>-3,但 22<32,所以原命题为假命题,则逆否命题也为假 命题,若 m=-3,n=-2,则(-3)2>(-2)2,但-3<2,所以逆命题是假命题,则否命题也 是假命题.故假命题的个数为 3. 答案:3 7.设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,则“|q|=1”是“S4=2S2”的________ 条件. 解析:∵等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,又 S4=2S2, ∴a1+a2+a3+a4=2(a1+a2),∴a3+a4=a1+a2, ∴q2=1?|q|=1,∴“|q|=1”是“S4=2S2”的充要条件. 答案:充要 8.已知 p(x):x2+2x-m>0,若 p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数 m 的取值范围 为________. 解析:因为 p(1)是假命题,所以 1+2-m≤0,解得 m≥3;又 p(2)是真命题,所以 4+4 -m>0,解得 m<8.故实数 m 的取值范围是[3,8). 答案:[3,8) 9. 已知 α: x≥a, β: |x-1|<1.若 α 是 β 的必要不充分条件, 则实数 a 的取值范围为________. 解析:α:x≥a,可看作集合 A={x|x≥a}, ∵β:|x-1|<1,∴0<x<2, ∴β 可看作集合 B={x|0<x<2}. 又∵α 是 β 的必要不充分条件, ∴B?A,∴a≤0. 答案:(-∞,0]
? 3 3 2 ? ? ? 10.已知集合 A=?y?y=x2-2x+1,x∈? ?4,2? ,B={x|x+m ≥1}.若“x∈A”是“x ?

?

?

∈B”的充分条件,求实数 m 的取值范围. 3?2 7 3 解:y=x2- x+1=? ?x-4? +16, 2 3 ? 7 ∵x∈? ?4,2?,∴16≤y≤2,

第 21 页 ? 7 ? ? ∴A=?y? ?16≤y≤2 . ? ?

共 37 页

由 x+m ≥1,得 x≥1-m2, ∴B={x|x≥1-m2}. ∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件, ∴A?B,∴1-m2≤ 7 , 16

2

3 3 解得 m≥ 或 m≤- , 4 4 3? ?3 ? 故实数 m 的取值范围是? ?-∞,-4?∪?4,+∞?. ?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.下列结论错误的是( )

A.命题“若 x2-3x-4=0,则 x=4”的逆否命题为“若 x≠4,则 x2-3x-4≠0” B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件 C.命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若 m2+n2=0,则 m=0 且 n=0”的否命题是“若 m2+n2≠0,则 m≠0 或 n≠0” 解析:选 C C 项命题的逆命题为“若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m>0”. 若方程有 1 实根,则 Δ=1+4m≥0,即 m≥- ,不能推出 m>0,所以不是真命题. 4
?log2x,x>0, ? 2.函数 f(x)=? 有且只有一个零点的充分不必要条件是( x ? ?-2 +a,x≤0

)

A.a<0 1 C. <a<1 2

1 B.0<a< 2 D.a≤0 或 a>1

解析:选 A 因为函数 f(x)过点(1,0),所以函数 f(x)有且只有一个零点?函数 y=-2x+ a(x≤0)没有零点?函数 y=2x(x≤0)与直线 y=a 无交点.数形结合可得,a≤0 或 a>1,即函 1 数 f(x)有且只有一个零点的充要条件是 a≤0 或 a>1,应排除 D;当 0<a< 时,函数 y=-2x 2 +a(x≤0)有一个零点,即函数 f(x)有两个零点,应排除 B;同理,排除 C. 3.已知集合 A={x|x2-4mx+2m+6=0},B={x|x<0},若命题“A∩B=?”是假命题, 求实数 m 的取值范围. 解:因为“A∩B=?”是假命题,所以 A∩B≠?. 设全集 U={m|Δ=(-4m)2-4(2m+6)≥0},

第 22 页

共 37 页

3? ? 则 U=?m| m≤-1或m≥2?.
? ?

m∈U, ? ? 假 设 方 程 x - 4mx + 2m + 6 = 0 的 两 根 x1 , x2 均 非 负 , 则 有 ?x1+x2≥0, ? ?x1x2≥0
2



m∈U, ? ? ?4m≥0, ? ?2m+6≥0

3 解得 m≥ . 2

3? ? 又集合?m| m≥2?关于全集 U 的补集是{m|m≤-1}, ? ? 所以实数 m 的取值范围是(-∞,-1].

第三节

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1.命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断 p 真 真 假 假 2.全称量词和存在量词 量词名称 全称量词 存在量词 常见量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在一个、至少一个、有些、某些等 符号表示 ? ? q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 綈p 假 假 真 真

3.全称命题和特称命题 名称 形式 结构 简记 否定 全称命题 对 M 中的任意一个 x,有 p(x)成立 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,綈 p(x0) 特称命题 存在 M 中的一个 x0,使 p(x0)成立 ?x0∈M,p(x0) ?x∈M,綈 p(x)

第 23 页

共 37 页

[小题体验]
1.命题“?x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是( A.?x∈(0,+∞),ln x≠x-1 B.?x?(0,+∞),ln x=x-1 C.?x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1 D.?x0?(0,+∞),ln x0=x0-1 解析:选 A 改变原命题中的三个地方即可得其否定,?改为?,x0 改为 x,否定结论, 即 ln x≠x-1. 2.已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2x>0; q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件. 则下列命题为真命题的是( A.p∧q C.綈 p∧q ) B.綈 p∧綈 q D.p∧綈 q )

解析:选 D 因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意 x∈R,y=2x>0 恒成立,故 p 为真命题;因为当 x>1 时,x>2 不一定成立,反之当 x>2 时,一定有 x>1 成立,故“x>1” 是“x>2”的必要不充分条件,故 q 为假命题,则 p∧q,綈 p 为假命题,綈 q 为真命题,綈 p ∧綈 q,綈 p∧q 为假命题,p∧綈 q 为真命题. 3.(教材习题改编)命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为__________________. 答案:存在两个等边三角形,它们不相似

1.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再 写出命题的否定. 2.p 或 q 的否定易误写成“綈 p 或綈 q”;p 且 q 的否定易误写成“綈 p 且綈 q”.

[小题纠偏]
1.命题 p:?x∈R,sin x<1;命题 q:?x0∈R,cos x0≤-1,则下列结论是真命题的 是( ) A.p∧q C.p∨綈 q B.綈 p∧q D.綈 p∧綈 q

解析:选 B p 是假命题,q 是真命题,所以綈 p∧q 为真命题. 2.命题“若 ab=0,则 a=0 或 b=0”,其否定为________________.

第 24 页

共 37 页

答案:若 ab=0,则 a≠0 且 b≠0

考点一

全称命题与特称命题的真假判断
?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透]
1.下列命题中是假命题的是( π? A.?x∈? ?0,2 ?,x>sin x B.?x0∈R,sin x0+cos x0=2 C.?x∈R,3x>0 D.?x0∈R,lg x0=0 π? 解析:选 B 因为对?x∈R,sin x+cos x= 2sin ? ?x+4?≤ 2,所以“?x0∈R,sin x0 +cos x0=2”为假命题. 2.设非空集合 A,B 满足 A?B,则以下表述正确的是( A.?x0∈A,x0∈B C.?x0∈B,x0?A B.?x∈A,x∈B D.?x∈B,x∈A ) )

解析:选 B 根据集合的关系以及全称、特称命题的含义可得 B 正确.

[谨记通法]
全称命题与特称命题真假的判断方法 不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假. 命题名称 全称命题 真假 真 假 真 假 判断方法一 所有对象使命题真 存在一个对象使命题假 存在一个对象使命题真 所有对象使命题假 判断方法二 否定为假 否定为真 否定为假 否定为真

特称命题

考点二

含有一个量词的命题的否定

?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透]
1.(易错题)命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定为( A.对任意 x∈R,都有 x2<0 B.不存在 x∈R,使得 x2<0 C.存在 x0∈R,使得 x2 0≥0 )

第 25 页

共 37 页

D.存在 x0∈R,使得 x2 0<0 解析:选 D 全称命题的否定是特称命题.“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定为“存 在 x0∈R,使得 x2 0<0”. 2.写出下列命题的否定并判断其真假: (1)p:不论 m 取何实数值,方程 x2+mx-1=0 必有实数根; (2)p:有的三角形的三条边相等; (3)p:菱形的对角线互相垂直; (4)p:?x0∈N,x2 0-2x0+1≤0. 解:(1)綈 p:存在一个实数 m0,使方程 x2+m0x-1=0 没有实数根. 因为该方程的判别式 Δ=m2 0+4>0 恒成立, 故綈 p 为假命题. (2)綈 p:所有的三角形的三条边不全相等. 显然綈 p 为假命题. (3)綈 p:有的菱形的对角线不垂直. 显然綈 p 为假命题. (4)綈 p:?x∈N,x2-2x+1>0. 显然当 x=1 时,x2-2x+1>0 不成立, 故綈 p 是假命题.

[谨记通法]
对全(特)称命题进行否定的方法 (1)找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词. (2)对原命题的结论进行否定.如“题组练透”第 1 题易错.

考点三

含有逻辑联结词命题真假的判断 ?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领]
(2015· 广州二测)已知命题 p:?x∈R,x2>0,命题 q:?α,β∈R,使 tan (α+β)=tan α +tan β,则下列命题为真命题的是( A.p∧q C.綈 p∧q ) B.p∨綈 q D.p∧綈 q

解析:选 C 因为?x∈R,x2≥0,所以命题 p 是假命题.因为当 α=-β 时,tan(α+β) =tan α+tan β,所以命题 q 是真命题,所以 p∧q 是假命题,p∨綈 q 是假命题,綈 p∧q 是 真命题,p∧綈 q 是假命题.

[由题悟法]
判断含有逻辑联结词命题真假的 2 个步骤 (1)先判断简单命题 p,q 的真假. (2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假.

[即时应用]

第 26 页

共 37 页

1 1.若命题 p:函数 y=x2-2x 的单调递增区间是[1,+∞),命题 q:函数 y=x- 的单 x 调递增区间是[1,+∞),则( A.p∧q 是真命题 C.綈 p 是真命题 ) B.p∨q 是假命题 D.綈 q 是真命题

解析:选 D 因为函数 y=x2-2x 的单调递增区间是[1,+∞),所以 p 是真命题;因为 1 函数 y=x-x的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞),所以 q 是假命题.所以 p∧q 为假命 题,p∨q 为真命题,綈 p 为假命题,綈 q 为真命题. 2.“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件. 解析:若命题“p∨q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题. 若命题“p∧q”为真命题,则 p,q 都为真命题,因此“p∨q”为真命题是“p∧q”为 真命题的必要不充分条件. 答案:必要不充分

考点四

利用复合命题的真假求参数范围 [典型母题]

?题点多变型考点——纵引横联?

已知命题 p: 关于 x 的不等式 ax>1(a>0, a≠1)的解集是{x|x<0}, 命题 q: 函数 y=lg(ax2 -x+a)的定义域为 R,如果 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 a 的取值范围. [解] 由关于 x 的不等式 ax>1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},知 0<a<1; 由函数 y=lg(ax2-x+a)的定义域为 R, 知不等式 ax2-x+a>0 的解集为 R,
? ?a>0, 1 则? 解得 a> . 2 2 ?Δ=1-4a <0, ?

因为 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题, 所以 p 和 q 一真一假,即“p 假 q 真”或“p 真 q 假”, a≤0或a≥1, 0<a<1, ? ? ? ? 故? 1 或? 1 a> ? ? 2 ? ?a≤2, 1 解得 a≥1 或 0<a≤ , 2 1? 故实数 a 的取值范围是? ?0,2?∪[1,+∞).

[类题通法]
根据命题真假求参数的 3 步骤 (1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);

第 27 页

共 37 页

(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.

[越变越明]
[变式 1] 母题条件不变,若 p∧q 为真,则 a 的取值范围为________. 解析:由 p∧q 为真知 p,q 都为真. 1 ? ∴a 的取值范围为? ?2,1?. 1 ? 答案:? ?2,1? [变式 2] 在母题条件下,若命题 q∨(p∧q)真、綈 p 真,求实数 a 的取值范围. 解:由命题 q∨(p∧q)真、綈 p 真知 p 假,q 真. 1 p 假,则 a≤0 或 a≥1;q 真,则 a> . 2 ∴实数 a 的取值范围为[1,+∞). [破译玄机] 解决本题应由 q∨(p∧q)真、綈 p 真先判断出 p 假,q 真,再借助集合的交、并运算法则 求解. [变式 3] 已知 a>0,且 a≠1,命题 p:函数 y=loga(x+1)在 x∈(0,+∞)内单调递减, 命题 q:曲线 y=x2+(2a-3)x+1 与 x 轴交于不同的两点.若“p∨q”为假,则 a 的取值范 围为( ) 1? ? 5? B.? ?-∞,2?∪?1,2? 1 ? ?5 ? D.? ?2,1?∪?2,+∞?

5? A.? ?1,2? 1 5? C.? ?2,2?

解析:选 A 当 0<a<1 时,函数 y=loga(x+1)在(0,+∞)内单调递减;当 a>1 时,函数 y=loga(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减的.若 p 为假,则 a>1.曲线 y=x2+(2a-3)x+1 与 1 5? 1 5 x 轴交于不同的两点等价于(2a-3)2-4>0,即 a< 或 a> .若 q 为假,则 a∈? ?2,2?.若使“p∨ 2 2

第 28 页

共 37 页

1 5? ? 5? q”为假,则 a∈(1,+∞)∩? ?2,2?,即 a∈?1,2?. [破译玄机] 本题的巧妙之处就是将“函数”“曲线”与“命题的真假”三者综合交汇考查.看似较 难,但只要将命题 p,命题 q 分别利用函数、曲线的知识分而破之,问题便迎刃而解.

?一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.下列命题中是全称命题并且是真命题的是( A.π 是无理数 B.若 2x 为偶数,则任意 x∈N C.若对任意 x∈R,则 x2+2x+1>0 D.所有菱形的四条边都相等 解析:选 D 对于 A:“π 是无理数”不是全称命题. 对于 B:偶数包括正偶数、负偶数和 0,所以“2x 为偶数,则任意 x∈N”为假命题. 对于 C:“若对任意 x∈R,则 x2+2x+1>0”是全称命题,但由于当 x=-1 时,x2+ 2x+1=0,即此命题为假命题. 对于 D:根据菱形的定义,知“所有菱形的四条边都相等”是全称命题,且是真命题. 2.命题“?x0∈R,x2 0-2x0+1<0”的否定是( A.?x0∈R,x2 0-2x0+1≥0
2 B.?x0∈R,x0 -2x0+1>0

)

)

C.?x∈R,x2-2x+1≥0 D.?x∈R,x2-2x+1<0 解析:选 C 原命题是特称命题,“?”的否定是“?”,“<”的否定是“≥”,因此 该命题的否定是“?x∈R,x2-2x+1≥0”. 3.(2014· 重庆高考)已知命题 p:对任意 x∈R,总有|x|≥0; q:x=1 是方程 x+2=0 的根. 则下列命题为真命题的是( A.p∧綈 q C.綈 p∧綈 q ) B.綈 p∧q D.p∧q

第 29 页

共 37 页

解析:选 A 由题意知命题 p 是真命题,命题 q 是假命题,故綈 p 是假命题,綈 q 是真 命题,由含有逻辑联结词的命题的真值表可知 p∧綈 q 是真命题. 4. 已知命题 p: “x>3”是“x2>9”的充要条件, 命题 q: “a2>b2”是“a>b”的充要条件, 则( A.p∨q 为真 C.p 真 q 假 B.p∧q 为真 D.p∨q 为假 )

解析: 选 D 由 x>3 能够得出 x2>9, 反之不成立, 故命题 p 是假命题; 由 a2>b2 可得|a|>|b|, 但 a 不一定大于 b,反之也不一定成立,故命题 q 是假命题.所以 p∨q 为假. 5.(2016· 潍坊一模)已知命题 p,q,“綈 p 为真”是“p∧q 为假”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A 因为綈 p 为真,所以 p 为假,那么 p∧q 为假,所以“綈 p 为真”是“p∧ q 为假”的充分条件; 反过来,若“p∧q 为假”,则“p 真 q 假”或“p 假 q 真”或“p 假 q 假”,所以由“p ∧q 为假”不能推出綈 p 为真. 综上可知,“綈 p 为真”是“p∧q 为假”的充分不必要条件. ?二保高考,全练题型做到高考达标 1 1.已知命题 p:?x0∈R,sin x0< x0,则綈 p 为( 2 1 A.?x0∈R,sin x0= x0 2 1 C.?x0∈R,sin x0≥ x0 2 ) )

1 B.?x∈R,sin x< x 2 1 D.?x∈R,sin x≥ x 2

1 解析:选 D 原命题为特称命题,故其否定为全称命题,即綈 p:?x∈R,sin x≥ x. 2 2.(2015· 石家庄一模)命题 p:若 sin x>sin y,则 x>y;命题 q:x2+y2≥2xy.下列命题为 假命题的是( A.p 或 q C.q ) B.p 且 q D.綈 p

π 5π 解析:选 B 取 x= ,y= ,可知命题 p 不正确;由(x-y)2≥0 恒成立,可知命题 q 3 6 正确,故綈 p 为真命题,p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题.

第 30 页

共 37 页

2 3.(2016· 唐山一模)已知命题 p:?x0∈N,x3 0<x0;命题 q:?a∈(0,1)∪(1,+∞),函数

f(x)=loga(x-1)的图象过点(2,0),则( A.p 假 q 真 C.p 假 q 假

) B.p 真 q 假 D.p 真 q 真

2 解析: 选 A 由 x3 得 x2 解得 x0<0 或 0<x0<1, 在这个范围内没有自然数, 0<x0, 0(x0-1)<0,

∴命题 p 为假命题;∵对任意的 a∈(0,1)∪(1,+∞),均有 f(2)=loga1=0,∴命题 q 为真命 题. 4.(2016· 南昌模拟)下列说法错误的是( )

A.命题“若 x2-5x+6=0,则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2,则 x2-5x+6≠0”
2 B.若命题 p:存在 x0∈R,x2 0+x0+1<0,则綈 p:对任意 x∈R,x +x+1≥0

x+y?2 C.若 x,y∈R,则“x=y”是“xy≥? ? 2 ? ”的充要条件 D.已知命题 p 和 q,若“p 或 q”为假命题,则命题 p 与 q 中必一真一假 解析:选 D 由原命题与逆否命题的关系知 A 正确;由特称命题的否定知 B 正确;由 x+y?2 2 2 2 2 xy≥? ? 2 ? ?4xy≥(x+y) ?4xy≥x +y +2xy?(x-y) ≤0?x=y 知 C 正确;对于 D,命题 “p 或 q”为假命题,则命题 p 与 q 均为假命题,所以 D 不正确. 5.(2016· 广州摸底考试)命题 p:?x∈R,ax2+ax+1≥0,若綈 p 是真命题,则实数 a 的取值范围是( A.(0,4] C.(-∞,0]∪[4,+∞) ) B.[0,4] D.(-∞,0)∪(4,+∞)

解析:选 D 因为命题 p:?x∈R,ax2+ax+1≥0,
2 所以命题綈 p:?x0∈R,ax0 +ax0+1<0,

? ?a>0, 则 a<0 或? 解得 a<0 或 a>4. 2 ?Δ=a -4a>0, ?

6 . 命 题 p 的 否 定 是 “ 对 所 有 正 数 x , x > x + 1” , 则 命 题 p 可 写 为 ________________________. 解析:因为 p 是綈 p 的否定,所以只需将全称命题变为特称命题,再对结论否定即可. 答案:?x0∈(0,+∞), x0≤x0+1 7.若命题“?x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 解析:当 a=0 时,不等式显然成立;
?a<0, ? 当 a≠0 时,由题意知? 得-8≤a<0. 2 ?Δ=a +8a≤0, ?

第 31 页

共 37 页

综上,-8≤a≤0. 答案:[-8,0] 8.(2015· 怀化二模)已知命题 p:?x∈[0,1],a≥ex,命题 q:?x0∈R,x2 0+4x0+a=0, 若命题“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 解析:命题“p∧q”是真命题,则 p 和 q 均为真命题;当 p 是真命题时,a≥(ex)max=e; 当 q 为真命题时,Δ=16-4a≥0,a≤4;所以 a∈[e,4]. 答案:[e,4] 9.下列结论: 1 ①若命题 p:?x0∈R,tan x0=2;命题 q:?x∈R,x2-x+ >0.则命题“p∧(綈 q)”是 2 假命题; a ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是b=-3; ③“设 a,b∈R,若 ab≥2,则 a2+b2>4”的否命题为:“设 a,b∈R,若 ab<2,则 a2 +b2≤4”. 其中正确结论的序号为________.(把你认为正确结论的序号都填上) 解析:在①中,命题 p 是真命题,命题 q 也是真命题,故“p∧(綈 q)”是假命题是正确 的.在②中,由 l1⊥l2,得 a+3b=0,所以②不正确.在③中“设 a,b∈R,若 ab≥2,则 a2+b2>4”的否命题为:“设 a,b∈R,若 ab<2,则 a2+b2≤4”正确. 答案:①③ 10.已知命题 p:“存在 a>0,使函数 f(x)=ax2-4x 在(-∞,2]上单调递减”,命题 q: “存在 a∈R,使?x∈R,16x2-16(a-1)x+1≠0”.若命题“p∧q”为真命题,求实数 a 的 取值范围. -4 2 2 解:若 p 为真,则对称轴 x=- =a在区间(-∞,2]的右侧,即a≥2,∴0<a≤1. 2a 若 q 为真,则方程 16x2-16(a-1)x+1=0 无实数根. 1 3 ∴Δ=[16(a-1)]2-4×16<0,∴ <a< . 2 2 ∵命题“p∧q”为真命题,∴命题 p,q 都为真, 0<a≤1, ? ? 1 ∴?1 ∴ <a≤1. 3 2 ? ?2<a<2, 1 ? 故实数 a 的取值范围为? ?2,1?. ?三上台阶,自主选做志在冲刺名校

第 32 页

共 37 页

1.已知命题 p:?x0∈R,ex0-mx0=0,q:?x∈R,x2+mx+1≥0,若 p∨(綈 q)为假 命题,则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,0)∪(2,+∞) C.R ) B.[0,2] D.?

解析:选 B 若 p∨(綈 q)为假命题,则 p 假 q 真.命题 p 为假命题时,有 0≤m<e;命 题 q 为真命题时,有 Δ=m2-4≤0,即-2≤m≤2.所以当 p∨(綈 q)为假命题时,m 的取值范 围是 0≤m≤2.

2.(2016· 贵阳期末)下列说法正确的是(

)

A.命题“?x∈R,ex>0”的否定是“?x0∈R,ex0>0” B.命题“已知 x,y∈R,若 x+y≠3,则 x≠2 或 y≠1”的逆否命题是真命题 C.“x2+2x≥ax 在 x∈[1,2]上恒成立”?“(x2+2x)min≥(ax)max 在 x∈[1,2]上恒成立” D.命题“若 a=-1,则函数 f(x)=ax2+2x-1 只有一个零点”的逆命题为真命题 解析:选 B A:命题的否定是“?x0∈R,ex0≤0”,∴A 错误;B:逆否命题为“已 知 x,y∈R,若 x=2,y=1,则 x+y=3”,易知为真命题,∴B 正确;C:分析题意可知, 不等式两边的最值不一定在同一个点取到,故 C 错误;D:若函数 f(x)=ax2+2x-1 只有一 个零点,则:①a=0,符合题意;②a≠0,Δ=4+4a=0,a=-1,故逆命题是假命题,∴D 错误. 3.设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a>0.
2 ? ?x -x-6≤0, ? q:实数 x 满足 2 ?x +2x-8>0. ?

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 解:由 x2-4ax+3a2<0,a>0,得 a<x<3a, 即 p 为真命题时,a<x<3a,
?x2-x-6≤0, ?-2≤x≤3, ? ? 由? 2 得? ?x +2x-8>0, ? ? ?x>2或x<-4,

即 2<x≤3,即 q 为真命题时,2<x≤3. (1)a=1 时,p:1<x<3. 由 p∧q 为真知 p,q 均为真命题,
? ?1<x<3, 则? 得 2<x<3, ?2<x≤3, ?

所以实数 x 的取值范围为(2,3).

第 33 页

共 37 页

(2)设 A={x|a<x<3a},B={x|2<x≤3}, 由题意知 p 是 q 的必要不充分条件, 所以 B?A,
?0<a≤2, ? 有? ∴1<a≤2, ?3a>3, ?

所以实数 a 的取值范围为(1,2].

命题点一

集合及其运算

命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题

难度:中、低

1.(2015· 全国卷Ⅰ)已知集合 A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合 A∩B 中元素的个数为( A.5 C.3 ) B.4 D.2

解析:选 D 集合 A 中元素满足 x=3n+2,n∈N,即被 3 除余 2,而集合 B 中满足这 一要求的元素只有 8 和 14. 2.(2015· 浙江高考)已知集合 P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(?RP)∩Q=( A.[0,1) C.(1,2)
2

)

B.(0,2] D.[1,2]

解析:选 C 由 x -2x≥0,得 x≤0 或 x≥2,即 P={x|x≤0 或 x≥2},所以?RP={x|0 <x<2}=(0,2). 又 Q={x|1<x≤2}=(1,2],所以(?RP)∩Q=(1,2). 3. (2014· 辽宁高考)已知全集 U=R, A={x|x≤0}, B={x|x≥1}, 则集合?U(A∪B)=( A.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1} B.{x|x≤1} D.{x|0<x<1} )

解析:选 D ∵A={x|x≤0},B={x|x≥1}, ∴A∪B={x|x≤0 或 x≥1}. ∴?U(A∪B)={x|0<x<1}. 4.(2015· 湖北高考)已知集合 A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2, x,y∈Z},定义集合 A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则 A⊕B 中元素的 个数为( )

第 34 页

共 37 页

A.77 C.45

B.49 D.30

解析:选 C A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}={(x,y)|x=± 1,y=0;或 x=0,y=± 1; 或 x=0,y=0}, B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}={(x,y)|x=-2,-1,0,1,2;y=-2,-1,0,1,2}.A ⊕B 表示点集.

由 x1=-1,0,1,x2=-2,-1,0,1,2,得 x1+x2=-3,-2,-1,0,1,2,3,共 7 种取值可 能. 同理,由 y1=-1,0,1,y2=-2,-1,0,1,2,得 y1+y2=-3,-2,-1,0,1,2,3,共 7 种取 值可能. 当 x1+x2=-3 或 3 时,y1+y2 可以为-2,-1,0,1,2 中的一个值,分别构成 5 个不同的 点, 当 x1+x2=-2,-1,0,1,2 时,y1+y2 可以为-3,-2,-1,0,1,2,3 中的一个值,分别 构成 7 个不同的点, 故 A⊕B 共有 2×5+5×7=45(个)元素.

命题点二

充要条件

命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题

难度:中、低

1.(2015· 浙江高考)设 a,b 是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析:选 D 特值法:当 a=10,b=-1 时,a+b>0,ab<0,故 a+b>0

ab>0;当

a=-2,b=-1 时,ab>0,但 a+b<0,所以 ab>0
的既不充分也不必要条件.

a+b>0.故“a+b>0”是“ab>0”

2.(2015· 湖北高考)l1,l2 表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2 是异面直线,q:l1,l2 不 相交,则( )

A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件

第 35 页

共 37 页

解析:选 A 若 l1,l2 异面,则 l1,l2 一定不相交;若 l1,l2 不相交,则 l1,l2 是平行直 线或异面直线,故 p?q,q p,故 p 是 q 的充分不必要条件. )

3.(2015· 天津高考)设 x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A |x-2|<1?1<x<3. 由于{x|1<x<2}是{x|1<x<3}的真子集, 所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分而不必要条件.

4.(2015· 四川高考)设 a,b 为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析: 选 A y=log2x(x>0)为增函数, 当 a>b>1 时, log2a>log2b>0; 反之, 若 log2a>log2b>0, 结合对数函数的图象易知 a>b>1 成立,故“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的充要条件. 5.(2014· 全国卷Ⅱ)函数 f(x)在 x=x0 处导数存在.若 p:f′(x0)=0;q:x=x0 是 f(x)的 极值点,则( )

A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 解析:选 C 当 f′(x0)=0 时,x=x0 不一定是 f(x)的极值点,比如,y=x3 在 x=0 时, f′(0)=0,但在 x=0 的左右两侧 f′(x)的符号相同,因而 x=0 不是 y=x3 的极值点. 由极值的定义知,x=x0 是 f(x)的极值点必有 f′(x0)=0.综上知,p 是 q 的必要条件,但 不是充分条件. 命题点三 难度:低 四种命题及其关系 命题指数:☆☆☆ 题型:选择题

1.(2014· 陕西高考)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题, 否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( A.真,假,真 C.真,真,假 )

B.假,假,真 D.假,假,假

解析:选 B 原命题正确,所以逆否命题正确.模相等的两复数不一定互为共轭复数, 同时因为逆命题与否命题互为逆否命题,所以逆命题和否命题错误.

第 36 页

共 37 页

2.(2015· 山东高考)设 m∈R,命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆否命 题是( )

A.若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m>0 B.若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m≤0 C.若方程 x2+x-m=0 没有实根,则 m>0 D.若方程 x2+x-m=0 没有实根,则 m≤0 解析:选 D 根据逆否命题的定义,命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆 否命题是“若方程 x2+x-m=0 没有实根,则 m≤0”. 命题点四 含有逻辑联结词的命题 命题指数:☆☆☆ 题型:选择题

难度:中、低

1.(2014· 辽宁高考)设 a,b,c 是非零向量,已知命题 p:若 a· b=0,b· c=0,则 a· c=0; 命题 q:若 a∥b,b∥c,则 a∥c.则下列命题中真命题是( A.p∨q C.(綈 p)∧(綈 q) B.p∧q D.p∨(綈 q) )

解析:选 A 如图,若 a= A1 A ,b= AB ,c= B1 B ,则 a· c≠0,命 题 p 为假命题;显然命题 q 为真命题,所以 p∨q 为真命题. 2.(2013· 湖北高考)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设 命题 p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没 有降落在指定范围”可表示为( A.(綈 p)∨(綈 q) C.(綈 p)∧(綈 q) ) B.p∨(綈 q) D.p∨q

???? ?

????

???? ?

解析:选 A 綈 p:甲没有降落在指定范围;綈 q:乙没有降落在指定范围,至少有一 位学员没有降落在指定范围,即綈 p 或綈 q 发生.即为(綈 p)∨(綈 q). 命题点五 难度:低 全称量词和存在量词 命题指数:☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题 )

1.(2015· 全国卷Ⅰ)设命题 p:?n∈N,n2>2n,则綈 p 为( A.?n∈N,n2>2n C.?n∈N,n2≤2n B.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n

第 37 页

共 37 页

解析:选 C 因为“?x∈M,p(x)”的否定是“?x∈M,綈 p(x)”,所以命题“?n∈ N,n2>2n”的否定是“?n∈N,n2≤2n”. 2.(2015· 浙江高考)命题“?n∈N*,f(n)∈N*且 f(n)≤n”的否定形式是( A.?n∈N ,f(n)?N 且 f(n)>n B.?n∈N*,f(n)?N*或 f(n)>n C.?n0∈N*,f(n0)?N*且 f(n0)>n0 D.?n0∈N*,f(n0)?N*或 f(n0)>n0 解析:选 D 写全称命题的否定时,要把量词?改为?,并且否定结论,注意把“且” 改为“或”. π 0, ?, tan x≤m”是真命题,则实数 m 的最小值为 3 . (2015· 山东高考 )若“ ? x∈? ? 4? ________. π? ? π? 解析:由题意,原命题等价于 tan x≤m 在区间? ?0,4 ?上恒成立,即 y=tan x 在?0,4 ?上 π? 的最大值小于或等于 m,又 y=tan x 在? ?0,4?上的最大值为 1,所以 m≥1,即 m 的最小值 为 1. 答案:1
* *

)


第一章 集合与常用逻辑用语【知识网络】

第一章 集合与常用逻辑用语【知识网络】_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档第一章 集合与常用逻辑用语【知识网络】_数学_高中教育_教育...

第一章集合与常用逻辑用语高考知识点复习

第一章集合与常用逻辑用语高考知识点复习_数学_高中教育_教育专区。第一章 集合与常用逻辑用语 一 集合的含义与表示 1. 集合的含义 一般地,由若干研究对象组成的...

第一章集合与常用逻辑用语测试(1)(含答案)

第一章集合与常用逻辑用语测试(1)(含答案)_数学_高中教育_教育专区。第一章:集合与常用逻辑用语测试(1) 1. 设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {a, a 2...

第一章集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语_数学_高中教育_教育专区。一轮复习单元测试综合测试:集合与常用逻辑用语一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1...

2014高考数学(文科)一轮教材:第一章 集合与常用逻辑用语

第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集__合 [知识能否忆起] 一、元素与集合 1.集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. 2.集合中元素与集合的关系:...

第一章集合与常用逻辑用语

第一章 集合与常用逻辑用语 考点 1 集 合两年高考真题演练 1.已知集合 A={x|x2-4x+3<0},B={x|2<x<4},则 A∩B=( A.(1,3) B.(1,4) C.(...

第一章 集合与常用逻辑用语

高效测评卷(一) 第一章 集合与常用逻辑用语 ——— 【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内,第 Ⅱ卷可在各题后直接作答...

第一章_集合与常用逻辑用语

第一章_集合与常用逻辑用语_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第一章 集合与常用逻辑用语 知识网络 集合及其运算题型一 集合中元素的性质 【例 1】设集合 A={...

第一章集合与常用逻辑用语

徐水综合高中高三数学一轮复习学案 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.1 个或 2 个 命题方向二:集合与集合之间的关系 ...