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第七节 对数与对数函数


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对数与对数函数

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第二章

函数

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对数与对数函数

数学

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[小题热身]
1.函数 y=loga(3x-2)(a>0,且 a≠1)的图象经过定点 A,则 A 点坐标是
? 2? A.?0,3? ? ? ?2 ? B.?3,0? ? ?

(

)

C.(1,0)

D.(0,1)

答案:C

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1 2. (必修 1· P71 例 7 变式)函数 f(x)= +lg(1+x)的定义域是 1-x ( A.(-∞,-1) C.(-1,1)∪(1,+∞) B.(1,+∞) D.(-∞,+∞) )

解析:若函数

? ?1-x≠0, f(x)有意义,需满足? ? ?1+x>0,

解得 x>-1

且 x≠1,故定义域为(-1,1)∪(1,+∞).
答案:C
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3.(必修 1· P72 例 8 变式)设 a=log32,b=log52,c=log23,则 ( A.a>c>b C.c>b>a B.b>c>a D.c>a>b )

1 1 解析: 因为 log32= <1, log52= <1, 又 log23>1, log23 log25 1 1 所以 c 最大.又 1<log23<log25,所以 > ,即 a log23 log25 >b,所以 c>a>b.

答案:D
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4. (2014· 福建高考)若函数 y=logax(a>0, 且 a≠1)的图象如图所 示,则下列函数图象正确的是 ( )

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解析:因为函数 y=logax 过点(3,1),所以 1=loga3,解得 a=3, 所以 y=3-x 不可能过点(1,3),排除 A;y=(-x)3=-x3 不可能 过点(1,1),排除 C;y=log3(-x)不可能过点(-3,-1),排除 D.故选 B.

答案:B

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5.(2013· 四川高考)lg 5+lg 20的值是________. 解析:lg 5+lg 20=lg( 5× 20)=lg 10=1. 答案:1

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[必备知能]
一、必记 知识点

1.对数的定义 如果 ax=N(a>0,且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的 对数,记作 x=logaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数.

2.对数的性质与运算及换底公式 (1)对数的性质(a>0,且 a≠1) ①loga1=___;②logaa=___;③alogaN=____. N 0
1
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(2)对数的运算性质 如果 a>0,且 a≠1,M >0,N>0,那么:
logaM+logaN ; ①loga(M· N)=_________________

M logaM-logaN ; ②loga N =________________
③logaMn=nlogaM(n∈R).
(3)对数的换底公式

logcb logca (a, 基本公式: logab=_______ c 均大于 0 且不等于 1, b>0).
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3.对数函数的图象与性质

a>1

0<a<1

图象 (0,+∞) ______________ R _____ (1,0) 过点________ 增函数 在(0,+∞)上是_______ 减函数 在(0,+∞)上是_______

定义域

值域 定点 单调性 函数值 正负
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当x>1时,y>0; 当0<x<1,y<0

当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0

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4.反函数
y=logax a>0, 指数函数 y=ax(a>0, 且 a≠1)与对数函数__________(

y=x 对称. 且 a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线_________

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二、必会

方法

1.对数值的大小比较的基本方法 (1)化同底后利用函数的单调性; (2)作差或作商法; (3)利用中间量(0 或 1);
(4)化同真数后利用图象比较.

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2.明确对数函数图象的基本点
(1)当 a>1 时,对数函数的图象“上升”; 当 0<a<1 时,对数函数的图象“下降”.

(2)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象过定点(1,0),
?1 ? 且过点(a,1),?a,-1?,函数图象只在第一、四象限. ? ?

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三、必明

易误点

1.在运算性质 logaMn=nlogaM 中,易忽视 M>0.

2.在解决与对数函数有关的问题时易漏两点:

(1)函数的定义域; (2)对数底数的取值范围.

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考点一

对数式的化简与求值

2.计算下列各题:

3 (1)lg +lg 70-lg 3- ?lg 3?2-lg 9+1; 7 1 32 4 (2) lg - lg 8+lg 245. 2 49 3

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2 化简对数式

1

log

5

3

? log -1

1 得到的值为() 3 15 D 1 3
x ?x

A 1

B

2

C

变式题:(1) 若xlog 4 ? 1, 则4 ? 4 ?
3

lg 27 ? lg 8 ? lg 1000 (2)计算 ? 6 lg 5

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[类题通法]
对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数 指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化 简合并.

(2)将对数式化为同底对数的和、差、倍数的运算,然后 逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的 运算.
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考点二

对数函数的图象及应用

[典例]

(1)(2014· 烟台质检)下列四个图象可能是函数 y= ( )

10ln|x+1| 图象的是 x+1

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[ 解析 ]

函数的定义域为 {x|x≠ - 1} ,其图象可由 y =

10ln|x| 10ln|x| y= x 为奇 x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位而得到. 10ln|x+1| 函数, 图象关于原点对称, 所以 y= 的图象关于点(- x+ 1 1,0)成中心对称.故可排除 A、D. 10ln|x+1| 又当 x>0 时,y= >0,所以 B 不正确,选 C. x+ 1

[答案]

C

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1 (2)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是 2
? A.? ?0, ?

(

)

2? ? 2? ?

? B.? ? ?

? 2 ? ,1 ? 2 ?

C.(1, 2)

D.( 2,2)

[解析]

法一: 构造函数 f(x)=4x 和 g(x)

=logax,当 a>1 时不满足条件,当 0<a<1
? 1? 时, 画出两个函数在?0,2?上的图象(如图所 ? ? ?1? ?1? 示),可知,f?2?<g?2?,即 ? ? ? ?

1 2 2<loga ,则 a> , 2 2

所以 a
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? 的取值范围为? ? ?

? 2 ? ,1?. 2 ?

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1 法二:∵0<x≤ ,∴1<4x≤2,∴logax>4x>1, 2 ∴0<a<1,排除选项 C、D;
1 1 1 1 2 取 a= ,x= ,则有 4 =2,log 1 =1,显然 4x<logax 2 2 2
2

不成立,排除选项 A.

[答案]

B

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本例(2)变为: 若不等式(x-1)2<logax 在 x∈(1,2)内恒成 立,则实数 a 的取值范围是____________.
解析:设 f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当 x∈(1,2)时, 不等式(x-1)2<logax 恒成立, 只需 f1(x)=(x-1)2 在(1,2)上的图 象在 f2(x)=logax 图象的下方. 当 0<a<1 时,显然不成立; 当 a>1 时,如图所示,

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要使 x∈(1,2)时 f1(x)=(x-1)2 的图象在 f2(x)=logax 的图 象下方,只需 f1(2)≤f2(2), 即(2-1)2≤loga2, 又即 loga2≥1. 所以 1<a≤2,即实数 a 的取值范围是(1,2].

答案:(1,2]

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若不等式

? x ?1? ? log x恰有2个整数解,则a的
2 a a

取值范围是 若函数y=log

? x ? ax ? 1? 有最小值,则a的取值范围
2

A0 ? a ? 1 B 0 ? a ? 2且a ? 1 C1 ? a ? 2 Da ? 2

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[类题通法]
应用对数型函数的图象可求解的问题
(1) 对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函 数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用 数形结合思想.

(2)常将一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图 象问题,利用数形结合法求解.

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考点三

对数函数的性质及应用

1 ? mx 已知f(x)=lg 是奇函数 x ?1 求m的值及函数f(x)的定义域 根据(1)的结果判断f(x)在区间(1,+?)上的单调性,并证明

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[类题通法]
求复合函数 y=f(g(x))的单调区间的步骤

(1)定义域优先;
(2)将复合函数分解成基本初等函数 y=f(u),u=g(x);
(3)分别确定这两个函数的单调区间;
(4)若这两个函数同增或同减,则 y=f(g(x))为增函数,若 一增一减,则 y=f(g(x))为减函数,即“同增异减”.

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[针对训练]
已知 f(x)=loga(ax-1)(a>0,且 a≠1).

(1)求 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的单调性.
解:(1)由 ax-1>0 得 ax>1,当 a>1 时,x>0; 当 0<a<1 时,x<0. ∴当 a>1 时,f(x)的定义域为(0,+∞); 当 0<a<1 时,f(x)的定义域为(-∞,0).

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第七节对数与对数函数

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